tema 1: sistemas de ecuaciones lineales. método de gauss

Ejercicios
TEMA 1:
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.
MÉTODO DE GAUSS
1. Resuelve por el método de Gauss los siguientes sistemas:
2x − y + z = 3
a.
3x + 2y − z = 4
5x − 4y + 2z = 3
−x + 2y + 3z = 3
b.
2x + 3y − 2z = 5
3x + 8y − z = 13
x − 2y + 6z = 6
3x + 2y − 2z = 8
c.
−x + 3y + 4z = 5
2x + 5y + 2z = 13
−x + 3y + 4z = 0
d.
2x + 3y − 5z = 0
3x + 9y − 6z = 0
x+y−z = 0
3x − 2y + 4z = 0
e.
x + 8y + 2z = 0
−x + 5y − z = 0
SOLUCIÓN:
a. La matriz del sistema será:
2 −1 1
3 2
3
−1 4
5 −4 2
tendremos:
después de diagonalizar esta matriz utilizando el método de Gauss
3
2 −1
1
3
0
−5
−1
7
0 0 −11 −33
Luego la solución será: z = 3, x = 1, y = 2
b. La matriz del sistema será:
1
MATEMÁTICAS II
−1 2
3
3
−1
2
2
3
−2 5
0
−7 −4 −11
3
8
−1 13
0
0
0
0
, después de diagonalizar esta matriz tendremos:
1 −2 6 6
Luego la solución será: y = 1, z = 1, x = 2
3
3
−63 −63
0
0
c. La matriz del sistema será:
3
2 −2 8
−1 3 4
3 2
, después de diagonalizar esta matriz tendremos:
5
−2 8
0 11 10 23
. Por
2 5 2 13
0 0 0 0
tanto el sistema es compatible indeterminado (tiene dos ecuaciones y tres incógnitas).
La solución será: z = − 11 λ + 23 , x = − 7 λ + 21 , y = λ
5
5
10
10
d. La matriz del sistema será:
−1 3 4
0
2
3 −5 0
3
9 −6 0
−1
3
0
−9 −3 0
0
0
0
0
, después de diagonalizar esta matriz tendremos:
1 1 −1 0
sistema es compatible determinado. La solución es: y = 0, z = 0, x = 0
4
0
−15 0
0
. El
0
e. La matriz del sistema es:
3
−2 4
0
1
8
0
−1 5
2
3 −2 4 0
, después de diagonalizar tendremos:
0 26 2 0
. El sistema es
−1 0
0 0 0 0
1
18
compatible indeterminado, y la solución es: x = −
λ, y = −
λ, z = λ
13
13
2. Comprueba (sin calcular las soluciones) que los sistemas
x − y = −1
3x + y = 5
tienen la misma solución:
SOLUCIÓN:
Los sistemas son equivalentes:
x − y = −1
3x + y = 5
E ′1 = E 1
E ′2
= E2 − E1

x − y = −1
2x + 2y = 6
Luego tienen la misma solución.
3. Discutir y resolver, según los valores de a, el siguiente sistema:
ax + y + z = 1
x + ay + z = 1
x + y + az = 1
2
,y
x − y = −1
2x + 2y = 6
.
Ejercicios
SOLUCIÓN:
ax + y + z = 1
x + ay + z = 1
a 1 1 1
la matriz del sistema será:
1 a 1 1
1 1 a 1
x + y + az = 1
Si la triangulamos utilizando el método de Gauss, tendremos:
1 1 a 1
E1  E3
1 a 1 1
a 1 1 1
1 1
E ′2 = −E 1 + E 2
E ′3 = −aE 1 + E 3
= E3 + E2 
1
0
0 1−a 1−
1−a
1 1
E ′3
a
0 a−1 1−a
a
1
0 a−1 1−a
0 0
a2
−a 2
0
−a+2 1−a
Luego el sistema queda:
x + y + az = 1
a − 1y + 1 − az = 0
−a 2 − a + 2z = 1 − a
Calculamos las raíces de las ecuaciones:
− a2 − a + 2 = 0
a−1 = 0
y obtenemos: a = −2, a = 1
Luego los casos a discutir serán:
• a ≺ 1, −2
En este caso el sistema será compatible determinado.
La solución del sistema será:
1
a+2
y= 1
a+2
x= 1
a+2
z=
• a=1
x+y+z = 1
El sistema quedará:
0=0
,será por tanto compatible indeterminado.
0=0
La solución:
z=λ
y=μ
x = 1−λ−μ
• a = −2
3
MATEMÁTICAS II
x + y − 2z = 0
−3y + 3z = 0
El sistema que resulta es:
por tanto el sistema es incompatible.
0=3
4. Discutir los sistemas:
mx + y − z = 1
a.
x − 2y + z = 1
3x + 4y − 2z = −3
2x + y − z = 1
b.
x − 2y + z = 3
5x − 5y + 2z = m
SOLUCIÓN:
−1 1
m 1
1 −2 1
a. La matriz del sistema es:
m 1
−1 1
1 −2 1
3 4
E ′2 = E 1 + E 2
1
E ′3 = −2E 1 + E 3
−2 −3
m
E ′3 = 2E 2 + E 3
1
si la triangulamos obtenemos:
−2 −3
3 4
−1 1
m
1
m+1
−1 0
3 − 2m 2
0
2
−5
−1 1
1
m + 1 −1 0
2
5
−1
0
0
mx + y − z = 1
El sistema que resulta es m + 1x − y = 2
5x = −1
luego independientemente del valor de m el sistema es siempre compatible determinado.
b. Triangulamos la matriz del sistema:
2 1
−1 1
1 −2 1
3
5 −5 2
m
E ′2 = E 1 + E 2
E ′3 = 2E 1 + E 3
2 1
E ′3 = −3E 2 + E 3 
3 −1 0
4
0 0
m − 10
0
3x − y = 4
0 = m − 10
4

−1 1
2x + y + z = 1
El sistema obtenido es:
2 1
−1 1
3 −1 0
4
9 −3 0
2+m
Ejercicios
Por tanto:
• Si m ≺ 10 el sistema es incompatible.
• Si m = 10 el sistema es compatible indeterminado.
5. Calcular el valor de m para que el siguiente sistema sea compatible:
x + 2y = 3
x − 3y = 1
2x + y = m
SOLUCIÓN:
Triangulamos la matriz:
1 2
3
E ′2 = E 2 − E 1
1 −3 1
2 1
E ′3 = E 3 − 2E 1
m
1 2
3
0 −5 −2
1 2
E ′3
= 5E 3 − 3E 2
0 −3 m − 6
3
0 −5 −2
0 0
5m − 24
x + 2y = 3
El sistema es por tanto:
−5y = −2
0 = 5m − 24
Si calculamos las raíces de la ecuación 5m − 24 = 0  m =
Luego:
• Si m ≺
• Si m =
24
5
24
5
24
5
el sistema es incompatible.
el sistema es compatible determinado.
Por tanto para que el sistema sea compatible tiene que ser m =
24
5
3x + 2y = a
6. Hallar la relación que deben cumplir a, b y c para que el sistema −2x + 5y = b
tenga una
4x + 9y = c
única solución.
SOLUCIÓN:
Triangulamos la matriz del sistema:
3
2 a
−2 5 b
4
9 c
E ′2 = 3E 2 + 2E 1
E ′3 = 3E 3 − 4E 1
3 2
a
0 19 2a + 3b
0 19 3c − 4b
5
MATEMÁTICAS II
3 2
E ′3
= E3 − E2
a
0 19 2a + 3b
−2a − 7b + 3c
0 0
3x + 2y = a
Luego el sistema queda:
19y = 2a + 3b
0 = −2a − 7b + 3c
Para que sea compatible determinado tiene que ser −2a − 7b + 3c = 0
Luego la relación que tienen que verificar a, b y c es −2a − 7b + 3c = 0
ax + y − z = 4
7. Discutir y resolver cuando sea posible el sistema: x − y + z = a
x − 3y + z = −a
SOLUCIÓN:
Si triangulamos el sistema por el método de Gauss tenemos:
a 1
−1 4
1 −1 1
a
1 −3 1
−a
a
E ′2 = E 2 + E 1
1
1+a 0
E ′3 = E 3 + E 1
−1 4
0
a+4
1 + a −2 0
4−a
ax + y − z = 4
Luego el sistema queda:
1 + ax = a + 4
1 + ax − 2y = 4 − a
Si calculamos las raíces de 1 + a = 0  a = −1
Luego:
• Si a ≺ −1 el sistema es compatible determinado y la solución es:
x = a+4
a+1
1 + a a + 4 − 2y = 4 − a  a + 4 − 2y = 4 − a  2y = a + 4 − 4 + a  y = a
1+a
2
a a + 4 + a − z = 4  z = a a + 4 + 1 − 4 = a 2a + 5 − 4 = 2a + a − 4
a+1
a+1
a+1
a+1
Luego la solución es:
x = a+4
a+1
y=a
2
z = 2a + a − 4
a+1
−x + y − z = 4
• Si a = −1 el sistema queda:
0=3
−2y = 5
6
por tanto es incompatible
Ejercicios
8. Discutir y resolver, según los valores de a, el sistema:
ax + y + z = 4
a + 1x + 3y + z = a + 2
−x + ay − z = −3
SOLUCIÓN:
Triangulamos el sistema:
a
1 1
4
a+1 3 1
−1
E ′2 = E 2 − E 1
a+2
E ′3 = E 3 + E 1
a −1 −3
E ′3
= E 3 − a − 1E 2
a
1
1 4
1
2
0 a−2
a−1 a+1 0 1
a 1
1 4
1 2
0 a−2
0 3 − a 0 −a 2 + 3a − 1
ax + y + z = 4
x + 2y = a − 2
Luego el sistema queda:
3 − ay = −a 2 + 3a − 1
Calculamos las raíces de la ecuación 3 − a = 0  a = 3
Por tanto:
• Si a ≺ 3 el sistema es compatible determinado y la solución será:
2
2
3
2
y = a − 3a + 1 , x = − a − a − 4 , z = a − 2a + 3a − 13
−3 + a
−3 + a
−3 + a
3x + y + z = 4
• Si a = 3 el sistema queda:
x + 2y = 1
luego es incompatible.
0 = −1
λx + y + z = μ
9. Discutir el sistema de ecuaciones −x − y + λz = 2
según los valores de los parámetros λ y
x+y−z = μ
μ.
SOLUCIÓN:
Si triangulamos el sistema:
7
MATEMÁTICAS II
λ
1
μ
−1 −1 λ
2
1
1
1
−1 μ
λ
E ′2 = E 2 + E 1
λ
μ
λ−1 0 λ+1 μ+2
E ′3 = E 3 − E 1
E ′3 = E 3 + E 2
1 1
1 − λ 0 −2
1 1
0
μ
λ−1 0 λ+1 μ+2
0
0 λ−1 μ+2
λx + y + z = μ
Luego el sistema queda λ − 1x + λ + 1z = μ + 2
λ − 1z = μ + 2
Si calculamos las raíces de: λ − 1 = 0 obtenemos el valor λ = 1, por tanto:
• Si λ ≺ 1 independientemente del valor de μ el sistema es compatible determinado
x+y+z = μ
• Si λ = 1 entonces el sistema queda:
2z = μ + 2
0 = μ+2
▪ Si μ ≺ −2 el sistema es incompatible
x + y + z = −2
▪ Si μ = −2 el sistema será
2z = 0
luego compatible indeterminado
0=0
10. Hallar un número de tres cifras sabiendo que suman 9; que si del número dado se resta el
que resulta de invertir el orden de sus cifras, la diferencia es 198; y que además, la cifra de las
decenas es media aritmética entre las otras dos.(Universidad de Salamanca)
SOLUCIÓN:
Sean las cifras de dicho número xyz
La suma de sus cifras es 9 luego: x + y + z = 9
Si del número dado se resta el que resulta de invertir el orden de sus cifras, la diferencia es 198:
z + 10y + 100x − x + 10y + 100z = 198
La cifra de las decenas es media aritmética entre las otras dos: y = x + z
2
x+y+z = 9
x+y+z = 9
Obtenemos el sistema z + 10y + 100x − x + 10y + 100z = 198
y = x+z
2
solución de este sistema es: z = 2, x = 4, y = 3
Luego el número pedido es 432
 −99z + 99x = 198
y = 1x+ 1z
2
2
,La
11. ¿Cuántos litros de leche con 35% de grasa han de mezclarse con leche de 4% de grasa para
8
Ejercicios
obtener 20 litros de leche con 25% de grasa.
SOLUCIÓN:
Litros de leche 35% de grasa: x
Litros de leche 4% de grasa: y
Total de litros de leche x + y = 20
Grasa de la mezcla: 35 x + 4 y = 25 20
100
100
100
Tenemos pues el siguiente sistema:
x + y = 20
35 x + 4 y = 25 20
100
100
100

x + y = 20
35x + 4y = 500
. La solución
es: y = 200 , x = 420
31
31
12. Pedro dice a Juan: ” Yo tengo dos veces la edad que tú tenías cuando yo tenía la edad que tú
tienes, y cuando tú tengas la edad que yo tengo la suma de nuestras edades será 63 años.
Hallar la edad de cada uno.
SOLUCIÓN:
EDAD ACTUAL EDAD HACE X-Y AÑOS EDAD DENTRO DE X-Y AÑOS
PEDRO x
x − x − y = y
x + x − y = 2x − y
JUAN
y
y − x − y = 2y − x
y + x − y = x
Yo tengo dos veces la edad que tú tenías cuando yo tenía la edad que tú tienes: x = 22y − x
cuando tú tengas la edad que yo tengo la suma de nuestras edades será 63 años: 2x − y + x = 63
x = 22y − x
Obtenemos el sistema:
. La solución es: x = 28, y = 21
2x − y + x = 63
Pedro tiene 28 años y Juan 21 años
13. Una refinería compra petróleo a dos países A y B. Comprando 500 barriles al país A y 1500 al
país B resulta un precio medio de 19,875 dólares. Comprando 1000 barriles al país A y 1000 al
B el precio medio es de 18 dólares por barril. ¿Cuánto cuesta el barril de crudo de cada país?.
(Universidad de Santiago).
SOLUCIÓN:
Precio del barril de petróleo en A: x
Precio del barril de petróleo en B: y
Comprando 500 barriles al país A y 15000 al país B resulta un precio medio de 19,875 dólares:
500x + 1500y
= 19, 875
2000
Comprando 1000 barriles al país A y 1000 al B el precio medio es de 18 dólares por barril:
1000x + 1000y
= 18
2000
9
MATEMÁTICAS II
Obtenemos el siguiente sistema:
500x + 1500y
= 19875
1000
2000
1000x + 1000y
= 18
2000

1 x + 3 y = 159
4
8
4
1 x + 1 y = 18
2
2
, La solución
es : x = 14. 25, y = 21. 75
14. Tres amigos acuerdan jugar tres partidas de dados de forma que, cuando uno pierda una
partida, entregará a cada uno de los otros dos una cantidad igual a la que cada uno de ellos
posea en ese momento. Cada uno perdió una partida y al final cada uno tenía 24 euros.
¿Cuánto dinero tenía cada jugador al comenzar el juego?.
(Universidad de Castilla-La Mancha)
SOLUCIÓN:
Al que pierde la primera partida lo llamaremos jugador ”A”, al que pierde la segunda partida lo
llamaremos ”B”, y ”C” al que pierde la última partida. Tenemos entonces el siguiente esquema:
Com. Desp. 1 a partida Después de la 2 a partida
Después de la 3 a partida
A x
x−y−z
2x − y − z = 2x − 2y − 2z
22x − 2y − 2z = 4x − 4y − 4z
B y
2y
2y − 2z − x − y − z = 3y − z − x 23y − z − x = 6y − 2z − 2x
C z
2z
4z
4z − 3y − z − x − 2x − 2y − 2z = 7z − y − x
Como al final cada uno tenía 24 euros:
4x − 4y − 4z = 24
6y − 2z − 2x = 24
7z − y − x = 24
La solución es: z = 12, y = 21, x = 39
Luego el jugador A tenía 39 euros, el B 21 euros y el C 12 euros.
15. El tío Evaristo tiene 10 litros de mezcla de agua y vino. Al probarla observa que es demasiado
ligera; por lo que decide añadir una cierta cantidad de vino; y entonces la cantidad de agua es
el 30% del total. Como sigue siendo ligera; añade de nuevo la misma cantidad de vino que
antes; y entonces la cantidad de agua es el 20% del total. ¿Cuántos litros de vino se añaden
en cada ocasión y cuántos hay?. (Universidad del País Vasco)
SOLUCIÓN:
Llamaremos ”x” a los litros de vino que tenía la mezcla al principio, ”y” a los litros de agua y ”z” a los
litros de vino que se añaden en la primera ocasión.
Si realizamos un esquema tendremos:
Al comienzo Añade z litros de vino Añade z litros de vino
Vino
x
x+z
x + 2z
Agua y
y
y
Total x + y
x+y+z
x + y + 2z
El tío Evaristo tiene 10 litros de mezcla de agua y vino: x + y = 10
10
Ejercicios
Decide añadir una cierta cantidad de vino; y entonces la cantidad de agua es el 30% del total:
y = 30 x + y + z
100
Añade de nuevo la misma cantidad de vino que antes; y entonces la cantidad de agua es el 20% del
total: y = 20 x + y + 2z
100
Obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones:
x + y = 10
y = 30 x + y + z
100
y = 20 x + y + 2z
100
La solución es: x = 4, y = 6, z = 10
Añade 10 litros de vino en cada ocasión.
16. La edad de un padre es doble que la suma de las edades de sus dos hijos, mientras que hace
unos años (exactamente la diferencia de las edades actuales de los hijos) la edad del padre
era triple que la suma de las edades en aquel tiempo de sus hijos. Cuando pasen tantos años
como la suma de las edades actuales de los hijos, la suma de edades de las tres personas
será 150 años.
Qué edad tenía el padre en el momento del nacimiento de cada uno de sus hijos?.
(Universidad de Castilla-La Mancha).
SOLUCIÓN:
Edad actual Edad hace y-z años Edad dentro de y+z años
Padre
x
x − y − z = x − y + z x + y + z = x + y + z
1 er hijo y
y − y − z = z
y + y + z = 2y + z
2o
z − y − z = 2z − y
z + y + z = y + 2z
hijo z
La edad de un padre es doble que la suma de las edades de sus dos hijos: x = 2y + z
Hace unos años (exactamente la diferencia de las edades actuales de los hijos) la edad del padre
era triple que la suma de las edades en aquel tiempo de sus hijos: x − y + z = 3z + 2z − y
Cuando pasen tantos años como la suma de las edades actuales de los hijos, la suma de edades de
las tres personas será 150 años: x + y + z + 2y + z + y + 2z = 150
Luego tenemos el siguiente sistema:
x = 2y + z
x − y + z = 3z + 2z − y
x + y + z + 2y + z + y + 2z = 150
La solución es: x = 50, y = 15, z = 10
Luego el padre tiene 50 años, el hijo mayor tiene 15 años, y el menor tiene 10 años.
11