90SDI01 Sistemas Dinámicos I Semestre 08

90SDI01
Sistemas Dinámicos I
Semestre 08-2
Horario: Martes y Jueves, 9:30 a 10:50 a.m.
Lugar: Salón 5
Instructora: Mónica Moreno Rocha
Oficina y Extensión: D-3, 49638
Correo Electrónico: mmoreno@cimat.mx
Página del curso: www.cimat.mx/∼mmoreno/teaching/90SDI01
Prerequisitos: Algebra Lineal, Cálculo Multivariable y Ecuaciones Diferenciales. Conceptos
básicos de Topologı́a, Geometrı́a Diferencial, Análisis Funcional y Teorı́a de la Medida.
Lecciones: Las lecciones podrán cubrir material no programado y no todo el material listado en
el temario será necesariamente cubierto en clase. Por lo tanto, los estudiantes son responsables de
cada tema que aparece en el temario. Se recomienda leer el material asignado antes de clase.
Aunque el curso es “trolebús”, nos apegaremos al calendario escolar del CIMAT.
Textos Recomendados:
• Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems, de A. Katok y B. Hasselblatt,
Cambridge University Press, 1995.
• Geometric Theory of Dynamical Systems: An introduction, de J. Palis y W. de Melo,
Springer-Verlag, 1982.
• Introduction to Dynamical Systems, de M. Brin y G. Stuck, Cambridge University Press,
2002.
Descripción:
Este curso está diseñado para estudiantes de maestrı́a y estudiantes avanzados de licenciatura.
Aunque estudiaremos a detalle los sistemas dinámicos topológicos, haremos hincapié en tres
aspectos fundamentales de la teorı́a general: clasificación, generacidad y estabilidad. Si el tiempo
lo permite y de acuerdo al interés de los estudiantes, finalizaremos con un estudio de temas
selectos de hiperbolicidad, ergodicidad, sistemas caóticos o dinámica holomorfa.
Evaluación:
Tareas (10): 3% cada una.
Examenes Parciales (2): 20% cada uno.
Exposición Final y Resumen: 30% en total.
Sobre las tareas:
Cada semana se asignará una tarea a entregarse el Jueves de la siguiente semana en clase. No se
aceptarán tareas después de clase. Habrá doce tareas en total, de las cuales, sólo las mejores diez
serán tomadas en cuenta para calcular el 30% de la calificación total. Se recomienda ampliamente
la colaboración entre estudiantes, pero cada uno deberá escribir sus propias soluciones, dando
crédito a sus colaboradores si es el caso.
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Sobre los examenes:
Cada examen abarcará el material cubierto en 14 lecciones aproximadamente. El primer
examen está programado para el 2 de Octubre, el segundo examen será el 27 de
Noviembre, ambos en clase y con duración de 1hr 30min.
Sobre la exposición y resumen:
A mediados de Noviembre cada estudiante eligirá un tema para su exposición programada para la
semana de examenes finales. Deberán consultarme para evaluar el tema elegido y acordar los
detalles de su exposición y del resumen que será para su distribución en clase.
Temario
Los siguientes son los temas centrales que serán tratados en clase. La lista no es exhaustiva y
podrá haber cambios, agregados y omisiones.
1. Introducción: conceptos básicos, ejemplos e introducción a la clasificación, generacidad y
estabilidad de los sistemas dinámicos.
2. Variedades estables e inestables: repaso de ecuaciones diferenciales, campos vectoriales
y el teorema de Hadamar-Perron. Teoremas de las variedades estable e inestable.
3. Dinámica topológica en 1– y 2–variedades: repaso de geometrı́a diferencial, conjuntos
lı́mite para flujos en 2–variedades, número de rotación, homeomorfismos del cı́rculo y su
clasificación topológica. Automorfismos del toro.
4. Generacidad: repaso de análisis funcional y resultados de transversalidad. Transversalidad
y campos vectoriales sobre variedades, propiedades genéricas y teorema de Kupka-Smale.
5. Estabilidad estructural: estabilidad estructural tipo C r para campos vectoriales,
difeomorfismos del cı́rculo. Sistemas Morse-Smale y el λ-lema.
Calendario
12 de Agosto. Inicio del curso.
29 de Agosto. Último dı́a para dar de alta el curso.
19 de Septiembre. Último dı́a para darse de baja.
25 y 30 de Septiembre. La tarea asignada en esos dı́as se entregará el 9 de Octubre.
2 de Octubre. Primer examen parcial, cubrirá el material visto en las lecciones 1 a la 14.
20 al 24 de Octubre. Reunión de la Sociedad Matemática Mexicana (posiblemente no habrá
clases o tarea asignada).
10 al 14 de Noviembre. Semana para elegir tema de exposición.
11, 13 y 18 de Noviembre. La tarea asignada en esos dı́as se entregará el 25 de Noviembre.
29 de Noviembre. Segundo examen parcial, cubrirá el material visto en las lecciones 15 a la 27.
1 al 5 de Diciembre. Exposiciones finales.
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