Cuarto Examen Sorpresa, Primer Semestre 2015. Problema. Considere la transformación T : P 3 (x) −→ M2×2 T [p(x)] = T (a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 ) = a0 + a2 a3 a0 + a2 − a3 a1 − a3 Determine el espacio nulo y rango de la transformación lineal, determine si la transformación lineal es inyectiva o sobreyectiva. Cuarto Examen Sorpresa, Primer Semestre 2015. Problema. Considere la transformación T : P 3 (x) −→ M2×2 T [p(x)] = T (a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 ) = a0 + a2 a3 a0 + a2 − a3 a1 − a3 Determine el espacio nulo y rango de la transformación lineal, determine si la transformación lineal es inyectiva o sobreyectiva. Cuarto Examen Sorpresa, Primer Semestre 2015. Problema. Considere la transformación 3 T : P (x) −→ M 2×2 2 3 T [p(x)] = T (a0 + a1 x + a2 x + a3 x ) = a0 + a2 a3 a0 + a2 − a3 a1 − a3 Determine el espacio nulo y rango de la transformación lineal, determine si la transformación lineal es inyectiva o sobreyectiva. Cuarto Examen Sorpresa, Primer Semestre 2015. Problema. Considere la transformación 3 T : P (x) −→ M 2×2 2 3 T [p(x)] = T (a0 + a1 x + a2 x + a3 x ) = a0 + a2 a3 a0 + a2 − a3 a1 − a3 Determine el espacio nulo y rango de la transformación lineal, determine si la transformación lineal es inyectiva o sobreyectiva. Cuarto Examen Sorpresa, Primer Semestre 2015. Problema. Considere la transformación 3 T : P (x) −→ M 2×2 2 3 T [p(x)] = T (a0 + a1 x + a2 x + a3 x ) = a0 + a2 a3 a0 + a2 − a3 a1 − a3 Determine el espacio nulo y rango de la transformación lineal, determine si la transformación lineal es inyectiva o sobreyectiva. Cuarto Examen Sorpresa, Primer Semestre 2015. Problema. Considere la transformación 3 T : P (x) −→ M 2×2 2 3 T [p(x)] = T (a0 + a1 x + a2 x + a3 x ) = a0 + a2 a3 a0 + a2 − a3 a1 − a3 Determine el espacio nulo y rango de la transformación lineal, determine si la transformación lineal es inyectiva o sobreyectiva. Cuarto Examen Sorpresa, Primer Semestre 2015. Problema. Considere la transformación T : P 3 (x) −→ M2×2 T [p(x)] = T (a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 ) = a0 + a2 a3 a0 + a2 − a3 a1 − a3 Determine el espacio nulo y rango de la transformación lineal, determine si la transformación lineal es inyectiva o sobreyectiva. Solución. Suponga que p(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 ∈ NT , entonces a0 + a2 a0 + a2 − a3 0 0 T [p(x)] = T a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 = = a3 a1 − a3 0 0 El sistema de ecuaciones resultante está dado por a0 + a2 = 0 a0 + a2 − a3 a3 a1 − a3 = = = 0 0 0 La solución del sistema de ecuaciones está dado por a1 = a3 = 0 a0 = −a2 Por lo tanto, el espacio nulo de la transformación lineal está dado por NT = −a2 + a2 x2 |a2 ∈ R = −1 + x2 Una extensión de la base de NT para formar una base de P 3 (x) está dada por BP 3 (x) = −1 + x2 , x, x2 , x3 Se probará que BP 3 (x) es realmente una base λ1 (−1 + x2 ) + λ2 x + λ3 x2 + λ4 x3 = 0 + 0 x + 0 x2 + 0 x3 −λ1 λ2 λ1 + λ3 = = = 0 0 0 λ4 = 0 Es evidente que la solución del sistema es única y está dada por λ1 = λ2 = λ3 = λ4 = 0 Finalmente, una base para el RT está dado por BRT = T (x), T (x2 ), T (x3 ) = La transformación lineal no es ni inyectiva ni sobreyectiva. 0 0 0 1 1 1 0 −1 , , 0 0 1 −1