Escuela de Economía – UTPL Cálculo I Autora: Ing. Ana Lucía Abad Ayavaca UNIDAD II: DERIVADA Continuando con el estudio de la segunda unidad lo iniciaremos con el estudio del cálculo diferencial que se ocupa de cómo varía una cantidad en relación con otra (LA DERIVADA). En el texto guía se encuentra desarrollada esta unidad con gran amplitud, sírvase colocarse en el segundo capítulo y conjuntamente con la guía iremos aprendiendo sobre el tema. La derivada se la utiliza en casos donde es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de una magnitud o situación. La definición tenemos en el texto base 1, la misma que viene dada por: f ´( x ) = lim x →0 f ( x + h) − f ( x) Supuesto que exista ese límite. h Estimado estudiante tenga presente las diversas formas de representar una derivada que le presentamos a continuación: NOTACIÓN SE LEE f ´(x ) f prima de x dy dx Derivada de y con respecto a x y' y prima d [ f ( x )] dx Derivada de f(x) Dx [ y ] d sub x de y Fuente: Hoffmann, D., Bradley, L. y Rosen H. (2006): “Calculo para Administración, Economía y Ciencias Sociales”. Elaborado: Abad Ana, (2009): “Guía Didáctica” 1 Hoffmann, D., Bradley, L. y Rosen H. (2006): “Cálculo para Administración, Economía y Ciencias Sociales”, Colombia, Edit. Mc Graw-Hill, Pág.99 Esta obra ha sido licenciada con Creative Commons Ecuador 3.0 de Reconocimiento - No comercial - Compartir igual (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/ec/). Escuela de Economía – UTPL Cálculo I Autora: Ing. Ana Lucía Abad Ayavaca Razón de Cambio y Pendiente En lo que respecta a la derivada con razón de cambio, es una aplicación de la derivada que se ocupa de hallar la Razón (o ritmo) de cambio de una magnitud respecto a la otra, es decir , la razón de cambio de una variable respecto de otra, que estén relacionadas por una función y=f(x) derivable. Es una cuestión que aparece en una multitud de problemas prácticos, por ejemplo: • Crecimiento de poblaciones • Ritmo de producción, • Flujos de agua, • Cantidad de dinero, etc. En este punto le recomiendo que en primer lugar analice los ejercicios propuestos, en el capítulo dos, relacionados con la razón de cambio porcentual, para que se familiarice con la teoría y el proceso de variación de una variable respecto a otra. Este tema lo ilustraremos con algunos ejemplos. Ejemplo 32 Razón de cambio del precio respecto a la cantidad 2 Sea p= 100-q2 (en dólares) la función de demanda del producto de una fábrica. Encuentre la razón de cambio del precio p por unidad con respecto a la cantidad q. ¿Qué tan rápido está cambiando el precio con respecto a q cuando q= 5? 2 Ernest F, Haeussler. (2006): “Matemáticas para Administración, Economía y Ciencias Sociales y de la vida”, Colombia, Edit. Mc Graw-Hill, pag.583-584. Esta obra ha sido licenciada con Creative Commons Ecuador 3.0 de Reconocimiento - No comercial - Compartir igual (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/ec/). Escuela de Economía – UTPL Cálculo I Autora: Ing. Ana Lucía Abad Ayavaca La razón de cambio de p con respecto a q es dp/dq Solución p = 100 − q 2 dp = −2 q dq Cuando q=5, entonces dp = −2(5) = −10 dq Esto significa que cuando se demanda 5 unidades, un incremento de una unidad extra demandada corresponde a un decremento de aproximadamente 10 dólares en el precio por unidad que los consumidores están dispuestos a pagar. Analicemos un ejemplo de razón de cambio de la matricula. Ejemplo 33 Razón de cambio de la matrícula 3 Un sociólogo está estudiando varios programas que pueden ayudar en la educación de niños de edad preescolar en cierta ciudad. El sociólogo cree que x años después de iniciado un programa particular, f(x) miles de niños estarán matriculados, donde f ( x) = 10 (12 x − x 2 ) 0≤ x ≥12. ¿A qué razón cambiará la matrícula. a) Después de tres 9 años de iniciado el programa y b) después de 9 años? Solución La razón de cambio de f(x) es f’’(x): f ( x) = 3 10 (12 x − x 2 ) 9 Ernest F, Haeussler. (2006): Matemáticas para Administración, Economía y Ciencias Sociales y de la vida, Colombia, Edit. Mc Graw-Hill, pag.583-584. Esta obra ha sido licenciada con Creative Commons Ecuador 3.0 de Reconocimiento - No comercial - Compartir igual (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/ec/). Escuela de Economía – UTPL Cálculo I Autora: Ing. Ana Lucía Abad Ayavaca f ´( x ) = 10 (12 − 2 x ) 9 a) Después de 3 años la razón de cambio es: f ' (3) = 10 10(6) 20 (12 − 2(3)) = = 9 9 3 Por lo tanto, la matricula estará creciendo a razón de 20/3 miles de niños por año b) Después de 9 años la razón de cambio es: f ' (9) = 10 10( −6) 20 (12 − 2(9)) = =− 9 9 3 Por lo tanto, la matricula estará decreciendo a razón de 20/3 miles de niños por año. Recta Tangente con Pendiente Si f está definida en un intervalo abierto que contiene a c y además existe el límite entonces, la recta que pasa por (c, f(c)) con pendiente m se llama RECTA TANGENTE a la grafica de f en el punto (c, f(c)). Para recordar: La pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto (c,f(c)) se llama PENDIENTE A LA GRAFICA DE F EN C Fuente: Hoffmann, D., Bradley, L. y Rosen H. (2006): “Cálculo para Administración, Economía y Ciencias Sociales”. Si en la definición descrita anteriormente, sustituimos Dx por h, y c por x asumiendo una recta que va desde un punto P(x,f(x)) a un punto Q(x+h, f(x+h)), tal como se ilustra en el texto base tenemos que la ecuación de la pendiente, también la pudiéramos escribir así: Esta obra ha sido licenciada con Creative Commons Ecuador 3.0 de Reconocimiento - No comercial - Compartir igual (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/ec/). Escuela de Economía – UTPL Cálculo I Autora: Ing. Ana Lucía Abad Ayavaca m = lim h→0 f ( x + h) − f ( x) h Ahora con los conocimientos adquiridos a través de estos temas es el momento para desarrollar el siguiente ejercicio Ejemplo 34 Calcular la derivada de la función dada y hallar la pendiente de la recta tangente a la grafica para el valor especifico de la variable independiente, dado4 f ( x) = x 3 − 1; x = 2 Solución Se puede usar la definición expresada de cualquier de las dos maneras, que es exactamente lo mismo nosotros usaremos la primera. En el texto base en capitulo dos, existe un ejercicio resuelto con la segunda forma, puede analizarlo. f ( x + Dx) = x 3 + 3 x 2 Dx + 3 x( Dx) 2 + ( Dx) 3 − 1 m = lim ∆x →0 f ( x + ∆x) − f ( x) ∆x ( x 3 − 3 x 2 ∆x + 3 x(∆x) 2 + (∆x) 3 − 1) − ( x 3 + 1) m = lim ∆x → 0 ∆x ∆x(3 x 2 − 3 x(∆x)) + (∆x) 2 m = lim ∆x →0 ∆x m = lim 3x 2 − 3x(∆x) + (∆x) 2 = 3 x 2 ∆x→0 Como queremos calcular m, en x=2, tenemos m = 3(2) 2 = 12 4 Ernest F, Haeussler. (2006): “Matemáticas para Administración, Economía y Ciencias Sociales y de la vida”, Colombia, Edit. Mc Graw-Hill, pag.583-584. Esta obra ha sido licenciada con Creative Commons Ecuador 3.0 de Reconocimiento - No comercial - Compartir igual (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/ec/). Escuela de Economía – UTPL Cálculo I Autora: Ing. Ana Lucía Abad Ayavaca Le sugiero analizar el tema “Técnicas De Derivación” confrontarlo en su texto básico en el capitulo dos, sección dos. Para encontrar la derivada hemos usado la definición mediante límites, ahora vamos a aprender varias reglas de derivación que permiten calcular las derivadas de una manera más sencilla y rápida y sin el uso directo de la definición de límite. Estas reglas se denominan Teoremas., Técnicas o Propiedades de la Derivación. Para Memorizar: Tenemos las reglas de la constante, regla de la potencia, regla del múltiplo constante y la regla de la suma. Todas estas son fundamentales para el estudio del cálculo, por lo que usted debe DOMINARLAS. La manera más practica de familiarizarse con las mismas es primero leerlas, entenderlas y memorizarlas, para posteriormente realizar ejercicios; le sugiero primero los resueltos y luego los propuestos Fuente: Hoffmann, D., Bradley, L. y Rosen H. (2006): “Cálculo para Administración, Economía y Ciencias Sociales”. Reglas de Derivación Regla Función Derivada Ejemplo Regla de la constante K 0 y=5 y` = 0 Regla de la Identidad x 1 y=x y` = 1 Regla de la potencia xn nx n−1 y = x5 Regla kf (x ) kf ' ( x ) y = 3x 5 y ' = 15 x 4 Regla de la suma f ( x) + g ( x) f ' ( x) + g ' ( x) y = x 2 + y' = 2 x + 1 Regla del producto f ( x ) * g ( x) f ( x) * g ' ( x) + f ' ( x) * g ( x) Más del factor y' = 5 x 4 constante adelante explicaremos Regla del cociente f ( x) g ( x) g ( x ) * f ' ( x) − f ( x ) * g ' ( x ) sig ( x) ≠ 0 g 2 ( x) lo con ejercicios estas reglas Fuente: Hoffmann, D., Bradley, L. y Rosen H. (2006): “Calculo para Administración, Economía y Ciencias Sociales”. Elaborado: Abad Ana, (2009): “Guía Didáctica” Esta obra ha sido licenciada con Creative Commons Ecuador 3.0 de Reconocimiento - No comercial - Compartir igual (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/ec/). Escuela de Economía – UTPL Cálculo I Autora: Ing. Ana Lucía Abad Ayavaca Continuemos resolviendo algunos ejercicios de aplicación a estas reglas Ejemplo 35 Derivar la función y = − 2 x2 x+2 2 1 3 + x + + + 5+ 2 x 3 2 x 4 Solución y = −2 x −2 + x 2 3 y ' = −2( −2 x −3 ) + y' = + 1 − 12 1 2 1 2 x + x + 5+ x+ 2 4 3 3 2 − 13 1 1 − 3 2 1 1 x + (− x ) + (2 x) + 3 2 2 4 3 4 2 1 1 −3 x 1 + 3 − 3 (− x 2 ) + + 3 x 2 3 3 x 4 x 2 Ejemplo 36 La demanda de los consumidores de ciertos artículos es D ( p ) = −200 p + 12000 unidades por mes cuando el precio del mercado es p dólares por unidad. a) Expresar el gasto total mensual de los consumidores del artículo como un función de p dibujar la gráfica. b) Utilice el cálculo para determinar el precio del mercado para la cual el gasto de consumo es máximo. Solución a) E(p) = gasto total mensual = (demanda mensual)(precio por unidad) E(p)= (D(p))(p) E(p) = (-200p + 12000)(p) E(p) = -200p(p-60) E(p) =-200p2 + 1200p Esta obra ha sido licenciada con Creative Commons Ecuador 3.0 de Reconocimiento - No comercial - Compartir igual (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/ec/). Escuela de Economía – UTPL Cálculo I Autora: Ing. Ana Lucía Abad Ayavaca b) El precio del mercado para el cual el gasto de consumo es mayor es el punto donde la recta tangente es horizontal o: E’(p) = 400p + 12000 = 0 Cuando p = 30 entonces E(30)= 180000 dólares Para Reforzar Como tarea realice la gráfica para que compruebe estos valores. La Regla del Producto y la Regla del Cociente Estimado estudiante confróntese al texto base capitulo dos sección tres, y lea detenidamente las reglas del producto y cociente para que luego se las memorice. Le recomiendo que no trate de aprendérselas como fórmula sino como un teorema teórico. Para Memorizar: La regla del producto: “La derivada de un producto de dos funciones es igual a la primera función por la derivada de la segunda más la segunda función por la derivada de la primera.” La regla del cociente: “La derivada del cociente de dos funciones es igual al denominador por la derivada del numerador menos el numerador por la derivada del denominador, todo ello dividido por el cuadrado del denominador.” Fuente: Hoffmann, D., Bradley, L. y Rosen H. (2006): “Cálculo para Administración, Economía y Ciencias Sociales”. Luego de haber revisado todos estos contenidos, es oportuno resolver algunos ejercicios de aplicación a estas reglas Esta obra ha sido licenciada con Creative Commons Ecuador 3.0 de Reconocimiento - No comercial - Compartir igual (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/ec/). Escuela de Economía – UTPL Cálculo I Autora: Ing. Ana Lucía Abad Ayavaca Ejemplo 37 Hallar la derivada de la función dada f (u ) = (u 2 − 5)(1 − 2u ) Solución f ' (u ) = (u 2 − 5)(−2) + (2u )(1 − 2u ) f ' (u ) = 2u 2 + 10 + 2u − 4u 2 = −6u 2 + 2u + 10 Ejemplo 38 Hallar la derivada de la siguiente función utilizando las reglas adecuadas y = t2 +1 1− t2 Solución y' = (1 − t 2 )(2t ) − (t 2 + 1)(−2t ) (2t )(1 − t 2 + t 2 + 1) 4t = = 2 2 2 2 (1 − t ) (1 − t ) (1 − t 2 ) 2 Ejemplo 39 Hallar la ecuación de la recta tangente a la grafica de la función dada en el punto (x,f(x)) para el valor de x=0 f ( x) = ( x3 + 2 x 2 + 3x − 1)( x5 − 4 x 2 + 2) Solución f ' ( x) = ( x 3 + 2 x 2 + 3 x − 1)(5 x 4 − 8 x) + ( x 5 − 4 x 2 + 2)(3 x 2 − 4 x + 3) Como m= f’(x) f’(0)=6y f(0)=-2(ecuación punto pendiente) entonces la ecuación de la recta tangente es: y − ( −2) = 6( x − 0) y + 2 = 6x y = 6x − 2 Esta obra ha sido licenciada con Creative Commons Ecuador 3.0 de Reconocimiento - No comercial - Compartir igual (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/ec/). Escuela de Economía – UTPL Cálculo I Autora: Ing. Ana Lucía Abad Ayavaca Ejemplo 40 Hallar la derivada de la siguiente función g ( x) = 42 − x + 3 x Solución g ( x) = 16 − x + 3 x 1 = (19 − x)( x) −1 2 = 19 x −1 2 −x 1 2 2 −3 19 x g ' ( x) = − 2 2 − 1 −12 x 2 Ejemplo 40 Hallar la derivada de la siguiente función f ( x ) = 2x + 5 5x − 1 Solución Aplicamos la regla del cociente f ' ( x) = (5 x − 1)( 2) − ( 2 x + 5)(5) (10 x − 2) − (10 x + 25) 10 x − 2 − 10 x − 25 = = (5 x − 1) 2 (5 x − 1) 2 (5 x − 1) 2 f ' ( x) = − 27 (5 x − 1) 2 Señor estudiante al tratar de solucionar y analizar estos ejercicios, le permitirá encontrar la aplicabilidad del Cálculo con ejemplos prácticos. La segunda derivada Ahora que ya poseemos el conocimiento de cómo resolver la primera derivada podemos resolver la segunda derivada de una función que no es más que la derivada de la primera derivada. Esta obra ha sido licenciada con Creative Commons Ecuador 3.0 de Reconocimiento - No comercial - Compartir igual (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/ec/). Escuela de Economía – UTPL Cálculo I Autora: Ing. Ana Lucía Abad Ayavaca La segunda derivada expresa la razón de cambio de la razón de cambio de una función. Para calcular la segunda derivada se utiliza las mismas reglas que para la primera, simplemente cuando ya tenemos la primera derivada la volvemos a derivar y obtenemos la segunda. La segunda derivada se denota como sigue: 2 d y f ' ' ( x ); 2 ; y ' ' dx Para Recordar: Antes de encontrar la segunda derivada simplifique al máximo la primera derivada para que el cálculo de la segunda sea más sencillo. Le recomiendo comenzar con funciones no muy complicadas y luego analice las funciones que se utilizan la regla de la cadena. Fuente: Hoffmann, D., Bradley, L. y Rosen H. (2006): “Cálculo para Administración, Economía y Ciencias Sociales”. Con los conocimientos adquiridos a través de su lectura comprensiva, es momento de analizar el siguiente ejemplo. Esta obra ha sido licenciada con Creative Commons Ecuador 3.0 de Reconocimiento - No comercial - Compartir igual (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/ec/). Escuela de Economía – UTPL Cálculo I Autora: Ing. Ana Lucía Abad Ayavaca Ejemplo 41 Halle la segunda derivada de la función dada. Utilice la notación apropiada y simplifique la respuesta dado. y = (1 − 2 x 3 ) 4 Solución En primer lugar calculamos la primera derivada. Como la función que vamos a derivar es una potencia utilizamos la regla de la cadena para derivar, de la siguiente manera: y ' = 4(1 − 2 x 3 ) 3 (−6 x 2 ) = −24 x 2 (1 − 2 x 3 ) 3 Ahora, para obtener la segunda derivada vamos a derivar la primera, para lo cual aplicamos la regla del producto y luego de la cadena. [ ] y ' ' = −24[(2) x(1 − 2 x ) + x (3)(1 − 2 x ) (−6 x )] y ' ' = −48 x[(1 − 2 x ) + 9 x (1 − 2 x) ] y ' ' = −48 x(1 − 2 x ) [(1 − 2 x ) + 9 x ] y ' ' = −48 x(1 − 2 x ) [1 − 2 x + 9 x ] y ' ' = −48 x(1 − 2 x ) [1 + 7 x ] y ' = −24 x 2 (1 − 2 x 3 ) 3 3 3 3 3 2 3 2 3 2 2 3 2 3 3 2 3 3 2 3 3 3 Derivadas de Orden superior Como usted domina las reglas de derivación podemos avanzar con la derivación de orden superior. Cuando se calcula la derivada de f(x) se obtienen f `(x), si derivamos otra vez f`(x) se obtiene f’’(x)(segunda derivada), si derivamos otra vez f’’(x) se obtiene f’’’(x)(tercera derivada) y así sucesivamente. Regla de la Cadena Estimado estudiante otro de los teoremas importantes dentro del calculo diferencial, es el denominado “regla de la cadena” teorema que nos ayuda a derivar cualquier función. Analice en primer lugar la teoría correspondiente que se encuentra en el capitulo dos sección tres y luego analice los ejemplos. Esta obra ha sido licenciada con Creative Commons Ecuador 3.0 de Reconocimiento - No comercial - Compartir igual (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/ec/). Escuela de Economía – UTPL Cálculo I Autora: Ing. Ana Lucía Abad Ayavaca Señor estudiante es momento oportuno de realizar algunas aplicaciones Ejemplo 42 5 En una cierta fabrica, si C dólares es el costo total de producción de s unidades, entonces C= 1 2 s + 2 s + 1000 4 . Además, si se producen s unidades durante t horas 2 desde que se inició la producción, entonces s = 3t + 50t . Determinar la intensidad de cambio del costo total con respecto a un tiempo de 2 horas después de iniciarse la producción. Solución Se requiere obtener dC/dt cuando t=2. De la regla de la cadena, se tiene dC dC ds = . dt ds dt Derivando separadamente: dC 1 = s+2 ds 2 ds = 6t + 50 dt Sustituyendo estas derivadas en la primera ecuación: dC 1 = s + 2 (6t + 50 ) ds 2 Cuando t=2 entonces s = 3(4) + 50(2) = 112 5 Louis Leithold. (2006):”Cálculo para ciencias Administrativas, Biológicas y Sociales”, Colombia, Edit. Mc Graw-Hill, pag.143. Esta obra ha sido licenciada con Creative Commons Ecuador 3.0 de Reconocimiento - No comercial - Compartir igual (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/ec/). Escuela de Economía – UTPL Cálculo I Autora: Ing. Ana Lucía Abad Ayavaca Por lo tanto cuando t=2, tenemos dC 1 = (112) + 2 (6( 2) + 50 ) = (58)(62) = 3596 ds 2 En consecuencia, 2 horas después de iniciarse la producción el costo total se incrementa a razón de $3596 dólares por hora. Es momento oportuno de ampliar los conocimientos es por ello le sugiero referirse al texto básico y realizar una lectura compresiva de: Análisis marginal y aproximaciones por incrementos: Análisis Marginal. El cálculo se ha convertido en un instrumento importante para resolver algunos problemas que surgen en la Economía. Si para describir una cierta cantidad económica se usa una función f, entonces, se emplea el adjetivo marginal para hacer referencia a la derivada f. En el texto base está claramente desarrollado el marco teórico del análisis marginal y tiene algunos problemas resueltos, le ruego que los analice en forma detenida. Le recuerdo que todos estos conceptos los ha estudiado en la asignatura de Teoría Económica. Las derivadas C, A', R' y P' se llaman función de costo marginal, función de costo medio marginal, función de ingreso marginal y función de utilidad marginal, respectivamente. El número C'(x) es el costo marginal asociado a la producción de x unidades. Si se interpreta la derivada como la tasa de variación o de cambio, se dice entonces que el costo varía con respecto a la cantidad de unidades producidas x a razón de C'(x) unidades monetarias por unidad de producción. Pueden hacerse afirmaciones semejantes para A'(x), R'(x) y P'(x). Esta obra ha sido licenciada con Creative Commons Ecuador 3.0 de Reconocimiento - No comercial - Compartir igual (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/ec/). Escuela de Economía – UTPL Cálculo I Autora: Ing. Ana Lucía Abad Ayavaca Si C es la función de costo y n es un entero positivo, entonces, por la definición de derivada, tenemos: C ( n + h) − C ( n) C ( n + h) − C ( n) ≡ h→0 h h (si h es pequeño) C ' ( n) = lim Cuando la cantidad de n unidades producidas es grande, los economistas suelen tomar h = 1 en la fórmula anterior y estimar el costo marginal por: C’(n) C(n + l) -C(n) En este contexto, el COSTO MARGINAL ASOCIADO A LA PRODUCCIÓN DE N UNIDADES ES (APROXIMADAMENTE) IGUAL AL COSTO DE PRODUCIR UNA UNIDAD MAS. Algunas empresas consideran que el costo C(x) de producir x unidades de un bien de consumo está dado por una fórmula como esta: C(x) = a + bx + dx2 + kx3. En donde: La constante a representa un costo fijo por conceptos como alquiler, electricidad y calefacción, que son independientes del número de unidades producidas. Si el costo de producir una unidad fuera by no hubieran otros factores implícitos, entonces el segundo término bx en la fórmula representaría el costo de producción de x unidades. Cuando x es muy grande, entonces los términos dx2 y kx3 pueden afectan significativamente los costos de producción. Derivaciones de funciones en forma implícita. Para Recordar: Una función esta escrita en forma implícita, cuando su variable dependiente (y) no está despejada Fuente: Hoffmann, D., Bradley, L. y Rosen H. (2006): “Cálculo para Administración, Economía y Ciencias Sociales”. Esta obra ha sido licenciada con Creative Commons Ecuador 3.0 de Reconocimiento - No comercial - Compartir igual (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/ec/). Escuela de Economía – UTPL Cálculo I Autora: Ing. Ana Lucía Abad Ayavaca La Derivación Implícita es una técnica muy sencilla basada en la regla de la cadena que permite calcular la derivada sin necesidad de resolver la ecuación explícitamente para x o para y. En el texto guía en el capitulo dos de la sección seis en los ejercicios resueltos se detalla la manera como resolver este tipo de ejercicios. Para Memorizar: a) Si queremos obtener dy/dx, derivamos término a término con respecto a x, considerando a y como una función de x. b) En cambio, si queremos obtener dx/dy, derivamos término a término con respecto a y, considerando a x como una función de y Fuente: Hoffmann, D., Bradley, L. y Rosen H. (2006): “Cálculo para Administración, Economía y Ciencias Sociales”. Para comprender mejor sobre el cálculo de derivaciones de funciones en forma implícita realizaremos algunos ejercicios Ejemplo 43 Hallar dy si x 5 y − xy 2 + 3 = 0 dx Solución d 5 d d ( x y ) − ( xy 2 ) + (3) = 0 dx dx dx Esta obra ha sido licenciada con Creative Commons Ecuador 3.0 de Reconocimiento - No comercial - Compartir igual (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/ec/). Escuela de Economía – UTPL Cálculo I Autora: Ing. Ana Lucía Abad Ayavaca 5 d ( y) d ( x 5 ) dy 2 2 d ( x) x dx + y dx − x dx + y dx + 0 = 0 dy 5 d ( y) 4 d ( x) 2 x dx + y 5 x dx − x( 2 y ) dx + y (1) = 0 dy 5 d ( y) 4 2 x dx + 5 x y (1) − 2 xy ) dx + y = 0 dy 5 d ( y) 4 2 x dx + 5 x y (1) − 2 xy ) dx + y = 0 Destruyendo los corchetes y agrupando los términos que contienen dy/dx en un miembro y los independientes en el otro, tenemos que: dy 5 ( x − 2 xy ) = y 2 + 5 x 4 y dx dy y 2 + 5 x 4 y = 5 dx x − 2 xy Ejemplo 44 dx 5 2 Hallar dy si x y − xy + 3 = 0 Solución d 5 d d ( x y ) − ( xy 2 ) + (3) = 0 dy dy dy 5 d ( y) d ( x 5 ) dy 2 d ( x) x + y − x + y2 +0=0 dy dy dy dy 5 4 d ( x) 2 d ( x) x + 5 x y dy − 2 xy − y dx = 0 dx (5 x 4 y − y 2 ) = − x 5 + 2 xy dy dx − (− x 5 + 2 xy) x 5 + 2 xy = = dy − (− y 2 − 5 x 4 y ) y 2 − 5 x 4 y Esta obra ha sido licenciada con Creative Commons Ecuador 3.0 de Reconocimiento - No comercial - Compartir igual (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/ec/). Escuela de Economía – UTPL Cálculo I Autora: Ing. Ana Lucía Abad Ayavaca Cambiamos de signo a la derivada dx/dy, solamente para expresarla igual que a la derivada dy/dx, para poder sacar la siguiente conclusión al comparar estas dos derivadas. dy 1 = dy dx dx Es decir que encontrando la una derivada podemos usar esta relación para encontrar la otra. Ejemplo 45 6 Hallar dy si 5 xy 7 − y 3 = 9 x + 4 y dx Solución Aplicamos el operador derivada en ambos miembros de la igualdad d d (5 xy 7 − y 3 ) = (9 x + 4 y ) dx dx d d 3 d d 5 xy 7 − y = 9x + 4 y dx dx dx dx Utilizando las reglas de la derivada anteriormente descrita (producto, potencia y regla de la cadena) d 7 d d dy y − y7 5x − 3 y 2 y =9+4 5x dx dx dx dx dy dy 7 2 dy 5 x 7 y 6 =9+4 + y (5) − 3 y dx dx dx 35 xy 6 dy dy dy + 5y7 − 3y2 =9+4 dx dx dx Escribimos en el lado izquierdo todos los términos que contengan a la derivada y del lado derecho los que no lo contengan: 6 Castro L.(2009) “Derivadas de funciones Implícitas” [en línea] .Disponible en: http://www.fic.umich.mx/~lcastro/10%20derivadas%20de%20funciones%20implicitas.pdf [consulta 11-10-2009]. Esta obra ha sido licenciada con Creative Commons Ecuador 3.0 de Reconocimiento - No comercial - Compartir igual (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/ec/). Escuela de Economía – UTPL Cálculo I Autora: Ing. Ana Lucía Abad Ayavaca 35 xy 6 dy dy dy − 3y2 −4 = 9 − 5 y7 dx dx dx Factorizando ( dy es decir sacando factor común dx ) dy 35 xy 6 − 3 y 2 − 4 = 9 − 5 y 7 dx Despejando tenemos dy 9 − 5 y7 = dx 35 xy 6 − 3 y 2 − 4 ( ) En economía se utiliza la derivada implícita tanto en la práctica como en la teoría. La principal aplicación es para resolver problemas de TASAS RELACIONADAS O RAPIDEZ DE VARIACION RELACIONADAS, como se las denomina a las derivadas dx/dt y dy/dt, ya que están vinculadas o relacionadas efectivamente por medio de una ecuación. Tal ecuación puede usarse para evaluar una de la derivada cuando se conoce la otra; esto tiene muchas aplicaciones prácticas. Para Recordar: A continuación se dan algunas recomendaciones que le pueden servir de guía para resolver problemas de variación relacionadas, como una manera de complemento al procedimiento que se tiene en el texto base. 1. Leer cuidadosamente el problema varias veces y pensar en los datos y en las cantidades que se desea calcular. 2. Hacer un croquis o esquema apropiado y dar nombre a las variables y a las cantidades desconocidas. 3. Escribir los hechos conocidos expresando las rapideces de variación dadas (datos) y las desconocidas (incógnitas) como derivadas de las variables. 4. Encontrar una ecuación general que relacione las variables 5. Derivar con respecto a t ambos lados de la ecuación del punto 4 para obtener una relación general entre las razones de cambio respecto al tiempo. 6. Sustituir los valores y las derivadas conocidas y despejar la rapidez de cambio desconocida. Fuente: Hoffmann, D., Bradley, L. y Rosen H. (2006): “Cálculo para Administración, Economía y Ciencias Sociales”. Esta obra ha sido licenciada con Creative Commons Ecuador 3.0 de Reconocimiento - No comercial - Compartir igual (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/ec/). Escuela de Economía – UTPL Cálculo I Autora: Ing. Ana Lucía Abad Ayavaca Un error que se comete frecuentemente es usar los valores específicos de las derivadas y las variables demasiado pronto en la resolución. Recuérdese siempre obtener una formula general que correlacione las rapideces de variación para todo tiempo t. Los valores específicos de las variables deben sustituirse solamente en los últimos pasos de la resolución. Vamos a resolver algunos ejercicios de aplicaciones en la economía Ejemplo 46 7 La producción de cierta planta es Q = 0.06 x 2 + 0.14 xy + 0.05 y 2 unidades por día, donde x es el número de horas-trabajador calificado utilizado y y es el número de horas –trabajador no calificado utilizado. Actualmente, se emplean 60 horastrabajador calificado y 300 horas-trabajador no calificado cada día. Utilice el cálculo para estimar el cambio que debe hacerse en el número de horas de trabajo no calificado para compensar un incremento de 1 hora en el trabajo calificado, de manera que la producción se mantenga en su nivel actual Solución El nivel actual de producción es el valor de Q cuando x = 60 y y=300. Es decir Q = 0.06(60) 2 + 0.14(60)(300) + 0.05(300) 2 7 Hoffmann, D., Bradley, L. y Rosen H. (2006): “Cálculo para Administración, Economía y Ciencias Sociales”, Colombia, Edit. Mc Graw-Hill, pag.167 (#36) Esta obra ha sido licenciada con Creative Commons Ecuador 3.0 de Reconocimiento - No comercial - Compartir igual (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/ec/). Escuela de Economía – UTPL Cálculo I Autora: Ing. Ana Lucía Abad Ayavaca Q = 216 + 2520 + 4500 = 7236 unidades Si la producción se debe mantener en este nivel, la relación entre trabajo calificado x y trabajo no calificado y está dado por la ecuación 7236 = 0.06 x 2 + 0.14 xy + 0.05 y 2 Que define y implícitamente como una función de x. El objetivo es calcular el cambio en y que corresponda a un incremento de 1 unidad en x, cuando x y y estén relacionadas por esta ecuación. El cambio provocado en y por un incremento de 1 unidad en x se puede aproximar mediante la derivada dy . Para determinar esta derivada, se utiliza la derivación dx implícita. 0 = 0.06(2) x + 0.14 x − 0.14 x dy d dy + 0.14 y ( x ) + 0.05(3) y dx dx dx dy dy − 0.05(3) y = 0.14 y + 0.06( 2) x dx dx dy ( −0.14 x − 0.15 y ) = 0.14 y + 0.12 x dx dy 0.14 y + 0.12 x = dx ( −0.14 x − 0.15 y ) Ahora se asigna esta derivada cuando x=60 y y=300 dy dx dy dx x =60 y =300 x =60 y =300 = 0.14(300) + 0.12(60) (−0.14(60) − 0.15(300)) = 42 + 7,2 = −0,9 (−8,4 − 45) Esta obra ha sido licenciada con Creative Commons Ecuador 3.0 de Reconocimiento - No comercial - Compartir igual (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/ec/). Escuela de Economía – UTPL Cálculo I Autora: Ing. Ana Lucía Abad Ayavaca Es decir para mantener el nivel actual de producción, el trabajo no calificado se deberá disminuir en aproximadamente 0.9 horas para compensar el incremento de 1 hora de trabajo calificado. Esta obra ha sido licenciada con Creative Commons Ecuador 3.0 de Reconocimiento - No comercial - Compartir igual (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/ec/).