Propagación de Errores - Universidad de Guanajuato

TEMA 4
Propagación de Errores
Dr. Juan Pablo Torres-Papaqui
Departamento de Astronomı́a
Universidad de Guanajuato
DA-UG (México)
papaqui@astro.ugto.mx
División de Ciencias Naturales y Exactas,
Campus Guanajuato, Sede Noria Alta
TEMA 4:
Propagación de Errores
J.P. Torres-Papaqui
Laboratorio de Mecánica
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Propagación de Errores
Medidas indirectas.- Magnitudes que se calculan a partir de los valores
encontrados en las medidas de otras magnitudes.
Conocemos x ± δx , y ± δy ,...
Calculamos z = f (x, y , ...)
¿Cuál es el error de z?
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Propagación de Errores
Propagación de errores.- Conjunto de reglas que permiten asignar un
error a z, conocidas las incertidumbres de x e y ,...
Permiten asignar un error al resultado final.
Indica la importancia relativa de las diferentes medidas directas.
Planificación del experimento.
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Hipótesis de partida
Medidas dependientes.- Hipótesis pesimista. Siempre en la
situación más desfavorable. Conjunto de reglas prácticas.
Medidas independientes.- Errores cuadráticos medios. Fórmula
general de propagación de errores.
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Propagación de Errores
Propagación de errores en sumas y diferencias
Datos iniciales: x ± δx
y ± δy
Sea su suma q = x + y y su diferencia q = x - y
¿Cuál es la incertidumbre, δq?
El error absoluto de la suma y de la diferencia de dos o mas magnitudes es
la suma de los errores absolutos de dichas magnitudes:
q = x ± y ⇒ δq ≈ δx + δy
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Ejemplo:
En un experimento se introducen dos lı́quidos en un matraz y se quiere
hallar la masa total del lı́quido. Se conocen:
M1 = Masa del matraz 1 + contenido = 540 ± 10 g
m1 = Masa del matraz 1 = 72 ± 1 g
M2 = Masa del matraz 2 + contenido = 940 ± 20 g
m2 = Masa del matraz 2 = 97 ± 1 g
La masa de lı́quido será:
M = (M1 − m1 ) + (M2 − m2 ) = 1311 g
Su error:
δM = δM1 + δm1 + δM2 + δm2 = 32 g
El resultado se expresará:
M = 1311 ± 32 g
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Propagación de errores en productos
Datos iniciales: x ± δx = x 1 ±
δx
|x|
y ± δy = y 1 ±
δy
|y |
Sea su producto q = x y
¿Cuál es la incertidumbre, δq?
El error relativo del producto es igual a la suma de los errores relativos:
q = xy ⇒
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δq
δx
δy
≈
+
|q|
|x| |y |
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Propagación de errores en cocientes
Datos iniciales: x ± δx = x(1 ±
Sea su producto q =
δx
|x| )
y ± δy = y (1 ±
δy
|y | )
x
y
¿Cuál es la incertidumbre, δq?
El error relativo del cociente es la suma de los errores relativos:
q=
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x
δq
δx
δy
⇒
≈
+
y
|q|
|x| |y |
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Propagación de Errores
Ejemplo: Para medir la altura de un árbol L, se mide la longitud de su
sombra L1 , la altura de un objeto de referencia L2 , y la longitud de su
sombra L3 . Por semejanza:
L2
L = L1
L3
Realizadas las medidas resultan:
L1 = 200 ± 2 cm, L2 = 100.0 ± 0.4 cm, L3 = 10.3 ± 0.2 cm
Por tanto
L = 200 ·
100
= 2000 cm
10
Su error será
δL
δL1
δL2
δL3
2
0.4
0.2
≈
+
+
=
+
+
|L|
|L1 | |L2 | |L3 |
200 100 10.3
3.4
= (1 + 0.4 + 2) % = 3.4 % → δL =
· 2000 = 68
100
L = 2000 ± 68 cm
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Comparando este método con el binomio: Para ejemplificar la eficacia
de este método con el método estrictamente teórico, calcularemos el
angulo y su respectivo error en el sin(θ ± ∆θ). Del binomio tenemos
∆C .O. C .O ∗ ∆H.
C .O.
±
+
sin(θ ± ∆θ) =
H.
H.
H.2
Sea C.O. = 40 ± 0.2 cm y H. = 80 ± 0.2 cm, sustituyendo tenemos
40
0.2 40 ∗ 0.2
sin(θ ± ∆θ) =
±
+
80
80
(80)2
sin(θ ± ∆θ) = 0.5 ± (0.0025 + 0.00125)
sin(θ ± ∆θ) = 0.5 ± 0.0038
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Comparando este método con el binomio: De este método tenemos
sin(θ ± ∆θ) =
C .O. ± ∆C .O.
= Z ± ∆Z
H. ± ∆H.
∆Z
∆C .O. ∆H.
=
+
|Z |
|C .O.|
|H.|
Sea C.O. = 40 ± 0.2 cm, H. = 80 ± 0.2 cm y Z = C .O./H. = 0.5,
sustituyendo tenemos
∆Z
0.2 0.2
=
+
= 0.005 + 0.0025
0.5
40
80
∆Z = 0.5 ∗ 0.0075 = 0.0038
sin(θ ± ∆θ) = 0.5 ± 0.0038 = Z ± ∆Z
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Error del producto por una constante
Datos iniciales: x ± δx. Sea q = Ax
¿Cuál es la incertidumbre, δq?
Aplicando la regla del producto
δq
δA
δx
δx
≈
+
+
⇒ δq = |A|δx
|q|
|A| |x| |x|
El error absoluto del producto de una constante por una magnitud es igual
al producto de la constante por el error absoluto de la magnitud
δq = |A|δx
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Error de una potencia
Datos iniciales: x ± δx. Sea q = x n = x · x · · · ·x
¿Cuál es la incertidumbre, δq?
Aplicando la regla del producto
δx
δx
δx
δx
δq
≈
+
+····+
= |n|
|q|
|x| |x|
|x|
|x|
El error relativo de una potencia es el producto de la potencia por el error
relativo de la magnitud.
δq
δx
= |n|
q
|x|
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Error en funciones de una variable
Datos iniciales: x ± δx. Sea q = f (x) una función cualquiera.
¿Cuál es la incertidumbre, δq?
Gráficamente
qmax − qmin
δq =
2
Analı́ticamente
df (x)
δx
dx
Si x se mide con un error δx y se utiliza para calcular q = f (x), el error
absoluto de q viene dado por:
δq = f (x + δx) − f (x) =
δq = |
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df (x)
|δx
dx
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Error en funciones de varias variables
Las reglas para el cálculo de errores que hemos visto se pueden deducir de
una fórmula más general que nos permite resolver casos más complicados.
Sean las medidas x,y y con errores δx, y δy usadas para calcular:
q = f (x, y )
Mediante un desarrollo en serie para el caso de varias variables:
f (x + δx, y + δy ) = f (x, y ) +
∂f
∂f
δx +
δy + · · ·
∂x
∂y
Con lo que:
δq = f (x + δx, y + δy ) − f (x, y ) ≈ |
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∂f
∂f
|δx + | |δy
∂x
∂y
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