GEOMETRIA ANALITICA

GEOMETRIA ANALITICA
CUADERNO DE EJERCICIOS
EL MATERIAL QUE SE PRESENTA EN ESTE CUADERNO DE EJERCICIOS
CORRESPONDE AL PROGRAMA VIGENTE DEL CURRICULUM DEL
BACHILLERATO DE LA U.A.E.M.
PRESENTA EJERCICIOS QUE APOYAN EL PROCESO DE ENSEÑANZAAPRENDIZAJE DEL ALUMNO CON UN ENFOQUE POR COMPETENCIAS
DE CADA UNO DE LOS MODULOS DEL PROGRAMA
ROBERTO MERCADO DORANTES
25/10/2011
PROGRAMA
MODULO I
RECTA
MODULOII
CIRCUNFERENCIA
MODULO III
PARÁBOLA
MODULO IV
ELIPSE
MODULO VI
HIPERBOLA
Roberto Mercado Dorantes
Página 2
INDICE
PORTADA
1
PROGRAMA
2
INDICE
3
MODULO I
4-13
MODULO II
14-17
MODULO III
18-23
MODULO IV
24-34
MODULO V
35-42
BIBLIOGRAFIA
43
Roberto Mercado Dorantes
Página 3
MODULO I
OBJETIVO
Calcular ecuaciones de rectas, graficarlas y resolver problemas cuya modelación conduzca a
ecuaciones de rectas.
OBJETIVOS PARTICULARES:
Calcular la ecuación de una recta, dados como datos: dos puntos, pendiente y un punto, el
ángulo de inclinación y un punto.
Obtener la ecuación de una recta, a partir de la pendiente y ordenada al origen.
Identificar la pendiente, la abscisa y la ordenada al origen a partir de la ecuación general
de una recta.
Graficar la recta a partir de su ecuación general.
Reconocer que toda ecuación de primer grado se representa como una recta y
recíprocamente.
Resolver problemas que involucren el concepto de distancia de un punto a una recta
Evidencias de aprendizaje
1. Obtén las coordenadas de los siguientes puntos mostrados en el plano cartesiano
A(
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), B (
), C (
), D (
), E (
)
Página 4
2. Calcula el perímetro del siguiente polígono que se muestra en la figura
P=
3. Determine las coordenadas del P( x, y ) , que divide al segmento AB cuyos extremos son:
A (1,-1) Y B (10,10) en la razón r
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1
, e indique si es punto de trisección. Grafique
3
Página 5
4. Determine las coordenadas del punto medio de un segmento de recta delimitado por los
puntos A (-5,3) y B (6,1/2). Grafique
5. Señala gráficamente la pendiente m del segmento de recta que se muestra en la figura y
obtén el valor de su ángulo de inclinación
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Página 6
6. Calcula el ángulo interior del triángulo con vértice en el punto A del triángulo formado por
los puntos A (-1,1), B (2,5) y C (4,-3). Grafique
7. Halle la ecuación del conjunto de puntos, tales que el triple de su ordenada disminuida en
seis unidades es igual al cuádruple de su abscisa.
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Página 7
8. Halle la ecuación del conjunto de puntos que equidistan ocho unidades del punto
A( 3,4) . Grafique
9. Grafica en el plano cartesiano las siguientes ecuaciones:
a) x
4
b) y
c
2
x
y
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Página 8
10. Obtenga la ecuación de la recta que contiene al punto P (2,3) y su ángulo de inclinación es
1350 . Grafique
11. Obtenga la ecuación de la recta que pasa por los puntos A (-2,-3) y B (2,5). Grafique
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Página 9
12. Halle la ecuación de la recta que tiene pendiente m=1/3 y su intersección con el eje Y es el
punto (0,-2). Grafique
13. Obtenga la pendiente da cada una de las siguientes rectas:
a)2 x 3 y 10
b) x
y 5
0
0
c)5 x 4 y 15
0
a) m=…………………………….
b) m=…………………………….
c) m=-------------------------
14. Determine la ecuación general de la recta que contiene al origen y es paralela a la recta
2 x 3 y 12
0
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Página 10
15. Halle la ecuación de la recta que pasa por el punto P (-4,3) Y es perpendicular a la recta
x 2y
0
15. Determine el valor de k para que la recta 2kx (k
recta que tiene por ecuación 7 x 10 y 12
2) y 10
0.
16. Determine la distancia del punto P(5,-6) a la recta: 3x
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0, sea perpendicular a la
4y 6
0
Página 11
Evidencias de aprendizaje
1. Escribe la ecuación cuya pendiente es m 3 y su intersección con el eje y
es el punto (0,2). (Utiliza Geogebra para representar su lugar geométrico).
2
y ordenada en el origen
3
igual a 4 (Utiliza Geogebra para representar su lugar geométrico).
2. Escribe la ecuación de la recta de pendiente
3. La siguiente ecuación y 4x 50 representa el sueldo de Luis que trabaja
en una florería, donde y representa el salario semanal de Luis en dólares y
la literal x representa el número de arreglos florales vendidos durante la
primera semana, calcula:
a) El sueldo semanal de Luis cuando no vende ningún arreglo floral
b) Cuando vende 10 arreglos florales
c) Representa utilizando Geogebra la solución de los dos incisos
anteriores.
4. Escribe la ecuación de la recta que pasa por el punto (3,5) y tiene pendiente
m 2 (Utiliza Geogebra para representar su lugar geométrico).
5. Escribe la ecuación de la recta que pasa por el punto P1 (2,3) y tiene un
ángulo de inclinación
450 (Utiliza Geogebra para representar su lugar
geométrico).
6. Escribe la ecuación que pasa por los puntos P1 (3,5) y P2 ( 2,1) . (Utiliza
Geogebra para representar su lugar geométrico).
7. Se espera que el valor de una maquina disminuya con el paso del tiempo de
manera lineal. Do puntos de datos indican que el valor de la maquina en un
año después de la compra será $120,000.00 y su valor después de 6 años
será de $30,000.00. Determina:
a) La ecuación que representa la depreciación de
considerando como valor V, y antigüedad en años t.
b) Interpreta el significado de la pendiente
c) (Utiliza Geogebra para representar su lugar geométrico).
la
máquina,
8. De acuerdo con la Ley de Charles, la presión P (en pascales) de un
volumen de gas se relaciona de forma lineal con la temperatura T (en
grados centígrados). Un experimento dio como resultado que si T=20,
entonces P=40, y que si T=70, entonces P=90.
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(Sugerencia: representa en el eje y la presión y temperatura en el eje x)
a)
b)
c)
d)
¿Cuál es la pendiente de la recta que contiene estos puntos?
Explica el significado de la pendiente en este contexto
Escribe la ecuación de este modelo experimental
Utilizando Geogebra representa el lugar geométrico de la ecuación
obtenida.
9. Escribe la ecuación de la recta en forma simétrica, si sus intersecciones con
los ejes X Y son los puntos A (3,0) y B (0,-2). (Utiliza Geogebra para
representar su lugar geométrico).
10. La grafica que aparece más adelante muestra el comportamiento de un
negocio que renta locales para exposiciones. El dueño cobra x pesos por
metro cuadrado, y el número de espacios y que puede rentar esta
modelado por la ecuación lineal y 200 5x .
a) ¿Cuántos espacios disponibles hay al iniciar el negocio?
b) Escribe el modelo de la ecuación en la forma simétrica
c) ¿Qué significa la intersección de la recta con el eje x
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Página 13
MODULO II
CIRCUNFERENCIA
En este tema se pretende que el alumno desarrolle las
siguientes; competencias:
1. Construir e interpretar modelos auxiliándose de
distintas formas de la ecuación de la circunferencia al
resolver problemas derivados de situaciones reales,
hipotéticas o teóricas.
2. Interpretar tablas, gráficas y expresiones simbólicas relacionadas con diferentes
formas de la ecuación de la circunferencia.
3. Argumentar la pertinencia de utilizar una forma específica de la ecuación de la
circunferencia, dependiendo de la naturaleza de la situación bajo estudio
Conocimientos
Al finalizar este tema, el alumno adquirirá los conocimientos que le permitirán:
1. Reconocer las curvas que se obtienen al realizar cortes a un cono mediante un
plano.
2. Reconocer la circunferencia como lugar geométrico.
3. Identificar los elementos asociados a la circunferencia.
4. Comprender la existencia de una circunferencia específica cuando se conocen
su centro y su radio.
5. Identificar el centro y el radio de una circunferencia con centro en el origen a
partir de su ecuación.
6. Identificar las secciones cónicas resultantes de los cortes a un cono
Habilidades
Al finalizar este tema, el alumno habrá desarrollado las habilidades que le
permitirán:
1. Analizar la forma de secciones cónicas en su entorno.
2. Determinar los elementos mínimos para trazar una circunferencia.
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3. Integrar los elementos necesarios para el trazado de una circunferencia con
centro en el origen en la escritura de su ecuación.
4. Obtener los elementos de una circunferencia a partir de su ecuación.
5. Resolver problemas que implican la determinación o el análisis de la ecuación
de circunferencias con centro en el origen.
6. Reflexionar sobre las características de la circunferencia como lugar
geométrico, con la finalidad de modelar fenómenos o situaciones provenientes de
diversos contextos.
Actitudes y valores
Al estudiar el tema, el alumno:
1. Participará activamente en la realización de ejercicios y en la resolución de
problemas.
2. Aportará puntos de vista personales con apertura y considerará los de otras
personas.
3. Propondrá maneras creativas de resolver problemas matemáticos.
Indicadores de desempeño
Se pretende que el alumno logre:
1. Identificar el tipo de curvas que se forman por medio de los cortes de un plano
en un cono.
2. Realizar las descripciones mínimas necesarias para el trazado de una
circunferencia.
3-Determinar la expresión algebraica de una circunferencia con centro en el origen
a partir de la medida de su radio o de otros datos.
4. Establecer el centro y el radio de una circunferencia con centro en el origen
a partir de su ecuación.
5. Resolver situaciones problemáticas que impliquen determinar la ecuación o la
gráfica de circunferencias con centro en el origen.
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Es el lugar geométrico del conjunto de puntos tales que su
distancia (radio) a un punto fijo (centro) es siempre constante
Dónde:
r= constante (radio)
C=punto fijo (centro)
CP r
Formas de la ecuación de una
circunferencia
a)Ecuación de una circunferencia de
centro en el origen(0,0) y radio r
b)Ecuación de una circunferencia de
centro (h,k) y radio r
c)Ecuación de una circunferencia en
su forma general
x2
( x h) 2
x2
y2
y2
r 2 ;forma canoníca
( y k)2
Dx
Ey
r 2 ;forma ordinaria
F
0 ;forma general
Evidencias de aprendizaje
1. Escribir la ecuación de la circunferencia de centro en el origen y radio 6
(Utilizando Geogebra representa su lugar geométrico).
2. Escribir la ecuación de la circunferencia de centro en el origen y radio 6
3. Determina si el punto (3,-1) pertenece a la circunferencia x 2 y 2 9
R. No es un punto de la circunferencia
4. Escribir la ecuación de la circunferencia de centro en el origen y que pasa
por el punto (2,3). Utiliza Geogebra para trazar su grafica.
R. x 2
y2
13
5. Una laguna de forma circular tiene una superficie de
806m2, toma como origen el centro de la laguna, obtén
la medida de su radio.
R. 16.02
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6. Escribe la ecuación ordinaria de la circunferencia con centro en el punto
(2,1) y radio r=3 (Utiliza Geogebra para trazar su grafica).
( x 2) 2
( y 1) 2
9
7. En la ciudad de México se encuentra un reloj floral, que
tiene una caratula floral de 10 metros de diámetro. Lo
adornan 20 mil plantas de diferentes especies.
Determina:
a) La ecuación ordinaria de la circunferencia
considerando que su centro esta en el punto P (6,2)
( x 6) 2
( y 2) 2
100
8. La glorieta del paseo colon en la ciudad de Toluca
tiene por ecuación en su base
x 2 y 2 24 x 24 y 144 0 ;
Determinar:
a) La ecuación ordinaria
b) Elementos (centro, radio)
9. Escribe la ecuación de la circunferencia con centro en el punto (-1,0) y que
es tangente a la recta 3x 4 y 12 0. (Utiliza Geogebra para trazar su
grafica).
10. Transformar la siguiente ecuación de una circunferencia, a la forma
ordinaria, obtén las coordenadas del centro, la magnitud del radio y
representa su lugar geométrico utilizando Geogebra.
x2
y2
2 x 4 y 20
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0
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MODULO III
PARÁBOLA
En este tema se pretende que el alumno desarrolle las siguientes
competencias:
1. Construir e interpretar modelos sobre la parábola como lugar geométrico al resolver
problemas derivados de situaciones reales, hipotéticas o teóricas.
2. Interpretar tablas, gráficas y expresiones simbólicas en distintas representaciones de la
parábola.
Conocimientos
Al finalizar este tema, el alumno adquirirá los conocimientos que le permitirán:
1. Reconocer a la parábola como lugar geométrico.
2. Identificar los elementos asociados a la parábola.
3. Reconocer la ecuación de parábolas horizontales y verticales con vértice en el origen.
4. Identificar los elementos de una parábola con vértice en el origen a partir de su
ecuación.
Habilidades
Al finalizar este tema, el alumno habrá desarrollado las habilidades que le permitirán:
1. Determinar las condiciones necesarias para trazar una parábola.
2. Integrar los elementos necesarios para el trazado de una parábola con vértice en el
origen y eje focal coincidente con el eje x o y en la escritura de su ecuación
3. Obtener los elementos de una parábola horizontal o vertical con vértice en
el origen a partir de su ecuación.
4. Resolver problemas que implican la determinación o el análisis de la ecuación de
parábolas horizontales o verticales con vértice en el origen.
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Página 18
Actitudes y valores
Al estudiar el tema, el alumno:
1. Participará activamente tanto en la realización de ejercicios como en la resolución de
problemas referentes al lugar geométrico de la parábola.
2. Aportará puntos de vista personales con apertura y considerará los de otras personas.
3. Propondrá maneras creativas de resolver problemas matemáticos.
Indicadores de desempeño
Se pretende que el alumno logre:
1. Reconocer los elementos de la parábola como lugar geométrico.
2. Trazar parábolas por medio de distintos métodos.
3. Determinar la ecuación de una parábola vertical u horizontal con vértice en el origen.
4. Determinar el vértice, el foco y la directriz asociados a una parábola a partir de su
ecuación.
5. Modelar situaciones en las que intervienen parábolas verticales u horizontales con
vértice en el origen.
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Página 19
Formas de la ecuación de una parábola
a)Ecuación de una
parábola con vértice
en el origen y eje
horizontal(forma
canonica)
y 2 4 px ;p distancia
del vértice al foco, si
p>0 la parabola se
abre a la derecha, si
p<0 la parábla se
abre a la izquierda
b) Ecuación de una
x 2 4 py ; p distancia
parábola con vértice del vértice al foco, si
en el origen y eje
p>0 la parabola se
vertical(forma
abre hacia arriba, si
canonica)
p<0 la parábla se
abre hacia abajo.
c)Ecuación de una
( y k ) 2 4 p ( x h)
parábola de vértice ;p distancia del
(h,k) y eje
vértice al foco, si p>0
horizontal(forma
la parabola se abre a
ordinaria)
la derecha, si p<0 la
parábla se abre a la
izquierda
d) Ecuación de una
( x h) 2 4 p ( y k )
parábola de vértice ;p distancia del
(h,k) y eje
vértice al foco, si p>0
vertical(forma
la parabola se abre a
ordinaria)
la derecha, si p<0 la
parábla se abre a la
izquierda
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Ecuación de la directriz es
x=-P,las coordenadas de
su foco son F(p,0) y la
longitud de su lado recto
LR= 4 P
Ecuación de la directriz es
y=-P,las coordenadas de
su foco son F(0,p) y la
longitud de su lado recto
LR= 4 P
Ecuación de su directriz
x=h-p, coordedenadas de
su foco F(h+p,k), longitud
de su lado rectoLR= 4 P
Ecuación de su directriz
y=k-p, coordedenadas de
su foco F(h,k+p), longitud
de su lado rectoLR= 4 P
Página 20
Forma general de la ecuación de la parábola
Una ecuación de segundo grado en las variables x y que carezca del término en xy
puede escribirse en la forma Ax 2 Cy 2 Dx Ey F 0
a) Si A=0.C 0 y D 0, la ecuación representa una parábola cuyo eje es paralelo(o
coincide) el eje X. Si, en cambio, D=0, la ecuación representa dos rectas diferentes
paralelas al eje X, dos rectas coincidentes paralelas al eje X, o ningún lugar
geométrico, según que las raíces de Cy 2 Ey F 0 sean reales y desiguales,
reales e iguales o complejas
b) Si A 0 , C=0 y E 0 , la ecuación representa una parábola cuyo eje es paralelo a (o
coincide con) el eje Y. Si, en cambio, E=0, la ecuación representa dos recta
diferentes paralelas al eje Y, dos rectas coincidentes paralelas al eje Y o ningún
lugar geométrico, según que las raíces de Ax2 Dx F 0 sean reales y
desiguales, reales e iguales o complejas
Evidencias de aprendizaje
1. Escribe la ecuación de la parábola con vertice (0,0) y foco el punto (3,0), obten
ademas el valor de su lado recto y la ecuación de su directriz. (Utilizando Geogebra
representa su lugar geometrico)
Resultado:
y 2 12 x
Ecuación buscada
LR=12
Ecuación de la directriz x=-3
2. Escribe la ecuación de la parábola con vertice (0,0) y el eje vertical, pasa por el punto
(6,3), obten ademas las coordenadas del foco, la ecuación de la directriz y la longitud
de su lado recto. (Utilizando Geogebra representa su lugar geometrico)
Resultado:
Ecuación de la parábola x 2 12 y
Coordenadas del foco F(0,3)
Ecuación de la directriz y=-3
Longitud del ladorecto LR=12
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3. Obtenga la ecuación en forma ordinaria de la parábola con vertice en el punto (-4,3)
y que tiene como foco el punto (-1,3). Obtenga ademas la ecuación de la directriz y la
longitud del lado recto. (Utilizando Geogebra representa su lugar geometrico)
Resultado:
Ecuación de la parábola ( y 3) 2
Ecuación de la directriz x=-7
Longitud del lado recto LR=12
12 ( x 4)
4. Obtenga la forma ordinaria de la ecuación de la parábola cuya ecuación general es
4 y 2 48 x 20 y 71 0
Resultado:
y
5
2
2
12( x 2)
5. Compruebe que la ecuación 4 x 2
48 y 12 x 159
0
representa una parábola.
Hallar todos sus elementos
Resultado
Representa una parábola con eje vertical
x
3
2
2
12 y
7
2
3 1
,
Coordenadas del foco
2 2
13
Ecuación de la directriz y 2
Longitud del lado recto LR=12
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6. Un reflector cuya concavidad es parabólica, tiene un diámetro de 30 cm y mide 20
cm de profundidad, como se aprecia en la figura. Si el filamento del bulbo está en el
foco, ¿a qué distancia del vértice del reflector se encuentra? Sugerencia: Si haces un
bosquejo de la figura en las coordenadas cartesianas, observa que tienes el punto
(20,15).
7. El puente Golden Gate, en San Francisco, California, es un puente de suspensión cuya
forma es aproximada a una parábola. Los cables del tramo principal se suspenden
entre dos torres que se encuentran separadas 1 280 metros y cuyo borde superior se
ubica a 150 metros por arriba de la autopista. El cable se extiende 3 metros arriba del
punto medio de la autopista entre las dos torres. Encuentra una ecuación que
represente la forma del cable. Observa la figura.
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Página 23
Módulo IV Elipse
La elipse es el lugar geométrico de todos los puntos de un
plano, tales que la suma de las distancias a otros dos puntos
fijos llamados focos es una constante positiva.
E l e me ntos de la e l i ps e
Foc os
S o n lo s p un t o s f ijos F y F' .
E je foc a l
E s la re cta qu e pasa p o r lo s f o co s.
E je s e c unda ri o
E s la m e d iat riz d e l se gm e nt o FF'.
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Ce ntro
E s e l pu n to de in terse cció n de lo s e jes.
Ra di os ve c tore s
S o n lo s se gme n tos qu e va n de sde un pu n to de la e lipse a
lo s f o co s: P F y P F' .
Di s ta nc i a foc a l
E s e l se gm en t o
de lo n git u d 2c , c e s e l va lo r d e la
s e m i dis ta nc ia foca l .
V é rti c es
S o n lo s pu n to s d e in t e rse cció n d e la e lip se con lo s eje s:
A , A ', B y B '.
E je ma yor
E s e l se gm e nt o
d e lon git u d 2a , a e s e l va lo r d el
s e m i e je ma yor .
E je me nor
E s e l se gm en t o
d e lon git u d 2 b, b e s e l va lo r d el
s e m i e je me nor .
E je s de si me trí a
S o n la s re ct a s qu e co n t ien e n a l e je m a yo r o a l e je m en o r.
Roberto Mercado Dorantes
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Ce ntro de s i me tría
Co in cid e con e l ce n t ro d e la e lip se, qu e e s e l pu n to de
in t e rse cció n d e lo s e je s de sime t ría .
Re l a c i ón e ntre la di s ta nc i a foc a l y l os s emi e je s
Excentricidad de la elipse
L a e xc e ntri ci da d e s u n n úm e ro qu e m ide e l ma yo r o m e no r
a ch a ta m ie n to de la e lip se . Y e s igu a l a l co cien t e e n t re su
se m id ista n cia f o cal y su se m ie je m a yo r.
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Página 26
Roberto Mercado Dorantes
Página 27
En este tema se pretende que el alumno desarrolle las siguientes competencias:
a) Construir e interpretar modelos sobre la elipse como lugar geométrico al
resolver problemas derivados de situaciones reales, hipotéticas o teóricas.
b) Interpretar tablas, gráficas y expresiones simbólicas
representaciones de la elipse con centro en el origen.
como
distintas
Conocimientos
Al finalizar este tema, el alumno adquirirá los conocimientos que le permitirán:
a) Caracterizar la elipse como lugar geométrico.
b) Identificar los elementos asociados a la elipse.
c) Reconocer la ecuación ordinaria de elipses horizontales o verticales con centro
en el origen y con ejes sobre los ejes cartesianos.
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Página 28
d) Identificar los elementos de una elipse con centro en el origen y con ejes sobre
los ejes cartesianos, a partir de su ecuación ordinaria.
Habilidades
Al finalizar este tema, el alumno habrá desarrollado las habilidades que le
permitirán:
a) Determinar las condiciones necesarias para trazar una elipse con la ayuda de
hilo, regla y compás.
b) Integrar en un plano cartesiano los elementos necesarios para trazar una elipse
con centro en el origen y con eje focal sobre algún eje coordenado, y conocer su
efecto en la conformación de su ecuación.
c) Obtener los elementos de elipses horizontales o verticales con centro en el
origen y con eje focal sobre alguno de los ejes coordenados a partir de su
ecuación.
d) Resolver problemas que implican la determinación o el
análisis de la ecuación de elipses con centro en el origen.
Actitudes y valores
Al estudiar el tema, el alumno:
a) Participará activamente tanto en la realización de ejercicios como en la
resolución de problemas referentes a la elipse.
b) Aportará puntos de vista personales con apertura y considerará los de otras
personas.
c) Propondrá maneras creativas de resolver problemas matemáticos.
Indicadores de desempeño
Se pretende que el alumno logre:
a) Reconocer los elementos de la elipse como lugar geométrico.
b) Trazar elipses por medio de distintos métodos.
c) Determinar la ecuación de elipses verticales u horizontales con centro en el
origen y con ejes coincidentes con los ejes coordenados.
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d) Determinar los elementos asociados a una elipse a partir de su ecuación.
e) Modelar situaciones en las que intervienen elipses verticales u horizontales con
centro en el origen y con ejes coincidentes con los ejes coordenados
ECUACIÓN DE LA ELIPSE CON CENTRO EN EL ORIGEN Y EJE FOCAL SOBRE EL EJE X
Ecuación
Vértices
x2
a2
V (a, o), V ' ( a, o)
y2
b2
1
Longitud del
eje mayor
2a
Longitud del
eje menor
2b
Focos
F(c,0), F´(-c,0)
ECUACIÓN DE LA ELIPSE CON CENTRO EN EL ORIGEN Y EJE FOCAL SOBRE EL EJE Y
x2
b2
y2
a2
1
V (0, a ), V ' (0, a )
2a
2b
F(0,c),F’(0,-c)
Elipse Horizontal
Elipse Vertical
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Página 30
Evidencias de aprendizaje
1. Escribe la ecuación de la elipse en forma canónica que tiene como vértices
y focos los siguientes puntos: V (6,0), V´ (0,-3), F (4,0) y F (-4,0), representa
su lugar geométrico utilizando Geogebra.
Respuesta:
Ecuación en su forma canónica
x2
36
y2
20
1:
2. Escribe la ecuación de la elipse en forma canónica que tiene como focos
2
los siguientes puntos: F (0,3), F´ (0,-3) y su excentricidad es representa
3
su lugar geométrico utilizando Geogebra.
Respuesta:
Ecuación en su forma canónica
x2
9
2
y2
2
45
2
1
2
3. Escribe la ecuación de la elipse en su forma ordinaria que tiene como
focos los siguientes puntos: F (-4,-6), F (-4,-2) y vértices V´ (-4,-8), V (-4,0).
representa su lugar geométrico utilizando Geogebra.
Respuesta:
Ecuación en su forma ordinaria
Roberto Mercado Dorantes
( x 4) 2
12
( y 4) 2
16
1
Página 31
4. Escribe la ecuación de la elipse en su forma ordinaria con centro en C(-9,3)
foco y vértice en F (-6,3),y vértices V (-4,3),obtén además su dominio y
rango, representa su lugar geométrico utilizando Geogebra.
Respuesta:
Ecuación de la elipse en su forma ordinaria
Dominio x
Rango y
( x 9) 2
25
( y 3) 2
16
1
14 , 4
1,7
5. El centro de una elipse es el punto (-2,-1) y uno de sus vértices es el punto
(3,-1). Si la longitud de cada lado recto es 4, escribe la ecuación de la elipse
en su forma ordinaria, su excentricidad y las coordenadas de sus focos.
representa su lugar geométrico utilizando Geogebra.
Respuesta:
Ecuación de la elipse en su forma ordinaria
c
15
a
5
Coordenadas de los focos F ( 2
( x 2) 2
25
( y 1) 2
10
1
Excentricidad e
6. La
9x 2
15 , 1) y F ´ ( 2
15 , 1)
forma
general
de
la
ecuación
de
una
elipse
es:
2
4 y 18 x 12 y 18 0 .Redúzcala a su forma ordinaria; determine
centro, focos, longitud de los ejes mayor y menor, lado recto y su
excentricidad. representa su lugar geométrico utilizando Geogebra.
Respuesta:
( x 1) 2
Ecuación de la elipse en su forma ordinaria
4
Centro C(-1,3/2)
3
3
Focos F ( 1,
5 ) y F ´( 1,
5)
2
2
3
3
Vértices V ( 1,
3) y V ( 3
)
2
2
Longitud del eje mayor LR=6
Roberto Mercado Dorantes
3 2
)
2
(y
9
1
Página 32
Longitud del eje menor Lm=4
5
Excentricidad e
3
7. La órbita de la tierra es una elipse en uno de cuyos focos está el sol,
sabiendo que el semieje mayor de la elipse es 148.5 millones de kilómetros
y qué la excentricidad vale 0,017, hallar la máxima y la mínima distancia de
la tierra al sol.
Respuesta:
Máxima distancia 152 millones de kilómetros
Mínima distancia 146 millones de kilómetros
Roberto Mercado Dorantes
Página 33
Modulo V Hipérbola
Se llama hipérbola al lugar
geométrico de los puntos del plano tales que la
diferencia de sus distancias a dos puntos fijos,
llamados focos, es una constante (se representa
por 2a).
La recta que une los dos focos se llama eje real de la hipérbola y la mediatriz se
llama eje imaginario de la hipérbola. El punto donde se cortan ambos ejes (que es
el punto medio de los focos) se llama centro de la hipérbola. Los puntos donde la
hipérbola corta a los ejes se llaman vértices de la hipérbola. Al igual que en la
elipse, se llama distancia focal a la distancia entre los dos focos y a las distancias
desde un punto cualquiera de la hipérbola a ambos focos se les llama radios
vectores del punto.
Sus elementos son:
Vértices: A y A’
Covértices: B y B’
Eje transversal: recta que contiene los focos
Eje conjugado: recta que contiene a los covértices
Centro: intersección de los ejes transversal y conjugado
O
Roberto Mercado Dorantes
Página 34
Roberto Mercado Dorantes
Página 35
Ecuaciones canonícas de la hipérbola
a ) S e llam a e cua ció n can o n íca a la ecu a ció n d e la h ipérb o la cu yo s
e je s co in cide n co n lo s e je s co o rde n ad a s, y, p o r ta n to , e l ce n t ro d e
h ip é rb o la con e l o rige n d e coo rd en a da s. S i e l e je rea l est á en e l e je
d e ab scisa s la s coo rd e na d a s d e lo s f o co s son :
F' (-c , 0 ) y F(c , 0 )
Cu a lqu ie r p u nt o de la h ip é rb o la cump le :
b ) E c uac i ón ca noní c a de e je ve rti c a l de l a hi pé rbol a
F'(0, -c) y F (0, c)
2 a =L o n git ud de l e je t ra n sve rso
2 b =L o n git ud de le je co n ju ga d o
2 c=Dist a n cia én t relo s f o co s
Roberto Mercado Dorantes
Página 36
c2
a2
b2
Fo rm a s d e la e cuació n de la h ip é rb o la d e ce nt ro (h , k)
a ) E je f o ca l pa ra lelo a l e je X
( x h) 2
a2
( y k)2
b2
1
b ) E je f o ca l pa ra lelo a l e je Y
( y k)2
a2
( x h) 2
b2
1
E xce n t ricid a d e
c
a
1
Evidencias de aprendizaje
a ) L o s vé rt ice s d e u n a h ip é rbo la son lo s p u nt o s V (3, 0 ) y V ` (-3 , 0 ) y
su s f o co s so n lo s p u n to s F(5 , 0 ) y F`( -5 , 0 ). De t e rm in a r la e cua ción
d e la h ip é rb o la , las lo n git u d e s d e sus e je s t ra n sve rso y co n ju ga d o ,
su e xce n t ricid a d , la lo n git u d d e ca da la d o re ct o , e l d omin io , ra n go y
co n st ru cción gra f ica u t iliza n d o Ge o ge b ra .
Re s pue s tas :
x2
E c ua ci ón
9
y2
16
1
Longi tud de l e je tra ns ve rs o
LT=6
Longi tud de l e je conjuga do
LC=8
Longi tud de c a da l a do rec to LR=
E x c e ntric i da d e
Dom i ni o x
(
5
3
, 3)
Roberto Mercado Dorantes
32
3
1
(3,
)
Página 37
Ra ngo y
(
,
)
b ) E scrib e la e cu ació n 9 x 2
4y2
todos
con
su s
e leme n t o s,
0 , e n su f o rma ca n on íca y o b tén
36
Ge oge b ra
re p re se n ta
su
lu ga r
ge o m é t rico .
Re s pue s ta:
y2
E c ua ci ón e n s u forma c a noníc a
9
Foc os F(0 , 13 ) y F(0 ,
x2
4
1
13 )
V é r ti c es (0 , 3 ) y V ( 0 , -3 )
E x tr e mos de l e je c onjuga do (2 , 0 ) y ( -2 , 0 )
Longi tud de l e je tra ns ve rs o LT=6
Longi tud de l e je c onjuga do LC=4
Longi tud de c a da l a do rec to LR=
13
3
E x c e ntric i da d e
Dom i ni o x (
Ra ngo y
(
,
, 3)
8
3
1
)
(3,
)
c) O b t en ga la s e cu a cio ne s d e la s asín t o t a s d e la h ipé rb o la cu ya
e cu a ción e s: 4 x 2
25 y 2
100 u t iliza n do G eo ge b ra rep re se n ta su lu ga r
ge o m é t rico .
Re s pue s ta:
E c uac i ones de la s as í ntota s
Roberto Mercado Dorantes
2x 5 y
2x 5 y
0
0
Página 38
d ) L o s vé rt ice s de u n a h ipé rb o la e stá n en lo s p un t o s ( -5 , -3 ) y ( -5 , 1 ) y lo s e xt re m os d e l e je con ju gad o e st á n e n ( -7 , -2 ) y ( -3 , -2 ).
O b t en ga la e cu a ció n d e la h ip é rbo la a sí co m o la s e cu acio n e s de la s
a sín t o t a s.
Re s pue s ta:
( y 2) 2 ( x
1
x 2y
E c ua ci one s de l as a sí ntota s
x 2y
E c ua ci ón de la hipé rbol a
5) 2
1
4
1 0
9 0
e) Hallar la ecuación canónica, los focos, los vértices, la excentricidad y las
asíntotas de la hipérbola cuya ecuación es
Solución
Completando el cuadrado en ambas variables
Por tanto, el centro está en
y
Roberto Mercado Dorantes
. El eje de la hipérbola es horizontal,
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Los vértices están en
excentricidad es
, los focos en
y la
. La gráfica se muestra en la figura
f) Hallar la ecuación canónica de la hipérbola con vértices en
asíntotas
trace la gráfica.
y
y
y
y
. Además calcule los focos, la excentricidad y
Solución
Por ser el centro el punto medio de los vértices sus coordenadas son
.
Además, la hipérbola tiene eje transversal vertical y
. Por otro lado, por el
teorema de las asíntotas.
Roberto Mercado Dorantes
Página 40
Por tanto, la ecuación canónica es
El valor de
está dado por
Los focos están en
gráfica se muestra en la figura
Roberto Mercado Dorantes
y
y la excentricidad es
La
Página 41
y si el eje transversal es vertical, las ecuaciones de las asíntotas son
-La tangente en un punto P de una hipérbola es la bisectriz del ángulo formado por
lo segmentos que unen este punto con los focos.
Roberto Mercado Dorantes
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BIBLIOGRAFIA

OCAMPO CONTRERAS, JÓSE, GEOMETRIA ANALITICA, U.A.E.M, MEXICO 2011
 LEHMANN, CHARLES, GEOMETRIA ANALITICA, LIMUSA, MÈXICO, 1982
 JIMENEZ, RENE, MATEMATICAS III, PEARSON, MEXICO, 2011
 VAZQUEZ SANCHEZ, AGUSTIN, GEOMETRIA ANALITICA, PEARSON, MÈXICO, 2007
 OTEYZA.LAM.HERNANDEZ.CARRILLO, GEOMETRIA ANLITICA, PEARSON, MEXICO, 2005
Roberto Mercado Dorantes
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