Ejercicio 1 Supongamos la siguiente relación entre las variables Yi

Ejercicio 1 Supongamos la siguiente relación entre las variables Yi , Xi :
Yi = βXi + ui
donde Xi es una variable no estocástica y ui ∼ N (0, σu2 ). Se definen dos estimadores para el parámetro desconocido β:
Pn
Pn
Yi
Xi Yi
β ∗ = Pni=1
β̂ = Pi=1
n
2
X
i
i=1
i=1 Xi
a) Demuestra que ambos estimadores son insesgados.
b) ¿Cuál de los estimadores elegirı́as? ¿Por qué?
Solución
a) Los dos estimadore propuestos son insesgados:
Pn
Pn
Pn
(βXi + ui )
Yi
∗
i=1
i=1 E(ui )
i=1
Pn
=E
=β+ P
=β
E(β ) = E Pn
n
i=1 Xi
i=1 Xi
i=1 Xi
Pn
Pn
Pn
Xi Yi
Xi (βXi + ui )
X E(u )
i=1
i=1
Pn
Pn i 2 i = β
E(β̂) = E Pn
=E
= β + i=1
2
2
i=1 Xi
i=1 Xi
i=1 Xi
b) Como el ECM del cada uno de los estimadadores es su sesgo al cuadrado
más su varianza y sambemos que el sesgo de cada uno de ellos es cero, entonces
el mejor estimador será el que tenga la varianza más pequeña.
2
V ar(β ∗ ) = E (β ∗ − E(β ∗ )) = E(β ∗ − β)2
Pn
2
Pn
Pn
2
2
ui
E(
E(ui )2
ui )
i=1
i=1
i=1
P
P
P
Pnnσu 2 =
= E
=
n
2 =
2 =
n
n
Xi
X
X
Xi )
(
)
(
)
(
i
i
i=1
i=1
i=1
i=1
2
σu
nX̄ 2
2
V ar(β̂) = E β̂ − E(β̂) = E(β̂ − β)2
Pn
2
Pn
Pn
Pn
2
2
2
Xi2 E(ui )2
Xi2 σu
Xi ui
E(
Xi ui )
i=1
i=1
i=1
P
Pnσu 2
P
P
Pi=1
= E
=
=
=
n
n
2
n
2
n
2 =
2
2
2
2
Xi
Xi
X
X
X
(
(
(
)
)
)
i
i
i
i=1
i=1
i=1
i=1
i=1
1
Ejercicio 2
Sea X1 , X2 , . . . , XT una muestra aleatoria de tamaño T . El momento muestral respecto al origen de orden h-ésimo lo escribimos como
mh =
T
1X h
X
T i=1 i
y el correspondiente momento poblacional, que suponemos finito, para todo h:
µh = E(Xih ) para todo i = 1, . . . , T
Se pide:
a) Demostrar que mh es un estimador consistente de µh .
b) Obtener la distribución asintótica de mh .
Solución
a) mh es un estimador consistente de µh si
lim P {|mh − µh | > } = 0
T →∞
∀ > 0.
Una condición suficiente (no necesaria) para que este resultado se cumpla
es la de que el sesgo y la varianza de mh tiendan a cero conformo T se hace
grande, es decir,
(E(mh ) − µh ) →T →∞ 0 and V ar(mh ) →T →∞ 0
En nuestro caso:
E(mh ) =
T
1X
E(Xih ) = µh (insesgado)
T i=1
2
2
V ar(mh ) = E (mh − E(mh )) = E (mh − µh ) = E(m2h ) − µ2h =
µ2h − µ2h
T
porque
E(m2h ) =
=
=
P
T
E(Xi2h )
Pi=1
T
1
2h
i=1 E(Xi )
T2
T (T −1)µ2h
1
T µ2h +
T2
1
T2
E(Xih )E(Xjh )
P
P
+ i,i6=j E(Xih ) j E(Xjh )
+
PP
i6=j
Ası́ V ar(mh ) →T →∞ 0.
b) Para establecer la distribución asintótica de mh basta recordar el Teorema
Central del Lı́mite: Sea {Xt , t = 0, 1, 2, . . .} una secuencia de variables aleatorias
distribuı́das idéntica e independientemente con media µ y varianza σ 2 ; entonces
la distribución asintótica de la variable
ZT =
X̄ − µ
√
σ/ T
es N (0, 1).
2
En nuestro caso X1h , X2h , . . . , XTh se distribuyen independiente e identicamente con media µh y por el TCL su media mh = X̄ h follows una distribución
normal cuando T → ∞.
Por lo tanto la expresión
mh − µh )
∼ N (0, 1) T → ∞.
ZT = p
(µ2h − µ2h )/T
3