Componentes Principales

Tema 4: Componentes Principales
En el estudio de las limas teniamos
7 variables pero estas cuatro parecen
Tener suficiente información. Podemos
Reducirlo aun más?
Objetivo: Describir p variables con r variables(posiblemente
Diferentes) con r<p con la menor perdida de información posible.
Guión
1. Definición y Cálculo de las componentes
2.¿Número de componentes?
3. Componentes normadas
4. Propiedades de las componentes
(Variabilidad explicada)
5. Interpretación de las componentes
Técnica: Considerar combinaciones lineales de las p variables
Originales y elegir
Las mas informativas (MAYOR VARIANZA)
Que no compartan Información (INCORRELADAS)
Componentes principales: Estas nuevas variables
(Combinaciones lineales de las originales) se denominan
Las componentes principales (C.P) se ordenan de mayor
a menor varianza
VENTAJAS
DIMENSIÓN REDUCIDA: Cuantas menos variables,
el analisis exploratorio, la clasificación, encontrar los
conglomerados es mas sencillo
INCORRELACIÓN: Simplifica el análisis
INTERPRETACIÓN: A menudo las C.P nos informan de
índices
De interes que nos ayudan a entender mejor el fenómeno
considerado
INCONVENIENTE: A Veces no es posible darle
ningún sentido a las C.P!
CALCULO DE LAS COMPONENTES
PRINCIPALES
1. IDEA
 La primera componente (Z1) es la combinacion lineal con
mayor varianza
 La segunda componente (Z2) es la combinacion lineal con
mayor varianza incorrelada con Z1
 La Tercera componente Z3 es la combinacion lineal con
mayor varianza incorrelada con Z1 y Z2
NOTA IMPORTANTE: Hay p C.P pero en la práctica con pocas
explicamos un alto porcentaje de variabilidad
2. Interpretación geométrica
Geometricamente ls C.P puden interpretarse como los ejes del
Elipsoide definidos por los datos
Máxima dispersión
NOTA: Incorreladas= Perpendiculares
Caso extremo
2. Interpretación Analítica
Analíticamente las C.P se representan por los vectores propios de
La matriz de varianzas covarianzas
Sai  i ai
Vector Propio
(Autovector)
(Eigenvector)
Valor Propio
(Autovalor)
(Eigenvalue)
1  2  i   p
Z i  ai , x
a i  1 pero SPSS nos da a i  i
Ejemplo de los Rectangulos
Diagrama de dispersión y
componentes (geométrico)
Componentes analíticamente
Componentes SPSS
PROPIEDADADES DE LAS
COMPONENTES
PRINCIPALES
p
1. s  i
2
zi
s
2.
i 1
2
zi
p
  i
i 1
3 La proporción de varianza explicada por la C.P z h es
s
p
2
zh
s
i 1

2
zi
h
p

i 1
i
4 La covarianza entre z h y la variable original x i
szh , xi  h (ah )i  h (bh )i
4 La correlació n entre z h y la variable original x i
rzh , xi 
h (ah )i
si
COMPONENTES PRINCIPALES
NORMADAS (CPN)
Las componentes principales normadas CPN se obtienen
trabajando con las variables estandarizadas. Es decir trabajamos
con la matriz de correlaciones R y hallamos
Sus valores propios etc
ACPN: Unidades distintas o variables que tienen menor magnitud de manera intrinseca
Ejemplo Longitud de huesos del cuerpo. El fémur y el martillo varían de manera
distinta pero Son igualmente importantes
ACP: Si estudiamos índices económicos y uno fluctua mucho y otro es casi constante,
Al estandarizar obviamos este hecho. La componente principal lo reflejara
Duda: Realicemos ambos analisis y seleccionemos el que nos conduzca
a conclusiones mas informativas
PROPIEDADADES DE LAS
COMPONENTES
PRINCIPALES NORMADAS
1. s
2
ziR
p

R
i
s
2.
i 1
2
ziR

p

i 1
R
i
p
3 La proporción de varianza explicada por la C.P z h es
s
2
zhR
p
s
i 1

2
ziR

R
h
p

i 1
R
i


R
h
p
4 La covarianza entre z h y la variable original x i
sz R , y   ( a )
h
R
h
i
R
h i
4 La correlació n entre z h y la variable original x i
rz R , y   ( a )  (b )
h
i
R
h
R
h i
R
h i
¿CUANTAS COMPONENTES
PRINCIPALES?
Cocodrilos
Gráfico de Codo
INTERPRETACIÓN DE LAS C.P
Ejemplo Escleorosis