F2B-T02-I. Electromagnética-01-Campo eléctrico-Doc 5

Cuestiones y problemas resueltos de Física – 2º Bachillerato
Curso 2013-2014
TEMA 3.- Campo eléctrico
CUESTIONES
21.- a) Una partícula cargada negativamente pasa de un punto A, cuyo potencial es VA, a otro B, cuyo
potencial es VB < VA. Razone si la partícula gana o pierde energía potencial y discuta si el movimiento
de la partícula es espontáneo.
b) Dos cargas, +q1 y q2 = 2q1 están separadas una distancia d. Calcule a qué distancia de q 1 se anula el
campo eléctrico total.
a) La variación de energía potencial que experimenta la partícula depende de su carga y de la diferencia de
potencial entre los puntos A y B:
ΔEp = EpB – EpA = q·VB – q·VA = q·(VB – VA) = q·ΔV
Ahora bien, si la carga es negativa (q < 0) y si V B < VA (ΔV = VB – VA < 0), entonces ΔEp > 0. Por tanto, si la
partícula aumenta su energía potencial, su movimiento NO será espontáneo. Podríamos haber llegado al mis mo resultado sabiendo que las partículas cargadas positivamente se mueven espontáneamente de mayor a
menor potencial, y teniendo en cuenta que el comportamiento de las cargas negativas es opuesto al de las positivas.
b) La única zona en la que puede anularse el campo eléctrico
total es en la zona comprendida entre ambas cargas (ver dibujo a la derecha); de acuerdo con el principio de superposición,
el campo eléctrico total en un punto situado a una distancia x
de q1 será:
⃗ = E⃗1 + E⃗2 = 0 ⇒ E 1 = E 2
E
Igualando los valores de ambos campos, obtenemos:
K
q1
x
2
=K
q2
(d − x)
2
⇒
q1
x
2
=
2 q1
2
(d − x)
⇒ x=
d
= 0´ 41 d
1+ √2
Así pues, el campo eléctrico total se anulará a una distancia igual a 0´41 veces la distancia que hay entre q 1 y
q2.
22.- a) Una carga -q se aleja espontáneamente de otra carga Q que crea un campo eléctrico a su alrededor. ¿Puede deducir a partir de esta información el signo de la carga Q? ¿Aumenta o disminuye el potencial eléctrico conforme nos alejamos de Q? ¿Aumenta o disminuye la energía potencial eléctrica de
la carga -q?
b) Dos cargas, q y -2q, están separadas una distancia d. Calcule a qué distancia de la primera carga, en
el segmento que une a ambas, se anula el potencial eléctrico total.
a) Si una carga negativa (-q) se aleja espontáneamente de otra carga Q es repelida por
ella, de donde deducimos que ambas cargas deberán tener el mismo signo. Así pues, la
carga Q que crea el campo será negativa.
Las líneas de fuerza del campo eléctrico creado por la carga Q se muestran en la figura
de la derecha; el campo y el potencial electrostáticos están relacionados de la manera
Salvador Molina Burgos (salvador@iesleopoldoqueipo.com)
19
Tema 3.- Campo eléctrico
siguiente:
⃗ V
⃗ =− dV =− grad
E
d ⃗r
La relación anterior nos indica que el campo eléctrico está dirigido en el sentido en el que es máxima la disminución del potencial eléctrico; conforme nos alejamos de Q nos estamos moviendo en sentido contrario al
campo eléctrico, por lo que el potencial eléctrico aumentará. Podríamos haber llegado a la misma conclusión
partiendo de la expresión del potencial eléctrico creado por una carga Q a una cierta distancia, r, de ella:
V =K
Q
r
Teniendo en cuenta que la carga Q es negativa, conforme aumenta r aumentará el valor del potencial (que
siempre será negativo).
Por último, al ser espontáneo el movimiento de la carga -q (pues es repelida por la carga Q), podemos afir mar que su energía potencial disminuirá. En efecto, la variación de energía potencial de la carga -q será:
ΔEp = -q·ΔV
Como el potencial aumenta conforme nos alejamos de Q, entonces ΔV > 0; por tanto, ΔEp > 0, esto es, la
energía potencial aumentará.
b) Observar la figura de la derecha; el punto en que se anula el potencial
eléctrico total se encuentra a una distancia x de la carga q. De acuerdo con
el principio de superposición, el potencial eléctrico total generado por
ambas cargas en dicho punto será:
V = V 1 + V2 = K
q
−2q
1
2
d
+K
=0 ⇒ =
⇒x=
x
d−x
x d−x
3
El potencial eléctrico se anula a una distancia de q igual a la tercera parte de la distancia existente entre am bas cargas.
23.- a) Una carga se desplaza en la misma dirección y sentido que un campo eléctrico uniforme, de for ma que su energía potencial aumenta conforme se desplaza. ¿Qué signo tendrá la carga? ¿Será espontáneo su movimiento? ¿Aumenta o disminuye el potencial eléctrico de la carga?
b) ¿Qué relación debe existir entre la carga y la masa de dos partículas idénticas separadas una cierta
distancia para que la fuerza de atracción gravitatoria entre ambas se compense con la fuerza de repulsión electrostática?
G = 6´67·10-11 N·m2·kg-2; K = 9·109 N·m2·kg-2
a) Si la energía potencial eléctrica de la carga aumenta, entonces su movimiento NO será espontáneo, por lo
que la fuerza eléctrica que existe sobre ella irá dirigida en sentido contrario a su movimiento (pues hay que
realizar un trabajo contra el campo para moverla), o lo que es lo mismo, en sentido contrario al campo eléc trico. Así pues, la carga será negativa. Podríamos haber llegado a la misma conclusión sabiendo que la varia ción de energía potencial de la carga se escribe de la manera siguiente:
ΔEp = q·ΔV
Nos dicen que la energía potencial aumenta, por lo que ΔEp > 0; por otra parte, la partícula se mueve en la
misma dirección y sentido que el campo eléctrico, por lo que de acuerdo con la relación entre campo y poDepartamento de Física y Química – IES Leopoldo Queipo (Melilla)
20
Cuestiones y problemas resueltos de Física – 2º Bachillerato
Curso 2013-2014
tencial electrostáticos:
⃗ V
⃗ =− dV =− grad
E
d ⃗r
el potencial electrostático deberá disminuir (ΔV < 0). Finalmente, para que la energía potencial de la carga
aumente, ésta deberá ser negativa.
b) Sea m la masa de cada partícula y q su carga; si ambas
partículas tienen la misma carga (positiva o negativa), entonces
entre ambas existirá una fuerza gravitatoria de atracción y una
fuerza eléctrica de repulsión, de acuerdo con la figura de la
derecha. Como ambas fuerzas son iguales, deberá cumplirse que:
F⃗e + F⃗g = 0 ⇒ Fe = F g
Igualando ambas fuerzas, tendremos:
K
√
q2
m2
q
G
=
G
⇒
=
= 8 ´61· 10−11 C · kg−1
2
2
m
K
r
r
Así pues, para que la fuerza de atracción gravitatoria compense a la fuerza de repulsión eléctrica, la carga de
cada partícula ha de ser 8´61·10-11 veces su masa, o lo que es lo mismo, la masa de cada una deberá ser
1,16·1010 veces mayor que su carga.
24.- a) Si se libera un electrón desde el reposo en un campo eléctrico uniforme, ¿aumenta o disminuye
su potencial eléctrico? ¿Y su energía potencial eléctrica? ¿Qué signo tiene el trabajo necesario para
desplazarlo en el mismo sentido que las líneas del campo?
b) En cierta región del espacio el potencial electrostático es constante. ¿Qué puede decir sobre el cam po electrostático en esa región? ¿Cómo se llama esa región del espacio? ¿Qué trabajo hay que realizar
para desplazar una carga de un punto a otro en dicha región?
a) De acuerdo con la figura de la derecha, si un electrón es liberado dentro
de un campo eléctrico uniforme, la fuerza eléctrica que actúa sobre él
tendrá sentido contrario a dicho campo, por lo que se moverá en sentido
contrario a éste. De acuerdo con la relación entre el campo y el potencial
electrostáticos:
⃗ V
⃗ =− dV =− grad
E
d ⃗r
deducimos que el campo está dirigido en el sentido en que disminuye el potencial eléctrico. Como el electrón
se mueve en sentido contrario al campo, su potencial eléctrico aumentará.
Como el movimiento del electrón es espontáneo, su energía potencial electrostática disminuirá; en efecto, la
variación de energía potencial se calcula de la manera siguiente:
ΔEp = q·ΔV
Conforme el electrón se mueve, el potencial eléctrico aumenta, por lo que será ΔV > 0; por otra parte, su carga es negativa (q < 0), por lo que ΔEp < 0, es decir, la energía potencial del electrón disminuye.
Por último, el trabajo necesario para desplazar al electrón en el mismo sentido que las líneas del campo será
negativo, pues hay que realizarlo en contra del campo eléctrico (movimiento no espontáneo); en efecto, di Salvador Molina Burgos (salvador@iesleopoldoqueipo.com)
21
Tema 3.- Campo eléctrico
cho trabajo se calcula de la manera siguiente:
W = - ΔEp = - q·ΔV
Si el electrón se desplaza en el mismo sentido que el campo eléctrico el potencial disminuye ( ΔV < 0); como
q < 0, entonces será W < 0.
b) De acuerdo con la relación entre el campo y el potencial electrostáticos:
⃗ V
⃗ =− dV =− grad
E
d ⃗r
deducimos que si en una región del espacio el potencial es constante, entonces el campo será nulo en ella.
Esta región será una superficie equipotencial, y el trabajo necesario para desplazar una carga dentro de ella se
calcula de la manera siguiente:
W = - ΔEp = - q·ΔV
Como el potencial es constante, entonces ΔV = 0, por lo que no habrá que realizar trabajo para desplazar dicha carga.
25.- a) En una determinada región del espacio en la que existe un campo eléctrico uniforme se suelta
un protón en el punto A, de modo que en el punto B, situado a 20 cm a la derecha de A, el protón tiene
una velocidad de 1´2·103 m·s-1. Explique razonadamente qué punto de los señalados en el enunciado
tendrá un mayor potencial eléctrico, así como el sentido del campo eléctrico.
b) Comente la siguiente frase indicando si le parece correcta o incorrecta: “El campo eléctrico en una
determinada superficie es cero, por lo que también será cero el potencial en la misma”.
a) La carga del protón es positiva; si se mueve espontáneamente de A a B
(pues aumenta su velocidad) significa que la fuerza eléctrica que se ejerce
sobre él va dirigida en la misma dirección y sentido que el campo eléctrico;
ahora bien, el campo y el potencial electrostáticos están relacionados de la
manera siguiente:
⃗ V
⃗ =− dV =− grad
E
d ⃗r
De donde deducimos que el potencial eléctrico disminuye conforme se mueve el protón, esto es, el potencial
en A será mayor que el potencial en B. Por tanto, el campo eléctrico irá dirigido de A a B.
b) Sabemos que el campo y el potencial electrostáticos están relacionados de la manera siguiente:
⃗ V
⃗ =− dV =− grad
E
d ⃗r
Si el campo eléctrico es cero (no existe) en una determinada superficie, entonces, de acuerdo con la expresión anterior, el potencial eléctrico deberá ser constante en dicha superficie, no necesariamente nulo. Se trata rá, por tanto, de una superficie equipotencial.
Departamento de Física y Química – IES Leopoldo Queipo (Melilla)
22
Cuestiones y problemas resueltos de Física – 2º Bachillerato
Curso 2013-2014
PROBLEMAS
26.- Una bola metálica de 100 g de masa con una carga
eléctrica de -25 μC cuelga verticalmente de un hilo sujeto al
techo. Cuando aplicamos un campo eléctrico uniforme y
horizontal de módulo 2·105 N·C-1 y sentido como se indica en la
figura, la bola se desvía de la vertical hasta conseguir una
nueva posición de equilibrio.
a) ¿Cuál de las dos posiciones representadas en la línea de
puntos de la figura será la de equilibrio? Determinar el
ángulo que formará en dicha posición el hilo con la
vertical.
b) Si se duplicaran la intensidad del campo eléctrico y la masa de la bola, calcular el nuevo ángulo
de equilibrio.
g = 10 m·s-2
a) La fuerza eléctrica que se ejerce sobre una carga q situada en un campo eléctrico
es:
F⃗e = q ⃗
E
Como la carga de la bola metálica es negativa, entonces la fuerza eléctrica que
existe sobre ella tendrá sentido contrario al campo eléctrico, de modo que se
desviará hacia la izquierda hasta que alcance la posición de equilibrio (ver figura a
la derecha). En dicha posición, la fuerza neta o resultante existente sobre la bola deberá ser nula:
∑ ⃗F = 0 ⇒
Eje X: Tx = Fe ⇒ T sen α = qE
Dividiendo miembro a miembro:
Eje Y: Ty = P ⇒ T cos α = mg
tg α =
qE
qE
25 ·10−6 · 2 ·105
⇒ α = arctg
= arctg
= 78´69º
mg
mg
0 ´1 ·10
b) Si se duplican el campo eléctrico (E → 2E) y la masa de la bola (m → 2m), entonces el ángulo de equilibrio no variará, ya que:
tg α =
q· 2E
qE
=
2mg
mg
27.- Dos cargas iguales de +90 nC se encuentran situadas, respectivamente, en los puntos (3, 0) y (-3,
0), estando las coordenadas expresadas en metros.
a) Calcule el campo eléctrico en el punto (0, 4) m.
b) Determine el trabajo necesario para trasladar una carga de -1 C desde el punto (0, 4) m hasta
el origen de coordenadas. Interprete el signo del resultado obtenido.
K = 9·109 N·m2·C-2
a) Para calcular el campo eléctrico total que ambas cargas crean en el punto (0, 4) aplicamos el principio de
superposición:
⃗ = E⃗1 + E⃗2
E
Salvador Molina Burgos (salvador@iesleopoldoqueipo.com)
23
Tema 3.- Campo eléctrico
estando los campos dirigidos del modo que se indica en la figura de la derecha.
Observar que, al ser las dos cargas iguales, así como las distancias entre éstas y el
punto (0, 4), las componentes E 1x y E1y se anularán entre sí por tener el mismo
valor y sentidos contrarios.
Para hallar las componentes de ambos campos hallamos en primer lugar sus
valores o módulos; el valor del campo creado por q1 en el punto (0, 4) será:
E1 = K
q1
2
r1
= 9 ·10
9
90 ·10−9
−1
= 7 ´ 2 N· C
2
5
Las componentes del campo E1 se calcularán de la manera siguiente:
E1x = E1 · cos α = 7´2 · 3/5 = 4´32 N·C-1
E1y = E1 · sen α = 7´2 · 4/5 = 5´76 N·C-1
En forma vectorial, el campo E1 será:
E⃗1 = 4 ´ 32 ⃗i + 5 ´76 ⃗j N· C−1
El valor del campo creado por q2 en el punto (0, 4) será:
E2 = K
q2
r
2
2
9
= 9 · 10
90·10−9
−1
= 7 ´2 N ·C
2
5
Las componentes del campo E2 se calcularán de la manera siguiente:
E2x = E2 · cos α = 7´2 · 3/5 = 4´32 N·C-1
E2y = E2 · sen α = 7´2 · 4/5 = 5´76 N·C-1
En forma vectorial, el campo E2 será:
E⃗2 = 4 ´32 (−⃗i ) + 5 ´76 ⃗j N· C−1
Así pues, el campo eléctrico total en el punto (0, 4) m se calcula sumando vectorialmente los campos creados
por ambas cargas:
 = E1  E2 = 11 ´ 52 j N · C−1
E
b) El trabajo necesario para trasladar la carga q = - 1 C desde el punto A(0, 4)
hasta el punto B(0, 0) se calcula a partir de la expresión:
W = - ΔEp = - (EpB – EpA) = - q (VB – VA)
Para calcular los potenciales que las cargas q 1 y q2 crean en los puntos A y B
volvemos a aplicar el principio de superposición:
VA = K
−9
−9
q1
q
9 90 ·10
9 90·10
+ K 2 = 9 ·10
+ 9 ·10
= 324 V
r 1A
r 2A
5
5
VB = K
−9
−9
q1
q
9 90·10
9 90· 10
+ K 2 = 9 · 10
+ 9 ·10
= 540 V
r 1B
r 2B
3
3
Departamento de Física y Química – IES Leopoldo Queipo (Melilla)
24
Cuestiones y problemas resueltos de Física – 2º Bachillerato
Curso 2013-2014
Sustituyendo en la expresión del trabajo, nos queda:
W = 1 · (540 – 324) = 216 J
El signo positivo del trabajo nos indica que el movimiento de la carga es espontáneo, lo que corresponde a
cargas negativas que se mueven de menor a mayor potencial electrostático.
28.- En la figura de la derecha se muestran dos placas metálicas de gran superficie, horizontales y pa ralelas, que forman un condensador. Están separadas 5 cm y
tienen cargas iguales, pero de signo contrario. Cuando se coloca
un electrón en el centro, éste permanece en reposo.
a) ¿Cuál es la diferencia de potencial eléctrico entre las
placas?
b) Si las placas se acercan hasta estar separadas una
distancia de 3 cm, ¿hacia qué placa se moverá el
electrón? ¿Con qué aceleración? ¿Con qué velocidad
llegará a ella? Considerar que el electrón continúa en el punto medio entre las placas justo
antes de comenzar a moverse.
e = 1´6·10-19 C; me = 9´1·10-31 kg; g = 10 m·s-2
a) El campo eléctrico existente entre las placas es uniforme, y va dirigido desde la placa cargada positiva mente hacia la cargada negativamente; podemos calcularlo a partir de la relación entre campo y potencial
electrostáticos:
⃗ V
⃗ =− dV =− grad
E
d ⃗r
Si el campo es uniforme, la expresión anterior se transforma en:
E =−
ΔV
r
donde ΔV es la diferencia de potencial entre las placas y r, la distancia entre ambas. Despejando, nos queda:
ΔV = - E·r
Para hallar el valor del campo eléctrico tenemos en cuenta que el electrón
se encuentra en reposo (o en equilibrio), de manera que, de acuerdo con la
figura de la derecha:
mg 9 ´ 1· 10−31 ·10
−11
−1
F⃗g + F⃗e = 0 ⇒ Fe = F g ⇒ qE = mg ⇒ E =
=
= 5´ 69·10
N· C
−19
q
1´ 6 ·10
Sustituyendo en la expresión anterior, nos queda:
ΔV = - E·r = - 5´69·10-11 · 0´05 = - 2´84·10-12 V
b) Si disminuye la distancia entre las placas, entonces aumentará el valor del campo eléctrico:
E =−
Δ V 2 ´84 ·10−12
−11
−1
=
= 9´ 48· 10
V· m
r
0 ´03
Salvador Molina Burgos (salvador@iesleopoldoqueipo.com)
25
Tema 3.- Campo eléctrico
Al aumentar el campo eléctrico, aumentará el valor de la fuerza eléctrica sobre el electrón, de manera que se
moverá hacia la placa positiva con m.r.u.a.; calculamos su aceleración a partir de la 2ª ley de Newton:
Σ⃗
F = m ⃗a ⇒ Fe − Fg = ma ⇒ a =
qE − mg 1 ´ 6· 10−19 · 9 ´48· 10−11 − 9 ´1 ·10−31 · 10
−2
=
= 6 ´67 m ·s
−31
m
9 ´1 ·10
Para calcular la velocidad escribimos las ecuaciones del m.r.u.a. y sustituimos en ellas los datos que conoce mos (teniendo en cuenta que el electrón recorre una distancia de 1´5 cm):
x = v0·t + ½ at2 ⇒ 0´015 = ½ · 6´67 · t2 ⇒ t = 0´067 s
v = v0 + at ⇒ v = 6´67 · t = 6´67 · 0´067 = 0´45 m·s-1
29.- En los puntos (0, 0) m y (10, 0) m se encuentran situadas, respectivamente, las cargas q 1 = -5 μC y
q2 = -10 μC.
a) ¿En qué punto se anula el campo eléctrico?
b) ¿Qué trabajo hay que realizar para trasladar una carga de 1 C desde el punto (5, 0) m hasta el
punto (-5, 0) m? Interprete el signo del resultado obtenido.
K = 9·109 N·m2·C-2
a) De acuerdo con la figura de la derecha, la única zona en la
que puede anularse el campo eléctrico es en un punto intermedio
entre ambas cargas; si éste se encuentra a una distancia x de q 1,
entonces el campo eléctrico total, de acuerdo con el principio de
superposición, será:
⃗ = E⃗1 + E⃗2 = 0 ⇒ E 1 = E 2
E
Escribiendo las expresiones de ambos campos, nos queda:
K
q1
x
2
=K
q2
2
(10 − x )
⇒
5 ·10−6
10 ·10−6
=
2
2 ⇒ x = 4 ´14 m
x
(10 − x)
Así pues, el campo eléctrico se anula en el punto (4´14, 0) m.
b) El trabajo necesario para trasladar la carga q = 1 C desde el punto A(5, 0) hasta el punto B(-5, 0) se calcula
a partir de la expresión:
W = - ΔEp = - (EpB – EpA) = - q (VB – VA)
Para calcular los potenciales que las cargas q1 y q2 crean en los puntos A y B volvemos a aplicar el principio
de superposición:
VA = K
−6
−6
q1
q
9 −5 ·10
9 −10· 10
+ K 2 = 9 ·10
+ 9 ·10
= −27000 V
r 1A
r 2A
5
5
VB = K
−6
−6
q1
q
9 −5 ·10
9 −10 ·10
+ K 2 = 9 · 10
+ 9· 10
= −18000 V
r 1B
r 2B
5
10
Sustituyendo en la expresión del trabajo, nos queda:
W = -1 · (-18000 + 27000) = -9000 J
Departamento de Física y Química – IES Leopoldo Queipo (Melilla)
26
Cuestiones y problemas resueltos de Física – 2º Bachillerato
Curso 2013-2014
El signo negativo del trabajo nos indica que el movimiento de la carga no es espontáneo, lo que corresponde
a cargas positivas que se mueven de menor a mayor potencial electrostático.
30.- Un positrón (partícula de igual masa que el electrón pero con carga positiva) entra en el interior
6
−1
de un campo eléctrico uniforme E⃗ = 2000 ⃗j N · C−1 con una velocidad v0 = 10 i m · s . ¿Cuánto se
desviará el positrón cuando haya recorrido el primer centímetro en la dirección X?
e = 1´6·10-19 C; me = 9´1·10-31 kg
En el esquema de la figura podemos observar que cuando el
positrón entra en el campo eléctrico actúa sobre él una fuerza
dirigida en el sentido positivo del eje Y, la cual hace que se
curve su trayectoria describiendo una parábola; las ecuaciones
que nos indican las coordenadas (x, y) de la posición del
positrón en cada instante son:
x = v0 · t
y = ½ at 2
donde hemos tenido en cuenta que el ángulo que forma la velocidad inicial con la horizontal es cero. Para
hallar la distancia (vertical) que se desvía el positrón, “y”, debemos averiguar el valor de la aceleración. Para
ello, aplicamos la 2ª ley de Newton:
Σ⃗
F = m ⃗a ⇒ Fe = ma ⇒ a =
qE 1 ´6 · 10−19 · 2000
14
−2
=
= 3 ´52·10 m ·s
−31
m
9 ´1 ·10
El tiempo que tarda el positrón en recorrer 1 cm será:
t=
x
0 ´01
=
= 10−8 s
6
v0
10
Finalmente, la distancia vertical que se desvía el positrón será:
y = ½ · 3´52·1014 · (10-8)2 = 0´018 m
Salvador Molina Burgos (salvador@iesleopoldoqueipo.com)
27