TOPOGRAFÍA 1.2.- Escala. Escalas numéricas, escalas gráficas. Límite de percepción visual y su relación con la escala, situación actual. La escala Se denomina escala numérica, o simplemente escala, al cociente, factor o coeficiente que representa la relación entre la medida que aparece en un plano o mapa, y su verdadera magnitud o medida real. Escala = Dimensión en plano / dimensión en la realidad Siendo la dimensión horizontal entre dos puntos del terreno M-N y de ese mismo segmento representado en un plano m-n. Tendríamos que Escala = (m-n) / (M-N) Dividiendo ambos términos por (m-n), tendríamos que Escala = 1 / [(M-N)/(m-n)] A esta razón, (M-N)/(m-n) se la denomina módulo de la escala. Reciben el nombre de mapas de gran escala o pequeña escala en razón a que el denominador de la escala, o módulo de la escala, sea menor o mayor. Así tenemos mapas de pequeña escala hasta el 1:100.000, de escala mediana hasta 1:10.000 y de gran escala en adelante. Si el módulo de la escala es aún menor, reciben el nombre de planos topográficos y planos técnicos a partir de 1:2.000. Para una mayor y más rápida comprensión del plano, y por otra parte como recurso ante la facilidad de hoy día en el proceso de copias, reducciones y trazado por plotter, se coloca al pie del plano la denominada escala gráfica, la cual no es más que la representación lineal, con medidas y números de referencia de un trazo con una longitud determinada. Escalas gráficas Se admite que la vista humana tiene posibilidad de separación o de percibir hasta 1/4 de milímetro y distinguirla de 1/5 de mm. Esta cantidad de 0'20 mm se denomina límite de percepción visual, estando íntimamente ligado a la escala. En un plano resulta imposible representar magnitudes inferiores al valor del producto del módulo de la escala por 0'20. Sea un plano a escala 1:5.000, tomamos 5.000 x 0'20 = 1.000 mm. , dado que 1.000 mm = 1m ello nos lleva a la consideración de que todos los detalles de dimensión 1m o inferior no tendrían posibilidad de representación gráfica en el plano. Sería inútil tomar estos datos en el terreno debido a la imposibilidad de su representación (evidentemente a esa escala). En caso de precisarse el detalle habría que recurrir al empleo de una escala mayor, bien de todo el plano o de ese detalle específico. En la actualidad con los sistemas informatizados y procedimientos de C.A.D.(dibujos vectoriales), son los propios sistemas los que cambian el factor de escala a la hora de lanzar un plano al plotter, simplifican y eliminan de la representación todo este detalle inferior a 0'20 x módulo de escala, aunque dispongan de los datos, y al utilizar un factor de escala mayor nuevamente aparecerá. Igualmente sucede al utilizar el ZOOM en pantalla. ______________UD.01-234_R01-ESCALA_UNIDADES_ ERRORES_________________ Pág. 5 TOPOGRAFÍA Definiciones y conceptos Medir significa comparar y determinar el número de veces que una unidad o patrón está contenida en el elemento que medimos. Medidas directas son aquellas que se consiguen por la yuxtaposición de un elemento comparador con el objeto a medir. Se deducen por un recuento directo. Su precisión está directamente ligada, en primer lugar, a la apreciación del útil de medida, y en segundo lugar al método usado. Ejemplo: cintas métricas, flexímetros, círculo graduado, etc. Medidas indirectas son aquellas que no se producen por un contacto, al menos tangible, entre el objeto a medir y el útil o instrumento de medida. Se deduce por una relación de semejanza o proporcionalidad: por el ajuste del ocular de un anteojo y la apertura de campo, o por el recuento en una unidad de tiempo de un determinado número de ondas, bien por rebote bien por el tiempo de transmisión. El método usado tiene una gran importancia a la hora de dilucidar la precisión. Ejemplos: estadías, E.D.M., Láser, G.P.S., etc. Precisión es el grado de aproximación de una medida a la realidad o verdadera medida de un elemento. Ésta se alcanza en mayor o menor grado, en primer lugar, por la mayor o menor apreciación del útil o instrumento de medida, y en segundo lugar por el método empleado, repeticiones, series, medias, compensaciones, etc. Se cuantifica por el grado de error. Error es la diferencia entre la medida real, cierta o exacta y la que nos es posible hacer con un útil o instrumento. Exactitud es la corrección de resultados, es decir, que éstos estén exentos de equivocaciones. Equivocación es tomar como valor de una medida uno que no es, tomar o anotar otro distinto. Tolerancia es el valor límite del error o el error máximo admitido al realizar una medición. Metrología La Metrología tiene por objeto el estudio y desarrollo de la normativa de aplicación en el ámbito de la medida, establecer los procesos de disipación de la ambigüedad de las unidades patrón, y la corrección de los útiles e instrumentos que determinarán la medida. En el año 1967 se promulga la Ley de Pesas y Medidas que establece en España el Sistema Internacional de Unidades (SI), creándose la Comisión Nacional de Metrología y Metrotecnia. En 1985 se promulga la Ley de Metrología, ley que determina las unidades legales de medida, su materialización y la obligatoriedad de su utilización, en conformidad con los acuerdos de la Conferencia General de Pesas y Medidas (Sévres). Establece el control metrológico por parte del Estado y crea el Centro Español de Metrología con las siguientes misiones: 'Obtención, conservación, desarrollo y difusión de las unidades básicas de medida y de los patrones primarios de calibración; la aprobación de los modelos y la verificación primitiva de los instrumentos, aparatos, medios y sistemas de medida; la ejecución de los controles metrológicos del Estado y de la CEE; la realización de estudios y análisis de carácter metrológico, así como la ordenación técnica y administrativa de estas actividades, y, en general, el desarrollo de las funciones que las disposiciones legales vigentes atribuyen a la Administración del Estado en el campo de la Metrología'. Pág. 6 ______________UD.01-234_R01-ESCALA_UNIDADES_ ERRORES_________________ TOPOGRAFÍA 1.3.- Unidades de medida en Topografía De acuerdo al marco correspondiente al Sistema Internacional de Unidades tenemos: Unidad SI básica de longitud: metro. Unidad SI suplementaria: radián. Unidad SI derivada, en superficie: m2 Unidad SI derivada, en volumen: m3. Todas ellas con sus múltiplos y submúltiplos. No obstante en topografía de aplicación no oficial es frecuente, de acuerdo a la influencia de la zona, encontrar algún otro tipo de medida (medidas antiguas) tanto para las longitudes como para las superficies y volúmenes, siendo bastante usual el tener que recurrir a tablas de conversión, sobre todo al tratar con costumbres y tradiciones antiguas. Igualmente ocurre para aquellas zonas o países que no están sujetas al SI, lo que implicaría también el realizar las correspondientes conversiones. Unidad de longitud La unidad de longitud, el metro (m), es la longitud del trayecto recorrido en el vacío por la luz durante un tiempo de 1/299.792.458 segundos. En cuanto a los múltiplos y submúltiplos, tenemos de acuerdo al SI: Múltiplos Submúltiplos Factor Prefijo Símbolo Factor Prefijo Símbolo 1018 exa E 10-1 deci d 1015 peta P 10-2 centi c 1012 tera T 10-3 mili m 109 giga G 10-6 micro : 106 mega M 10-9 nano n 103 kilo k 10-12 pico p 102 hecto h 10-15 femto f 101 deca da 10-18 atto a Lo usual en Topografía es tomar los tres inmediatos a la unidad patrón: decámetro, hectómetro, kilómetro, y decímetro, centímetro, milímetro. Los demás no son usuales. Es usual al referirnos a la tolerancia o a la certeza de una medida, el utilizar las siglas ppm, que significan partes por millón, en sentido acumulativo. Así tendremos que al realizar una visual con un aparato que tiene una precisión de ± 5 mm. más 3 ppm. obtendremos una dispersión en la medida de ± 5 mm más 3 mm por cada millón de mm medidos (1 kilómetro). ______________UD.01-234_R01-ESCALA_UNIDADES_ ERRORES_________________ Pág. 7 TOPOGRAFÍA Unidad angular En cuanto a la unidad angular, no es el radián la más usual en la toma de la medida, y aunque sí lo es en el cálculo actual debido fundamentalmente a los procesos de cálculo informatizado y calculadoras, no es así en la toma de datos y lecturas de instrumental, siendo la división en 400 partes de la circunferencia ideada por Porro (centesimal) la más utilizada, sobre todo en nuestro ámbito cercano. Otras división también utilizada es el sistema sexagesimal que divide al ángulo completo o circunferencia en 360 partes llamadas grados, éste a su vez en 60 partes llamadas minutos y el minuto en sesenta segundos. De tal forma que tendríamos que un ángulo completo valdría: 360º 3 360 x 60 = 21.600' 3 360 x 60 x 60 = 1.296.000" Un derivado de este sexagesimal es el sistema decimal o sexagesimal-decimal que consiste en dividir el grado sexagesimal en 100 partes llamadas minutos y éste a su vez en 100 partes llamadas segundos siendo usual en los sistemas de C.A.D. actuales, en las calculadoras portátiles, y en Geodesia. Así tendríamos que el ángulo completo en este sistema valdría: 360º 3 360 x 100 = 360.000 minutos decimales 3 360 x 100 x 100 = 3.600.000 segundos decimales En cuanto a la división de Porro (llamado sistema centesimal), el más actualizado, el grado resultante de dividir el ángulo completo en 400, se divide a su vez en 100 minutos y este en 100 segundos. Actualmente un grado en este sistema centesimal recibe también el nombre de gon, si bien aún no está admitido por la Conferencia Internacional de Pesas y Medidas. Al dividir el ángulo completo, tendríamos: 400g 3 400 x 100 = 40.000m minutos centesimales 3 4.000.000s segundos centesimales 1 gon = [B / 200] radianes Existen otras divisiones angulares como la milesimal, o milésima artillera, que tal como se deduce del nombre se usa entre la frontera de lo militar y lo topográfico. La equivalencia entre las unidades anteriormente expuestas y el radián, sería en cada caso la siguiente: 1 radián es igual a 1.296.000/(2B) = 206.265 " 1 radián es igual a 3.600.000/(2B) =572958 sd 1 radián es igual a 4.000.000/(2B) = 636.620 s Cantidades que utilizaremos al determinar el error angular de estima de los instrumentos. Unidad de superficie y volumen. Tal como señalábamos, en el SI se señala dentro del marco de unidades derivadas, en superficie el m2 y en volumen el m3, aplicándoseles también lo que respecta a múltiplos y submúltiplos. Superficie Pág. 8 Submúltiplos 1 mm2 = 0'000001 m2 = 10-6 m2 1 cm2 = 0'0001 m2 = 10-4 m2 2 2 1 dm = 0'01 m = 10-2 m2 UNIDAD 1 m2 Múltiplos 1 dam2 = 100 m2 1 hm2 = 10.000 m2 = 102 m2 = 104 m2 ______________UD.01-234_R01-ESCALA_UNIDADES_ ERRORES_________________ TOPOGRAFÍA 1 km2 = 1.000.000 m2 = 106 m2 Por la relación directa que tiene la Topografía con la Agrimensura, es usual utilizar denominaciones de unidades superficiales de ámbito agrícola tales como centiárea (ca), área (a) y hectárea (Ha), llamadas medidas agrarias. Su equivalencia en m2 es: 1 ca. 1 a. 1 Ha = = = 1 m2 100 m2 10.000 m2 = 1 dam2 = 1 hm2 Quiero también señalar que al referirnos a estas medidas agrarias, siempre lo haremos en base a su proyección horizontal, y nunca siguiendo las sinuosidades del terreno. En relación a esto que hemos indicado es por lo que la superficie agraria recibe también el nombre de superficie legal. En cuanto a las unidades de volumen, tenemos: Submúltiplos 1 mm3 = 0'000000001 m3 1 cm3 = 0'000001 m3 1 dm3 = 0'001 m3 unidad 1 m3 Múltiplos 1 dam3 = 1000 m3 1 hm3 = 1.000.000 m3 1 km3 = 1.000.000.000 m3 Recibiendo el nombre de volumen de desmonte cuando el volumen de terreno es retirado o excavado, y volumen de terraplén cuando se aporta. 1.3.- Tipos de errores. Concepto de Tolerancia. Distribución de los errores Concepto de error Al inicio del tema, al definir la precisión, indicábamos que ésta se cuantificaba por el mayor o menor grado de error, siendo el error la diferencia entre la medida real, cierta o exacta y la que nos es posible hacer con un útil o instrumento. Y que a medida que el instrumento era más preciso este error tendía a disminuir, distinguiéndolo de la equivocación que como ya decíamos es tomar una cosa por otra distinta. Siendo que cuando el error no supera un valor prefijado este es aceptado, este valor limite recibe el nombre de tolerancia. Por ello tendremos medida exacta o perfecta, la que corresponde a una determinación, a la cual tendemos con nuestra toma de medidas pero cuyo conocimiento es una utopía. Y a la que nos acercaremos con mayor o menor grado de error. En este acercarnos a la medida exacta, analizamos la posibilidad de que se produzcan dos posibles tipos de errores, los sistemáticos y los accidentales o aleatorios. Errores sistemáticos son aquellos que se producen invariablemente a la toma de medida, es una causa permanente, y como tal evitable hoy dia con el control de calidad. Ejemplo una cinta que tiene 2 cm. de mas o ha estirado etc. Errores aleatorios o accidentales, son aquellos que se producen de forma espontánea y sobre ______________UD.01-234_R01-ESCALA_UNIDADES_ ERRORES_________________ Pág. 9 TOPOGRAFÍA los que no se tiene posibilidad de control, aunque sí de reducción. Ejemplo: mirar de forma lateral por un ocular, un cambio de temperatura no controlado, utilizar con más o menos tensión una cinta. Todos ellos con un proceso bien de eliminación en una repetición sucesiva, una media, etc. pueden controlarse si no corregirse. Otra clasificación posible es el error verdadero y error aparente. El error verdadero es la diferencia entre el valor real y nuestra medición, pero como la magnitud real no es posible conocerla, el error verdadero tampoco, y este error será siempre un error aparente. También se puede hablar de error absoluto y error relativo. El error absoluto es la diferencia entre la medida cierta, o que tomamos como cierta y el valor medido, mientras que el error relativo es el cociente entre el error absoluto y el valor real (o que se admite como tal). Éste se expresa en tantos por cientos. Distribución del error Valor más probable, error probable, error medio aritmético y error medio cuadrático. Dado que en una repetición de medidas, éstas tienden a acercarse al valor verdadero, se toma como valor más probable a la media aritmética de las medidas efectuadas. De otra forma también tenemos que para que la suma de errores tienda a anularse, y de acuerdo a la teoría de máximos y mínimos, podemos también definir como valor más probable aquel para el cual la suma de los cuadrados de los errores es mínima. Si se ponen todos los errores de forma ordenada y en valor absoluto, se denomina error más probable al que queda en el centro de la serie. La media de los errores verdaderos o aparentes, es el error medio aritmético. El error medio cuadrático es la raíz cuadrada de la media de los cuadrados de los errores aparentes o verdaderos. Curva de Gauss Al llevar los diferentes resultados de error a una gráfica, se observa que todos ellos vienen a distribuirse según una curva semejante a la conocida como curva de Gauss, también llamada campana de Gauss. El centro de la curva corresponderá al valor cero, y se demuestra que los puntos de inflexión corresponden al error medio cuadrático, denotándose también más frecuencia de puntos que convergen al centro. Definíamos también al inicio que la tolerancia era el error límite admisible, ello se analiza en la campana de Gauss, y si es normal tomar un valor para la tolerancia en el entorno de 2.5 veces el error medio cuadrático, observamos que en la curva ello supone una probabilidad del 1%. Es por ello que calculado el error medio cuadrático de una serie de medidas deben desecharse aquellas cuyo error exceda de 2.5 veces ese error. Curva de Gauss Concepto de error de cierre. Pág. 10 ______________UD.01-234_R01-ESCALA_UNIDADES_ ERRORES_________________ TOPOGRAFÍA Compensación del error. Compensación por mínimos cuadrados Al realizar una medición o una serie de mediciones que convergen, se denomina error de cierre a la diferencia entre el valor final obtenido y el valor verdadero. Si este error se reparte de forma proporcional a los valores de las medidas efectuadas, habremos realizado una compensación de los valores participantes en el resultado final obtenido. Para compensar los valores que definen una medición en la cual se ha determinado un error de cierre, podemos utilizar diferentes modelos matemáticos, unos proporcionales a distancias, otros proporcionales a ángulos, simples medias o divisiones o recurrir a un análisis de máximos y mínimos, realizando una reducción por mínimos cuadrados, ya señalábamos que el valor mas probable de una magnitud medida era aquella que hacia mínima la media de los cuadrados de los errores aparentes. Límite de un plano topográfico. Error lineal y error superficial. Influencia de la curvatura terrestre en Planimetría y Altimetría Dado que la curvatura terrestre influye de forma distinta en los levantamientos planimétricos y altimétricos, su estudio se ha realizado siempre separadamente. No obstante, hoy día, debido fundamentalmente al potente instrumental y los procesos de cálculo informatizado, suelen llevarse conjuntamente la planimetría y la altimetría. Influencia de la curvatura terrestre en la planimetría Analizamos en este caso la diferencia entre la longitud de la tangente y la cuerda de un determinado arco de superficie terrestre. Estas diferencias nos expresarán el error cometido o influencia de la curvatura. En planimetría analizaremos la influencia de la curvatura terrestre en el sentido de los lados del levantamiento, en la superficie del terreno levantado y en su perímetro. Supuesto un arco A-B de círculo máximo de la esfera terrestre, admitiendo además que dicha superficie se levanta tomando como plano de proyección la tangente a su centro y con dirección al centro de la tierra. En la figura, vemos como los puntos A y B se proyectan sobre la tangente en a y b según el sistema de proyección de planos acotados, mientras que la proyección según la vertical al centro de la tierra seria a’ y b’ y por tanto el error cometido sería a’-a y b-b’ Podemos expresar el error que se comete al proyectar un arco de círculo máximo A-B de la siguiente forma: E = (A-B)3/ (12R2) Arco de Meridiano Siendo R = radio de la tierra = 6.370 km. Si tomamos valores, deducimos que por ejemplo para una distancia de 1.000 m cometemos un error de 1 cm. ,expresamos la precisión d/D 0'01/1.000 ó 1/100.000, entendiéndose como mediciones de alta precisión aquellas que corresponden al entorno de 10-5. Este nivel se alcanza en longitudes de ______________UD.01-234_R01-ESCALA_UNIDADES_ ERRORES_________________ Pág. 11 TOPOGRAFÍA Influencia de la curvatura en planimetria. Pág. 12 ______________UD.01-234_R01-ESCALA_UNIDADES_ ERRORES_________________