Optimización Con Restricciones de Igualdad

Optimización Con Restricciones de Igualdad
Departamento de Matemáticas, CSI/ITESM
11 de noviembre de 2009
Índice
15.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.2. El método de los Multiplicadores de Lagrange
15.3. Ejemplo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.4. Ejemplo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.5. Ejemplo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.6. Nota importante . . . . . . . . . . . . . . . .
15.1.
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1
1
3
6
7
8
Introducción
En esta lectura veremos el problema de optimizar una función de valor real sujeta a un conjunto de
restricciones. El método que veremos se debe a Joseph Louis Lagrange (1736-1813) y la prueba de que define
condiciones necesarias para los puntos óptimos aparece en el libro de A. Khuri (1993): Advanced Calculus
with Applications in Statistics (John Wiley and Sons, New York) y la prueba de las condiciones de suficiencia
aparecen en el libro R. P. Gillespie (1954): Partial Differentiation (Oliver and Boyd, Edinburgh). Veremos un
par de ejemplos para clarificar los criterios de máximos y mı́nimos relativos.
15.2.
El método de los Multiplicadores de Lagrange
Suponga que se desea optimizar la función real valuada f (x1 , x2 , . . . , xn ) donde las variables x1 ,x2 ,. . . ,xn
están sujetas a las restricciones de igualdad (m < n):
g1 (x1 , x2 , . . . , xn )
g2 (x1 , x2 , . . . , xn )
= 0
= 0
..
.
gm (x1 , x2 , . . . , xn ) = 0
donde las funciones f ,g1 ,g2 ,. . . ,gm son diferenciables. f debe tener segundas derivadas continuas, mientras que
las gi deben tener primeras derivadas continuas. El primer paso consiste en determinar los puntos crı́ticos o
estacionarios del problema restringido, para ello se forma la función:
F (x, λ) = f (x) +
m
X
j=1
λj gj (x)
Los puntos estacionarios se determinan resolviendo ∇ F = 0:

 
Pm
∂F
∂f
∂x1
j=1 λj
∂x1 +
 .  
..
 ..  
.

 
P
 ∂F   ∂F
 ∂xn   ∂x + m
j=1 λj
  n
∇F = 
 ∂F  = 
 ∂λ1  
g1
 .  
 .  
..
 .  
.
∂F
g
m
∂λm
∂gj
∂x1
∂gj
∂xn






=0





Es decir, los puntos máximos o mı́nimos se encuentran dentro del conjunto de puntos crı́ticos que se obtienen
de resolver el sistema formado por las ecuaciones:
m
X ∂gj
∂f
∂F
=
+
= 0 para i = 1, 2, . . . , n
λj
∂xi
∂xi
∂xi
j=1
y junto con las m ecuaciones dadas por las restricciones:
g1 (x1 , x2 , . . . , xn )
g2 (x1 , x2 , . . . , xn )
= 0
= 0
..
.
gm (x1 , x2 , . . . , xn ) = 0
Este sistema se resuelve para las variables x1 ,x2 ,. . . ,xn y λ1 ,λ2 ,. . . , λm . Ası́ pues el sistema consta de n + m
ecuaciones en n + m incógnitas: El resultado sobre la necesidad dice: Un máximo o mı́nimo al problema
debe satisfacer el sistema de ecuaciones antes planteado. Habiendo ubicado los puntos estacionarios viene el
problema de determinar si son máximos o mı́nimos locales. Para cada punto estacionario xo y para los valores
λ1 ,λ2 ,. . . ,λm correspondientes. Se construye la matriz:


(1)
(1)
(1)
g2
. . . gm
F11 F12 · · · F1n g1

(2) 

 F21 F22 · · · F2n g1(2) g2(2) . . . gm


.. 
..
..
..
..
 ..
..
..
.
.
 .
. 
.
.
.
.

 (1) (2)
(n)
B 1 = HF = 
0
0 ···
0 
g1
. . . g1

 g1

 (1) (2)
(n)
 g2
0
0 ···
0 
g2
. . . g2
 .
.. 
..
..
..
..
..
..

 .
.
.
. 
.
.
.
.
.

(1)
(2)
(n)
gm gm . . . gm
0
0 ···
0
Sea ahora para i = 2, 3, . . . , n − m, Bi la matriz obtenida de B1 eliminando las primeras i − 1 filas y las
primeras i − 1 columnas, y sea ∆i el determinante de Bi . xo es un mı́nimo local si:
siendo m par cuando
∆1 > 0, ∆2 > 0, . . . , ∆n−m > 0
siendo m impar, cuando
∆1 < 0, ∆2 < 0, . . . , ∆n−m < 0
xo es un máximo local si:
siendo n par cuando
∆1 > 0, ∆2 < 0, . . . , (−1)n−m ∆n−m < 0
siendo n impar, cuando
∆1 < 0, ∆2 > 0, . . . , (−1)n−m ∆n−m > 0
2
15.3.
Ejemplo 1
Encuentre los valores óptimos de la función
f (x, y) = x2 + 12xy + 2y 2
sujeto a
4x2 + y 2 = 25
Solución
El número de restricciones es 1, es decir m = 1, y el número de variables de la función objetivo es 2, es decir
n = 2. Debemos escribir cada restricción igualada a 0:
g1 (x, y) = 4 x2 + y 2 − 25
Aquı́
F = x2 + 12xy + 2y 2 + λ(4 x2 + y 2 − 25)
El sistema de ecuaciones es:
Fx = 0 = 2 x + 12 y + 8 λ x
Fy = 0 = 12 y + 4 y + λ y
g1 = 0 = 4 x2 + y 2 − 25
De la primera ecuación despejas y (Observe que no conviene que despeje x o λ pues implica indicar una
división con una expresión que dependerá de una variable y se tendrı́a que considerar por separado el caso
cuando es cero.):
y = −1/6 x − 2/3 λ x
Si sustituimos esto en las ecuaciones 2 y 3 del sistema nos queda:
Fy = 0 = 34/3 x − 3 λ x − 4/3 λ2 x = 0
g = 0 = 145/36 x2 + 2/9 λ x2 + 4/9 λ2 x2 − 25 = 0
Si tomamos la nueva ecuación 1 y la factorizamos queda:
−1/3 x (4 λ + 17) ∗ (λ − 2) = 0
Esto nos origina tres posibles casos:
x = 0, λ = −17/4, y λ = 2
Si sustituimos el caso x = 0 en la segunda nueva ecuación nos queda:
−25 = 0
Es decir, este caso de la primera ecuación es incompatible con la segunda. El caso λ = 2 sustituido en la
segunda ecuación da:
25/4 x2 − 25 = 0
La cual da las soluciones:
x = 2 y x = −2
sustituyendo λ = 2 y estos casos de x dan en y:
y = −3 y y = 3
3
Resumiendo tenemos los puntos:
P
x = −2, y = 3, λ = 2
Q
x = 2, y = −3, λ = 2
El caso λ = −17/4 sustituido en la segunda ecuación da:
100/9 x2 − 25 = 0
La cual da las soluciones:
x = 3/2 y x = −3/2
sustituyendo λ = 2 y estos casos de x dan en y:
y = 4 y y = −4
Resumiendo tenemos los puntos:
R
x = 3/2, y = 4, λ = −17/4
S
x = −3/2, y = −4, λ = −17/4
En nuestro problema n = 2 (número de variables en f ) y m = 1 (número de restricciones), y por tanto debemos
calcular ∆i desde i = 1 hasta i = n − m = 1. Es decir, que en este ejemplo basta calcular ∆1 para cada punto.
La matriz B1 queda:


2 + 8λ
12
8x
4 + 2λ 2 y 
B1 =  12
8x
2y
0
Para el punto P (x = −2, y = 3, λ = 2), B1 queda:


18 12 −16
6  → ∆1 = −5000
B1 (P ) =  12 8
−16 6
0
Como m = 1 es impar, P es mı́nimo local.
Para el punto Q(x = 2, y = −3, λ = 2), B1 queda:


18 12 16
8 −6  → ∆1 = −5000
B1 (Q) =  12
16 −6
0
Como m = 1 es impar, Q es mı́nimo local.
Para el punto R(x = 3/2, y = 4, λ = −17/4), B1 queda:


−32
12 12
B1 (R) =  12 −9/2 8  → ∆1 = 5000
12
8 0
Como n = 2 es par, R es máximo local.
Para el punto S(x = −3/2, y = −4, λ = −17/4), B1 queda:


−32
12 −12
B1 (S) =  12 −9/2 −8  → ∆1 = 5000
−12
−8
0
4
Figura 1: Gráfica de f (x, y) restringida a g = 0 del ejemplo 1
Figura 2: Inicio del problema 1
Como n = 2 es par, S es máximo local. La gráfica en la figura 1 ilustra los puntos crı́ticos de ejemplo 1 sobre
la misma superficie de la función: se puede observar que tales puntos corresponden a los puntos más altos y
más bajos de la superficie restringidos a la elipse.
Repitamos los cálculos utilizando ahora la calculadora TI. En la figura 2 se ilustra el borrado de las variables
utilizadas (x, y, nos faltó incluir a la variable t, que funcionará como λ1 ,como t no tenı́a asignado valor no
tuvimos problema); en la variable f está la función a optimizar; en g está la restricción; y en la variable f b la
función F = f + λ g.
En la figura 3 se obtiene el cálculo de Fx (variables f bx), Fy (variable f by) y el planteamiento del sistema
para determinar los puntos crı́ticos.
En la figura 4 se obtienen las soluciones al sistema y su conversión a una forma más conveniente. En la
matriz representada por p: los valores de x están en la primer columna, los de y en la segunda, y en la tercera
los de t (λ). También aparece el cálculo de la matriz hessiana de F (variable h). Nuevamente, utilizaremos la
variable i para ahorrarnos la escritura de comandos en el cálculo de ∆1 en cada punto crı́tico representado en
cada renglón de p.
Figura 3: Sistema para obtener los puntos crı́ticos del ejemplo 1
5
Figura 4: Puntos crı́ticos y B1 del ejemplo 1
Figura 5: Cálculo de ∆1 en los puntos crı́ticos del ejemplo 1
En la figura 5 se obtienen los determinantes ∆1 para cada uno de los puntos crı́ticos encontrados. Recuerde
que al ser m = 1 (impar): x es mı́nimo local si ∆1 < 0 y siendo n = 2 (par): x es máximo local si ∆1 > 0. Por
tanto, el primero y el segundo renglón de p representan mı́nimos locales, mientras que el cuarto y el quinto
representan máximos locales. Los cálculos coinciden los realizados anteriormente 15.4.
Ejemplo 2
Hagamos un ejemplo con más restricciones utilizando la calculadora.
Encuentre los máximos y los mı́nimos de la función
f (x, y, z) = x2 y + 3 z − 6 y + 3 x
sujeta a las condiciones
g1 (x, y, z) = y − x2 − 1 = 0 y g2 (x, y, z) = x − y + z − 1 = 0
En la figura 6 se preparan los cálculos: se limpian las variables usadas en las expresiones (t1 hará el papel
de λ1 y t2 hará el papel de λ2 ); se captura la función f , las restricciones g1 y g2 ; y el cálculo de las parciales.
En la figura 7 se obtiene la hessiana de F (guardada en h) y la obtención de los puntos crı́ticos y convenientemente codificados en la matriz p. Obervamos que sólo determina tres puntos crı́ticos P (x = 1, y =
Figura 6: Preparación del ejemplo 2
6
Figura 7: Hessiana y puntos crı́ticos del ejemplo 2
Figura 8: ∆1 en los puntos crı́ticos del ejemplo 2
2, z = 2, λ1 = 2, λ2 = −3) (renglón 1 de p), Q(x = 0, y = 1, z = 2, λ1 = 3, λ2 = −3) (renglón 2 de p), y
R(x = −1, y = 2, z = 4, λ1 = 2, λ2 = −3) (renglón 3 de p). Se utilizó Maple para validar este resultado y hubo
concordancia.
Como n = 3 y m = 2, sólo debemos determinar hasta ∆n−m = ∆1 en los puntos crı́ticos. Recordemos que
al ser m par, x es un mı́nimo local si ∆1 > 0. Mientras que al ser n impar, x es un máximo local si ∆1 < 0.
En la figura 8 se obtiene el determinante ∆1 en cada uno de los puntos crı́ticos. Por tanto, P y R son mı́nimos
locales y Q es máximo local 15.5.
Ejemplo 3
Determine los valores máximos y mı́nimos relativos de
f (x, y, z) = 3 + 4 x − x2 − y 2 − 24 z
sujeta a
g(x, y, z) = −6 + x − y − 3 z = 0
En la figura 9 se preparan los cálculos: se limpian las variables usadas en las expresiones (t hará el papel
de λ); se captura la función f , la restricción g; y el cálculo de las parciales.
Figura 9: Preparación del ejemplo 3
7
Figura 10: Hf y segunda submatriz primera de Hf para el ejemplo 3
Figura 11: Obtención del único punto crı́tico y ∆1 y ∆2 en el ejemplo 3
En la figura 10 se obtiene la hessiana de F , también llamada B1 , y se guarda en h. Como en este ejemplo se
debe calcular hasta ∆n−m = ∆2 determinamos la segunda submatriz principal primera de h, también llamada
B2 , y la guardamos en la variable h1.
En la figura 11 se obtiene el único punto crı́tico de F el cual corresponde a P (x = −2, y = 4, z = −4, t = −8).
Al ser sólo uno el punto crı́tico es más conveniente hacer la sustituión directa de las variables en B1 y en B2 .
Note que la sustitución no es necesaria pues ni B1 ni B2 tienen variables. Ası́ que la sustitución las dejará igual.
Los determinantes que se obtienen son ∆1 = −36 y ∆2 = 18. Al ser n impar el criterio indica que el punto P
es un máximo local.
15.6.
Nota importante
Los ejemplos anteriores fueron adecuadamente fabricados de forma tal que los sistemas de ecuaciones para
la obtención de los puntos crı́ticos resultaran relativamente fáciles de resolver. En general, tales sistemas de
ecuaciones resultan imposibles de resolver en forma exacta. Y en tales casos se utiliza un método numérico.
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