Viscosidad

Viscosidad
Objetivo:
Determinar el coeficiente de viscosidad de un líquido mediante el método de
Stokes.
Introducción teórica:
El estudio del movimiento de un cuerpo sólido a través de un fluido puede
parecer bastante complejo debido al turbulento movimiento que pueden adquirir las
capas del fluido adyacentes al sólido. George Stokes estudió y desarrolló una teoría
matemática del movimiento a través de fluidos viscosos. El trabajo de Stokes está
basado en sólidos esféricos que fluyen a través de líquidos, por lo que sólo es aplicable
su resultado a este caso.
Stokes vio que cuando un
tipo fatiga, la cual produce un d
hallada experimentalmente para e
donde η es el coeficiente de viscosidad (Pa·s), característico del fluido y la
dv
temperatura.
es la diferencia de velocidad entre dos puntos separados por una
dz
distancia dz medida perpendicularmente a la dirección del flujo.
En el caso de que tengamos una esfera que cae por un fluido viscoso nos
aparecen tres fuerzas actuando sobre él. Estas fuerzas son el peso del sólido que tira de
él hacía abajo (P), la fuerza resistente que se opone al movimiento (Fr) y el empuje
hidrostático (E). Esta situación viene representada por la figura 1.
figura 1
de donde tenemos:
mg E Fr ma
(2)
Esta fuerza resistente, Fr, depende de la velocidad, es decir, al aumentar la
velocidad por causa de la aceleración, aumenta también esta fuerza resistente, hasta
alcanzar una situación de equilibrio en la cual no hay aceleración. A la velocidad del
cuerpo que cumple dicha situación se la llama velocidad límite (figura 2). De lo que,
una vez alcanzado la situación de equilibrio, la ecuación (2) se rescribe según
mg E Fr
(3)
figura 2
La expresión del empuje hidrostático viene dada por:
4
E
·r 3
(4)
3
donde r es el radio de la bola y ρ es la densidad del líquido. A su vez, la
expresión de la resistencia viscosa es
Fr 6 r v
(5)
donde η es el coeficiente de viscosidad y v es la velocidad de la esfera respecto
al fluido.
A este desarrollo se le denomina ley de Stokes. Pero dicha ley exige que la
velocidad v sea lo suficientemente pequeña como para que el fluir de la esfera sea
estable y las capas del fluido se mantengan laminares. De no ser así las láminas se
desordenan y aparece un fluir turbulento, para el cual no sirve la ley de Stokes. Para
estos casos de flujo turbulento se considera como una buena aproximación la ecuación:
F
CD
2
(6)
2
Aquí “a” es el área de la sección transversal que la bola ofrece al fluido y “CD”
es el coeficiente de arrastre. Este coeficiente puede hallarse mediante:
CD
4 Dg
3
2
lim
1
(7)
v
siendo D el diámetro del tubo, δ la densidad de la bola y ρ la densidad del
líquido. El problema que surge ahora es saber cual de las dos expresiones para la fuerza
resistente es preciso utilizar, es decir, cuando podemos considerar que el flujo es
laminar y cuando turbulento. Esto no es sencillo de determinar, pues dependerá de la
velocidad que tenga la esfera, de la densidad del líquido, del diámetro del tubo por el
que cae. Fue Reinolds quien dio la solución. Podemos considerar la naturaleza del flujo
determinada por el valor del número de Reinolds:
·v· D
R
(8)
donde ρ es la densidad del líquido, η la viscosidad del mismo D el diámetro de
la tubería y v la velocidad entre la esfera y el fluido. Experimentalmente se demuestra
que para R<<2300 el flujo es laminar, y para R>2300 el flujo es turbulento.
Pero para poder aplicar lo anteriormente expuesto no nos podemos conformar
con que el número de Reinolds sea menos que 2300, ya que esto sólo nos indicaría que
tenemos un régimen laminar. La ley de Stokes es más exigente, para poderla aplicar es
necesario que el número de Reinolds sea menos que uno (R<1).
Un dato importante en nuestro estudio es la velocidad límite que adquiere la bola
al cabo de un determinado tiempo atravesando el fluido. Partiendo de las ecuaciones (3)
(4) y (5) podemos determinar esta velocidad límite:
vlím
D
2
g
(9)
18
expresión válida sólo en el caso de que el fluido se a de extensión infinita, por
ello hay que hacer correcciones teniendo en cuenta las limitaciones del recipiente que lo
contenga. Esta corrección, debida a Landemburg, viene dada por:
vlím
1 2' 4
r
·v
(10)
R m
donde “r” es el radio de la bola, “R” el radio del tubo y “v m” la expresión (9).
Desarrollo de la práctica:
El tiempo necesario para llegar a un alto porcentaje de la velocidad límite, para
el montaje experimental de que se dispone, es pequeño. Por ello, consideraremos como
una buena aproximación el que, cuando la bola llegue a la primera marca del cilindro
lleno de líquido, la velocidad de esta será casi la velocidad límite. A partir de ahí se
moverá con velocidad constante (v=v lím ). A partir de las medidas tomadas al dejar caer
un cierto número de bolas por el tubo calcularemos la viscosidad del líquido. Para ello
utilizaremos dos tipos de bolas.
Previo a cualquier medida habrá que determinar la masa de las bolas, así como
su radio. También será preciso conocerle diámetro interno del tubo y la densidad del
líquido viscoso. Para ello será necesaria una báscula de precisión que habrá que pedir al
profesor.
Habrá que determinar el tiempo que tardan 10 bolas del tipo A en recorrer la
distancia entre las dos marcar horizontales del tubo. Con este tiempo y con la distancia
calcularemos la velocidad límite.
Luego se repetirá todo el proceso con las bolas del tipo B.
Debido a que el error humano es superior a la precisión de los cronómetros
utilizados, tomaremos por error instrumental 0’1 segundo.
Resultados:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Presenta en una tabla todos los datos tomados en la práctica, así
como la densidad de las bolas.
Explica cómo has determinado la densidad del líquido. Ten en
cuanta que la temperatura a lo largo de la experiencia puede variar.
Asegúrate de medirla antes y después de la misma.
Argumenta si lo observado durante la experiencia coincide con lo
esperado desde el punto de vista de la ley de Stokes.
Determina, con el error correspondiente, la velocidad límite para
ambos tipos de bolas (A y B).
Calcula que diferencia, en tanto por cierto, hay entre la expresión
(9) y la expresión (10), es decir, teniendo o sin tener en cuenta la
aproximación de Landemburg. Justifica porqué en un tipo de bola es
mayor que en el otro.
Determina el coeficiente de viscosidad del líquido.
Calcula el número de Reinolds y comenta si los cálculos previos
son correctos o no, en función de este número.
Cuestiones:
1)
Comentar brevemente la naturaleza de la viscosidad y cómo depende esta de la
temperatura del fluido.
2)
Por integración de la ecuación diferencial (2), demostrar que la velocidad de
caída de la esfera en el fluido viene dada, en función del tiempo, por
v vlím · 1 e
(11)
con α=18η/δD2 , y donde v lím viene dada por la expresión (9).
3)
A partir de los datos y resultados obtenidos en esta práctica para las bolas más
pequeñas, y utilizando la expresión (11), calcular el tiempo necesario para que las
bolas alcancen un velocidad igual al 95% de la velocidad límite.
4)
A partir de los resultados de la cuestión 3), calcular el desplazamiento de las
bolas pequeñas en el fluido antes de alcanzar una velocidad igual al 95% de la
velocidad límite.