Curso 2001-2002 Propiedades de la fuerza nucleón-nucleón • A cortas distancias es más fuerte que la interacción coulombiana ⇒ interacción fuerte • La energía para separar un nucleón ∼ 5-10 MeV La energía cinética media de los nucleones ⇒ es no relativista ∼ 25 MeV • La energía de enlace por nucleón es prácticamente constante ⇒ es de corto alcance ∼ 1 fm (radio de la partícula α) • La densidad de nucleones es ∼ constante: ∼0.15 nucleones/fm3 ⇒ se satura • Hay núcleos ligados . . . . . . . . . . . . . . . . . . ⇒ es predominantemente atractiva • . . . . . . . . . . . . .pero los nucleones no colapsan ⇒ incluye un término repulsivo a cortas distancias • Parece no depender de la naturaleza de los nucleones (neutrones o protones) ⇒ es independiente de la carga • La fuerza nucleón-nucleón ⇒ depende de los espines de los nucleones • No es una fuerza exclusivamente central ⇒tiene una componente no central o tensorial, que no conserva el momento angular • Problema de dos cuerpos ⇒ mejor fuente de información sobre las fuerzas nucleares Problema de dos cuerpos Estado ligado Estado no ligado p-p No existe Dispersión p-p n-p Deuterón Dispersión n-p n-n No existe No se puede observar directamente Física Nuclear y de Partículas La fuerza entre nucleones 1 Curso 2001-2002 El deuterón: 12 H1 • No tiene estados ligados excitados • Energía de enlace: B = m( 1H ) + m(n) − m( 2 H ) c 2 = 2.225 MeV m( 1H ) = 938.280 MeV m(n) = 939.573 MeV m( 2 H ) = 1875.628 MeV Este valor es congruente con los obtenidos a partir de las reacciones: 1 H + n → 2H + γ γ + 2 H → 1H + n La energía de enlace media por nucleón es de alrededor de 8 MeV ⇒ el deuterón es un núcleo poco ligado • Espín: I=1. Deducido a partir de espectroscopía molecular del deuterio. • Momento dipolar magnético: µ d = 0.8574376(4) µ N µ p + µn = 2.792845 − 1.913042 = 0.879804 µ N La suma de los momentos magnéticos del protón y neutrón casi coincide con la del deuterón ⇒ el deuterón tiene casi simétrica esférica • Momento cuadrupolar eléctrico: Qd = 2.88(2) mbarn El momento cuadrupolar eléctrico del deuterón es muy pequeño en comparación con otros núcleos ⇒ el deuterón tiene casi simétrica esférica ⇒ Por tanto la interacción n-p es casi central Física Nuclear y de Partículas La fuerza entre nucleones 2 Curso 2001-2002 El deuterón con fuerzas centrales !"V0 ; r # R $ Potencial nucleón-nucleón: V (r ) % $ & $ r 'R 0; $ ( r: separación entre el protón y el neutrón R: alcance de la fuerza nuclear • La ecuación de Schrödinger para la función de onda que describe el movimiento relativo del sistema será: µ : masa reducida "2 ! M − ∆ + − = = = ⇒ = ψ µ V r E r M M M ( ) ( ) 0 p n 2 2µ E < 0 (estado ligado) • Para una interacción central, el estado fundamental tiene • l = 0 (estado S ) ! u (r ) r u (r ) = A sin k1r + B cos k1r M ( E + V0 ) k12 = 2 2 d u M " − [V (r ) − E ]u (r ) = 0 ⇒ − k2r k2r dr 2 " 2 u (r ) = Ce + De 2 ME Mε 2 k2 = − 2 = α = 2 " " • simetría esférica: ψ (r ) = Condiciones de contorno : r<R r>R ε= E u (0) = 0 ⇒ B = 0 ⇒ u1 ( r ) = A sin k1r − k2r u (∞) = 0 ⇒ D = 0 ⇒ u2 (r ) = Ce dudr1 dudr2 Condiciones de continuidad : = ⇒ k1 cot ( k1 R ) = − k2 = −α u1 r =R u2 r = R Física Nuclear y de Partículas La fuerza entre nucleones 3 Curso 2001-2002 El deuterón con fuerzas centrales cot(k1 R ) = − E −E k2 =− #− ; ya que E $ V0 k1 V0 + E V0 π π 2 "2 2 k1 R # → V0 R # 2 4M B $ V0 Para R # 2.1 fm → V0 = 35MeV Física Nuclear y de Partículas La fuerza entre nucleones 4 Curso 2001-2002 El deuterón con fuerzas “casi” centrales Espín y paridad: I π = 1+ ! ! ! ! %! ! ! I = sn + s p + l S = sn + s p Posibilidades de valores del spin del sistema n-p: 2 S +1 LI π=(-1)l I=0 I=1 I=2 S=0 par 1 S0 ---1 D2 S=1 impar ---1 P1 ---- par ---3 S1+3D1 3 D2 impar 3 P0 3 P1 3 P2+3F2 Momento dipolar magnético: %! %! %! g sp ! g sn ! sn + sp Si l = 0 µ = µ n + µ p = µ N " " 1 µ = µ N ( g sn + g sp ) = µ n + µ p # µ d 2 La pequeña discrepancia puede ser debida a una mezcla del estado D (l=2) en la función de onda del deuterón ψ = aSψ (l = 0) + aDψ (l = 2) Si l ≠ 0 %! %! %! 1 µ N ! g sn µ N ! g sp µ N ! 1 µN ! µ =µ n +µ p + l= sn + sp + l " " 2 " 2 " %! 1 g sn µ N g sp µ N ! ! 1 g sn µ N g sp µ N ! ! 1 µN ! + − µ= l sn + s p + sn − s p + " " 2 " 2 " 2 " ! ! Pero el valor medio de s n − s p en el estado fundamental (triplete) es ( ) ( ) ( ) nulo %! %%! %! I l 1 µ = ( µn + µ p ) − ( µn + µ p − µ N ) " " 2 Física Nuclear y de Partículas La fuerza entre nucleones 5 Curso 2001-2002 El deuterón con fuerzas “casi” centrales ! %! El valor esperado de µ es su componente en la dirección de I ! ! 1 l⋅I µ = ( µn + µ p ) − µn + µ p − µ N 2 2 I 2 2 2 1 I +l −S = ( µn + µ p ) − µn + µ p − µ N 2 2I 2 I 2 = I ( I + 1) = 2 Para el estado fundamental S 2 = S ( S + 1) = 2 2 2 2 2 l = aS × [0(0 + 1)] + aD × [2(2 + 1)] = 6aD 3 1 µ = ( µ n + µ p ) − µ n + µ p − µ N aD2 2 2 A partir de los datos experimentales aD2 = 0.04 • El deuterón es un estado l=0 (96%) y un estado l=2 (4%) Momento cuadrupolar eléctrico: Si l = 0 Si hay contribución del estado l=2 Q = ∫ψ * (3z 2 − r 2 )ψ dV = r2 r2 Q=0 2 aS a D r 2 10 SD − SD = ∫ r 2 RS (r ) RD (r )r 2 dr DD = ∫ r 2 RD (r ) RD (r )r 2 dr 1 2 2 aD r 20 DD • Las predicciones de la contribución de un 4% del estado D son consistentes con los resultados experimentales • La mezcla de valores de l es evidencia del carácter tensorial de la fuerza nuclear Física Nuclear y de Partículas La fuerza entre nucleones 6 Curso 2001-2002 Dispersión nucleón-nucleón • Dispersión de un haz de neutrones de 1 energía E = M n v 2 por un blanco de 2 hidrógeno • Si b es el parámetro de impacto, el momento angular del neutrón respecto del protón será (notación semiclásica): " = l& Mv El neutrón será dispersado sólo si b ! R (alcance del campo de fuerzas del proton) L = Mvb = l " ⇒ b = l • Para energías bajas E ! 10 MeV ⇒ & " 1.4 fm sólo contribuye l=0 Para energías mayores E ≈ 100MeV ⇒ & ≈ 0.45 fm contribuyen más valores de l • La ecuación de Schrödinger para la función de onda que describe el movimiento relativo del sistema será: µ : masa reducida "2 ! M − ∆ + − = = = ⇒ = ψ µ V r E r M M M ( ) ( ) 0 p n 2 2µ E > 0 (estado no ligado) r > R d 2u M − − = ⇒ V r E u r ( ) ( ) 0 [ ] ME 2 dr 2 " 2 = + = δ u r C k r k ( ) sin( ) 2 2 2 "2 Física Nuclear y de Partículas La fuerza entre nucleones 7 Curso 2001-2002 Dispersión nucleón-nucleón Significado del corrimiento de fase δ • Si V0 → 0 k1 → k2 δ → 0 (partícula libre) Para calcular δ aplicaremos la teoría general de la dispersión eikr ψ = ψ incidente + ψ saliente → e + f (θ ) r →∞ r La onda plana incidente se puede escribir como: ikz ∞ e ikz = ∑ (2l + 1)i l jl (kr ) Pl (cos θ ) l =0 Para l = 0 ⇒ ψ incidente (r ) = D j0 (kr ) sin( kr ) =D kr D ikr = e − e− ikr ) ( 2ikr Física Nuclear y de Partículas La fuerza entre nucleones 8 Curso 2001-2002 Dispersión nucleón-nucleón Por tanto la función de ondas fuera del alcance de las fuerzas nucleares, para l=0, debe ser: u2 (r ) C sin( k2 r + δ 0 ) Ce− iδ 0 eik2r e 2iδ 0 e− ik2r = = − ψ 2 (r ) = r r r r 2i u D eiδ 0 Tomando C = k uincidente '(( ( )((( * '(((dispersa )(((* D ik2r 1 u2 (r ) = e − e − ik2r + e 2iδ 0 − 1 D eik2r 2ik2 2ik2 +( (,(( - ( ) ( ) f (θ ) f (θ ) = 1 1 (e2iδ 0 − 1) = eiδ 0 sin δ 0 k2 2ik2 La corriente de partículas dispersas por unidad de área es 2 jdispersa " * ∂ψ ∂ψ * " D = − ψ= sin 2 δ 0 ψ 2 ∂r ∂r mkr 2mi La corriente de partículas incidente es: jincidente = "k D 2 m La probabilidad dσ de que una partícula incidente sea dispersada en el ángulo sólido dΩ (atravesando la superficie r 2 dΩ ) viene dada por: jdispersa (r 2 d Ω) sin 2 δ 0 = dσ = dΩ jincidente k22 y la sección eficaz diferencial es: dσ sin 2 δ 0 = dΩ k22 La sección eficaz total es la probabilidad de que sea dispersada en dσ sin 2 δ 0 σ =∫ d Ω = 4π cualquier dirección: dΩ k22 Física Nuclear y de Partículas La fuerza entre nucleones 9 Curso 2001-2002 Dispersión nucleón-nucleón El defasaje δ0 lo obtendremos a partir de las condiciones de continuidad entre las funciones de onda dentro y fuera del alcance de las fuerzas nucleares. Si suponemos que la energía del movimiento relativo E $ V0 u1 (n − p ) ≈ u1 (deuteron) k2 cot(k2 R + δ ) = u1′( R) = −α u1 ( R) y por tanto 2 α 2 cos k2 R + sin k2 R k2 α 4π 2 ⇒σ = 2 sin δ 0 = cos k2 R + sin k2 R 2 2 α + k k2 α 2 1+ k2 Expresiones límites: 4π (1 + α R) 2 k2 → 0 2 α 4π σ= 2 R→0 2 k2 + α σ= σ= 4π α2 k2 → 0 R → 0 (1) (2) En el límite de energía nula: k2 → 0 R = 2 fm Mε 938MeV × 2.225MeV (1) ⇒ −1 ⇒ σ teo = 5.1 b = = 0.23 fm α= 2 "2 M eV fm 197. 3 . ( ) La sección eficaz experimental en el límite de energía nula es σ exp = 20.4 b σ teo $ σ exp ⇒ dependencia de la interacción con el espín Física Nuclear y de Partículas La fuerza entre nucleones 10 Curso 2001-2002 Dispersión nucleón-nucleón Física Nuclear y de Partículas La fuerza entre nucleones 11 Curso 2001-2002 Dispersión nucleón-nucleón El sistema nucleón-nucleón puede tener diferentes valores del espín total: 1 = s p 2 S = 1 → M S = −1, 0, +1 estado triplete %! ! ! S = s p + sn ⇒ ⇒ estado singlete 1 s = S = 0 → M S = 0 n 2 3 1 σ = σt + σs 4 4 Por tanto Tomando σ = 20.4 b → σ s = 66.3 b . σ t σ t = 5.1 b El estado fundamental del deuterón tiene S=1, pero no hay estado ligado con S=0 ⇒ La fuerza nuclear debe ser dependiente del espín • Longitud de dispersión sin δ 0 ⇐(signo negativo) k →0 k →0 k ⇒ tiene dimensiones de longitud ⇒ representa la intensidad de la dispersión δ 1 2iδ 0 f (θ ) = (e − 1) # 0 = − a δ 0 →0 k 2ik ⇒ para bajas energías u (r ) = C sin k2 (r − a ) • para el estado triplete ligado: at > 0 lim σ = 4π a 2 → a = − lim • para el estado singlete no ligado: as < 0 • A partir de σ s y σ t at = +6,4 fm as = −23,0 fm Física Nuclear y de Partículas La fuerza entre nucleones 12 Curso 2001-2002 Dispersión de neutrones lentos por H2 • En los experimentos de dispersión n-p no se puede obtener el signo de a sólo su valor absoluto. • Dispersión n-H2 En < 0.01 eV → λn > 0.05 nm ⇒ la onda incidente solapa ambos protones en la molécula H2 ⇒ las ondas dispersadas se combinan coherentemente 2 σ ∝ ψ1 +ψ 2 ⇒ no se excitan estados rotacionales moleculares • La teoría de la dispersión de neutrones por orto- (S=1) y parahidrógeno (S=0) da → vn = 770 m / s 2 + 12.9 ( at − as ) σ para = 5.7 (3at + as )2 σ orto = σ para lo que permite el cálculo de los signos de as y at σ para = 3.2 b as = −23.55 fm → σ para = 108 b at = +5.35 fm • Otros experimentos sensibles a las longitudes de dispersión as y at : • difracción de neutrones por cristales que contienen H • reflexión total de haces de neutrones a pequeños ángulos por materiales ricos en H confirman los valores anteriores ⇒ La fuerza nuclear depende del spin: • la interacción n-p en estado triplete proporciona un estado ligado y • la interacción n-p en estado singlete proporciona un estado no ligado Física Nuclear y de Partículas La fuerza entre nucleones 13 Curso 2001-2002 Propiedades de la fuerza nuclear • En primer orden de aproximación, se puede interpretar mediante un potencial central atractivo: Vc (r ) • Depende fuertemente del espín: ⇒ Vspin ! ! = V (r , s1 , s 2 ) ! ! • Pero … la fuerza nuclear es invariante respecto paridad (r → −r ) e inversión de tiempo (t → −t ) ! ! ⇒ Vspin = Vs (r ) ( s1 / s 2 ) ! ! 1 s1 / s 2 = [S ( S + 1) − s1 ( s1 + 1) − s2 ( s2 + 1)] " 2 2 ! ! 1 Para estado triplete ( S = 1) → s1 / s 2 = " 2 4 ! ! 3 Para estado singlete ( S = 0) → s1 / s 2 = − " 2 4 ! ! ! ! s1 / s 2 1 s1 / s 2 3 Se podría escribir: V (r ) = 2 − V1 (r ) + 2 + V3 (r ) 4 4 " " • Incluye término no central: Potencial tensorial ! ! ! ⇒ Vtensorial = V (r , s1 , s 2 ) ! ! • Pero … la invariancia respecto paridad (r → −r ) ⇒ ! ! ! ! ( s1 / r )( s 2 / r ) ! ! − ( s1 / s 2 ) Vtensorial = VT (r ) S12 = VT (r ) 3 2 r Física Nuclear y de Partículas La fuerza entre nucleones 14 Curso 2001-2002 Propiedades de la fuerza nuclear • Presenta simetría de carga: Las fuerzas p-p y n-n son idénticas • Es casi independiente de la carga: Las fuerzas p-p, n-n y n-p son idénticas en estados análogos de espín Física Nuclear y de Partículas La fuerza entre nucleones 15 Curso 2001-2002 Propiedades de la fuerza nuclear • Se hace repulsiva a cortas distancias. • densidad nuclear ≈ cte • dispersión N-N a altas energías → δ 0 < 0 para E 0 300 MeV • Core repulsivo: Rc # 0.5 fm Puede depender de la velocidad relativa o el momento de los nucleones ! %! ⇒ Vmomento = V ( r , p ) %! %! • Pero … la fuerza nuclear es invariante respecto paridad ( p → − p ) %! %! e inversión de tiempo ( p → − p) ! %! %! ! %! ⇒ Vspin−orbita = Vso ( r ) ( r × p) / S = Vso ( r ) l / S • Evidencia experimental: Polarización de un haz de nucleones P= N (↑) − N (↓) N (↑) + N (↓) P = +1 100% ↑ P = 0 no polarizado P = −1 100% ↓ Física Nuclear y de Partículas La fuerza entre nucleones 16 Curso 2001-2002 Propiedades de la fuerza nuclear Potenciales fenomenológicos que dan una interpretación razonable de los datos experimentales nucleón-nucleón Sección eficaz diferencial neutrón-protón a energía medias. Presenta pico acusado hacia atrás (cerca de 180º) Física Nuclear y de Partículas La fuerza entre nucleones 17 Curso 2001-2002 Modelo de fuerzas de intercambio • Los potenciales fenomenológicos obtenidos en apartados anteriores han tenido éxito para interpretar muchas propiedades de la interacción N-N • Pero … ¿cuál es el carácter fundamental de la interacción N-N? • Intentaremos describir un mecanismo físico que de lugar a potenciales similares a los encontrados fenomenológicamente. • Fuerzas de intercambio: • Las fuerzas nucleares se saturan → analogía con enlaces moleculares • La sección eficaz diferencial de la dispersión n-p a energías medias presenta un fuerte pico para ángulos grandes → se puede explicar que ambos nucleones intercambian su naturaleza. • La interacción entre nucleones se puede describir mediante un campo de fuerza, cuyos quanta son los mesones. Los nucleones interaccionan entre sí intercambiándose mesones. • Estos mesones, de masa m, “existirían” durante un tiempo ∆t lo suficientemente corto como para no detectar que se ha violado el principio de conservación de la energía en la cantidad ∆E=mc2 " ∆t < mc 2 • El alcance de la fuerza será la máxima distancia que recorre el mesón en dicho tiempo R = c∆t = "c 200 MeV . fm ≈ mc 2 mc 2 • Para fuerzas nucleares con alcances del orden de 1 fm, la masa de la partícula intercambiada debe ser del orden de 200 MeV (masa media entre el electrón y el nucleón = mesón) • Tales partículas son virtuales, existen sólo durante la interacción y permiten violar la conservación de la energía y el momento. Física Nuclear y de Partículas La fuerza entre nucleones 18 Curso 2001-2002 Modelo de fuerzas de intercambio • El más ligero de los mesones es el pión, que tiene espín 0 y tres estados de carga mπ ± = 139.6 MeV mπ 0 = 135.0 MeV es el responsable de la parte de largo alcance (1-1.5 fm) del potencial N-N El resto de mesones que aparecen en las fuerzas de intercambio son: Mesón π± π0 ππ ω ρ Masa 139.6 MeV 135.0 MeV ≈500 MeV 783 MeV 769 MeV Espín 00011- n Alcance 1.0-1.5 fm Potencial largo alcance 0.5-1.0 fm 0.25 fm 0.25 fm corto alcance core repulsivo espín-órbita p p p p π+ n n p n π0 n n π- p • La teoría del intercambio de mesones de las fuerzas nucleares fue propuesta inicialmente por Yukawa en 1935 • El potencial de intercambio de un pión (OPEP), que describe la parte de largo alcance de la interacción N-N-, se puede escribir: gπ2 ( mπ c 2 ) ! ! 3R 3R 2 e − r / R + 2 V (r ) = ( s1 / s 2 ) + S12 1 + 2 2 2 r r r / R 3 ( Mc ) " 3 donde: gπ2: es la constante de acoplamiento que da la intensidad del campo M: masa del nucleón • El modelo de fuerzas de intercambio tiene un considerable éxito al interpretar las propiedades del sistema N-N. Física Nuclear y de Partículas La fuerza entre nucleones 19