Geometría Elemental

RESUMEN GEOMETRÍA SAINT MARY SCHOOL.
PROF. JUAN K. BOLAÑOS M.
Geometría Elemental
Punto
Sólo tiene posición. No posee longitud, anchura ni espesor. Se representa por un •.
Se designa por medio de una letra mayúscula colocada cerca del punto gráfico.
Línea recta
Es de extensión ilimitada. Se le puede prolongar indefinidamente en cualquiera
de los dos sentidos.
Semirrecta
Cada una de las partes en que se divide una recta. Se denota por medio de dos
letras mayúsculas del alfabeto castellano. La primera letra representa el punto
frontera u origen y la segunda un punto cualquiera de la semirrecta. El punto
frontera u origen no pertenece a ninguna de las semirrectas.
Rayo
Es la unión de una semirrecta con el punto frontera u origen. Se denota por dos
letras mayúsculas del alfabeto castellano. La primera letra representa el punto de
origen y la segundo otro punto cualquiera del rayo.
Plano
Posee longitud y anchura, aunque carece de espesor. Se designa con las letras
minúsculas del alfabeto griego.
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MIZPAH
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Relaciones entre puntos, rectas y planos
Dos puntos diferentes determinan una recta. Si tres o más puntos
pertenecen a una misma recta se llaman puntos colineales.
Si tres o más puntos no pertenecen a la misma recta se denominan puntos
no colineales.
Si cuatro o más puntos pertenecen a un mismo plano se llaman puntos
coplanares.
Tres puntos diferentes no colineales definen un plano. Si dos o más rectas
están contenidas en un mismo plano se llaman rectas coplanares.
Dos rectas son paralelas si están contenidas en un mismo plano y no tienen
ningún punto en común. Su intersección es el conjunto vacío. El símbolo de
paralelo es
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Si una recta y un plano no se intersecan entonces la recta es paralela al
plano y su intersección es el conjunto vacío.
Si una recta no está contenida en un plano y no es paralela a él, entonces
la intersección de la recta y el plano es un punto.
Dos planos son paralelos si no se intersecan.
Una recta contenida en un plano lo divide en tres subconjuntos: la recta y
dos semiplanos.
Dos rectas se intersecan formando ángulos rectos, estas rectas se llaman
perpendiculares. Su símbolo es
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Ángulos
Es una figura formada por dos rayos que se cortan en un punto. Los rayos se
llaman lados del ángulo y el punto es su vértice.
Se puede nombrar de varias formas:
ABC
CBA
B
Α
Bisectriz de un ángulo
Rayo que divide el ángulo en dos ángulos congruentes o de igual medida.
Se representa:
Mediatriz de un segmento
Recta perpendicular a un segmento en su punto medio.
Gráficamente se representa así:
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Clasificación de los ángulos según sus medidas
 Ángulo nulo: Mide 0°.
 Ángulo agudo: Mide más de 0° y menos de 90°.
 Ángulo recto: Mide exactamente 90°.
 Ángulo obtuso: Mide más de 90° y menos de 180°.
 Ángulo llano: Mide exactamente 180°.
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 Ángulo perígono o convexo: Mide exactamente 360°.
 Ángulo cóncavo: Mide más de 180° y menos de 360°
Comparación de dos ángulos
 Ángulos congruentes: Dos o más ángulos que tienen la misma medida. Su
símbolo es
 Ángulos complementarios: Dos o más ángulos que sumados dan 90°.
 Ángulos suplementarios: Dos o más ángulos cuya suma da 180°.
Clasificación de los ángulos según su posición
 Consecutivos: Dos ángulos que tienen el mismo vértice y un rayo en común.
 Adyacentes: Dos ángulos consecutivos que suman 180°. También se les llama
par lineal.
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 Opuestos por el vértice: Sus lados forman dos pares de rayos opuestos. Son
congruentes.
Ángulos determinados por dos rectas paralelas y una transversal
 Opuestos por el vértice: Sus lados forman dos pares de rayos opuestos. Son
congruentes.
 Adyacentes: Dos ángulos consecutivos que suman 180°. También se les llama
par lineal.
 Correspondientes: Son dos ángulos, uno interno y otro externo, que están del
mismo lado de la secante y que no son consecutivos.
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 Alternos internos: Son dos ángulos internos que están en lados opuestos de la
secante y que no son consecutivos.
 Alternos externos: Son dos ángulos externos que están en lados opuestos de la
secante y que no son consecutivos.
 Conjugados internos: Son dos ángulos internos que están del mismo lado de la
secante.
 Conjugados externos: Son dos ángulos externos que están del mismo lado de la
secante.
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Triángulo
Es la unión de los segmentos determinados por tres puntos no colineales entre sí.
Algunos de sus elementos son:
 Vértices
 Lados
 Ángulos internos
 Ángulos externos
IMPORTANTE: En todo triángulo se cumple que:
1. El lado mayor es opuesto al ángulo interno mayor y viceversa.
2. El lado menor es opuesto al ángulo interno menor y viceversa.
3. Lados de igual medida son opuestos a ángulos de igual medida.
4. El perímetro es la suma de las medidas de los lados.
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Desigualdad triangular
En todo triángulo la medida de un lado es menor que la suma de las longitudes
de los otros lados.
Por ejemplo:
Si las medidas de un triángulo son 5, 7, 9, entonces: 5 < 7 + 9
7<5+9
9<5+7
Suma de los ángulos internos de un triángulo
Teorema: La suma de las medidas de los ángulos internos de un triángulo es igual
a 180°.
Suma de los ángulos externos de un triángulo
Teorema: La suma de las medidas de los ángulos externos de un triángulo es igual
a 360°.
Clasificación de los triángulos según la medida de sus lados
 Equilátero: Todos sus lados son congruentes.
 Isósceles: Dos de sus lados son congruentes.
 Escaleno: Sus tres lados no son congruentes entre sí, o sea, sus tres lados miden
diferente.
Clasificación de los triángulos según la medida de sus ángulos internos
 Acutángulo: Sus tres ángulos internos son agudos.
 Rectángulo: Uno de sus tres ángulos internos es recto. El ángulo recto se denota
con un cuadrado. En un triángulo rectángulo los lados reciben nombres
especiales: Catetos e hipotenusa. Los catetos son los que determinan el ángulo
recto. La hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto, une los catetos.
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 Obtusángulo: Uno de sus tres ángulos internos es obtuso.
 Equiángulo: Sus tres ángulos internos son congruentes. El triángulo equilátero es
al mismo tiempo equiángulo.
Algunas propiedades de los triángulos
1. En todo triángulo, la medida de un ángulo externo es igual a la suma de las
medidas de los ángulos internos no adyacentes a él.
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