Antes del cálculo de variaciones

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Historia de las matemáticas I, curso 2014-2015
.– p.1/11
Sobre este documento
• Sólo pretenden ser un resumen de una larga historia . . .
• Por ello, he tenido que hacer una selección de las
aportaciones, a mi juicio, más relevantes
• Además de la bibliografía indicada en la guía docente de
esta asignatura se han consultado otras referencias,
citadas a lo largo del documento
• Para comentarios o sugerencias para mejorar este
resumen escríbeme a caceresg@ugr.es
.– p.2/11
Para empezar ... ¡un vídeo!:
Eduardo Saénz de Cabezón (ganador del FameLab España
2013):
https://www.youtube.com/watch?v=gHJNMiSFuAM
¿Debatimos?
.– p.3/11
¿Qué curva hace mínima o máxima una
cierta cantidad?
.– p.4/11
¡Se buscan funciones, no números!
.– p.4/11
El origen del cálculo de variaciones es
también el origen del análisis funcional
.– p.4/11
Antes del cálculo de variaciones
• El cálculo de variaciones surge a finales del siglo XVII y
durante todo el siglo XVIII
• Aparece dentro del análisis matemático
• Debe su nombre variaciones a Lagrange que fue el
primero en usar este término
• Posteriormente Euler, en honor a Lagrange, empleó el
nombre de Cálculo de Variaciones
.– p.5/11
Antes del cálculo de variaciones
¿Y antes se habían planteado
problemas de maximización o
minimización?
.– p.5/11
Antes del cálculo de variaciones
El problema de la reina Dido de Cartago
• Huyó de Tiro
• Llegó a tierras africanas
• Allí le ofrecieron tierras:
Tanta tierra como pudiera abarcar con la piel de un buey
• Dido hace tiras con la piel del buey y con ellas describe la
curva que envuelve el área máxima, empleando la línea de
costa, ¿cuál es?
• Sobre esa región se funda Cartago
https://www.youtube.com/watch?v=qLVkBmIwKbo
.– p.5/11
Antes del cálculo de variaciones
Para un perímetro fijado, ¿qué figura plana encierra un área
máxima?
• Zenodorus aproximadamente en el año 180 a.n.e
• Pappus de Alejandría aproximadamente en el año 320
d.n.e)
demostraron que la figura plana que encierra mayor área es el
círculo
• En los Elementos de Euclides (aprox. 300 a.n.e) se
demuestra que para un perímetro fijo, el rectángulo con
mayor área es un cuadrado
.– p.5/11
Antes del cálculo de variaciones
Soluciones a problemas variacionales en la calle . . .
• Las ciudades amuralladas suelen tener un perímetro
circular delimitado por la muralla
• Los paneles de las abejas: polígonos regulares iguales,
que forman un panel sin dejar espacios vacíos
• El área del tronco de un árbol suele tener una forma
circular, porque le permite aprovechar más recursos
• La forma de las frutas suele ser redondeada
• ...
.– p.5/11
La aportación de Fermat
(1601-1665)
Principio del tiempo mínimo
Biografía: http://mimosa.pntic.mec.es/jgomez53/matema/conocer/fermat.htm
Imagen de la Wikipedia
.– p.6/11
La aportación de Fermat
(1601-1665)
¿Cómo cambian de dirección los rayos de luz al cambiar de
medio?
• W. Snell experimentalmente descubrió en 1621 la ley de
refracción (que lleva su nombre): El cociente entre los
senos de los ángulos de incidencia y de refracción es igual
a una constante característica del medio, a la que
llamamos índice de refracción
• R. Descartes trató de deducir esta ley desde los
presupuestos de su filosofía de la naturaleza: A mayor
índice de refracción, menor ángulo forma el rayo con la
normal
.– p.6/11
La aportación de Fermat
(1601-1665)
• Fermat obtuvo la ley de refracción matemáticamente
partiendo de su principio de tiempo mínimo
Un rayo de luz que va de un punto a otro lo hace con una
trayectoria que implique un tiempo mı́nimo
• Es un principio variacional para demostrar la ley de
refracción de Snell
Enlaces interesantes:
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/ondas/reflex_trans/snell/snell1.xhtml
http://www.luventicus.org/articulos/02A033/index.html
http://dmle.cindoc.csic.es/pdf/HISTORIADELAMATEMATICA_1988_00_00_05.pdf
.– p.6/11
La aportación de
Johann
Bernoulli
(1667-1748)
El problema de la braquistócrona
Biografía: http://www.britannica.com/EBchecked/topic/62606/Johann-Bernoulli
Imagen de la Wikipedia
.– p.7/11
La aportación de
Johann
Bernoulli
(1667-1748)
• En junio de 1696 retó a la comunidad matemática a
resolver antes del fin del año el siguiente problema:
Dados dos puntos A y B en un plano vertical, hallar el
camino por el cual un punto material soltado en el punto
A llega al punto B en un tiempo mı́nimo (si no hay
resistencia)
• Es el problema de la braquistócrona (el más corto de
tiempo)
.– p.7/11
La aportación de
Johann
Bernoulli
(1667-1748)
El problema fue resuelto, en la fecha correcta (1697), por:
• Leibniz, que le puso el nombre de taquistoptotam (de más
rápido descenso)
• Newton, publicó la solución de forma escueta en
Philosophical Transactions
• Jakob Bernoulli (hermano mayor de Johann), le puso el
nombre de Oligocrona (breve tiempo)
• Johann Bernoulli que puso el nombre de braquistócrona al
problema
• L’Hospital
.– p.7/11
La aportación de
Johann
Bernoulli
(1667-1748)
• La braquistrócona es la cicloide
• La cicloide era conocida desde principios del S. XVI
• C. Huygens (1629-1695) demostró en 1673 que la
tautócrona (mismo tiempo) es también la cicloide
Enlaces interesantes:
http://almargendefermat.wordpress.com/2009/02/22/la-cicloide-i-braquistocrona-y-tauto
http://museodelaciencia.blogspot.com.es/2008/04/la-braquistcrona.html
http://www.youtube.com/watch?v=1cpoY_toqSA
http://dmle.cindoc.csic.es/pdf/HISTORIADELAMATEMATICA_1988_00_00_05.pdf
http://webpages.ull.es/users/revmat/geometria/cicloides/ciclon.htm
.– p.7/11
La aportación de
Jakob
Bernoulli
(1655-1705)
Problemas isoperimétricos
Biografía: http://www.britannica.com/EBchecked/topic/62599/Jakob-Bernoulli
Imagen de la Wikipedia
.– p.8/11
La aportación de
Jakob
Bernoulli
(1655-1705)
En el artículo que respondió al problema de su hermano Johann
en 1697 le propuso problemas del siguiente tipo:
Hallar la curva que pase por dos puntos dados que maximice
una integral dada
• Jakob le ofreció a su hermano incluso un premio si lo
resolvía en tres meses
• Fue un “pique” entre los dos hermanos que sirvió para
iniciar el Cálculo de Variaciones
• Johann subestimó la dificultad de estos problemas
.– p.8/11
La aportación de
Jakob
Bernoulli
(1655-1705)
• Jakob y Johann encontraron la solución de los problemas
planteados por Jakob
• La solución propuesta por Jakob es un paso
importantísimo para el Cálculo de Variaciones. Es un paso
hacia la búsqueda de un método sistemático para resolver
este tipo de poblemas
• La solución propuesta por Johann mejora el método
empleado por su hermano
Enlace interesante para ver los detalles de las demostraciones:
http://dmle.cindoc.csic.es/pdf/HISTORIADELAMATEMATICA_1988_00_00_05.pdf
.– p.8/11
La aportación de Euler
(1707-1783)
El método general
Biografía: http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Biografias/28-2-B-E.html
Imagen de la Wikipedia
.– p.9/11
La aportación de Euler
(1707-1783)
Leonhard Euler es considerado el mejor matemático de su
tiempo por la obra
Método para hallar líneas curvas que gocen de una propiedad
de máximo o de mínimo o solución del problema isoperimétrico
tomado en sentido latísimo
• Euler propone un método general
• Traduce el problema variacional en la búsqueda de
solución de una ecuación diferencial (ecuación de Euler)
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La aportación de Euler
(1707-1783)
Esquema del método de Euler
Se busca: y(x) (función)
tal que minimiza o maximiza una integral del tipo
Z
b
F(x, y(x), y′ (x)) dx con F dada
a
Traduce este problema en este otro
Se busca: y(x) (función)
tal que resuelve la ecuación diferencial
F y − Fxy′ − y′ F yy′ − y′′ F y′ y′ = 0
(en nuestra notación actual)
.– p.9/11
La aportación de Euler
(1707-1783)
Pero el método de Euler tenı́a sus limitaciones . . .
• No es apropiado si los integrandos son complicados
• El método no resulta sencillo porque requiere
consideraciones geométricas complejas
• El propio Euler en su obra expresa la complejidad de su
método
• En 1755, un joven italiano de 19 años envió una carta a
Euler mostrándole la solución a su problema . . .
.– p.9/11
La aportación de Lagrange
(1736-1813)
Las variaciones del joven de 19 años
que escribió a Euler
Biografía: http://www.mcnbiografias.com/app-bio/do/show?key=lagrange-joseph-louis-condeImagen de la Wikipedia
.– p.10/11
La aportación de Lagrange
(1736-1813)
Euler reconocía
en este tema merece observarse ante todo que el nuevo método
meramente analítico procura soluciones mucho más completas
y perfectas que el método anterior tomado de la Geometría
• Lagrange introduce el concepto de variación
• En lugar de variar las ordenadas de la curva, como hacía
Euler introduce una nueva curva entre (a, y(a)) y (b, y(b))
y(x) + δy(x)
• Emplea la notación δy(x) para indicar la variación o cambio
de y en todo el intervalo [a, b]
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La aportación de Lagrange
(1736-1813)
Lagrange resume las ventajas de su método en su primer
artículo (tras la carta enviada a Euler)
• La simplicidad y generalidad del cálculo, como se ve al
comparar este método con el que el Sr. Euler ha dado en
su excelente obra titulada Methodus inveniendi . . .
• El hecho de que el procedimiento lleva a las condiciones
precisas, cuyas soluciones, sirven para resolver el
problema de que se trate
Las demostraciones de Lagrange son mucho más simples y elegantes, perfectamente analíticas sin necesidad de intuiciones
geométricas
.– p.10/11
La aportación de Lagrange
(1736-1813)
El método de los multiplicadores de Lagrange para problemas
de optimación sujetos a restricciones de igualdad . . .
.– p.10/11
Referencias consultadas
Bibliografía recomendada para esta asignatura en su guía
docente
http://dmle.cindoc.csic.es/pdf/HISTORIADELAMATEMATICA_1988_00_00_05.pdf
http://museodelaciencia.blogspot.com.es/2008/04/la-braquistcrona.html
http://www.slideshare.net/apotecarius/la-braquistcrona
http://www.miscelaneamatematica.org/Misc45/Luz_L.pdf
http://es.scribd.com/doc/2282702/Teoria-Calculo-Variacional
http://divulgamat2.ehu.es/divulgamat15/index.php?option=com_content&task=view&id=3325&
.– p.11/11