operaciones con conjuntos - Luis-Alvarado

Guía
Del estudiante
Modalidad a distancia
Modulo
FUNDAMETOS MATEMÁTICOS PARA ADMINISTRACIÓN TURÍSTICA Y HOTELERA
I SEMESTRE
DATOS DE IDENTIFICACION
TUTOR
Luis Enrique Alvarado Vargas
Teléfono
435 29 52 – CEL. 310 768 90 67
E-mail
leav70@gmail.com
Lugar
Madrid Cundinamarca
Corporación Universitaria Minuto de Dios – Rectoría Cundinamarca
BIENVENIDA
EL curso de
Fundamentos Matemáticos permite indicar un proceso de formación de
administradores de Turísticos y hoteleros que apropien competencias interpretativas,
argumentativas y propositivas y competencias ciudadanas como líderes integrales en sus
desempeños el curso pretende fortalecer procesos.
Fundamentos del Pensamiento Humano: Que le permiten apropiarse del lenguaje y herramientas
lógicas para la contextualización de su entorno.
Pensamiento y sistemas numéricos: Solución de problemas e inducción investiguen en la selección
de herramientas matemáticas.
Autoformación: A partir del estudio auto programado del dialogo de saberes como resultado del
trabajo en equipo para la construcción y socialización del conocimiento de la investigación y acción
de las prácticas.
Trabajo Cooperativo: El curso propende por el trabajo en equipo con toda la comunidad para el
desarrollo del proyecto de investigación.
El propósito de formación de este curso es facilitar al estudiante de administración Turística y
hotelera es vivenciar por contexto y las demás áreas del programa el desarrollo de las
competencias que le permitan utilizar el lenguaje y herramientas necesarias en las acciones
propias del trabajo en equipo.
El curso esta propuesto acorde a los principios expuestos por la universidad del Tolima, el IDEAD y
el programa de Administración Agropecuaria, los cuáles dan preeminencia a los procesos de auto
formación del ser humano y el administrador ya que la implementación de herramientas
didácticas y métodos mentales de la modalidad a distancia, que deben esforzarse a muchas horas
de estudio individual y grupal sin la presencia física del tutor.
INTRODUCCION
El considerable progreso habido en la ciencia y en la tecnología durante los últimos 150 años
procede en gran parte del desarrollo de las Matemáticas.
En el estudio de cualquier rama de la Matemática, sea análisis, Algebra, o Geometría, resulta útil
emplear la terminología de la Teoría de conjuntos. Esta teoría fue desarrollada por Boole y Cantor
a fines del siglo XIX, ha tenido una profunda influencia en el desarrollo de las Matemáticas en el
siglo XX. ha unificado muchas ideas aparentemente inconexas y ha contribuido a reducir gran
número de conceptos matemáticos a sus fundamentos lógicos por un método elegante y
sistemático.
LOGICA MATEMÁTICA
Introducción.
La lógica estudia la forma del razonamiento, es una disciplina que por medio de reglas y
técnicas determina si un argumento es válido. La lógica es ampliamente aplicada en la filosofía,
matemáticas, computación, física. En la filosofía para determinar si un razonamiento es válido o no, ya
que una frase puede tener diferentes interpretaciones, sin embargo la lógica permite saber el
significado correcto. En las matemáticos para demostrar teoremas e inferir resultados matemáticos
que puedan ser aplicados en investigaciones. En la computación para revisar programas. En general la
lógica se aplica en la tarea diaria, ya que cualquier trabajo que se realiza tiene un procedimiento
lógico, por el ejemplo; para ir de compras al supermercado una ama de casa tiene que realizar cierto
procedimiento lógico que permita realizar dicha tarea. Si una persona desea pintar una pared, este
trabajo tiene un procedimiento lógico, ya que no puede pintar si antes no prepara la pintura, o no
debe pintar la parte baja de la pared si antes no pintó la parte alta porque se mancharía lo que ya
tiene pintado, también dependiendo si es zurdo o derecho, él puede pintar de izquierda a derecha o
de derecha a izquierda según el caso, todo esto es la aplicación de la lógica.
La lógica es pues muy importante; ya que permite resolver incluso problemas a los que nunca se ha
enfrentado el ser humano utilizando solamente su inteligencia y apoyándose de algunos
conocimientos acumulados, se pueden obtener nuevos inventos innovaciones a los ya existentes o
simplemente utilización de los mismos.
El orden en que se presenta el documento es el siguiente: Primeramente se establece la
importancia de la lógica matemática, después definimos el concepto de proposición. Se establece
el significado y utilidad de conectivos lógicos para formar proposiciones compuestas. Más tarde
abordamos las proposiciones condicionales y bicondicionales. Definimos tautología, contradicción
y contingente, y proporcionamos una lista de las tautologías más importantes, así mismo
explicamos a que se le llama proposiciones lógicamente equivalente apoyándonos de tablas de
verdad. Para finalizar; abordamos los métodos de demostración: directo y por contradicción, en
donde incluye reglas de inferencia.
En este trabajo se trata además de presentar las explicaciones con ejemplos que le sean
familiares. Nuestro objetivo es que el alumno aprenda a realizar demostraciones formales por el
método directo y el método por contradicción. Ya que la mayoría de los libros comerciales
únicamente se quedan en explicación y demostración de reglas de inferencia. Consideramos que sí
el alumno aprende lógica matemática no tendrá problemas para aprender ciencias exacta y será
capaz de programar computadoras, ya que un programa de computadora no es otra cosa que una
secuencia de pasos lógicos, que la persona establece para resolver n problema determinado.
Es importante mencionar que en las demostraciones no hay un solo camino para llegar al
resultado. El camino puede ser mas largo o más corto dependiendo de las reglas de inferencia y
tautologías que el alumno seleccione, pero definitivamente deberá llegar al resultado. Puede
haber tantas soluciones como alumnos se tenga en clase y todas estar bien. Esto permite que el
estudiante tenga confianza en la aplicación de reglas y fórmulas. De tal manera que cuando llegue
a poner en practica esto, el sea capaz de inventar su propia solución, porque en la vida cada quien
resuelve sus problemas aplicando las reglas de inferencia para relacionar los conocimientos y
obtener el resultado.
UNIDAD DE TRABAJO No.1

¿Cómo aplicar la lógica proposicional y la teoría de conjuntos en la
administración Turística y hotelera?
 A través de la lógica proposicional en que modelo de la carrera podemos
INDICADORES
aplicar razonamientos lógicos?
INTERPRETATIVAS

Establecer diferencias entre el lenguaje matemático y el lenguaje semántico de
un problema.
indicadores Cognitivos






Apropiar la simbología matemática y establecer la importancia de esta.
Comprender el significado de una proposición matemática, su estructura y su
valor de verdad.
Establecer las diferencias entre conectores lógicos, su operalización yu
aplicación.
Entender la relación entre los conceptos lógicos y las operaciones entre
conjuntos.
Reconocer los diferentes sistemas numéricos y la utilidad de los mismos.
Aplicar expresiones algebraicas en el planteamiento de la solución de un
problema.
ARGUMENTATIVAS
-
Diferenciar los métodos cualitativos y cuantitativos utilizados en la investigación.
PROPOSITIVAS
-
Caracterizar los elementos de producción de la zona de estudio a través del pensamiento
lógico y la encuesta, para asumir el compromiso de iniciar el trabajo investigativo.
-
Proponer un modelo asociativo a través de las propiedades de las operaciones entre
conjuntos.
TEMAS A DESARROLLAR EN LA UNIDAD
 Lógica y Conjuntos.
 Lógica
o
o

Proposiciones y operaciones lógicas.
Conectivos lógicos y proposiciones compuestas
 Operador and (y)
 Operador Or (o)
 Proposiciones condicionales
 Proposición bicondicional.
o Tablas de verdad.
o Tautología y contradicción.
o Equivalencia lógica.
o Reglas de inferencia
o Métodos de demostración.
o Método de demostración Directo
o Demostración por contradicción
Teoría de Conjuntos
o definición
o Notación
o Conjunto Universal
o Conjunto Potencia
o Conjunto Vacio
o Diagramas de Venn
o Conjuntos finitos e infinitos
o Conjuntos disjuntos
o Operaciones Con Conjuntos
o Intersección
o Unión
o Complemento
o Diferencia Entre Conjuntos
o Diferencia Simétrica
o Producto Cartesiano
o Leyes del algebra de conjuntos
 Asociatividad
 conmutatividad
 distributiva
 absorción
 Idempotencia
 Complemento
 Ley de Morgan
MARCO TEORICO DE FORMACION
Desarrollo.
La lógica matemática es la disciplina que trata de métodos de razonamiento. En un nivel
elemental, la lógica proporciona reglas y técnicas para determinar si es o no valido un argumento
dado. El razonamiento lógico se emplea en matemáticas para demostrar teoremas; en ciencias de
la computación para verificar si son o no correctos los programas; en las ciencias física y
naturales, para sacar conclusiones de experimentos; y en las ciencias sociales y en la vida
cotidiana, para resolver una multitud de problemas. Ciertamente se usa en forma constante el
razonamiento lógico para realizar cualquier actividad.
Proposiciones y operaciones lógicas.
Una proposición o enunciado es una oración que puede ser falsa o verdadera pero no ambas a la
vez. La proposición es un elemento fundamental de la lógica matemática.
A continuación se tienen algunos ejemplos de proposiciones válidas y no válidas, y se explica el
porqué algunos enunciados no son proposiciones. Las proposiciones se indican por medio de una
letra minúscula, dos puntos y la proposición propiamente dicha. Ejemplo.
p:
La tierra es plana.
q:
-17 + 38 = 21
r:
x > y-9
s:
El Morelia será campeón en la presente temporada de Fut-Bol.
t:
Hola ¿como estas?
w:
Lava el coche por favor.
Los incisos p y q sabemos que pueden tomar un valor de falso o verdadero; por lo tanto son
proposiciones validas. El inciso r también es una proposición valida, aunque el valor de falso o
verdadero depende del valor asignado a las variables x y y en determinado momento. La
proposición del inciso s también esta perfectamente expresada aunque para decir si es falsa o
verdadera se tendría que esperar a que terminara la temporada de fut-boll. Sin embargo los
enunciados t y w no son válidos, ya que no pueden tomar un valor de falso o verdadero, uno de
ellos es un saludo y el otro es una orden.
Conectivos lógicos y proposiciones compuestas.
Existen conectores u operadores lógicas que permiten formar proposiciones compuestas
(formadas por varias proposiciones). Los operadores o conectores básicos son:
Operador and (y)
Se utiliza para conectar dos proposiciones que se deben cumplir para que se pueda obtener un
resultado verdadero. Si símbolo es: {, un punto (.), un paréntesis}. Se le conoce como la
multiplicación lógica:
Ejemplo Sea el siguiente enunciado “El coche enciende cuando tiene gasolina en el tanque y
tiene corriente la batería”
Sean:
p: El coche enciende
q
1
1
0
0
p=qr
1
0
0
0
r
1
0
1
0
q: Tiene gasolina el tanque.
r: Tiene corriente la batería.
De
tal
manera
representación del enunciado anterior usando simbología lógica es como sigue:
que
la
p= qr
Su tabla de verdad es como sigue:
Donde.
1 = verdadero
0 = falso
En la tabla anterior el valor de q=1 significa que el tanque tiene gasolina, r=1 significa que la
batería tiene corriente y p = q  r=1 significa que el coche puede encender. Se puede notar que si
q o r valen cero implica que el auto no tiene gasolina y que por lo tanto no puede encender.
Operador Or (o)
p
q
PVq
1
1
0
0
1
0
1
0
1
1
1
0
Con este operador se obtiene un resultado verdadero cuando alguna de las proposiciones es
verdadera. Se indica por medio de los siguientes símbolos: {,+,}. Se conoce como las sumas
lógicas. Ejemplo.
Sea el siguiente enunciado “Una persona puede entrar al cine si compra su boleto u obtiene un
pase”. Donde.
p: Entra al cine.
q: Compra su boleto.
r: Obtiene un pase.
Operador Not (no)
p
1
0
p’
0
1
Su función es negar la proposición. Esto significa que sí alguna proposición es verdadera y se le
aplica el operador not se obtendrá su complemento o negación (falso). Este operador se indica por
medio de los siguientes símbolos: {‘, ,}. Ejemplo.
La negación de está lloviendo en este momento (p=1), es no está lloviendo en este momento
(p’=0)
q
r
p=qr
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0
Además de los operadores básicos (and, or y not) existe el operador xor, cuyo funcionamiento es
semejante al operador or con la diferencia en que su resultado es verdadero solamente si una de
las proposiciones es cierta, cuando ambas con verdad el resultado es falso.
En este momento ya se pueden representar con notación lógica enunciados más complejos.
Ejemplo
Sean las proposiciones:
p: Hoy es domingo.
q: Tengo que estudiar teorías del aprendizaje.
r: Aprobaré el curso.
El enunciado: “Hoy es domingo y tengo que estudiar teorías de aprendizaje o no aprobaré el
curso”. Se puede representar simbólicamente de la siguiente manera:
p  q r
Por otro lado con ayuda de estos operadores básicos se pueden formar los operadores
compuestos Nand (combinación de los operadores Not y And), Nor (combina operadores Not y Or)
y Xnor (resultado de Xor y Not).
Proposiciones condicionales.
Una proposición condicional, es aquella que está formada por dos proposiciones simples (o
compuesta) p y q. La cual se indica de la siguiente manera:
pq
Se lee “Si p entonces q”
Ejemplo.
El candidato del PRI dice “Si salgo electo presidente de la República recibirán un 50% de aumento
en su sueldo el próximo año”. Una declaración como esta se conoce como condicional. Su tabla de
verdad es la siguiente:
Sean
p: Salió electo Presidente de la República.
q: Recibirán un 50% de aumento en su sueldo el próximo año.
De tal manera que el enunciado se puede expresar de las siguiente manera.
pq
Su tabla de verdad queda de la siguiente manera:
p
1
1
0
0
q
1
0
1
0
pq
1
0
1
1
La interpretación de los resultados de la tabla es la siguiente:
Considere que se desea analizar si el candidato presidencial mintió con la afirmación del
enunciado anterior. Cuando p=1; significa que salió electo, q=1 y recibieron un aumento de 50%
en su sueldo, por lo tanto p  q =1; significa que el candidato dijo la verdad en su campaña.
Cuando p=1 y q=0 significa que p  q =0; el candidato mintió, ya que salió electo y no se
incrementaron los salarios. Cuando p=0 y q=1 significa que aunque no salió electo hubo un
aumento del 50% en su salario, que posiblemente fue ajeno al candidato presidencial y por lo
tanto; tampoco mintió de tal forma que p  q =1.
Proposición bicondicional.
Sean p y q dos proposiciones entonces se puede indicar la proposición bicondicinal de la siguiente
manera:
pq
Se lee “p si solo si q”
Esto significa que p es verdadera si y solo si q es también verdadera. O bien p es falsa si y solo si q
también lo es. Ejemplo; el enunciado siguiente es una proposición bicondicional
“Es buen estudiante, si y solo si; tiene promedio de diez”
Donde:
p: Es buen estudiante.
q: Tiene promedio de diez.
por lo tanto su tabla de verdad es.
p
1
1
0
0
q
1
0
1
0
pq
1
0
0
1
La proposición condicional solamente es
verdadera si tanto p como q son falsas o bien
ambas verdaderas
A partir de este momento, ya se está en condiciones de representar cualquier enunciado con
conectores lógicos.
Ejemplo.
Sea el siguiente enunciado “Si no pago la luz, entonces me cortarán la corriente eléctrica. Y Si
pago la luz, entonces me quedaré sin dinero o pediré prestado. Y Si me quedo sin dinero y pido
prestado, entonces no podré pagar la deuda, si solo si soy desorganizado”
Donde:
p: Pago la luz.
q: Me cortarán la corriente eléctrica.
r: Me quedaré sin dinero.
s: Pediré prestado.
t: Pagar la deuda.
w: soy desorganizado.
(p’  q)  p  (rs)   (r s)  t’   w
Tablas de verdad.
En estos momentos ya se está en condiciones de elaborar cualquier tabla de verdad. A
continuación se presenta un ejemplo para la proposición [(pq) (q’r)  (rq).
p
q
r
q’
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
0
0
p (q’r)
q
1
0
1
1
1
0
1
0
0
0
0
1
1
0
1
0
(pq)
(q’r)
1
1
1
1
0
1
1
1
rq
[(pq) (q’r)  (rq)
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
0
0
1
1
El número de líneas de la tabla de verdad depende del número de variables de la expresión y se
puede calcular por medio de la siguiente formula.
No de líneas = 2n
Donde n = número de variables distintas.
Es importante destacar a medida que se avanza en el contenido del material el alumno deberá
participar activamente. Estos significa que cuando se esta definiendo proposiciones y
características propias de ellas, además de los ejemplos que el maestro explique, el alumno
deberá citar proposiciones diferentes, deberá entender el porque un enunciado no es válido.
Cuando se ven conectores lógicos, los alumnos deberán saber emplearlos en la representación de
proposiciones más complejas. Pero algo muy importante, es que los ejemplo que el maestro y los
alumnos encuentren en la clase, deben ser de interés para el estudiante. Cuando se ven tablas de
verdad el alumno deberá saber perfectamente bien el porque de cada uno de los resultados. En
pocas palabras el conocimiento deberá ser significativo.
Tautología y contradicción.
Tautología, es aquella proposición (compuesta) que es cierta para todos los valores de verdad de
sus variables. Un ejemplo típico es la contrapositiva cuya tabla de verdad se indica a continuación.
p
0
0
1
1
q
0
1
0
1
p’
1
1
0
0
q’
1
0
1
0
pq
1
1
0
1
q’p’
1
1
0
1
(pq)(q’p’)
1
1
1
1
Note que en las tautologías para todos los valores de verdad el resultado de la proposición es
siempre 1. Las tautologías son muy importantes en lógica matemática ya que se consideran leyes
en las cuales nos podemos apoyar para realizar demostraciones.
A continuación me permito citar una lista de las tautologías más conocidas y reglas de inferencia
de mayor uso en las demostraciones formales que obviamente el autor no consideró..
1.- Doble negación.
a).
p''Ûp
2.- Leyes conmutativas.
a).
(pÚq)Û(qÚp)
b).
(pÙq)Û(qÙp)
c).
(p«q)Û(q«p)
3.- Leyes asociativas.
a).
[(pÚq)Úr]Û[pÚ(qÚr)]
b.
[(pÙq)Ùr]Û[pÙ(qÙr)]
4.- Leyes distributivas.
a).
[pÚ(qÙr)]Û[(pÚq)Ù(pÚr)]
b.
[pÙ(qÚr)]Û[(pÙq)Ú(pÙr)]
5.- Leyes de idempotencia.
a).
(pÚp)Ûp
b).
(pÙp)Ûp
6.- Leyes de Morgan
a).
(pÚq)'Û(p'Ùq')
b).
(pÙq)'Û(p'Úq')
c).
(pÚq)Û(p'Ùq')'
b).
(pÙq)Û(p'Úq')'
7.- Contrapositiva.
a).
(p®q)Û(q'®p')
a).
(p®q)Û(p'Úq)
b).
(p®q)Û(pÙq')'
c).
(pÚq)Û(p'®q)
d).
(pÙq)Û(p®q')'
e).
[(p®r)Ù(q®r)]Û[(pÙq)®r]
f).
[(p®q)Ù(p®r)]Û[p®(qÙr)]
8.- Implicación.
9.- Equivalencia
a).
(p«q)Û[(p®q)Ù(q®p)]
a).
pÞ(pÚq)
10.- Adición.
11.- Simplificación.
a).
(pÙq)Þp
a).
(p®0)Þp'
12.- Absurdo
13.- Modus ponens.
a).
[pÙ(p®q)]Þq
14.- Modus tollens.
a).
[(p®q)Ùq']Þp'
15.- Transitividad del «
a).
[(p«q)Ù(q«r)]Þ(p«r)
16.- Transitividad del ®
a).
[(p®q)Ù(q®r)]Þ(p®r)
17.- Mas implicaciones lógicas.
a).
(p®q)Þ[(pÚr)®(qÚs)]
b).
(p®q)Þ[(pÙr)®(qÙs)]
c).
(p®q)Þ[(q®r)®(p®r)]
18.- Dilemas constructivos.
a).
[(p®q)Ù(r®s)]Þ[(pÚr)®(qÚs)]
b).
[(p®q)Ù(r®s)]Þ[(pÙr)®(qÙs)]
Contradicción es aquella proposición que siempre es falsa para todos los valores de verdad, una
de las mas usadas y mas sencilla es pp’ . Como lo muestra su correspondiente tabla de verdad.
p
0
1
Si en el ejemplo anterior
p: La puerta es verde.
p’
1
0
pp’
0
0
La proposición pp’ equivale a decir que “La puerta es verde y la puerta no es verde”. Por lo
tanto se esta contradiciendo o se dice que es una falacia.
Una proposición compuesta cuyos resultados en sus deferentes líneas de la tabla de verdad, dan
como resultado 1s y 0s se le llama contingente.
Equivalencia lógica.
Se dice que dos proposiciones son lógicamente equivalentes, o simplemente equivalentes. Si
coinciden sus resultados para los mismo valores de verdad. Se indican como p  q.
Considero que un buen ejemplo es el que se estableció para ilustrar la tautología en donde se
puede observar que las columnas de (pq) y (q’p’) para los mismo valores de verdad, por lo
tanto se puede establecer que (pq)  (q’p’)
Reglas de inferencia
Los argumentos basados en tautologías representan métodos de razonamiento universalmente
correctos. Su validez depende solamente de la forma de las proposiciones que intervienen y no de
los valores de verdad de las variables que contienen. A esos argumentos se les llama reglas de
inferencia. Las reglas de inferencia permiten relacionar dos o más tautologías o hipótesis en una
demostración.
Ejemplo 1
¿Es valido el siguiente argumento?.
Si usted invierte en el mercado de valores, entonces se hará rico.
Si se hace usted rico, entonces será feliz.
____________________________________________________
Si usted invierte en el mercado de valores, entonces será feliz.
Sea:
p: Usted invierte en el mercado de valores.
q: Se hará rico.
r: Será feliz
De tal manera que el enunciado anterior se puede representar con notación lógica de la siguiente
manera:
pq
qr
______
pr
Ejemplo 2.
¿Es valido el siguiente argumento?.
Si bajan los impuestos, entonces se eleva el ingreso
El ingreso se eleva.
_________________________________________
Los impuestos bajan
Solución:
Sea
p: Los impuestos bajan.
q: El ingreso se eleva.
pq
q
_____
p
El aplicar la regla de inferencia es lo que le cuesta más al alumno y se deberá poner mucha
atención para que el alumno aprenda a aplicar dicha regla.
En una demostración no solamente hay tautologías e hipótesis, también existen reglas de
inferencia que permiten obtener nuevas líneas válidas, esta es la parte en donde la mayoría de
alumnos tienen problemas y en donde no sabe que regla aplicar para resolver un determinado
problema. A continuación se cita una lista de las principales reglas de inferencia que se pueden
aplicar en una demostración.
19.-
Adición
23.-
Conjunción
p
p
_______
q
pq
_________
 p q
20.-
Simplificación
24.- Modus pones
p q
p
____________

pq
p
_________
 q
21.-
Silogismo disyuntivo
25.- Modus tollens
pq
pq
p’
q’
_________
 q
22.- Silogismo hipotético
pq
qr
________
pr
___________

p’
Métodos de demostración.
Demostración por el método directo.
Supóngase que pq es una tautología, en donde p y q pueden ser proposiciones compuestas, en
las que intervengan cualquier número de variables propositvas, se dice que q se desprende
lógicamente de p. Supóngase una implicación de la forma.
(p1  p2 ....... pn)  q
Es una tautología. Entonces está implicación es verdadera sin importar los valores de verdad de
cualquiera de sus componentes. En este caso, se dice que q se desprende lógicamente de
p1,p2,......,pn. Se escribe.
p1
p2
.
.
pn
___
q
Realmente el camino que se debe seguir para llevar a cabo una demostración formal usando el
método directo. Significa que sí se sabe que p1 es verdadera, p2 es verdadera,...... y pn también es
verdadera, entonces se sabe que q es verdadera.
Prácticamente todos los teoremas matemáticos están compuestos por implicaciones de este tipo.
(p1  p2 ....... pn)  q
Donde la pi son llamadas hipótesis o premisas, y q es llamada conclusión. “Demostrar el
teorema”, es demostrar que la implicación es una tautología. Note que no estamos tratando de
demostrar que q (la conclusión) es verdadera, sino solamente que q es verdadera si todas las pi
son verdaderas.
Toda demostración debe comenzar con las hipótesis, seguidas de las tautologías y reglas de
inferencia necesarias, hasta llegar a la conclusión.
A continuación se prueba un enunciado en donde se puede apreciar el uso tanto de las tautologías
como de las reglas de inferencia.
Sean
p: Trabajo.
q: Ahorro.
r: Compraré una casa.
s: Podré guardar el coche en mi casa.
Analizar el siguiente argumento:
"Si trabajo o ahorro, entonces compraré una casa. Si compro una casa, entonces podré guardar el
coche en mi casa. Por consiguiente, si no puedo guardar el coche en mi casa, entonces no ahorro".
El enunciado anterior se puede representar como:
p Ú q ® r;
y
r ® s;
entonces
s' ® q'
Equivale también a probar el siguiente teorema:
[(p Ú q) ® r] Ù [r ® s] Þ [s' ® q']
Como se trata de probar un teorema de la forma general:
p1 Ù p2 Ù......Ù pn Þ q
Se aplica el procedimiento general para demostración de enunciados válidos. A continuación
se demuestra el teorema respaldando cada uno de sus pasos en tautologías o reglas de inferencia ya
conocidas.
1.-
(p Ù q) ® r
Hipótesis
2.-
r®s
Hipótesis
3.-
q ® (q Ù p)
Adición tautología 10
4.-
q ® (p Ú q)
3; ley conmutativa, regla 2
5.-
q®r
4,1; silogismo hipotético, regla 22
6.-
q®s
5,2; regla 22
7.-
s' ® q'
6; contrapositiva, regla 7.
El enunciado es válido aunque la conclusión puede ser falsa o verdadera.
Es recomendable numerar cada uno de los pasos. Se puede notar que las primeras líneas son
hipótesis, la línea 3 es una tautología conocida y de la línea 4 a 7 se obtuvieron aplicando reglas de
inferencia. Se indica la regla de inferencia aplicada por medio del número de la derecha, y las líneas a
las cuales se les aplicó dicha regla de inferencia por medio de los números de la izquierda.
El ejemplo anterior es una demostración sencilla, pero puede ser tan complicada como sea necesario
y el método debe funcionar.
Demostración por contradicción.
El procedimiento de la demostración por contradicción es semejante a la que se realizó por el
método directo con la diferencia de que las líneas iniciales de dicha demostración no son
únicamente las hipótesis, sino además se incluye en la demostración una línea con la negación de
la conclusión. Por otro lado el objetivo de la demostración es llegar a una contradicción.
La demostración del siguiente teorema por el método de contradicción es como se indica
p ® (p Ù r)  Ù (q Ú s) ® t Ù (p Ú s)  t
Demostración
1.-
p ® (p Ù r)
Hipótesis
2.-
(q Ú s) ® t
Hipótesis
3.-
pÚs
Hipótesis
4.-
t’
Negación de la conclusión
5.-
(qÚ s)’
2,4; Modus tollens, regla 25
6.-
q’ Ù s’
5; Ley de Morgan, 6ª
7.-
q’
6; Simplificación, regla 20
8.-
s’ Ù q’
6; Ley conmutativa, 2b
9.-
s’
8; Simplificación, regla 20
10.-
sÚ p
3; Ley conmutativa, 2ª
11.-
p
10,9; Silogismo disyuntivo, regla 21
12.-
qÙr
11,1; Modus ponens, regla 24
13.-
q
12; Simplificación, regla 29
14.-
q Ù q’
13,7; Conjunción, regla 23
15.-
Contradicción.
Note que juntamente con las premisas se debe incluir la negación de la conclusión. En este momento
el alumno ya tiene los elementos para llevar a cabo demostraciones con el apoyo del maestro. Es
conveniente plantear varios enunciados, para que el alumno los represente con simbología lógica en
forma de teorema. Que ese mismo teorema lo represente con su tabla de verdad y haga la
correspondiente
demostración
por
los
dos
métodos
antes
mencionados
La forma en que el aprende a aplicar reglas de inferencia es semejante a la manera en que deberá
realizar una factorización o una aplicación de una fórmula en cálculo diferencial o integral o la formula
que debe aplicar para resolver un problema en física. Lo que debe aprender es a relacionar los
distintos conocimientos para poder llegar a la solución. Es importante mencionar que el camino que
debe seguir el alumno no es el mismo que el maestro siguió sino uno distinto pero que ambos llegan
al resultado.
Conclusiones.
La idea principal de este trabajo es que el alumno aprenda el concepto de proposición, la forma en
que se pueden formar proposiciones compuestas usando los conectores lógicos, representar
enunciados por medio de simbología lógica, conocer los conceptos de tautología, equivalencia
lógica, regla de inferencia. Realizar demostraciones de teoremas por medio del método directo y
contradicción. Pero con problemas que le sean familiares e interesantes. Se trata de que en cada
uno de los subtemas participe proponiendo sus propios ejemplo y que sobre todo al final de la
unidad él tenga la habilidad, confianza e iniciativa para inferir posibles soluciones.
Todo enunciado puede ser planteado en términos de teoremas. Un teorema por lo general es
resultado de un planteamiento de un problema, este planteamiento debe tener el siguiente
formato.
(p1  p2 ....... pn)  q
Como se establece p1, p2 ,......,pn son hipótesis (o premisas) derivadas del mismo problema y
que se consideran válidas. Pero además deberán conectarse con el operador And (), lo cual
implica que p1 es cierta y () p2 es verdad y ()...... y pn también es cierta entonces () la
conclusión (q) es cierta. Para realizar la demostración formal del teorema se deberá partir de las
hipótesis, y después obtener una serie de pasos que también deben ser válidos, ya que son
producto de reglas de inferencia. Sin embargo no solamente las hipótesis y reglas de inferencia
pueden aparecer en una demostración formal, sino también tautologías conocidas. En el teorema
anterior cada uno de los pasos p1, p2,...pn son escalones que deberán alcanzarse hasta llegar a la
solución.
Lo mismo ocurre con todo tipo de problemas que se nos presentan en la vida, antes de llegar a la
solución debemos alcanzar ciertas metas (p1,p2,....pn) hasta llegar al objetivo o conclusión (q).
Pero una vez que logramos el objetivo debemos plantearnos nuevos objetivos que nos permitirán
superarnos.
Dependiendo del área de interés al estudiante puede transportad dichos conocimientos, de tal
manera que le auxilien para entender y resolver otro tipo de problemas. En el caso de
computación cada línea de un programa se obtiene inconcientemente aplicando una regla de
inferencia y por lo tanto cada instrucción tiene su orden en que debe de ir colocada, si se cambia
esa línea seguramente el resultado ya no será igual. Pero hay tantas formas de resolver un
problema por medio de un programa como alumnos distintos tenga un maestro.
Una demostración formal equivale a relacionar esquemas para formar estructuras cognitivas. Sí el
alumno sabe inferir soluciones lógicas, estará en condiciones de resolver todo tipo de problemas.
Uno de los objetivos principales del constructivismo, es la construcción del conocimiento. El tema
de “lógica matemática”, se presta para que el alumno pueda realizar los relacionamientos entre
las distintas proposiciones, esto permite crear nuevas formas de resolver problemas en distintas
ramas: matemáticas, física, química pero también en las ciencias sociales y por su puesto cualquier
problema de la vida real. Porque cada vez que nos enfrentamos a un problema, manipulamos la
información por medio de reglas de inferencia que aunque no estén escritas debemos respetar.
Cada vez que realizamos una actividad empleamos la lógica para realizarla, quizá algunos realicen
dicha actividad por caminos más corto, otros realizan recorridos más largos, pero al fin de cuentas
lo que importa es llegar al resultado. Si se le da la confianza al alumno para que cree e innove, su
estructura cognitiva seguramente va a crecer.
TEORIA DE CONJUNTOS
Definiciones:
1.- Conjunto: es una lista, clase o colección de objetos bien definidos, objetos que, pueden ser
cualesquiera: números, personas, letras, etc. Estos objetos se llaman elementos o miembros del
conjunto.
Ejemplos: { 1, 3, 7, 10}
{xx2 -3x –2= 0}
{ Inglaterra, Francia, Dinamarca}
2.-Subconjunto: A es subconjunto de B si todo elemento de A lo es también de B.
Notación: AB  x A xB
Ejemplo:
El conjunto C = {1,3,5} es un subconjunto del D = {5,4,3,2,1} ya que todo elemento de C
pertenece al conjunto D.
3.- Conjunto Universal: es aquel conjunto que no puede ser considerado un subconjunto de otro
conjunto, excepto de si mismo. Todo conjunto se debe considerar un subconjunto del Conjunto
Universal.
Notación: U
Ejemplo:
A = {1,3,5}
B = {2,4,6,8}
U = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
4.- Conjunto Potencia: se denomina conjunto potencia de A, P(A), a la familia de todos los
subconjuntos del conjunto A. Sí el conjunto A tiene n elementos, el conjunto potencia de A tendrá
2n elementos.
Notación:
Ejemplo:
A = {3,4,5}
P(A)= 23 = 8, lo que significa que pueden formarse 8 subconjunto de A.
P(A)= { {3}, {4}, {5}, {3,4}, {3,5}, {4,5}, {3,4,5},  }.
5.- Conjunto Vacío: es aquel que no posee elementos y es subconjunto de cualquier otro conjunto.
Notación:  = { x / x  x }
Ejemplo:
B= {x/x2 = 4, x es impar}. B es entonces un conjunto vacío.
6.-Diagrama de Venn: Los diagramas de venn permiten visualizar gráficamente las nociones
conjuntistas y se representan mediante círculos inscritos en un rectángulo. Los círculos
corresponden a los conjuntos dados y el rectángulo al conjunto universal.
Ejemplo:
AB
U
B
A
7.-Conjuntos Finitos o Infinitos: Los conjuntos serán finitos o infinitos, si sus elementos son o no
factibles de contar.
Ejemplo:
M= {a,e,i,o,u}, M es finito.
N={1,3,5,7...}, N es infinito.
8.- Conjuntos disjuntos: Dos conjuntos son disjuntos si no tienen elementos comunes.
Gráficamente:
U
A
B
Ejemplo:
A= {1,3,8}, B={2,4,9}; A y B son conjuntos disjuntos.
OPERACIONES CON CONJUNTOS
1.-Unión de conjuntos: La unión de dos conjuntos A y B es un conjunto cuyos elementos
pertenecen a A o a B.
Notación: AB= {x/xA xB}
Gráficamente:
U
A
b
U
A
B
U
B
A
Ejemplo
A={3,4,5,8,9}
B={5,7,8,9,10}
AB={3,4,5,7,8,9,10}
2.- Intersección de conjuntos: La intersección de dos conjuntos A y B, es un conjuntos cuyos
elementos son comunes a A y B.
Notación: A  B= {x / x  A  x  B}
Gráficamente:
U
A
A
U
AA) B
A
AA)
Ejemplo:
B
U
B
A
)
A={7,8,9,10,11,12}
B={5,6,9,11,13,14}
A  B={9, 11}
3.-Complemento: El complemento de un conjunto A, son todos los elementos que no están en el
conjunto A
y que están en el universo.
Notación: Ac = {x / x U  x A}
Ac = U - A
Gráficamente:
Ac
U
A
Ejemplo:
U= {1,2,3,...10} y A={ 3,4,6,7}
Ac= {1,2,5,8,9,10}
4.- Diferencia de conjuntos: La diferencia de dos conjuntos A y B, es un conjunto cuyos
elementos son aquellos que están en el conjunto A, pero no en el conjunto B.
Notación: A - B ={x / x A  x  B}
Gráficamente:
U
A
U
U
B
A
B
A
B
Ejemplo:
C = {u, v, x, y, z}
D = {s, t, z, v, p, q}
C - D = {x, y, u
5.- Diferencia Simétrica: La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es un conjunto cuyos
elementos son aquellos que están en A, pero no en B, unidos con aquellos que están en B, pero no
en A.
Notación: A  B= {x / x  A  x  }  {x / x   x }
A  B= ( A - B )  ( B -A )
Gráficamente:
A
B
AA
)
)
)
U
U
A
B
Ejemplo:
A= {1,3,4,5,6,7,20,30}
B={2,6,20,40,50}
AB= {1,3,4,5,7,30} {2,40,50}
A= {1,2,3,4,5,7,30,40,50}
6.-Producto cartesiano: El producto cartesiano entre dos conjuntos A y B es el conjunto de todos
los pares ordenados que tienen como primera componente un elemento de A y como segundo
componente un elemento de B.
Notación: A x B = {(a, b ) / a   b  }
Ejemplo:
A= {1,2}
B={3,4,5}
A x B = {(1,3), (1,4), (1,5), (2,3), (2,4), (2,5)}
Observaciones:
1.- n() = n  n() s n(A x B) = n • s
2.-Si A =  x B = 
3.- A x B x A
siempre que se cumpla que A  
7.- Cardinalidad:
n(A =
n(A) + n(B) – n (A
n(A(C)) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A - n(C) – n(BC) + n(A(C))
LEYES DE ALGEBRA DE CONJUNTO
1.- Asociatividad:
C C)
(AC = AC)
2.- Conmutatividad:

AB = BA
3.- Distributividad:
ACC)
AC) = (C)
4.- Absorción:
A
AA
5.- Idempotencia:
A
B
6.- Identidad:

AUU
U  A
A = 
7.-Complemento:
AcU
Ac = 
(Ac)c = A
U’= , ’ = U
8.- Ley de Morgan:
(AB)c = Acc
(Ac = Acc
A – B = Ac
EJERCICIOS RESUELTOS
Demuestre:
1.-( - B)    
A  Bc)  B = 
A(Bc  B) = 
 

=
 

2.- (A – B) - C)
= A – (B C)
(A c) Cc = A – (B C)
A (Bc   Cc = A – (B C)
(A ) c  Cc) = A – (B C)
A    Cc
= A – (B C)
A – (B  C)
= A – (B C)
3.- n[A   B  C    n + n + n(C) - n(A  B) - n(AC) - n(BC) + n[A(C)]
n[A   B C  = n(A) + n(BC) - n[A(BC)]
= n(A) + n(B) + n(C) - n(BC) - n[(AB)(AC)]
= n(A) + n(B) + n(C) - n(B  C) - n(A  B) - n(A  C) + [ n(A  B)  (AC)]
= n + n + n(C) - n(A B) - n(AC) - n(BC) + n[A(C)]
4.- (A  A)  (A  Bc) = A
A  (A  Bc )
=A
A
=A
A
5.- (B  C)  A
A  (B  C)
=A
= (B  A)  (C  A
= (B  A)  (C  A)
( A  B)  (A  C) = (B  A)  (C  A)
(BA)(CA)
= (BA)(CA)
Simplificar:
1.- A  [ (B  (A  B) )  (A  (A  B) ) ]
A  [ (B  A)  (B  B) ] (A  A)  (AB)
A  [ (B  A)  (B  B) ]  A  (A  B)
A  [B  A]  B= B
(A  B)  (A  A)
(A  B)  (A)
A
6. Una encuesta aplicada a un grupo de jóvenes, acerca de las preferencias por alguna radio F.M.
de la región, señaló que:
277 preferían Carolina
233 preferían Manquehue
405 preferían Tiempo
165 preferían Manquehue y Tiempo
120 preferían Manquehue y Carolina
190 preferían Carolina y Tiempo
105 preferían las tres estaciones de radio mencionadas
Determine:
a) ¿Cuántos jóvenes fueron encuestados?
b) ¿Cuántos jóvenes prefieren sólo Carolina?
c) ¿Cuántos jóvenes prefieren sólo Carolina y Tiempo?
Solo C= 277-120+105-190+105-105
Solo C= 72 jóvenes
Solo C y M= 120-105= 15 Jóvenes
Solo M= 233-120+105-105-165+105
Solo M= 53 jóvenes
Solo C y T= 190-105= 85 jóvenes
Solo M y T= 165-105= 60 jóvenes
Sólo T= 405-190+105-165+105-105= 545 jóvenes
Total jóvenes encuestados= 72+53+15+85+60+155+105= 545 jóvenes
a) Fueron encuestados 545 jóvenes
b) Sólo Carolina prefieren 72 jóvenes
c) Solo Carolina y Tiempo prefieren 85 jóvenes
EJERCICIOS PROPUESTOS
Demostrar:
1.- A  (Ac  )=A  B
2.- A(Ac  B)=A  B
3.- (A - B) B=
4.- A-(BC)=(A-B)(A-C)
5.- A – (B  A)= A – B
6.- Ac - Bc = B – A
Simplificar:
1.- Si AB  A(B-A)=
2.- A (A  Bc )(Ac  B)=
3.- [A(AB)]c B
4.- [(A-B)(B-C)](C-A)
Ejercicios
1.- Una encuesta realizada a 2000 hombres reveló lo siguiente respecto a sus gustos por distintos
tipos de mujeres:
800 preferían las rubias;
950 preferían las morenas;
750 preferían las colorinas;
150 preferían las rubias y morenas;
300 preferían las morenas y colorinas
250 preferían las rubias y colorinas
200 Sólo morenas y colorinas
Determine el número de hombres que :
a) Preferían los tres tipos de mujeres encuestados.
b) No preferían estos tipos de mujeres.
2.- En una reunión se determina que 40 personas son aficionadas al juego, 39 son aficionadas al
vino y 48 a las fiestas, además hay 10 personas que son aficionadas al vino, juego y fiestas, existen
9 personas aficionadas al juego y vino solamente, hay 11 personas que son aficionadas al juego
solamente y por último nueve a las fiestas y el vino.
Determinar:
a) El número de personas que es aficionada al vino solamente.
b) El número de personas que es aficionada a las fiestas solamente
3.- En una encuesta realizada a 320 alumnos de Ingeniería Comercial de la Universidad de
Valparaíso, se descubrió que estos prefieren tres lugares para sus “carretes” de fin de semana:
95 prefieren ir al “Kamikaze”;
90 prefieren ir al “Playa”;
120 prefieren ir al “Bar de los Cuatro Vientos”;
30 prefieren ir al “Kamikaze” y al “Playa”
10 prefieren ir al “Kamikaze” y al “Bar de los Cuatro Vientos”
40 prefieren ir al “Playa” solamente
60 prefieren ir al “Kamikaze” solamente
Determine el número de estudiantes que prefieren:
a) Sólo ir al “Bar de los Cuatro Vientos”
b) Ir a los tres lugares
c) No salir y quedarse estudiando el fin de semana
CALENDARIO DEL MODULO
(Se debe definir en semanas, de forma que ajuste con el modelo pedagógico uniminuto – en l
modalidad de distancia)
UNIDAD DE
APRENDIZAJE
Acuerdo Pedagógico
Lógica y Conjuntos
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE
Presentación del modulo, firma de acuerdos, entrega del
PIC y asignación de actividades y consultas para ser
discutidas el 20 de febrero
Trabajo en pequeños grupos para la preparación de la
socialización de la temática, y resolución de la guía del
modulo 1, Evaluación y control de actividades.
SEMANA
1
13 de
febrero de
2010
2
20 de
febrero de
2010
Asignación
de tareas y
actividades
para el 27
de febrero
3
4
5
6
7
8
METODOLOGIA
En la educación a distancia es importante que el estudiante asuma una estricta responsabilidad
con sus procesos, condición que lo lleva a adquirir autoexigencia con su aprendizaje. Debido a que
ese proceso es básicamente individual y por lo tanto no dispone de la presencia constante del
tutor, el estudiante debe considerar la capacidad para organizar el tiempo de su estudio por si
mismo (autodisciplina), teniendo en cuenta que esta modalidad presenta flexibilidad en los
horarios.
La palabra método significa camino (odos), para llegar a un fin (meta), en este sentido el concepto
de metodología integra los métodos y las técnicas para desarrollar habilidades conducentes a
adquirir una competencia.
Usted cuenta con Varios recursos a su disposición los cuales le ayudaran a alcanzar la competencia
al final de este modulo. Ellos son:


Texto de Estudio (Recuerde es importante facilitar al estudiante, el acceso a los recursos).
Guía de Estudio, material suministrado por el tutor (Propio o de terceros, con la
referencias y citas de acuerdo a las normas APA)


El espacio tutorial (de la debida documentación al estudiante, se fortalece el trabajo en los
días sábados).
Material Interactivo (Cd, Software especifico, sitios de Internet, etc)
(Ana Milena Riaño - Gabriel Pardo Rodriguez, 2009)
Bibliografía
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Bogotá D. C. 1979.
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"http://es.wikipedia.org/wiki/Especial:FuentesDeLibros/9788489524453" ISBN 978-8489524-45-3 .
Trabajos citados
José Alfredo Jiménez Murillo.
e-mail: HYPERLINK "mailto:ppalf@yahoo.com" ppalf[arroba]yahoo.com
Ma. Aleida Hernández Yánez
e-mail: HYPERLINK "mailto:aleidahy@yahoo.com" aleidahy[arroba]yahoo.com
Alumnos del Centro Interdisciplinario
De Investigación y Docencia en
Educación Técnica (CIIDET)
Querétaro Qro. México.
Se recomienda leer él capitulo 3 del texto, Matemática para el Análisis Económico, de Knut
Sydsaeter, y, Peter. J. Hafmmond, de Editorial Prentice Hall. 1996.
Se recomienda leer los capítulos 1 y 2 del texto, Matemáticas Aplicadas a la Administración y a la
Economía Jagdish C. Arya/ Robin W. Lardner. Editorial Prentice – Hall. Tercera edición. México
1989.
EVALUACION
dentro de la guía se encontraran ejercicios y problemas resueltos que el estudiante resolverá y
presentara en un portafolio para ser revisados por el tutor, se hará una socialización y
corrección de algunos problemas propuestos al azar, se tendrá en cuenta una autoevaluación
que cada estudiante hará, una cooevaluación que le harán los estudiantes del grupo y una
hetero-evaluación que será realizada por el tutor teniendo en cuenta los aspectos cognitivos,
actitudinales y comporta-mentales del estudiante, al igual que las competencias interpretativa,
argumentativa y proposicional.
POLITICAS
El estudiante debe consultar y realizar las consultas y lecturas recomendadas, sintetizar los
conceptos en un portafolio, resolver los ejercicios y problemas propuestos en la guía, asistir
puntualmente a las sesiones presenciales y a los cipas programados en los acuerdos del 13 de
febrero, participar activamente de las actividades de socialización y trabajo colaborativo.
Rol del Tutor:
El propósito fundamental del tutor es el de dar un servicio a los estudiantes, facilitando su proceso
de aprendizaje y el logro de sus competencias. La supervisión que hagan los tutores se enfocará
tanto a los procesos, como a los productos de aprendizaje que evidencien desarrollo de
habilidades que conlleven a alcanzar la competencia, para ello el tutor asume entre otros los
compromisos de:
Atender directamente a los estudiantes a él asignados utilizando diversos medios:
encuentro tutorial, teléfono, celular, fax, e-mail, sistemas de mensajería y/o cualquier otro
medio acordado previamente con el estudiante , de manera que pueda ayudarle a aclarar
sus dudas a partir del uso de diversas estrategias didácticas.
Asistir al lugar de tutoría asignado, en la hora y el dia indicados previamente para tal fin:
Respetar el calendario académico y cada una de las actividades propuestas en el
Guiar, facilitar, asesorar y orientar al estudiante en su proceso de aprendizaje
Suscitar la reflexión e indagar a los estudiantes sobre su proceso de aprendizaje
Evaluar las actividades teniendo en cuenta los criterios de evaluación socializados al
estudiante al plantearse la actividad.
Retroalimentar las actividades y sus evidencias de competencia en las fechas acordadas
con el tutor.
Las dudas académicas serán atendidas por teléfono, fax, e-mail y medios como foros en
aulas virtuales.
Rol del estudiante
Asumamos que los estudiantes son participantes, honestos y comprometidos que. Como tales, son
los principales responsables de iniciar, dirigir y sostener sus propios procesos de aprendizaje. Cada
estudiante se compromete a propiciar las condiciones que estén a su alcance para maximizar las
oportunidades de aprendizaje de acuerdo a su contexto y posibilidades. De igual forma se asume
que nuestros estudiantes no incurrirán en actos deshonestos y de plagio intelectual de ideas en las
diversas formas de interacción, actividades terminales e intermedias. Se espera que los
estudiantes participen activamente en cada una de las actividades descritas en la guía de estudio,
para ello es necesario tener en cuenta que:
El estudiante es el protagonista del proceso de aprendizaje, que lo lleva a ser mas activo y
propositivo, por consiguiente a desarrollar el auto – estudio
Debe estar preparado para participar activamente de las actividades de aprendizaje,
habiendo leído los contenidos de su texto de estudio y materiales adicionales relacionados
en la guía de estudio.
Debe realizar las actividades planteadas en la guía de estudio, entregando las evidencias
de manera acorde a los planteado en los criterios de evaluación, dentro de los tiempos
establecidos en le calendario y bajo las instrucciones descritas en cada actividad.
En las evidencias escritas, deberá saber citar las fuentes, es decir usar debidamente la
bibliografía a fin de evitar el plagio.
Trabajos citados
José Alfredo Jiménez Murillo.
e-mail: ppalf[arroba]yahoo.com
Ma. Aleida Hernández Yánez
e-mail: aleidahy[arroba]yahoo.com
Alumnos del Centro Interdisciplinario
De Investigación y Docencia en
Educación Técnica (CIIDET)
Querétaro Qro. México.
Se recomienda leer él capitulo 3 del texto, Matemática para el Análisis Económico, de Knut
Sydsaeter, y, Peter. J. Hafmmond, de Editorial Prentice Hall. 1996.
Se recomienda leer los capítulos 1 y 2 del texto, Matemáticas Aplicadas a la Administración y a la
Economía Jagdish C. Arya/ Robin W. Lardner. Editorial Prentice – Hall. Tercera edición. México
1989.
Bibliografía
1. Pactrick SUPPES y Shirley HILL, Introducción a la Lógica Matemática, editorial Reverté S. A.
Bogotá D. C. 1979
2. Jagdish C. Arya/ Robin W. Lardner, Matemáticas Aplicadas a la Administración y a la
Economía. Editorial Prentice – Hall. Tercera edición. México 1989.
3. Agazzi, Evandro (1986). Lógica simbólica. Editorial Herder. ISBN 978-84-254-0130-5
4. González Carlomán, Antonio (6 de 2006). Retículo completo de Boole, lógica matemática,
teoría de conjuntos, 2 edición (en español), Universidad de Oviedo. Servicio de
Publicaciones, pp. 232. ISBN 978-84-8317-534-7.
5. Cantor, Georg (11 de 2005). Fundamentos para una teoría general de conjuntos: escritos y
correspondencia selecta, Ferreirós Domínguez, José; Gómez-Caminero, Emilio F.; Ferreirós
Domínguez, José, 1 edición (en español), Editorial Crítica, pp. 320. ISBN 978-84-8432-6953.
6. Fernández Laguna, Víctor (2 de 2004). Teoría de conjuntos elemental, Bachillerato, 2
edición (en español), Anaya, pp. 168. ISBN 978-84-667-2614-6.
7. Climent Coloma, Joan Josep (10 de 2003). Álgebra: teoría de conjuntos y estructuras
algebraicas, 2 edición (en español), Editorial Club Universitario, pp. 512. ISBN 978-848454-302-2.
8. Setó, Jordi (7 de 2002). Teoría elemental de conjuntos, 1 edición (en español), Clag S.A, pp.
168. ISBN 978-84-921847-6-7.
9. Arrieche Alvarado, Mario (7 de 2002). Iniciación de la teoría de conjuntos, en la formación
de profesores de matemáticas, 1 edición (en español), Arrieche Alvarado, Mario José, pp.
169. ISBN 978-84-607-4774-1.
10. González Carlomán, Antonio (9 de 2001). Retículo completo de Boole. Lógica matemática
teoría de conjuntos, 1 edición (en español), Universidad de Oviedo. Servicio de
Publicaciones, pp. 204. ISBN 978-84-8317-264-3.
11. Climent Coloma, Joan Josep (6 de 2001). Álgebra. Teoría de conjuntos y estructuras
algebraicas, 1 edición (en español), Editorial Club Universitario, pp. 240. ISBN 978-848454-081-6.
12. Alonso Jiménez, José A; Pérez Jiménez, Mario de J.; Ruiz Reina, José L. (9 de 1998). Teoría
de conjuntos, 1 edición (en español), Ediciones La Ñ, S.L., pp. 348. ISBN 978-84-89524-453.