Teoría de la medida y cálculo de errores

Teoría de la medida. Cálculo de errores.
Prácticas de Laboratorio. Mecánica
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TEORÍA DE LA MEDIDA
1. - INTRODUCCIÓN
Todas las medidas vienen afectadas de una cierta e inevitable imprecisión, debida a
diferentes causas. En el caso de medidas directas pueden deberse a imperfecciones del aparato de
medida, a sus limitaciones, a errores de su calibración, o también a errores personales del sujeto que
efectúa la medida y otras. El principal objetivo de la teoría de la medida es acotar el valor de esta
imprecisión, que de manera general denominamos error experimental.
Dado que el valor de las cantidades de las magnitudes físicas se determina por vía experimental,
bien midiendo directamente la cuantía por medio de los adecuados aparatos de medida (un cronómetro,
una regla graduada, un calibre, un termómetro, una balanza, etc.) o bien por medidas indirectas
deducidas de las anteriores, hemos de admitir, como punto de partida, que resulta imposible conocer el
valor exacto de la cantidad que pretendemos medir. Nuestro interés se centra en establecer los límites
dentro de los cuales se encuentra el valor exacto de la cantidad, valor que indudablemente existe, aunque
no lo conozcamos. Es por ello de sumo interés comenzar con la definición, la clasificación y el
tratamiento de los errores experimentales.
2.- DEFINICIÓN Y CLASIFICACIÓN DE LOS ERRORES EXPERIMENTALES
El error se define como la diferencia entre el valor obtenido experimentalmente y el valor
verdadero. Esta definición es poco operativa, porque se ha señalado anteriormente que el valor
verdadero no se conoce. Pero ya hemos comentado que nuestro objetivo es hacer una acotación de los
posibles errores cometidos, en el proceso de medición, para marcar el intervalo donde se encuentra el
valor verdadero.
Atendiendo a las causas que los producen, los errores se pueden clasificar en dos tipos: errores
sistemáticos y errores accidentales. El error sistemático tiene un valor constante en el proceso de
medida y afecta de la misma forma a todas las cantidades, del mismo tipo, que se ven sometidas a ese
error. Las causas posibles de este tipo de error, siempre del mismo signo, pueden ser debidas a un
defecto del instrumento de medida o una mala calibración del mismo o limitaciones de carácter personal
en el operador que efectúa la medida (p. e. un problema de tipo visual). Los errores sistemáticos, una vez
conocida su causa, en la mayoría de los casos, se pueden eliminar.
Se denominan errores accidentales a aquellos que se producen de forma aleatoria y al azar. No
son controlables y las desviaciones pueden ser tanto positivas como negativas. Son en su mayoría
pequeños y para un gran cantidad de medidas el número de desviaciones positivas es igual a de las
negativas. No se pueden eliminar, pero admiten un tratamiento estadístico que nos permite establecer el
valor más probable de una serie de mediciones y la cota de error.
3.- CONCEPTOS DE EXACTITUD, PRECISIÓN Y SENSIBILIDAD
Referidos a los aparatos de medida existen tres conceptos de especial importancia: exactitud,
precisión y sensibilidad. Pasaremos a continuación a definirlos.
La exactitud se define como el grado de concordancia entre el valor verdadero y el medido. De
un aparato se dice exacto si las medidas obtenidas con él son todas muy cercanas al valor verdadero.
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Como el valor verdadero no se puede conocer, podremos comprobar la exactitud de un
instrumento de medida si el intervalo donde se encuentra la medida verdadera es muy pequeño.
La precisión es la concordancia entre las medidas obtenidas de la misma cantidad, realizadas en
condiciones similares. La exactitud implica la precisión del aparato pero no al revés. La precisión se
conoce más fácilmente que la exactitud.
La sensibilidad de un instrumento de medida se relaciona con el valor mínimo de la cantidad de
una magnitud, que es capaz de medir. Se admite generalmente que la sensibilidad, de un aparato de
medida, es la división más pequeña de su escala de medida (resolución del aparato), algunas veces
incluso se admite como sensibilidad la mitad de este valor. Si un reloj digital marca el tiempo, en
segundos, con dos cifras decimales eso implica que su sensibilidad es 0,01 s, que es la cantidad más
pequeña que puede apreciar.
4.- ERROR ABSOLUTO Y ERROR RELATIVO
Sea una magnitud física que se presenta en una cantidad que pretendemos medir. Esta
cantidad tiene un valor verdadero xv, y supongamos que como resultado de nuestra medida hemos
obtenido el valor x, se define el error absoluto, Δx, como la diferencia entre ambos valores.
Δx = x – xv
(1)
En general │Δx │<< │x v│. Este error nos informa de la desviación, en términos absolutos,
respecto del valor verdadero. Esta información no es suficiente, ya que nos interesa cuantificar la
importancia relativa de esta desviación. A tal efecto se introduce el concepto de error relativo.
El error relativo se define como el cociente entre el error absoluto y el valor verdadero.
∆x
(2)
xv
Se suele expresar en forma porcentual. Siempre que se exprese el resultado de una medida irá
acompañada de su error absoluto y además de la unidad correspondiente de la magnitud a que pertenece.
Así, si se mide cierta longitud obteniendo un valor x, debe expresarse:
er =
(x ± Δx) m
(3)
El error absoluto tiene un carácter de cota de imprecisión en nuestra medida. Aceptaremos el
convenio de expresar esta cota de error con sólo una cifra significativa(1). Sólo en los casos en que la
primera cifra significativa sea un 1 admitiremos una segunda cifra significativa. Si la primera cifra
significativa es un 2 admitiremos también una segunda cifra significativa, si ésta no llega al valor 5. En
todos los demás casos el error absoluto se dará con una sola cifra significativa, aumentando ésta una
unidad si la segunda es igual o supera al 5. El valor de la cantidad que expresamos como resultado de la
medida sólo tendrá las cifras necesarias para que su última cifra significativa sea del mismo orden
decimal que la última del error absoluto, llamada cifra de acotamiento.
A modo de ejemplo presentamos una tabla en donde se expresan los valores de distintas
cantidades con su cota de error. En la columna de la izquierda la expresión incorrecta y en la de la
derecha su expresión correcta, según los criterios arriba indicados.
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Valores expresados incorrectamente
3.467
7.8
37247
0.01738
0.012
±
±
±
±
±
Valores expresados correctamente
0.142
0.09
1562
0.0057
0.74
3.47
±
7.80
±
(3.72 ±
0.017 ±
0.0
±
0.14
0.09
0.16)x104
0. 006
0.7
Aunque el criterio adoptado anteriormente es simplemente un convenio, tiene su justificación. Es
fácil observar que, en ocasiones, el error que se comete al redondear a una cifra significativa es alto y
por ello es conveniente redondear a dos cifras, como se ha indicado anteriormente. Cuando la primera
cifra es un 1 o un 2, el porcentaje de error al tomar una sola cifra es muy alto, por eso conviene tomar
dos cifras. Si la primera cifra tiene valores más altos este error va disminuyendo y basta con redondear a
una sola cifra. Lo veremos con algunos ejemplos.
Cota de error sin redondeo
Redondeo a una sola cifra
0.155
0.235
0.255
0.355
0.455
0.555
0.855
0.2
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.9
(% de error)
(+29%)
(-15%)
(+17%)
(+13%)
(+ 9%)
(+ 8%)
(+ 5%)
Redondeo a dos cifras
(% de error)
0.16 (+ 3 %)
0.24 (+ 2.1%)
5.- CÁCULO DE ERRORES EN LAS MEDIDAS DIRECTAS
Como no se conoce el valor verdadero de la medida, que se pretende realizar, hay que hacer una
estimación de este valor verdadero. A partir de ahí habrá que hacer también una estimación de la cota de
error. Vamos a continuación a indicar los procedimientos para determinar ambos.
Consideraremos dos casos:
5.1. Caso en que se realiza una sola medida
Cuando se efectúa una sola medida, consideraremos que el error absoluto es la sensibilidad del
aparato de medida. Por tanto el resultado de nuestra medida será:
(x ± s) unidades
s = sensibilidad del aparato
(4)
5.2. Caso en que se realizan varias medidas de una misma cantidad de cierta magnitud física
Dado el carácter aleatorio del error accidental, cometido en toda medida, conviene repetir varias
veces la medida y analizar el grado de dispersión que aparece en los valores obtenidos. Esta dispersión
nos sirve de indicativo para decidir el número de veces que hemos de repetir la medida. Para ello
procederemos ateniéndonos a los siguientes criterios.
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Inicialmente se realizarán siempre tres medidas de la cantidad y se hallará su valor medio.
x3 =
∑x
i
(5)
3
Se calcula la dispersión, D, de las tres medidas que es la diferencia entre el mayor y menor valor
obtenidos. Si el valor D es menor o igual a la sensibilidad del aparato, D ≤ s, se toma como estimación
del valor verdadero de la cantidad, el valor medio de las tres medidas y como error absoluto la
sensibilidad del aparato.
( x3 ± s )unidades
(6)
En el caso de que D sea mayor que la sensibilidad del aparato se pasa a calcular el tanto por
ciento de dispersión, T(%) definido por:
D
;
T (%) = T x100
(7)
x3
Según sea este valor, procederemos a aumentar el número de medidas siguiendo las indicaciones que se
presentan en la siguiente tabla.
T=
Valor de T (%) en las tres primeras medidas
T (%) ≤ 2%
Número total de medidas
Bastan las tres medidas hechas
2% < T (%) ≤ 8%
Hay que hacer tres medidas más, hasta un total de 6
8% < T (%) ≤ 15%
Hay que completar hasta un total de 15 medidas
15% < T (%)
Hay que hacer al mínimo 50 medidas
Una vez hechas las medidas necesarias, se toma como resultado el valor medio de las mismas,
calculado sobre el número total de medidas efectuadas y la cota de error se calcula, según cada caso, de la
forma siguiente:
a) El número total de medidas es tres.
Se toma como error absoluto, ∆x, la sensibilidad del aparato: ∆x = s
b) El número total de medidas es seis.
Se calcula la dispersión, D6, de las seis medidas (diferencia entre la mayor y menor medida
obtenidas). Se toma como error absoluto el mayor de entre los valores, D6/4 y la sensibilidad del
aparato.
∆x = máx. (D6/4, s)
c) El número total de medidas es quince.
Se toma como error absoluto el error cuadrático medio de las quince medidas
4
(8)
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∆x =
∑ (x
i
− x15 ) 2
15
(9)
d) El número total de medidas es cincuenta o más.
La cota de error es la desviación estándar o error cuadrático medio, dada por:
∆x =
∑ (x
i
− x)2
N ( N − 1)
(10)
El procedimiento seguido en este caso se justifica porque una serie repetida de muchas medidas, de
la misma cuantía de una magnitud, se aproxima a la distribución normal o gaussiana. Tanto más, cuanto
mayor sea el número de medidas.
6.- CÁCULO DE ERRORES EN LAS MEDIDAS INDIRECTAS
Una cantidad, de cierta magnitud, se mide de forma indirecta cuando su valor se obtiene de una
relación matemática en la que intervienen cantidades medidas de forma directa aplicando directamente los
instrumentos de medida. Hallados los errores de las medidas directas, por el procedimiento indicado en el
apartado anterior, se puede deducir el error cometido en la medida indirecta. Por ejemplo cuando medimos
el volumen de un esfera, con un calibrador, no lo hacemos de forma directa sino que medimos su diámetro,
y luego se aplica la expresión matemática V = (4/3) π (d/2)3, donde d es diámetro medido directamente con
el calibrador.
Antes de explicar el procedimiento para obtener el error de la medida indirecta, debemos tener en
cuenta si en la fórmula aparecen números irracionales comoπ (3,14 15927...), el número e (2,7182818...) u
otros similares. Tendremos que elegir el número de cifras significativas de éstos de manera que los errores
cometidos al aproximar, estos números irracionales, no afecten sensiblemente al error de la medida que
queremos determinar.
Sea F función de las variables x, y, z (puede depender de más o menos variables que las
consideradas aquí a modo de ejemplo). Es decir podemos expresar que:
F = F(x, y, z)
(11)
Los valores de x, y, z se miden directamente, supongamos que conocemos su medida y las cotas de
error de las mismas, Δx, Δy y Δz respectivamente.
La expresión de la diferencial de F en función de las variables x, y, z es:
dF =
∂F
∂F
∂F
dx +
dy +
dz
∂x
∂y
∂z
(12)
5
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Aproximamos las diferenciales a los incrementos de las variables correspondientes y éstos los
consideramos como las estimaciones de los errores respectivos. En el cálculo de error como lo que
estimamos son cotas del mismo, nos ponemos en el caso más desfavorable, es decir consideraremos el
mayor error posible, para lo que tomamos los valores absolutos de las derivadas parciales y así eliminamos
cualquier compensación debida a la presencia de términos negativos en la expresión. Obtenemos por tanto:
∆F =
∂F
∂F
∂F
∆x +
∆y +
∆z
∂z
∂x
∂y
(13)
Los valores numéricos de las derivadas parciales se calculan sustituyendo en su expresión los
valores medios de x, y, z, considerados como las medidas verdaderas o más probables de dichas variables.
Los valores ∆x, ∆y y ∆z son los errores absolutos de estas medidas directas, que se calculan previamente.
Al valor de∆ F obtenido, se le aplican los criterios expuestos para una correcta selección de sus
cifras significativas que cumpla los convenios establecidos al respecto.
Vamos a considerar con detalle un tipo de función F, que permite una simplificación en el cálculo
de su error, ∆F.
Sea F de la forma
F = xa yb zc
(14)
Interesa calcular el logaritmo neperiano de F, que será
Ln( F ) = Ln( x a y b z c ) = a ⋅ Ln( x) + b ⋅ Ln( y ) + c ⋅ Ln( z )
(15)
Donde Ln significa logaritmo neperiano
Hallamos la diferencial de la expresión
d ( Ln( F )) = a ⋅ d ( Ln( x)) + b ⋅ d ( Ln( y )) + c ⋅ d ( Ln( z ))
(16)
teniendo en cuenta que la diferencial del logaritmo neperiano de una función f, cualquiera es
d ( Ln( f )) =
df
f
Esta relación llevada a la ecuación (16) nos proporciona:
6
(17)
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dF
dx
dy
dz
= a⋅ +b⋅ +c⋅
F
x
y
z
(18)
donde las diferenciales las sustituimos por los errores absolutos de las variables correspondientes, y así
obtenemos
∆F
∆x
∆y
∆z
(19)
= a⋅
+b⋅
+c⋅
F
x
y
z
y recordando la definición de error relativo, (ecuación (2)), la anterior relación puede expresarse como
∆F
= ε rF = a ⋅ ε rx + b ⋅ ε ry + c ⋅ ε rz
F
(20)
Como deseamos obtener ΔF, simplemente lo despejamos de (20)
∆F = ε rF ⋅ F
(21)
Vamos hacer una aplicación práctica de cálculo, de error en medida indirecta, a partir de una
función dada, F, de las variables x, y, z, u, v, w.
F=
Sea
( x + y) z
(u − v) w
(22)
supongamos que se han determinado los valores directos y sus errores de
x = 27,33 ± 0,13
y = 2,45 ± 0,05
z = 10,0 ± 0,1
u = 50,2
± 0,1
v = 1,033 ± 0,012
w = 3,26 ± 0,02
Con estos datos y aplicando la fórmula (22), se obtiene F = 1,856075594...
La expresión del error absoluto de F como medida indirecta es
∆F =
∂F
∂F
∂F
∂F
∂F
∂F
∆y +
∆z +
∆u +
∆v +
∆w
∆x +
∂x
∂y
∂z
∂u
∂v
∂w
(23)
Calculando las derivadas parciales se obtiene
∂F
z
=
∂x (u − v) w
∂F − ( x + y ) z
=
∂u (u − v) 2 w
∂F
z
=
∂y (u − v) w
∂F
( x + y) z
=
∂v (u − v) 2 w
∂F
x+ y
=
∂z (u − v) w
∂F − ( x + y ) z
=
∂w (u − v) 2 w
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(24)
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Tras sustituir los valores correspondientes y tomar el valor absoluto se obtiene
ΔF = 0,04428 (unidades)
(25)
Hay que poner las unidades puesto que se trata del error absoluto, en la medida indirecta, de una
cantidad de cierta magnitud física F, que en general tendrá dimensión. Aplicando el criterio de las cifras
significativas para el error absoluto, finalmente la expresión correcta del error calculado indirectamente es:
ΔF = 0.04 (unidades)
(26)
Por tanto el valor deducido y su cota de error será
F = (1.86 ± 0,04) unidades
(27)
7.- REPRESENTACIONES GRÁFICAS
En la mayoría de los casos es muy ilustrativo y conveniente representar en una gráfica los valores
obtenidos. Para ello se aplicarán los siguientes criterios.
a) Se utilizará papel milimetrado. Dependiendo del fenómeno físico analizado este papel será
de escala lineal doble (horizontal y vertical), semilogarítmico (una escala logarítmica y la
otra lineal) o doblemente logarítmico (las dos escalas logarítmicas).
b) Se trazarán los ejes de coordenadas, claros y nítidos con una regla, haciéndolos coincidir
con alguna línea del papel. En sus extremos se indicará la magnitud física representada y la
unidad de medida utilizada. El título de la gráfica se colocará en la parte superior y debe ser
escueto y claro.
c) La variable independiente se representará sobre el eje de abscisas y la dependiente en el de
ordenadas.
d) Las escalas, sobre ambos ejes, han de permitir una lectura rápida y sencilla. Con este fin se
marcarán a intervalos regulares de unidades, según convenga en caso, (de una en una, dos
en dos, etc.)
e) Las escalas abarcarán el intervalo correspondiente al total de las medidas obtenidas.
f) Las marcas sobre los ejes indicarán las divisiones enteras de la escala, quedando
uniformemente distribuidas. Nunca se marcarán los valores de la medidas realizadas, a no
ser que éstas coincidan con algunos valores de marca establecidos en la escala.
g) Los valores medidos se representarán, en el papel milimetrado, por los puntos
correspondientes a sus coordenadas (x, y). Cada uno de ellos es el punto experimentalmente
obtenido y debe ser rodeado por su rectángulo de error, cuya base abarca el intervalo [x –
Δx, x + Δx] y cuya altura abarca el intervalo [y - Δy, y + Δy]. En el caso de que Δx o Δy
sean despreciables, en comparación con las unidades empleadas en las escalas, el rectángulo
se quedará reducido a un segmento, bien vertical u horizontal según el caso. Si ambos
errores son despreciables, sólo se marcará el punto experimental.
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h) Las gráficas serán líneas finas y continuas, que han de pasar por los rectángulos de error.
Nunca se trazarán líneas quebradas para “obligarlas” a pasar por los puntos experimentales.
Si al hacer la representación algún punto queda muy alejado de la recta, se debe revisar el
dato e incluso, si es necesario, repetir la medida o eliminarlo si se tienen suficientes datos.
i) En el caso de que la gráfica sea una línea recta, que se ha ajustado por un procedimiento
matemático, la representación de la misma se hará en función de los parámetros obtenidos
que la definen; su pendiente y su ordenada en el origen.
8.- AJUSTE DE LA RECTA POR EL MÉTODO DE LOS MÍNIMOS CUADRADOS
Obtenidos los datos experimentales, N valores de x e y, se plantea el problema de encontrar la
expresión matemática que los relaciona, es decir y = f(x), y que representará la ley física que gobierna el
fenómeno analizado.
En la mayoría de los casos que se plantean en las experiencias de este Laboratorio, la relación entre
las variables x e y, suele ser prácticamente lineal y por tanto es necesario encontrar la expresión de la recta,
y = ax + b, que se ajusta a los datos experimentales (recta de regresión). El procedimiento matemático
seguido es el de los mínimos cuadrados, cuyo fundamento detallado y demostrado puede encontrarse en
cualquier libro de matemáticas, que aborde este tema con cierto nivel.
La recta ajustada, por mínimos cuadrados, debe satisfacer la condición de que la suma de los
cuadrados de las distancias de cada punto experimental a la recta, debe ser mínima. Estas distancias se
pueden medir verticalmente (regresión de y sobre x) u horizontalmente (regresión de x sobre y). En el
primer caso la condición es que
S = ∑ ( y i − axi − b) 2
(28)
sea mínima. Esta condición implica que la derivada de S respecto de a y de b sea nula. Imponiendo estas
condiciones se llega a que el valor de a que satisface la condición es
N
a=
Pendiente a, de la recta ajustada.
N
1
1
N
1
N
N ∑ xi − (∑ xi )
2
1
N
b=
Y el de b, ordenada en el origen.
n
N ∑ xi ⋅ y i − ∑ xi ⋅ ∑ y i
∑y
1
29)
2
1
N
i
− a ∑ xi
1
(30)
N
Otra expresión equivalente de b es
b=
N
N
N
N
1
1
N
1
N
1
∑ x12 ⋅ ∑ yi − ∑ xi ∑ xi yi
N ∑ x − (∑ xi )
2
i
1
(31)
2
1
Así se ha calculado la recta de regresión de y sobre x, cuya pendiente es a y su ordenada en el origen es b.
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Los errores en las determinaciones de a y b, son respectivamente
N ∑ ( y i − b − axi ) 2
∆a =
1
N
(32)
N
( N − 2)( N ∑ xi − (∑ xi ) )
2
1
2
1
N
∑ xi 2 (∑ ( yi − b − axi ) 2 )
∆b =
1
1
(33)
N
 N

( N − 2) N ∑ xi 2 − (∑ xi ) 2 


1
 1

El coeficiente de correlación lineal, r, nos indica el grado de dependencia lineal entre las variables x
e y. Este coeficiente viene dado por
r=
S xy
(34)
Sx ⋅ Sy
N
S xy =
donde
∑x y
i
1
N
i
−x⋅y
N
N
y
Sx =
∑x
1
N
(35)
2
i
− (x )
2
Sy =
∑y
1
N
2
i
− ( y) 2
(36)
El campo de variación de r es
-1 ≤ r ≤ +1
(37)
Si r = 1 la correlación es perfecta y positiva y está representada por una recta de pendiente positiva
Si r = -1 la correlación es perfecta negativa, representada por una recta de pendiente negativa
Si r = 0 la correlación es nula
Si r toma valores muy lejanos a ± 1, ello indica que el ajuste no es muy bueno.
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9.- INTERPOLACIÓN EN TABLAS DE SIMPLE ENTRADA
Las tablas de simple entrada nos proporcionan el valor de una variable x en función de otra z o
viceversa. A veces necesitamos conocer el valor que toma z para un valor de x, que no viene en la tabla.
x1 → z 1
x1 ≤ x ≤ x2
x
valores en la tabla
→ z
no aparecen en la tabla
x2 → z2
valores en la tabla
Suponiendo que la relación entre x y z es aproximadamente lineal, el valor de z viene dado por
z = z1 +
z 2 − z1
( x − x1 )
x 2 − x1
(38)
z 2 − z1
⋅ ∆x
x 2 − x1
(39)
y el error de z vale
∆z =
10.- INTERPOLACIÓN EN TABLAS DE DOBLE ENTRADA
Las tablas de doble entrada cada pareja de variables (x, y) nos proporciona un valor de la variable z.
Sea la tabla
x1
x2
x3
x4
x5
x6
y1
z11
z21
z31
z41
z51
z61
y2
z12
z22
z32
z42
z52
z62
y3
z13
z23
z33
z43
z53
z63
y4
z14
z24
z34
z44
z54
z64
y5
z15
z25
z35
z45
z55
z65
y6
z16
z26
z38
z46
z56
z66
Supongamos que se desea conocer el valor de z correspondiente a (x, y) tales que
x2 ≤ x ≤ x3
y
y4 ≤ y ≤ y5
La relación aproximada, que por interpolación, nos proporciona este valor es
z = z 24 +
z 34 − z 24
z − z 24
( x − x 2 ) + 25
( y − y4 )
x3 − x 2
y5 − y 4
11
(40)
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y el error de z es
∆z =
z 34 − z 24
z − z 24
∆x + 25
∆y
x3 − x 2
y5 − y 4
(41)
Si en la tabla no se especifican los errores de los valores, que en ella aparecen, se tomará, como
error absoluto, una unidad del orden de la última cifra con que se expresan.
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