MANEJO Y CONTROL DE INVENTARIOS

Tema 1 Álgebra Lineal
Matemáticas
TEMA 1. ÁLGEBRA LINEAL
1- VECTORES DE ℝ n
Definición 1
ℝ n = { ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) / x 1 , x 2 , . . . , x n ∈ ℝ } (n-tuplas de nos reales ordenadas)
Definimos en este conjunto 2 operaciones:
Suma (+)
Para cualesquiera 2 elementos, ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) , ( y 1 , y 2 , . . . , y n ) de ℝ n
(x1,x2,...,xn)+(y1,y2,...,yn)=(x1+y1,x2+y2,...,xn+yn)
Producto por un escalar ( . ℝ )
λ.( x 1 , x 2 , . . . , x n ) = ( λ x 1 , λ x 2 , . . . , λ x n )
El conjunto ℝ n con estas dos operaciones tiene estructura de espacio vectorial y
por ello sus elementos pueden ser llamados vectores.
Definición 2
El vector v ∈ ℝ n se dice que es combinación lineal de los vectores v1,v2,....,vr
si existen escalares (números reales) c1,c2,....,cr tal que v = c1v1+c2v2+......+crvr.
Ejemplo. En ℝ n el vector (5,13,2) es combinación lineal de los vectores (2,1,2) y
(1,4,0) pues existen los dos números: 1 y 3 tales que (5,13,2) =1.(2,1,2) +3.(1,4,0), por
lo tanto el primer vector es combinación lineal de los otros dos.
Definición 3
n
Los vectores v1,v2,....,vr ∈ ℝ se dicen linealmente independientes (l.i.) ( o
bien, que la familia de vectores{ v1,v2,....,vr } es libre) si cualquier combinación lineal
de ellos igualada a “0” obliga a que todos los escalares sean cero, es decir
Si c1 v1+c2 v2+......+cr vr = 0 (vector nulo de ℝ n)
⇒
c1 = c2=.....= cr =0
Si la familia de vectores no es libre, se dice que los vectores v1,v2,....,vr son
linealmente dependientes o que la familia { v1,v2,....,vr } es ligada.
Ejemplo. Los vectores (1,2) y (2,5) de ℝ 2 son linealmente independientes, pues si
existen dos escalares c1 y c2 tales que c1.(1,2) + c2.(2,5)=(0, 0) (el "0" de ℝ 2) implica
1
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Matemáticas
⎧ c1 + 2c 2 = 0
que (c1+2c2,2c1+5c2)=(0,0) luego ⎨
. Resolviendo este sistema se obtiene
⎩2c1 + 5c 2 = 0
que c1 = c2 = 0. Por lo tanto son linealmente independientes. Sin embargo no lo son los
vectores (1,2) y (2,4).
Propiedades
i) Si una familia de vectores es libre ningún vector de ésta se puede poner como
combinación lineal de los demás.
ii) Cualquier familia de vectores que contenga al vector nulo no es libre.
iii) Si S es una familia libre de vectores entonces cualquier subfamilia de S también lo
es.
iv) En ℝ n, los n vectores
⎧ (a 11 , a 12 ,......., a 1n )
⎪ (0, a ,......., a )
22
2n
⎪
⎪⎪(0, 0, a 33 ,..., a 3n )
(*) ⎨
con aij∈ℝ
y aii ≠ 0, son linealmente
..........
..........
.........
⎪
⎪ .............................
⎪
⎩⎪(0, 0, 0,... , a nn )
independientes. Por iii), cualquier subfamilia de esa familia también es libre.
Ejemplo. En ℝ 4 la familia de vectores { (1,2,4,5), (0,2,0,1), (0,0,3,1), (0,0,0,4)} es
libre. Pero también lo son por ejemplo sus subfamilias: { (1,2,4,5), (0,2,0,1), (0,0,0,4)}
o { (0,0,3,1), (0,0,0,4)}.
La ventaja de la familia anterior (*) es que si los vectores son de ese tipo, resulta
sencillo ver que son linealmente independientes.
2- MATRICES DE NÚMEROS REALES
Una matriz A de números reales de orden (n x m) es una colección de números
reales dispuestos en “n” filas y “m” columnas de la forma
⎛ a11 a12 a13 ..............a1m ⎞
⎟
⎜
⎜ a 21 a 22 a 23 ..............a 2 m ⎟
⎜ a a a ..............a ⎟
3m
⎟.
A= ⎜ 31 32 33
⎜ −−−−−−−−−− ⎟
⎜ −−−−−−−−−− ⎟
⎟
⎜
⎜ a a a ..............a ⎟
nm ⎠
⎝ n1 n 2 n 3
Notación: A = (aij) ∈Mnxm.
2
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Matemáticas
Definición 4
•
Si m = n se dice que A es una matriz cuadrada. Notación: A∈Mn
•
Dada A ∈Mn, se dice que es triangular superior si aij = 0 ∀ i > j.
- se dice que es triangular inferior si aij = 0 ∀i < j.
- se dice que es diagonal si aij = 0 ∀ i≠j.
- se dice que es escalar si es una matriz diagonal tal que aii = t ∀ i.
Si t = 1 entonces se le llama matriz identidad o unidad.
Notación: In.
•
Una matriz de orden (1 x m) se le llama Matriz fila.
•
Una matriz de orden (n x 1) se le llama Matriz columna.
•
Dada una matriz A = (aij) ∈Mnxm, se le llama matriz traspuesta de A, a una matriz
B = (bij) ∈Mmxn tal que bij = aji ∀i, j. Notación B = At.
•
Una matriz A se dice simétrica si At =A
•
Una matriz A se dice antisimétrica si At = -A
(aij = aji ∀i, j).
(aij = - aji ∀i, j).
Operaciones con matrices
Suma de matrices
Sean dos matrices A = (aij) y B = (bij) ∈Mnxm
A+B = C = (cij)
Producto por un escalar
t.A = C = (cij)
Producto de matrices
con cij = aij + bij ∀i,j
Dada A = (aij) ∈ Mnxm, t ∈ ℝ
con cij = t.aij ∀i,j
Dadas dos matrices A = (aij) ∈Mnxm y B = (bij)∈Mmxp
A.B = C = (cij) ∈Mnxp
con cij = ai1 . b1j +ai2 .b2j +.......+aim .bmj =
= (fila i de A). (columna j de B)
- Propiedades del producto de matrices •
El producto de matrices no es conmutativo: A.B ≠ B.A
•
El producto de matrices es asociativo: A.(B.C) = (A.B).C
•
El producto de matrices es distributivo respecto de la suma: A.(B+C) = A.B + A.C
y (B+C).A = B.A + C.A
3
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•
Se verifica que ∀A∈Mn A.In=In.A,
Matemáticas
⎛ 1 0 0 ..............0 ⎞
⎜
⎟
⎜ 0 1 0 ..............0 ⎟
⎜ 0 0 1 ..............0 ⎟
⎟ (matriz identidad)
In = ⎜
⎜−−−−−−−−⎟
⎜−−−−−−−−⎟
⎜
⎟
⎜ 0 0 0 ..............1⎟
⎝
⎠
Ejemplo
⎛ −1 2⎞
⎟⎟ , B =
1) Dadas A = ⎜⎜
⎝ 1 3⎠
⎛ −1 5 0⎞
⎜⎜
⎟⎟ y C =
⎝ 2 1 6⎠
Comprobar que
A.(B+C) = A.B + A.C
⎛ −1 2⎞
⎟⎟ y B =
2) Si son A = ⎜⎜
⎝ 1 3⎠
⎛ 2 1 6⎞
⎜⎜
⎟⎟
⎝ −1 0 6⎠
⎛ − 2 1⎞
⎜⎜
⎟⎟ , comprobar A.B ≠ B.A
⎝ − 3 5⎠
3- DETERMINANTES
El determinante es una función D que asocia a cada matriz cuadrada A un
número real D(A) = ⎜Α ⎜= det A.
D: Mn (ℝ ) ∼∼∼∼→ ℝ
A ∼∼∼∼→ D(Α)= ⎜Α ⎜
Hay varias formas de definir el determinante de una matriz. Daremos una
definición inductiva.
Definición 5
• Dada una matriz A de orden (1 x 1)
A = (a11), ⎜Α ⎜= a11
• Sea A = (aij) ∈ Mn(ℝ ). Suponemos definido el determinante de las matrices
cuadradas de orden (n-1). Para cada i, j fijos (1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ n), sea Aij la matriz
cuadrada de orden (n-1) que resulta de suprimir en la matriz A la fila i y la columna
j.
Definimos:
⎜Α ⎜= ∑ (−1) i+ j a ij A i j = ∑ (−1) i+ j a ij A i j
i =1
j=1
n
n
La primera expresión se llama desarrollo de un determinante por los elementos
de la fila i- ésima. La segunda, desarrollo por los elementos de la columna j-ésima.
4
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Matemáticas
Determinante de una matriz (2 x 2)
a11
a12
a 21
a 22
= (-1)1+1. a11. ⎜a22 ⎜+ (-1) 1+2.a12.⎜a21 ⎜= a11.a22 - a12.a21
Comprobar que el determinante es el mismo si desarrollamos por la segunda fila
o por cualquiera de las columnas.
Determinante de una matriz (3 x 3)
a11
a12
a 21
a31
a 22
a32
a13
a
a 23 = (-1)1+1. a11. 22
a32
a 33
a 23
a
+ (-1)1+2.a12. 21
a33
a 31
a 23
a
+ (-1)1+3. a13. 21
a33
a 31
a 22
a32
= a11.( a22.a33 - a23.a32 ) - a12.( a21. a33 - a23.a31 ) + a13.( a21.a32 - a22.a31 )
= a11. a22.a33 + a12.a23.a31 + a13. a21.a32 - a11.a23.a32 - a12. a21. a33 - a13. a22.a31
Ejercicio. El determinante de una matriz triangular superior (o inferior) es igual al
producto de los elementos de su diagonal principal.
a 11
0
...
0
a 12
a 22
...
0
....... a 1n
....... a 2n
= a11.a22......ann
...
...
... a nn
Propiedades de los determinantes
1) El determinante de una matriz es igual al de su traspuesta ⎜Α ⎜= ⎜ΑT ⎜
2) Si multiplicamos una fila ( o columna) por un escalar t el determinante queda
multiplicado por este escalar.
⎜A 1 , A 2 , . . . . , t . A i , . . , A n ⎜= t. ⎜ A 1 , A 2 , . . . . , A i , . . , A n ⎜= t. ⎜Α ⎜
En consecuencia
⎜t.Α ⎜= ⎜t . A 1 , t . A 2 , . . . . , t . A i , . . , t . A n ⎜= tn. ⎜Α ⎜
3) Si intercambiamos entre sí dos filas ( o dos columnas) el determinante cambia de
signo.
4) Si A 1 , A 2 , . . , . , A n , B 1 , B 2 , . , . , B n son vectores fila, entonces ∀i = 1,......,n
⎜A1,A2,..,Ai + Bi,.,An⎜ = ⎜A1,A2,..,Ai,.,An⎜ + ⎜A1,A2,..,Bi,.,An⎜
5) Si dos filas ( o columnas) son iguales o proporcionales el determinante vale cero.
6) Si sustituimos una fila Ai por Ai + t.Ak i ≠k (e. d. si a una fila le sumamos una
combinación lineal de otra), el determinante no varía.
5
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(Las propiedades 4) y 6) tienen sus análogas para columnas)
Estas propiedades permiten calcular ⎜Α ⎜ triangulando la matriz.
7) Si A, B ∈Mn(ℝ ), se verifica que: ⎜Α.B ⎜= ⎜Α ⎜.⎜B ⎜
Ejercicios
1
0
−1 1
i) Calcular
1
3
2 −1
1
0
−1 1
1
3
2 −1
1 2
2 −1
2 2
0 1
1 2
1 0
1
2
1
3
1
1 3
1
2 −1
0 1
3
1
=
= 3
1
0 = 0 −8 −3 =
2 2
0 3
1
0
−1 − 2 − 3
0 1 −2
0 1
0 −1 − 2 − 3
=
1
x
ii) Probar que 2
x
x3
1
y
y2
y3
−8 −3
= (-8) (-2) – (-3) = 16 + 3 = 19
1 −2
1
z
z2
z3
1
t
= (y - x). (z - x). (z - y). (t-x). (t - y). (t - z)
t2
t3
x 1 1 1
1 x 1 1
iii) Probar que
= (x + 3).(x - 1)3
1 1 x 1
1 1 1 x
Una aplicación de los determinantes: El cálculo de la inversa de una matriz
Definición 6
Sea A una matriz cuadrada de orden n; se dice que A es una matriz regular o
inversible si existe otra matriz cuadrada de orden n, B, tal que A.B = B.A = In. La
matriz B se llama inversa de A y se representa por A-1.
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Matemáticas
A continuación mostraremos una forma para calcular la inversa de una matriz
dada a partir del cálculo de varios determinantes. Antes necesitamos conocer otra
definición.
Definición 7
Dada la matriz A = (aij) ∈ Mn(ℝ ), se llama adjunto del elemento aij, y se
w
w
representa por Aij , al número Aij =(-1)i+j. ⎜Αij ⎜. Se llama matriz adjunta de A,
Adj(A), a la wmatriz que resulta de sustituir en A cada elemento por su adjunto, es decir:
Adj(A) =( Aij ).
Teniendo en cuenta esta definición, la inversa de una matriz A es la matriz
A-1 =
1
Adj ( AT )
A
⎛1 0 3 ⎞
⎟
⎜
Ejercicio: Calcular la inversa de la matriz A = ⎜ 2 1 4 ⎟
⎜ 1 0 − 1⎟
⎠
⎝
⎜Α ⎜=
1 4
2 1
+ 3.
= -1 - 3 = -4
0 −1
1 0
⎛1 2 1 ⎞
⎟
⎜
AT = ⎜ 0 1 0 ⎟ , Adj (AT) =
⎜ 3 4 − 1⎟
⎠
⎝
⎛ − 1 0 − 3⎞
⎟
⎜
⎜ 6 − 4 2 ⎟ , A-1 =
⎜−1 0
1 ⎟⎠
⎝
3 ⎞
⎛ 1
⎜ 4 0
4⎟
⎟
⎜− 3
−
1
1
2⎟
⎜ 2
⎜ 1
0 −1 ⎟
4⎠
⎝ 4
4- RANGO DE UNA FAMILIA DE VECTORES
Definición 8
Llamaremos Rango de la familia de vectores de ℝ n, { v1,v2,....,vr}, al máximo
número de vectores linealmente independientes existentes en esa familia.
Nota. En ℝ n, el rango de cualquier familia de vectores no puede ser mayor estricto que
“n”, es decir siempre ha de ser menor o igual a “n”.
Ejemplos:
a) El rango de la familia de ℝ 4 { (1,2,4,5), (0,2,0,0), (0,0,3,1), (0,0,0,4)} es 4
puesto que son linealmente independientes.
b) El rango de la familia de ℝ 3 { (1,2,4), (0,2,0), (0,0,0)} es 2. Recordar que el
vector nulo, (0,0,0), no puede estar en ninguna familia libre (propiedad ii)), los 2
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vectores restantes (1,2,4) y (0,2,0) son l.i. y por tanto “2” es el máximo número de
vectores linealmente independientes.
Operaciones elementales con vectores
Las siguientes operaciones no modifican el rango de una familia de vectores y
por lo tanto pueden ser realizadas en dicha familia sin que éste cambie:
1) Sumarle a un vector una combinación lineal de otro.
rg { v1,v2,..., vi, ....,vk,......,vr} = rg { v1,v2,..., vi, ....,vk+t.vi,......,vr} ∀ t∈ℝ .
2) Multiplicar un vector por un escalar distinto de 0.
rg { v1,v2,..., vi, .............,vr} = rg { v1,v2,..., s.vi, .............,vr}
∀ s ∈ℝ , s ≠0.
3) Intercambiar entre sí dos vectores de la familia.
rg { v1,v2,..., vi, ....,vk,......,vr} = rg { v1,v2,..., vk, ....,vi,......,vr}
Ejemplos. Calcular el rango de las siguientes familias de vectores:
1) { (1,2), (3,1)} de ℝ 2
1
2
1
2
≈
3
1
0
-5
El rango de la 2ª familia es 2, luego el
de la 1a también es 2.
1
1
1
0
0
0
2) { (1,1,1), (3,3,3)} de ℝ 3
1
1
1
3
3
3
≈
El rango de la 2a es 1 luego
también el de la 1a.
3) { (1,0,0,4), (3,3,3,0), (2,0,0,8), (1,1,1,1)} de ℝ 4
≈
1
3
2
1
0
3
0
1
0
3
0
1
4
0
8
1
1
0
0
0
0
1
3
0
0
1
3
0
4
-3
-12
0
≈
1
0
0
0
0
3
0
1
0
3
0
1
4
-12
0
-3
≈
1
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
4
-3
-3
0
8
≈
Tema 1 Álgebra Lineal
Matemáticas
El rango de la 4a familia es 3, pues los tres primeros vectores son l.i. (el último
no lo es pues es el vector nulo de ℝ 4 ) y éste será el de la 1a familia.
5- RANGO DE UNA MATRIZ
⎛ a11 a12 a13 ..............a1m ⎞
⎟
⎜
⎜ a 21 a 22 a 23 ..............a 2 m ⎟
⎜ a a a ..............a ⎟
3m
⎟ de orden (n x m), se puede
Dada una matriz A= ⎜ 31 32 33
⎜ −−−−−−−−−− ⎟
⎜ −−−−−−−−−− ⎟
⎟
⎜
⎜ a a a ..............a ⎟
nm ⎠
⎝ n1 n 2 n 3
interpretar como m vectores columna, de ℝ n, que son las m columnas de A:
(
A = A 1 , A 2 , ..........., A m
)
A1 = (a 11 , a 21 , ....., a n1 ) , ................... , Am = (a 1m , a 2m , ....., a nm )
o como n vectores fila, de ℝ m , que son las n filas de A:
A = (A1,A2,...,...,An)
(
)
(
A1 = a 11 , a 12 , ........, a 1m , ..................., An = a n1 , a n2 , ........, a n m
)
Definición 9
•
Sea A una matriz de orden (n x m). Se define el rango de A como el rango de la
familia formada por sus vectores fila o el de la formada por sus vectores columna.
rg A = rg { A 1 , A 2 , . . . , A n } = rg { A 1 , A 2 , . . . , A m }
•
Dos matrices A y B ∈M nxm , se dicen equivalentes si tienen el mismo rango.
Notación. A ≈ Β.
Ejemplo:
⎛1 0 0⎞
⎟
⎜
Probar que rg A = 3 y rg B = 2 siendo A = ⎜ 0 2 5 ⎟
⎜0 0 1⎟
⎠
⎝
⎛1
⎜
⎜2
y B = ⎜5
⎜
⎜4
⎜3
⎝
- Los 3 vectores fila de A son independientes, luego rg A = 3.
- Calculemos ahora el rango de B.
9
0
1
1
1
0
2 − 1⎞
⎟
0 3 ⎟
6 0 ⎟
⎟
4 1 ⎟
6 − 3 ⎟⎠
Tema 1 Álgebra Lineal
⎛1
⎜
⎜2
⎜5
⎜
⎜4
⎜3
⎝
0
1
1
1
0
Matemáticas
2 − 1⎞
⎛ 1 0 2 − 1⎞ ⎛ 1 0 2 − 1⎞
⎟
⎟ ⎜
⎟
⎜
0 3 ⎟
⎜0 1 − 4 5 ⎟ ⎜0 1 − 4 5 ⎟
6 0 ⎟ ≈ ⎜0 1 − 4 5 ⎟ ≈ ⎜0 0 0
0 ⎟ luego rg B = 2.
⎟
⎟ ⎜
⎟
⎜
4 1 ⎟
0⎟
⎜0 1 − 4 5 ⎟ ⎜0 0 0
⎜0 0 0
6 − 3 ⎟⎠
0 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 0 0
0 ⎟⎠
⎝
Propiedad: Recuerda la propiedad 5) de los determinantes, decía:
5) Si dos filas ( o columnas) son iguales o proporcionales, el determinante vale cero.
Date cuenta que si dos filas (o columnas) son iguales o proporcionales, el rg A <n.
Puede afirmarse que se verifica la siguiente propiedad más general:
⎜Α ⎜ = 0 ⇔ rg A < n ; o lo que es lo mismo ⎜Α ⎜ ≠ 0 ⇔ rg A = n.
6- SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Definición 10
Denominamos Sistema lineal de n ecuaciones con m incógnitas a un conjunto de
ecuaciones de la forma:
donde aij, bi ∈ℝ
⎧ a11 x1 + a12 x 2 + ...... + a1m x m = b1
⎪a x + a x + ...... + a x = b
22
2
2m m
2
⎪⎪ 21 1
−−−−−−−−−−−−
⎨
⎪
−−−−−−−−−−−−
⎪
⎪⎩a n1 x1 + a n 2 x 2 + ...... + a nm x m = bn
1 ≤ i ≤n 1 ≤ j ≤ m
Los elementos aij son los coeficientes del sistema, xj son las incógnitas y los bi
son los términos independientes. El sistema se puede expresar de forma matricial:
(I)
⎛ a11 a12 a13 ..............a1m ⎞
⎟
⎜
⎜ a 21 a 22 a 23 ..............a 2 m ⎟
⎜ a a a ..............a ⎟
3m
⎟.
⎜ 31 32 33
⎜ −−−−−−−−−− ⎟
⎜ −−−−−−−−−− ⎟
⎟
⎜
⎜ a a a ..............a ⎟
nm ⎠
⎝ n1 n 2 n 3
⎛ x1 ⎞
⎜ ⎟
⎜ x2 ⎟
⎜x ⎟
⎜ 3 ⎟=
⎜ .. ⎟
⎜ .. ⎟
⎜ ⎟
⎜x ⎟
⎝ m⎠
⎛ b1 ⎞
⎜ ⎟
⎜ b2 ⎟
⎜x ⎟
⎜ 3⎟
⎜ .. ⎟
⎜ .. ⎟
⎜ ⎟
⎜b ⎟
⎝ n⎠
⇔
A.X = b
A la matriz A se le llama Matriz de coeficientes del sistema y a la matriz (A b)
Matriz ampliada del sistema.
10
Tema 1 Álgebra Lineal
Matemáticas
Definición 11
• Llamaremos solución del sistema ( I ) a cualquier m-tupla (z1, z2,....,zm) ∈ ℝ m tal
que al sustituir estos valores zi en las incógnitas se cumplan las n ecuaciones del
sistema.
Conjunto de soluciones del sistema = { (z1, z2,...., zm) ∈ ℝ m | v erifican ( I ) }
• El sistema ( I ) se dice Compatible si posee alguna solución e Incompatible en
caso contrario.
⎛ 0⎞
⎜ ⎟
⎜ 0⎟
• Si b = ⎜ ⎟ el sistema se llama Homogéneo.
..
⎜ ⎟
⎜ 0⎟
⎝ ⎠
• Dos sistemas se dicen equivalentes si y sólo si tienen las mismas soluciones.
Operaciones elementales (*) que no alteran las soluciones de un sistema de ecuaciones
Haciendo uso de ellas se irán obteniendo sistemas equivalentes:
1- Intercambiar entre sí dos ecuaciones (equivale a intercambiar entre sí dos filas de la
matriz ampliada)
2- Multiplicar una ecuación por un escalar distinto de cero (equivale a multiplicar una
fila de la matriz ampliada por ese escalar)
3- Sumarle a una ecuación otra multiplicada por un escalar cualquiera (equivale a
sumarle a una fila de la matriz ampliada una combinación lineal de otra)
Teorema de Rouché-Frobenius
El sistema (I) tiene solución ⇔ rg(A) = rg(A b)
⎧Si rg ( A ) ≠ rg ( A b ) Sistema Incompatible
⎪
⎪
⎨ ⎧ Si rg ( A ) = rg ( A b) < nº de incógnitas Sistema Compatible Indeterminado
⎪⎨
⎪⎩ ⎩ Si rg ( A ) = rg ( A b) = nº de incógnitas Sistema Compatible Determinado
Nota: Un sistema homogéneo siempre tiene solución (la solución es x1 = 0,..., xm = 0)
luego es siempre es Compatible.
11
Tema 1 Álgebra Lineal
Matemáticas
Método de eliminación de Gauss para la resolución de sistemas de ecuaciones
Dado el sistema de ecuaciones lineales A.X = b podemos transformarlo,
haciendo las operaciones elementales indicadas en (*), en otro equivalente que resulte
más sencillo de estudiar.
Ejemplos
⎧ x1 + x 2 + x3 − x 4 = 1
⎪ x − x + x + 2x = 2
⎪ 1
2
3
4
1) Estudiar y resolver el siguiente sistema ⎨
⎪ x1 + x 2 − 3 x 4 = − 2
⎪⎩ x1 + x 2 + 3 x3 = 4
⎛1 1
⎜
⎜1 − 1
A= ⎜
1 1
⎜
⎜1 1
⎝
1 − 1⎞
⎟
1 2 ⎟
0 − 3⎟
⎟
3 0 ⎟⎠
⎛1 1
⎜
⎜1 − 1
(A b) = ⎜
1 1
⎜
⎜1 1
⎝
1 −1 1 ⎞
⎟
1 2
2 ⎟
0 − 3 − 2⎟
⎟
3 0
4 ⎟⎠
Haremos operaciones elementales en la matriz ampliada del sistema, (A b):
1 −1 1 ⎞
1 −1 1 ⎞
⎛1 1
⎛1 1
⎜
⎜
⎟
⎟
3
1 ⎟
3
1 ⎟
⎜0 − 2 0
⎜0 − 2 0
(Α b) ≈ ⎜
≈ ⎜
≈
0 0 − 1 − 2 − 3⎟
0 0 − 1 − 2 − 3⎟
⎜
⎜
⎟
⎟
⎜0 0
⎜0 0
0 − 3 − 3 ⎟⎠
2
1
3 ⎟⎠
⎝
⎝
1 −1 1 ⎞
⎛1 1
⎜
⎟
3
1 ⎟
⎜0 − 2 0
⎜ 0 0 − 1 − 2 − 3 ⎟ El sistema inicial es equivalente a
⎜
⎟
⎜0 0
0
1
1 ⎟⎠
⎝
⎧ x1 + x 2 + x3 − x 4 = 1
⎪ − 2 x + 3x = 1
⎪
2
4
⎨
⎪ − x3 − 2 x 4 = − 3
⎪⎩
x4 = 1
En este último sistema rg(A) = rg(A b) = 4 (nº incógnitas) luego es sistema
compatible determinado y por tanto tiene una única solución que es:
x1 = 0; x2 = 1; x3 = 1; x4 = 1
2) Calcular los valores de a y b para que el siguiente sistema homogéneo tenga solución
no trivial
12
Tema 1 Álgebra Lineal
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪⎩
Matemáticas
x1 - a x 2 + x 3 = 0
x1 - x 2 - x 3 = 0
2x 1 - x 2 - bx 3 = 0
x2 + x3 = 0
Se trata de un sistema de 4 ecuaciones con 3 incógnitas. Para que tenga solución
no trivial es necesario que el rango de la matriz de coeficientes (que coincide, por ser
homogéneo, con el rango de la matriz ampliada) sea menor que 3
⎛1 - a 1
⎜
⎜ 1 -1 -1
(A b) ≈ ⎜
2 -1 - b
⎜
⎜0 1 1
⎝
-1
⎛ 1 -1
⎜
1
⎜0 1
⎜ 0 1- a
2
⎜
⎜0 1 2 - b
⎝
0 ⎞ ⎛ 1 -1 -1
⎟ ⎜
0⎟ ⎜ 0 1 1
≈
0⎟ ⎜1 - a 1
⎟ ⎜
0 ⎟⎠ ⎜⎝ 2 - 1 - b
0⎞
⎟
0⎟
≈
0⎟
⎟
0 ⎟⎠
0⎞
⎟
0⎟
≈
0⎟
⎟
0 ⎟⎠
⎛1 -1 -1
⎜
1
⎜0 1
⎜0 0 a +1
⎜
⎜0 0 1- b
⎝
0⎞
⎟
0⎟
0⎟
⎟
0 ⎟⎠
Por lo tanto es necesario que a + 1 = 0 y 1 – b = 0. Luego sólo en el caso en
el que a = -1 y b = 1 se verifica que el rg (A ) = rg (A b) <3.
Para cualesquiera otros valores de a y b ( a ≠ -1 o bien b ≠ 1) se verifica que
rg (A) = rg (A b) = 3 = nº de incógnitas, sería compatible determinado y por tanto
tendría solución única, la trivial ( x1 = x2 = x3 = 0).
⎧ (a + 1)x + y + z = a + 1
⎪
3) Estudiar el siguiente sistema ⎨ x + (a + 1)y + z = a + 3
⎪x + y + (a + 1)z = − 2a − 4
⎩
1 ⎞
⎛a + 1 1
⎟
⎜
A= ⎜ 1
a +1
1 ⎟
⎜ 1
1
a + 1⎟⎠
⎝
1
a +1 ⎞
⎛a + 1 1
⎟
⎜
(Ab) = ⎜ 1
a +1
1
a+3 ⎟
⎜ 1
1
a + 1 − 2a − 4 ⎟⎠
⎝
Empezamos calculando el determinante de la matriz del sistema, operando obtenemos:
⎜Α ⎜= (a+3) a2. Según este resultado se tiene que:
•
Para cualesquiera valores de a ≠ -3, 0, se verifica que rg (A) = rg (A b) = 3 =
nº de incógnitas, el sistema sería compatible determinado y por tanto tendría
solución única.
• Si a = 0, tenemos
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Tema 1 Álgebra Lineal
Matemáticas
⎛1 1 1 1 ⎞ ⎛ 1 1 1 1 ⎞
⎟ ⎜
⎟
⎜
(A b) = ⎜1 1 1 3 ⎟ ≈ ⎜ 0 0 0 2 ⎟
⎜1 1 1 − 4 ⎟ ⎜ 0 0 0 − 5 ⎟
⎠ ⎝
⎠
⎝
En este caso se verifica que rg (A) =1 ≠ rg (A b) = 2, luego el sistema sería
incompatible y por tanto no tendría solución
• Si a = -3, tenemos
1 − 2⎞ ⎛ 1
1 − 2 2 ⎞ ⎛1 1 − 2 2 ⎞
⎛− 2 1
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟
⎜
(Ab)= ⎜ 1 − 2 1
0 ⎟ ≈ ⎜ 1 −2 1
0 ⎟ ≈ ⎜ 0 − 3 3 − 2⎟ ≈
⎜ 1
1 − 2 2 ⎟⎠ ⎜⎝ − 2 1
1 − 2 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 3 − 3 2 ⎟⎠
⎝
⎛1 1 − 2 2 ⎞
⎟
⎜
⎜ 0 − 3 3 − 2⎟
⎜0 0
0
0 ⎟⎠
⎝
En este caso se verifica que rg (A) = 2 = rg (A b) ≠ nº de incógnitas, luego el
sistema sería compatible indeterminado y por tanto tendría infinitas soluciones.
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