Equilibrio térmico • Cuando luz incide sobre un cuerpo, parte de

Equilibrio térmico
• Cuando luz incide sobre un cuerpo, parte de ésta es reflejada y otra parte es absorbida
por el cuerpo.
• La luz absorbida aumenta la energía interna del cuerpo, aumentando su temperatura.
• El cuerpo contiene cargas eléctricas que son aceleradas al aumentar la temperatura. Esto
produce emisión de luz, lo que implica una pérdida de energía interna del cuerpo, bajando
su temperatura.
• El equilibrio térmico se logra a una temperatura T tal que la energía emitida por unidad
de tiempo es igual a la energía absorbida por unidad de tiempo.
• La radiación emitida se llama radiación térmica.
Cuerpo negro
Un cuerpo que absorbe toda la radiación que incide en él se llama Cuerpo Negro Ideal(CNI).
Ley de Stefan(1879)-Boltzmann:La potencia por unidad de área R emitida por un CNI es:
R = σT 4
W
T: temperatura absoluta. σ = 5.6703 × 10−8 m2K 4 es la constante de Stefan
Un objeto que no es un CNI, emite menos energía por unidad de área que un cuerpo negro.
En ese caso: R = εσT 4, ε 6 1 es el coeficiente de emisividad del objeto.
Ejemplos
→ Tamaño de una estrella: La longitud de onda de emisión máxima de la estrella(color) dice
que la temperatura en la superficie es T = 3000K. La estrella radía con una potencia
100P⊙ P⊙ es la potencia del Sol con temperatura en la superficie de 5800K.Encontrar
el tamaño de la estrella.
2 4
2 4
Pe
P⊙
re
re
Te
30
4
4 Pe
Sol:Re = 4πr2 = σTe , RS = 4πr2 = σTS , P = r
,100
=
,
r
T
58
e
re
rS
S
⊙
S
2
58
= 10 30 ,re = 37.4rS , rS = 6.96 × 108m
S
S
Distribución espectral
R(λ)dλ: potencia por unidad de área emitida entre λ y λ + dλ, λ=longitud de onda.
Figura 1. Distribución espectral del CNI a distintas temperaturas(1900).
Ley de Wien
Ley de Desplazamiento de Wien(1893):La distribución espectral tiene un máximo para
λ = λm con
λmT = 2.898 × 10−3mK
u(λ) =
f (λT )
λ5
T
f (λT )
−
5
=0
λ5
λ6
xf ′(x) − 5f (x) = 0
u ′ = f ′(λT )
x = λT
Si se conoce f se puede encontrar el valor de x. Con lo cual el máximo es λmT = x.
Rayleigh-Jeans
Un pequeño agujero en la pared de una cavidad es la mejor
aproximación a un CNI. La luz que entra por el agujero tiene pocas posibilidades de salir
por él antes de ser absorbida por las paredes de la cavidad.
Figura 2.
c
R= U
4
U : densidad de energía electromagnética al interior de la cavidad.
c: velocidad de la luz.
c
R(λ) = 4 u(λ)
• Número de modos de oscilación por unidad de volumen n(λ)
n(λ) = 8πλ−4
• Teorema de equipartición de la energía: La energía promedio por grado de libertad es
1
k T .Para un oscilador se tienen 2 grados de libertad. ε = k T .k es la constante de
2
Boltzmann.
•
La ecuación de Raylegh-Jeans:u(λ) = 8πkTλ−4 Dos polarizaciones independientes.
• Catástrofe Ultravioleta:
R
∞
0
u(λ)dλ = ∞.
Modos de oscilación por unidad de volumen
Consideremos un cubo de radio a de paredes metálicas, conteniendo radiación
electromagnética.
La luz es una onda transversal. Los campos eléctricos y magnéticos oscilan perpendiculares
a la dirección de propagación de la onda.
~ =E
~ 0ei
E
~ .x
k
~ −ωt
~0 = 0
ω = c k~ k~ .E
Consideremos una onda que se propaga paralela al eje x del cubo. En x = 0, a el campo
eléctrico es paralelo a la superficie conductora. Pero en un conductor hay cargas eléctricas
que se mueven hasta eliminar el campo eléctrico, en un estado estacionario. Esto es la onda
tiene un nodo en x = 0, a. Lo mismo sucede con una onda propagándose a lo largo de las
direcciones y, z del cubo.
Encontremos los modos de oscilación permitidos. Al reflejarse la onda en las paredes del cubo
se forma una onda estacionaria que es la superposición de la onda incidente y la onda reflejada.
sen(kx − ωt) + sen(kx + ωt) = sen(kx)cos(ωt) − cos (kx) sen(ωt) + (t → −t) =
2sen(kx)cos(ωt)
Nodo en x = 0, a, ka = nπ, n = 0, 1, 2....
En general la onda se mueve en una dirección n̂ ,Im e
2π
2π
la dirección x, y, z con longitud de onda λ = λ n̂x...
x
i(kn̂.x
~ −ωt)
, n̂.n̂ = 1. Se propaga en
Tenemos que
2
2a
a = nx , n̂x = nx
λx
λ
2a
2a
n̂ y = n y
n̂z = nz
λ
λ
2
q
2a
c
2
2
2
2
2
2
(n̂x + n̂ y + n̂z ) = nx + n y + nz ν =
n2x + n2y + n2z
λ
2a
q
2a
r = n2x + n2y + n2z
= ν
c 2
2
2a
4πr
π 2a
4
N (ν)dν =
dr
=
ν
dν
= 3 πa3 ν 2 dν
c
2 c
c
8
2 polarizaciones
8
N (ν)dν = 3 πa3 ν 2 dν
c
Escribamos N en función de la longitud de onda.
8 3 −2
a3
−2
a n(λ)dλ = πa λ dλλ c =8π 4 dλ
c
λ
8π
n(λ)dλ = 4 dλ
λ
3
Figura 3. Sistema de coordenadas rectangulares usado para contar
las frecuencias permitidas en una cavidad cúbica.
Planck
• Promedio de la energía. E continuo.
1
<E > =
Z
Z
∞
dEEe
−βE
,Z =
0
Z
∞
dEe−βE =
0
<E > =−
1
β
∂ln Z
= kT
∂β
• Planck: Los niveles de energía de un oscilador están cuantizados:En = nhν , n = 0, 1....
h: constante de Planck, ν: frecuencia de oscilación.
X
1
1X
−βEn
En e
,Z =
e−βh νn =
<E > =
Z
1 − e−βh ν
n
n
∂ln Z
e−βh νhν
<E > =−
=
∂β
1 − e−βh ν
Distribución de Planck
u(λ) = 8πλ
−4
e−βh νhν
hc
−5
=
8πλ
1 − e−βh ν
e βhc/λ − 1
La curva experimental da h = 6.626 × 10−34Js
Ejercicios
1. Máximo del espectro solar:Encontrar la longitud de onda de máxima emisión.
Sol:λmT = 2.898 × 10−3mK, λm = 499.7nm, 1nm = 10−9m
2. Energía media de un oscilador:Encontrar la energía media de un oscilador con hν = kT .
Sol:<E > =
ε
eε/k T − 1
kT
= e − 1 = 0.582kT
3. Use la distribución de Planck para encontrar la constante en la ley de Wien.
Sol: De la fórmula de Planck se obtiene:f (x) = 8π
hc
e
h c/(k x)
hc
− x−2
k
−1
,xf ′(x) − 5f (x) = 0
f ′(x) = −8πch eh c/(k x) − 1
ehc/(kx)
hc
x eh c/(k x) − 1 −2eh c/(k x)
x−2 − 5 eh c/(k x) −
k
−1
=0
1
hc
hc h c/(k x)
e
= 5x ehc/(kx) − 1
u=
u=5−5e−u
kx
k
hc
=2.8 × 10−3mK
u = 4.99322, x =
4.99322k
−2
Use la distribución de Planck para deducir la fórmula de Stefan-Boltzmann.
R ∞
hc
u(λ) = 8πλ−5 βh c/λ , 0 dλu(λ) = U ,x = βhc/λ, dλ = −βhcx−2dx
−1
e
2
U = 8πβ(hc) (βhc)
c
2
k4
Z
∞
−5
0
x3
=8πβ −4(hc)−3
dx x
e −1
2
k4
R = 4 U = 15 π 5c (h c)3 T 4 = σT 4, σ = 15 π 5 h3 c2
Z
0
∞
x3
dx x
e −1
Z
∞
0
π4
x3
=
dx x
e − 1 15
Fondo de Radiación Cósmica
Figura 4. Fondo de Radiación Cósmica
medido por COBE T=2.725K
Esta radiación llena todo el Universo. Se originó cuando la luz se separó de la materia 380000
años después del Big Bang.