El magnetismo es uno de los aspectos del

JOSÉ L PERAZA
CAMPO MAGNETICO
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1. Imanes naturales; La magnetita es un
El magnetismo es uno de los aspectos del
potente
electromagnetismo, que es una de las
propiedad
fuerzas fundamentales de la naturaleza. Las
sustancias
fuerzas magnéticas son producidas por el
característica de atraer trozos de
movimiento de partículas cargadas, como por
hierro es natural. Está compuesta por
ejemplo electrones, lo que indica la estrecha
óxido
relación entre la electricidad y el magnetismo.
magnéticas son aquellas que son
El marco que enlaza ambas fuerzas, es el
atraídas por la magnetita.
La
manifestación
de
natural,
atraer
tiene
todas
magnéticas.
de
hierro.
Las
la
las
Su
sustancias
2. Imanes artificiales permanentes; Son
tema de este curso, se denomina teoría
electromagnética
imán
las sustancias magnéticas que al
más
conocida del magnetismo es la fuerza de
frotarlas
atracción o repulsión que actúa entre los
convierten en imanes, y conservan
materiales magnéticos como el hierro. Sin
durante mucho tiempo su propiedad
embargo, en toda la materia se pueden
de atracción.
3. Imanes
observar efectos más sutiles del magnetismo.
Recientemente,
proporcionado
estos
claves
efectos
importantes
con
la
magnetita,
artificiales
temporales;
han
Aquellos que producen un campo
para
magnético sólo cuando circula por
comprender la estructura atómica de la
ellos
materia.
ejemplo es el electroimán.
una
corriente
Magnetismo
Los
fenómenos magnéticos se observaron
por primera vez al menos hace 2500 años,
en
fragmentos
de
material
de
hierro
magnetizados en la antigua ciudad de
Magnesia (hoy Manisa al este de Turquía).
Estos
fragmentos
eran
lo
que
hoy
conocemos como imanes permanentes.
Los imanes pueden ser imames naturales e
imanes artificiales.
(Figura 1. Imán Natural)
Los imanes son cuerpos con un magnetismo
significativo, de tal manera que pueden atraer
a
otros
imanes
o
cualquier
se
material
ferromagnetico. (Por ejemplo, hierro, cobalto,
níquel y aleaciones de estos)
1
eléctrica.
Un
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⃗ , en un punto del
El campo magnético B
espacio se define en función de la magnitud
de la fuerza que sería ejercida sobre un
objeto de prueba colocado en ese punto, el
objeto de prueba es una partícula cargada
que se mueve a una velocidad v
⃗ en dicho
campo.
Propiedades
(Figura2. Imanes Artificiales)
 La fuerza magnética es proporcional a
la carga “q” y la velocidad v
⃗ , que lleva
la partícula cargada en el campo
magnético
 La magnitud y la dirección de la fuerza
magnética dependen de la dirección y
la magnitud del campo magnético y de
la velocidad de la partícula
 Cuando la partícula se mueve en
dirección paralela o anti paralela al
campo magnético la fuerza magnética
sobre la carga es cero
 Cuando la velocidad v
⃗ de la partícula
cargada forma un ángulo θ con la
⃗ , la
dirección del campo magnético B
Los imanes están compuesto por dos polos
(polo Norte y polo sur), los polos iguales se
repelen y los polos distintos se atraen.
La tierra misma es un gigantesco imán. Su
polo norte geográfico está próximo a un polo
norte magnético y su polo sur geográfico está
próximo a un polo sur magnético, ese eje no
es del todo paralelo a su eje geográfico (su
eje de rotación), este eje no es fijo se mueve
constantemente actualmente se mueve a una
velocidad de aproximadamente de 60 km por
año. Por eso la lectura de una brújula se
desvía un poco del eje geográfico y parece
que oscilara ligeramente, esta desviación que
varia con la ubicación geográfica se conoce
como declinación magnética o variación
magnética.
fuerza magnética es perpendicular al
plano formado por v
⃗ y ⃗B y proporcional
al senθ.
⃗ , sobre una
 La fuerza magnética F
carga positiva en movimiento en un
campo magnético ⃗B, tiene el sentido
opuesto a la fuerza que actúa sobre
una carga negativa en movimiento en
⃗.
el mismo campo magnético B
Todas estas propiedades se resumen
matemáticamente en:
El primer indicio entre la relación del
magnetismo y las cargas en movimiento fue
descubierto por el científico Danés Hans
Cristian Oersted quien encontró que un
alambre conductor de corriente desviaba la
aguja de una brújula.
⃗ ) 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎𝑙
𝐹 = 𝑞 (𝑣𝑥𝐵
Campo magnetico
2
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⃗ = q(E
⃗ +v
⃗ ), llamada fuerza
𝐹 = 𝑞𝐸⃗ + qv
⃗ xB
⃗ xB
de Lorentz
Diferencias entre la fuerza eléctrica y la
fuerza magnética
 La fuerza eléctrica ⃗Fe siempre está en
⃗ (Campo eléctrico )
la dirección de E
⃗FB
La
fuerza
magnética
es
perpendicular al campo magnético
Donde su magnitud es:
 La fuerza eléctrica actúa sobre la
carga q 0 esté o no esté en movimiento
La fuerza magnética actúa sobre la
carga q 0 solamente si está en
movimiento
⃗⃗⃗⃗𝐵 | = 𝑞 𝑣 𝐵𝑠𝑒𝑛𝜃
|𝐹
La dirección de la fuerza magnética ⃗⃗⃗⃗⃗
FB , la
determina la regla de la mano derecha al
hacer girar con los dedos extendidos el
vector v
⃗ sobre el vector ⃗B por el camino más
 La fuerza eléctrica realiza un trabajo
sobre la carga cuando esta se
desplaza en un campo eléctrico
 La fuerza magnética asociada a un
campo magnético estacionario no
realiza trabajo alguno porque siempre
es perpendicular a ⃗B.
corto, el pulgar indica la dirección de la
fuerza.
Casos especiales:
 Si la velocidad v
⃗ , es perpendicular al
⃗ , entonces la
campo magnético B
fuerza magnética es 𝐹 = 𝑞𝑣𝐵𝑠𝑒𝑛90° =
𝑞𝑣𝐵 es máxima
 Si la velocidad v
⃗ es paralela al campo
⃗ , entonces la fuerza magnética es:
B
Unidades de campo magnético
En el sistema internacional (SI)
Tesla (T)
𝐹 = 𝑞𝑣𝐵𝑠𝑒𝑛0° = 0 𝑁
 Si la velocidad v
⃗⃗ es anti paralela al
campo ⃗B, entonces la fuerza
magnética es: 𝐹 = 𝑞𝑣𝐵𝑠𝑒𝑛180° = 0 𝑁
1𝑇 =
1 𝑊𝑒𝑏𝑏𝑒𝑟
𝑁
𝑁
=
=
2
1𝑚
𝐶 𝑚/𝑠
𝐴. 𝑚
En el sistema cgs se utiliza el Gauss
La ecuación de Lorentz
1𝑇 = 104 𝐺𝑎𝑢𝑠𝑠
Si una partícula cargada se mueve en una
región donde existe simultáneamente un
campo eléctrico como un campo magnético
entonces sobre la carga actúan dos fuerzas
Líneas de Campo Magnético
Fuerza eléctrica ⃗⃗⃗⃗
𝐹𝑒 = 𝑞𝐸⃗
⃗
Fuerza magnética ⃗FB = qv
⃗ xB
Las cuales originan una fuerza resultante
3
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Si un electrón se dispara a una cierta
velocidad hacia un campo magnético
entrante sobre este actuara una fuerza
magnética
perpendicular
a
su
velocidad que lo hará desviarse en
una trayectoria circular en dicho
campo.
Flujo Magnético ϕB a través de una superficie
La
magnitud de la aceleración que
experimenta esta partícula cargada
para el movimiento circular es una
aceleración radial cuya magnitud esta
dada por
𝑎𝑐 =
𝑣2
𝑅
Donde R es el radio de la trayectoria circular
de la partícula cargada, luego la
magnitud de la fuerza debe ser
⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑑𝜙𝐵 = 𝐵 ⊥ 𝑑𝐴 = 𝐵𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑𝐴 = 𝐵
𝑑𝐴
Luego el flujo total a través de la superficie
será
𝐹 = 𝑚𝑎 = 𝑚
ΦB = ∫ ⃗B ⃗⃗⃗⃗⃗
dA
𝑣2
𝑅
(1)
Por otro lado como la fuerza magnética está
dada por
Movimiento de circular de cargas en un
campo magnético constante
⃗
𝐹 = 𝑞 𝑣𝑥 𝐵
Si proyectamos una carga de prueba
a partir de un punto P, con una
velocidad constante v
⃗ , a través de un
⃗ saliente la
campo magnético B
Y su magnitud es
𝐹 = 𝑞𝑣𝐵
Luego igualando con la ecuación (1) tenemos
que
partícula cargada experimenta una
fuerza lateralmente esto es en ángulo
recto a la dirección de la velocidad,
describiendo una trayectoria circular
en el plano perpendicular a ⃗B.
𝑞𝑣𝐵 = 𝑚
𝑣2
⇒ 𝑞𝑣𝐵𝑅 = 𝑚𝑣
𝑅
Donde finalmente tenemos
𝑹=
-
𝒎𝒗
𝒒𝑩
Esta ecuación es válida solo si v
⃗ es
perpendicular a ⃗B
De donde se puede observar que R es
perpendicular a 𝑚𝑣 (cantidad de movimiento
lineal 𝑃 = 𝑚𝑣 ), e inversamente proporcional
⃗ y q.
a las magnitudes de B
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⃗ , mayor será la fuerza
Mientras mayor sea B
magnética ⃗FB , pero menor será el radio de la
eléctrica, y estando este mismo material en el
seno de un campo magnético, se comprueba
que aparece una fuerza magnética en los
portadores de carga que los reagrupa dentro
del material, esto es, los portadores de carga
se desvían y agrupan a un lado del material
conductor o semiconductor, apareciendo así
un campo eléctrico perpendicular al campo
magnético y al propio campo eléctrico
generado por la batería (Fm). Este campo
eléctrico es el denominado campo Hall (EH),
y ligado a él aparece la tensión Hall, que se
puede medir mediante un voltímetro.
curvatura de la trayectoria R.
Este movimiento circular tiene un periodo T el
cual está dado por.
𝑇=
2𝜋𝑅
𝑣
𝑅=
𝑚𝑣
𝑞𝐵
Y como
Tenemos que
𝑇=
Calculemos el signo de los portadores de
carga de la figura anterior
2𝜋𝑚𝑣 2𝜋𝑚
=
𝑣𝑞𝐵
𝑞𝐵
Sea el punto a en la parte superior este esté
un potencial positivo, y sea b un punto
ubicado en la parte inferior la cual tiene un
potencial negativo tal cual indica la figura,
esto indica que 𝑉𝐴− 𝑉𝐵 > 0
Y la frecuencia está dada por
𝑓=
1
𝑞𝐵
=
𝑓𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜𝑡𝑟ó𝑛𝑖𝑐𝑎
𝑇
2𝜋𝑚
Y su energía cinética a las partículas es:
𝐾=
1
2
𝑚𝑣 2 =
1
2
𝑚(
𝑞𝐵𝑅 2
)
𝑀
Supongamos que los portadores de carga
son negativos, entonces para demostrar que
esto sea cierto debemos calcular la dirección
de la fuerza y esta debe estar dirigida hacia
abajo en el eje y (negativo), veamos
1 𝑞 2 𝐵2 𝑅2
=2
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𝑚
El efecto Hall
En el año de 1879 Edwin Hall llevo a cabo un
experimento que permitió la medición directa
del signo y la densidad de los portadores de
carga en un conductor eléctrico.
Por la grafica observamos que
La dirección del campo magnético ⃗B es en el
eje x (positivo) hacia afuera y debido al
sentido de la corriente podemos concluir que
la dirección de la velocidad de arrastre es
contraria a la corriente debido a que se
supuso que el signo de dicha carga era
negativo, esto es hacia la izquierda en el eje
y (negativo).
De esta manera tenemos que según
⃗ = (−)𝑞 𝑣(−𝑗̂)𝑥 𝐵(𝑖̂)
𝐹𝐵 = 𝑞 ⃗⃗𝑣 𝑥 𝐵
𝐹𝐵 = 𝑞𝑣𝐵(−𝑘̂)
Esto demuestra que sin son negativos los
portadores de carga.
Cuando por un material conductor o
semiconductor,
circula
una
corriente
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Fuerza magnética sobre una corriente
eléctrica
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Observamos en la figura que la corriente se
mueve hacia la izquierda lo que indica que
los electrones se moverán hacia la derecha
como se observa en la figura, sea A el área
de la sección transversal del alambre y sea V
el volumen 𝑉 = 𝐴. 𝐿
Una corriente es un conjunto de cargas en
movimiento y debido a que un campo
⃗ ejerce una fuerza lateral sobre
magnético B
un conductor por el cual fluye una corriente,
como los electrones no pueden escapar del
conductor lateralmente la fuerza debe
aplicarse al conductor mismo.
Sea n el número de electrones por unidad de
volumen entonces el número total de
electrones N en el segmento de alambre es
𝑁 = 𝑛 𝐴𝐿, como
⃗ = −𝑛𝐴𝐿𝑒𝑣𝑑 𝑥𝐵
⃗
𝐹 = −𝑁𝑒𝑣𝑑 𝑥 𝐵
Definamos al vector ⃗L en la dirección de la
corriente pero opuesto en dirección a la la
velocidad de deriva v
⃗ d , luego podemos decir
que
⃗ 𝑒𝑣𝑑 𝑥𝐵
⃗ Por otro lado sabemos que:
𝐹 = 𝑛𝐴𝐿
𝑖 = 𝑛𝐴𝑒𝑣𝑑
Finalmente tenemos
⃗ 𝑥𝐵
⃗
𝐹𝐵 = 𝑖𝐿
Si el alambre no es recto o el campo no es
uniforme
Supongamos que tenemos un trozo de
alambre conductor de longitud L en un
campo magnético, por el cual circula una
corriente i.
Imaginamos el conductor dividido en
pequeños segmentos de longitud ds, los
hacemos suficientemente pequeños para
poder considerarlos rectos y el campo
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magnético sea aproximadamente uniforme
luego tenemos:
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Entonces podemos ver que la fuerza en los
segmentos 2 y 4 de la espira será cero ya
que:
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗
𝑑𝐹 = 𝑖 ⃗⃗⃗
𝑑𝑙 𝑥𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗
𝑑𝐹 = 𝑖 ⃗⃗⃗
𝑑𝑙 𝑥𝐵
Momento de torsión en una espira con
corriente dentro un campo magnético
En el tramo 2 podemos observar que:
El
ángulo
que
existe
entre
⃗⃗⃗
⃗ 𝑒𝑠 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎 180° lo que nos dará como
𝑑𝑙 𝑦 𝐵
resultado una fuerza cero
En el tramo 4 podemos observar que el
⃗⃗⃗ 𝑦 𝐵
⃗ 𝑒𝑠 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎 0° lo
ángulo que existe entre 𝑑𝑙
que nos da una fuerza de cero Newton.
Observemos que sucede ahora en los tramos
1y3
Para el tramo 1 tenemos que:
⃗⃗⃗ 𝑦 𝐵
⃗ 𝑒𝑠 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎 90°,
El ángulo que hay entre 𝑑𝑙
entonces la fuerza magnética será:
Cuando una espira de alambre que porta una
corriente eléctrica se coloca dentro de un
campo magnético esta espira puede
experimentar un momento de torsión el cual
puede o tiende a hacer girar la espira
alrededor de un eje particular el cual
podemos considerarlo que pasa por el centro
de la espira.
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑖𝑑𝑙. 𝐵 𝑠𝑒𝑛90° = 𝑖 𝑑𝑙 𝐵
𝑑𝐹
Integrando tenemos:
L
⃗F1 = iB ∫ dl = iBL
0
De igual manera para el tramo 4
⃗⃗⃗⃗⃗
𝑑𝐹 = 𝑖𝑑𝑙. 𝐵 𝑠𝑒𝑛90° = 𝑖 𝑑𝑙 𝐵
L
⃗F2 = iB ∫ dl = iBL
0
Ahora el torque o momento de torsión esta
dado por
𝜏=𝑟𝑥𝐹
𝑎
𝑎
𝑎
𝑎
𝜏𝑚𝑎𝑥 = 𝐹1 ( ) + 𝐹2 ( ) = 𝐼𝑏𝐵 ( ) + 𝐼𝑏𝐵 ( )
2
2
2
2
= 𝐼𝑏𝐵𝑎
Debido a que según
Como ab es el área de la espira
⃗ 𝑥𝐵
⃗
𝐹𝐵 = 𝑖𝐿
⃗)
𝜏𝑚𝑎𝑥 = 𝐼𝐵𝐴 ⇒ 𝜏 = 𝐼(𝐴𝑥𝐵
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⃗⃗⃗⃗⃗ es proporcional a
3. La magnitud de dB
la corriente I y a la longitud dl (del
elemento de longitud)
4. La magnitud de ⃗⃗⃗⃗⃗
dB es proporcional al
Dipolo magnético
𝜏 = 𝐼𝐵𝐴𝑠𝑒𝑛𝜃
Definimos 𝜇 = 𝐼𝐴 entonces
senθ, donde θ es el ángulo formado
⃗⃗⃗ y r
por dl
⃗
𝜏 = 𝜇𝐵𝑠𝑒𝑛𝜃 ⟹ 𝜇 𝑥 𝐵
𝜇 = 𝑀𝑂𝑀𝐸𝑁𝑇𝑂 𝐷𝐼𝑃𝑂𝐿𝐴𝑅 𝑀𝐴𝐺𝑁𝐸𝑇𝐼𝐶𝑂
⃗⃗⃗⃗⃗
𝑑𝐵 = 𝐾𝑚 𝐼
Y la energía es:
⃗⃗⃗ 𝑥 𝑟)
(𝑑𝑙
𝑟2
𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐾𝑚 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
⃗ 𝐽𝑜𝑢𝑙
𝑈 = 𝜇𝐵 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝜇 . 𝐵
10−7 𝑇𝐴
𝐾𝑚 =
𝑜 10−7 𝑊𝑏/𝐴𝑚
𝑚
Ley de Biot – Savart
Poco tiempo después de que Hand Oesrted
descubriera que las agujas de una brújula
eran desviadas por un conductor que
conducía una corriente eléctrica, Jean
Baptiste Biot y Felix Savart, establecieron
esta ley.
Km también es igual a:
𝐾𝑚 = 𝜇0 /4𝜋
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =
𝒅𝑩
Esta ley establece que si un alambre
conduce una corriente estable I, el campo
magnético ⃗⃗⃗⃗⃗
dB en un punto P a una distancia
⃗⃗⃗⃗ 𝒙 𝒓
⃗)
𝝁𝟎 (𝒅𝒍
𝑰
𝟒𝝅
𝒓𝟐
Es importante observar que la ley de Biot
y Savart proporciona el campo magnético
en un punto solo para un pequeño
elemento del conductor, para encontrar el
campo magnético ⃗B creado en algún
⃗⃗⃗ , tiene
“r” debido a un elemento de longitud dl
las siguientes características.
punto del conductor de tamaño finito
debemos sumar las contribuciones de
todos los elementos de corriente que
conforman el conductor.
⃗ =
𝐵
⃗⃗⃗⃗ 𝒙 𝒓
⃗)
𝝁𝟎
(𝒅𝒍
𝑰∫
𝟐
𝟒𝝅
𝒓
Campo magnético alrededor de un
conductor recto
1. El valor de ⃗⃗⃗⃗⃗
dB es perpendicular a ⃗⃗⃗
dl (
⃗⃗⃗⃗⃗
que siempre tiene la dirección de I), dB
Veamos la figura siguiente y supongamos
𝝁
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝟎 𝑰
que 𝑑𝐵
𝟒𝝅
también es perpendicular al vector
unitario r̂ dirigido desde el elemento ⃗⃗⃗
dl
⃗⃗⃗⃗ 𝒙 𝒓
⃗)
(𝒅𝒍
𝒓𝟐
⃗⃗⃗⃗⃗
𝑑𝐵 =
al punto P.
⃗⃗⃗⃗⃗ es inversamente
2. La magnitud de dB
proporcional a r 2 (donde r es la
distancia desde el elemento de
longitud ⃗⃗⃗
dl al punto P)
𝝁𝟎 𝒅𝒍𝒔𝒆𝒏𝜽
𝑰
𝟒𝝅
𝒓𝟐
⃗ = 𝒅𝒍(𝟏)𝒔𝒆𝒏𝜽
Ya que ⃗⃗⃗⃗
𝒅𝒍𝒙 𝒓
𝒅𝒍 = 𝒅𝒔 = 𝒅𝒙
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Considerando dos alambres rectos y largos
separados por una distancia a y por los
cuales circula una corriente I1 e I2 en la
misma dirección
⃗⃗⃗⃗⃗
𝑑𝐵 =
𝜇0 𝐼 𝑑𝑥
𝑠𝑒𝑛𝜃
4𝜋 𝑟 2
El alambre 2 el cual conduce una corriente I2
crea un campo magnético ⃗B2, en una
𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑎/𝑟
𝑟 = 𝑎/𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑡𝑎𝑛𝜃 = −𝑎/𝑥
⃗ 2 es perpendicular
posición del alambre 1, y B
al alambre 1, luego
𝑥 = −𝑎(𝑐𝑡𝑔𝜃)
⃗2
𝐹1 = 𝐼𝑙 𝑥𝐵
𝑑𝑥 = −𝑎(−𝑐𝑠𝑐 2 𝜃𝑑𝜃) ⇒ 𝑑𝑥 = 𝑎𝑐𝑠𝑐 2 𝜃𝑑𝜃
𝐹1 = 𝐼1 𝐿𝐵2 𝑠𝑒𝑛90° = 𝐼1 𝐿𝐵2
Ahora
𝝁 𝑰
𝟎
Como 𝐵 = 𝟐𝝅𝒂
⃗⃗⃗⃗⃗
𝑑𝐵 =
𝜇0 𝐼 𝑎𝑐𝑠𝑐 2 𝜃
𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝜃
4𝜋
𝑟2
Entonces
𝜇 𝐼 𝑎𝑐𝑠𝑐 2 𝜃
⃗⃗⃗⃗⃗ = 0
𝑑𝐵
𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝜃
4𝜋 𝑐𝑠𝑐 2 𝜃(𝑎2 )
⃗⃗⃗⃗⃗
𝑑𝐵 =
⃗⃗ =
𝑩
𝐹1 = 𝐼1 𝐿𝐵2 𝑠𝑒𝑛90° = 𝐼1 (
Y
𝜇0 𝐼 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝜃
4𝜋
𝑎
𝐹2 = 𝐼2 𝐿𝐵1 𝑠𝑒𝑛90° = 𝐼2 (
𝝁𝟎 𝑰 𝜽𝟐
𝝁𝟎 𝑰
∫ 𝒔𝒆𝒏𝜽𝒅𝜽 =
(𝒄𝒐𝒔𝜽𝟐 − 𝒄𝒐𝒔𝜽𝟏 )
𝟒𝝅𝒂 𝜽𝟏
𝟒𝝅𝒂
𝝁𝟎 𝑰𝟏
)
𝟐𝝅𝒂
Ley de Ampere
Supongamos un conductor por el cual circula
una corriente eléctrica, el sentido del campo
magnético ⃗B producido se determina
Caso especial si el alambre es infinito
⃗𝑩
⃗ =
𝝁𝟎 𝑰𝟐
)
𝟐𝝅𝒂
𝝁𝟎 𝑰
𝟐𝝁𝟎 𝑰
(𝒄𝒐𝒔𝟎 − 𝒄𝒐𝒔𝝅) =
𝟒𝝅𝒂
𝟒𝝅𝒂
utilizando el método de la mano derecha, se
toma el conductor con la mano derecha de
Fuerza magnética entre dos conductores
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modo que el pulgar apunte en la dirección de
la corriente los dedos de la mano al cerrarlos
indican el sentido del campo magnético.
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es tangencial al círculo que encierra la
corriente.
El campo magnético disminuye inversamente
con la distancia al conductor.
⃗ . ⃗⃗⃗⃗
∮𝐵
𝑑𝑠 = 𝜇0 𝐼
Ejercicio1.
Dos iones con la misma masa m y carga q1 y
q 2 donde (q1 > q 2 ) salen del punto M y son
acelerados a través de un par de placas las
cuales están a una diferencia de potencial V0 .
Luego entran en una región donde existe un
campo magnético ⃗B, saliente. Los iones son
recogidos en los puntos P y P ′ . Determinar:
a) Cuál de los dos iones llega al punto P
b) Cuál es su relación q/m.
P´ P
En física del magnetismo, la ley de Ampère,
modelada por André-Marie Ampère en 1826,
relaciona un campo magnético estático con la
causa que la produce, es decir, una corriente
eléctrica estacionaria. James Clerk Maxwell
la corrigió posteriormente y ahora es una de
las ecuaciones de Maxwell, formando parte
del electromagnetismo de la física clásica.
La ley de Ampere explica, que la circulación
de la intensidad del campo magnético en un
contorno cerrado es igual a la corriente que
lo recorre en ese contorno.
El campo magnético es un campo vectorial
con forma circular, cuyas líneas encierran la
corriente. La dirección del campo en un punto
𝑣2
𝐹 = 𝑚𝑎𝑟 = 𝑞𝑣𝐵 ⇒ 𝑚
= 𝑞𝑣𝐵
𝑅
𝑅=
𝑚𝑣
𝑞𝐵
Llegará a P el ion con mayor radio.
𝑅1 =
𝑚𝑣1
𝑞1 𝐵
𝑅2 =
𝑚𝑣2
𝑞2 𝐵
Usando conservación de la energía tenemos
que:
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𝑘𝑖 + 𝑈𝑖 = 𝑘𝑓 + 𝑈𝑓
JOSÉ L PERAZA
Ejercicio 2
Se tiene una espira de la forma mostrada en
la fig. Por la cual circula una corriente I.
Determinar el campo magnético en el punto
O.
La energía cinética inicial es cero y la energía
potencial final también será cero
𝑞𝑉 = 1/2𝑚𝑣 2
Despejando la velocidad tenemos que:
R
2𝑞𝑉
𝑣= √
𝑚
C
O
B
R
R
2𝑞1 𝑉
𝑣1 = √
𝑚
A
2𝑞2 𝑉
𝑣2 = √
𝑚
Solución
Tramo: OA
2
2𝑞 𝑉
√2𝑚 𝑞1 𝑉
𝑚 √ 𝑚1
𝑚
𝑅1 =
=
𝑞1 𝐵
𝑞1 𝐵
⃗ =
𝐵
𝜇0 𝐼 ⃗⃗⃗
𝑑𝑙 𝑥 𝑟̂
∫ 2
4𝜋
𝑟
2𝑚𝑉
𝑅1 = √
𝑞1 𝐵 2
Para este tramo el ángulo que existe entre ⃗⃗⃗
dl
⃗1 = 0
y r̂ es 180° entonces el campo es 𝐵
2𝑚𝑉
𝑅2 = √
𝑞2 𝐵 2
Ya que 𝑑𝑙 tiene la dirección de la corriente y r̂
esta dirigido desde el 𝑑𝑙 al punto O.
Tramo AB
θ2
O
Ahora
a
2𝑚𝑉
√
𝑅1
𝑞2
𝑞1 𝐵 2
=
= √
𝑅2
𝑞1
2𝑚𝑉
√
2
𝑞2 𝐵
θ1
r̂
⃗⃗⃗
dl
⃗ =
𝐵
Como (q1 > q 2 )
𝑅1
<1
𝑅2
⃗ =
𝐵
𝑅1 < 𝑅2
𝜇0 𝐼
(𝑐𝑜𝑠θ1 − cosθ2 )û B
4𝜋𝑎
𝜇0 𝐼
(𝑐𝑜𝑠45° − cos135°)k̂
4𝜋𝑎
θ1 = 45° , θ2 = 135° Por ser un triangulo
Isósceles
Esto quiere decir que el ion 2 es el que llega
al punto P, por tener mayor radio.
Por otro lado
√2
a =Rsenθ1 = R 2
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⃗ =
𝐵
JOSÉ L PERAZA
𝜇0 𝐼
√2
4𝜋R 2
⃗ =
𝐵
(𝑐𝑜𝑠45° − cos135°)k̂
𝜇0 𝐼
√2 √2
+
)k̂
2
2𝜋R√2 2
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐵𝐴𝐵 =
(
𝜇0 𝐼
k̂
2𝜋R
12
JOSÉ L PERAZA