La distribución normal o de Gauss • Distribución límite • La distribución Normal o de Gauss • La distribución de Gauss tipificada • La función integral. Cálculo de la función integral • La desviación estándar de la media • Intervalos de probabilidad y confianza • Diferencias significativas Técnicas experimentales en Física General 1/15 • La distribución límite ¿Qué ocurre si aumentamos el número de medidas? N=100 medidas Histograma de bins de 100 medidas de x N=1000 medidas Histograma de bins de 1000 medidas de x Técnicas experimentales en Física General 2/15 • La distribución límite Cuando N → ∞ ⇒ nos acercamos a la distribución límite. Distribución límite f(x) f ( x )dx = Fraccion de las medidas que se encuentran entre x y x + dx = Probabilidad de que una medida de un resultado comprendido entre x y x + dx ∫ b a f ( x )dx = Fraccion de las medidas que se encuentran entre x = a y x = b = Probabilidad de que una medida de un resultado que se encuentre entre a y b ¾ Distribuciones discretas y continuas x → discretas Fk = nk N Técnicas experimentales en Física General x → continuas Fk = f ( xk )dxk 3/15 ¾ Condición de normalización x → discretas ∑F k x → continuas =1 ∫ −∞ k ¾ f ( x )dx =1 Cálculo de la media x → discretas x → continuas x = ∑ Fk xk x=∫ +∞ −∞ k ¾ +∞ xf ( x )dx Cálculo de la desviación estándar x → discretas x → continuas nk σ = ∑ ( xk − x )2 k N σ = ∫ ( x − x ) 2 f ( x )dx 2 x Técnicas experimentales en Física General 2 x +∞ −∞ 4/15 • La distribución Normal o de Gauss GX ,σ ( x) = ∫ +∞ −∞ 1 2πσ 2 e 2 x− X ) ( − 2σ 2 GX ,σ ( x)dx = 1 ¾ Propiedades ♦ Tiene un máximo en x = X ♦ Es simétrica alrededor de X ♦ Tiende a cero rápidamente si x − X >> σ Técnicas experimentales en Física General 5/15 • Valor medio y desviación estándar ¿Si se efectúan un gran número de medidas de una variable aleatoria que sigue una distribución de Gauss, ¿qué valores hay que esperar para x y σ x2 ( x) ? Valor medio +∞ +∞ −∞ −∞ x = ∫ xf ( x)dx → x = ∫ xGX ,σ ( x)dx x=∫ +∞ −∞ 1 xGX ,σ ( x)dx = 2πσ 2 ∫ +∞ −∞ xe − ( x − X )2 2σ 2 y = x− X dy =dx dx → −y +∞ − y 2 +∞ 1 2σ 2σ 2 0 + X 2πσ 2 = X x= ye dy + X e dy = ∫ ∫ −∞ 2πσ 2 −∞ 2πσ 2 2 1 2 { } x=X Desviación estándar +∞ σ ( x) = ∫ ( x − X )2 GX ,σ ( x)dx = σ 2 2 x −∞ σ x2 ( x) = σ 2 Técnicas experimentales en Física General 6/15 • La distribución Normal tipificada: ¿Cómo puede estudiarse la distribución de Gauss de forma general? 1 GX ,σ ( x ) = 2πσ 2 e → G0,1 ( z ) = 2 x− X ) ( − 2σ z= x− X σ → 2 1 e 2π z2 − 2 G0,1(z) Distribución normal tipificada ← Distribución 0.4 Normal tipificada 0.3 1 G0,1 ( z ) = e 2π σ=1 0.2 0.1 1. Máximo en z = 0 2. Puntos de inflexión: 0.0 -3 -2 -1 z2 − 2 0 1 X=0 Técnicas experimentales en Física General 2 z 3 z = ±σ = 1 7/15 • La función integral ¿Cuál es la probabilidad de que una medida esté comprendida entre a y b? b 1 a 2πσ Prob(a ≤ x ≤ b) = ∫ GX ,σ ( x)dx = 2 ∫ b a − ( x − X )2 e 2σ 2 dx ¿Cuál es la probabilidad de que una medida esté comprendida dentro de una desviación estándar? Prob( X − σ ≤ x ≤ X + σ ) = =∫ X +σ X −σ GX ,σ ( x)dx = Técnicas experimentales en Física General 1 2πσ 2 ∫ X +σ X −σ − ( x − X )2 e 2σ 2 dx 8/15 ¿Cuál es la probabilidad de que una medida esté comprendida dentro de t desviaciones estándares? Prob( X − tσ ≤ x ≤ X + tσ ) = =∫ X +tσ X −tσ GX ,σ ( x)dx = 1 2πσ Prob( X − tσ ≤ x ≤ X + tσ ) = 2 ∫ X +tσ X −tσ 1 2πσ 2 − ( x − X )2 2σ 2 e ∫ X +tσ X −tσ dx − ( x − X )2 e 2σ 2 dx dx = σ dz x− X x − X X + tσ − X = z → x2 = X + tσ → z2 = 2 = =t σ σ σ x1 − X X − tσ − X = − → = = = −t x X t σ z 1 1 σ σ 1 Prob( X − tσ ≤ x ≤ X + tσ ) = 2π Técnicas experimentales en Física General ∫ +t −t e − z2 2 dz 9/15 • Cálculo de la función integral Prob( X − tσ ≤ x ≤ X + tσ ) = Técnicas experimentales en Física General 1 2π ∫ +t −t e − z2 2 dz 10/15 • Cálculo de la función integral (cont.) Prob(dentro de tσ ) = =∫ X +tσ X −tσ t = x.yz Técnicas experimentales en Física General 1 = 2π GX ,σ ( x)dx = ∫ +t −t e − z2 2 dz 11/15 • Cálculo de la función integral (cont.) Q(t ) = ∫ X +tσ X = Q (2) − Q (1) Técnicas experimentales en Física General Q (2) + Q (1) 1 2π GX ,σ ( x)dx = t ∫e 0 − z2 2 dz 50% − Q (1) 12/15 • La desviación estándar de la media Supongamos que x que se distribuye GX ,σ . Imaginemos la siguiente secuencia de experimentos: x 1 N medidas de x 2 N medidas de x 1 ∑ xi N i 1 x2 = ∑ xi N i x1 = ... Si repetimos el experimento n veces, los valores de xi cambiarán, y la media de las medias y su desviación estándar serán x= 1 ∑ xi n i σx = 1 N 2 ( xi − x ) ∑ n i =1 Efectuando sólo uno de los experimentos, ¿cuál es la desviación estándar de la media de las N medidas? Los xi se distribuyen GX ,σ , el verdadero valor de x es X La desviación estándar de la media será x 2 2 ∂x ∂x σ x = σ x1 + " + σ xN = ∂x1 ∂xN 2 2 σ 1 1 = σ x +" + σ x = x N N N Técnicas experimentales en Física General 13/15 • Intervalos de probabilidad y confianza ¾ ¿Cuál es el significado de asignar la desviación típica como error de una medida? Si tomamos una muestra de N datos, calculamos su media y su desviación típica y escribimos x ±σ x significa que el 68% de las medidas realizadas se encuentran en el intervalo x ± σ x . O bien, el mejor valor, X se encuentra en el intervalo: x −σ x ≤ X ≤ x + σ x con un nivel de confianza del 68 % Técnicas experimentales en Física General 14/15 • Diferencias significativas ¿Cómo se comparan nuestras medidas con los valores esperados? Valor medido Valor esperado ¾ Supongamos que: x ±σx a x −a ≤σx ( t ≤ 1) No es una diferencia significativa. Prob (fuera 1σx) = 32% ¾ Supongamos que: x − a ≥ 3σ x ( t ≥ 3) La diferencia es muy significativa. Prob (fuera 3σx) = 0.3% Norma generalmente aceptada: ¾ Si x − a ≤ 2σ ⇒ Resultado aceptable. ¾ Si x − a ≥ 2.5σ x ⇒ Resultado inaceptable. ¾ Si 1.9 σ ≤ x − a ≤ 2.6σ x ⇒ Resultado no concluyente. x O bien: P (fuera tσ ) ≤ 5% ⇒ Diferencia significativa. ¾ P (fuera tσ ) ≤ 1% ⇒ La diferencia es muy ¾ significativa. Técnicas experimentales en Física General 15/15