335 UN MODELO DE PESQUERÍAS BAJO EL ENFOQUE

Métodos Matemáticos para la Economía y la Empresa
UN MODELO DE PESQUERÍAS BAJO EL ENFOQUE MULTICRITERIO
Nancy Dávila Cárdenes1
Rafael Caballero Fernández2
1
Departamento de Métodos Cuantitativos en Economía y Gestión
Universidad de Las Palmas
2
Departamento de Economía Aplicada (Matemáticas)
Universidad de Málaga
Resumen: El problema que se considera es el de la gestión de una pesquería que se
plantea como un modelo de toma de decisiones multicriterio dinámico en el que, a
diferencia de los planteamientos tradicionales, la óptima regulación del recurso pasa por
encontrar la solución eficiente que permita tener en consideración los beneficios
procedentes de la captura de una especie, junto con el nivel de empleo, la producción y
el nivel de subvenciones en el sostenimiento del sector.
Se considera que la dinámica del recurso está determinada por su tasa de crecimiento y
la tasa de capturas. En la función de beneficios se considera que hay libre acceso al
recurso, es decir, la pesquería es explotada bajo condiciones de competencia perfecta.
La producción depende de factores tecnológicos del nivel de stock y de la tasa de
capturas que a su vez dependerá del nivel de empleo. La entrada o salida de pescadores
a la pesquería viene determinada por los ingresos que a corto plazo son factibles de
obtener de la pesquería.
En este trabajo se analiza el conjunto eficiente del equilibrio del sistema mostrando la
posibilidad de obtener políticas perqueras eficientes sobre situaciones de equilibrio
Palabras clave: Multiobjetivo, pesquerías, equilibrio.
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Dávila N., Caballero R.
1. INTRODUCCIÓN
La gestión de las pesquerías está relacionada con la utilización de los recursos
pesqueros de forma que produzcan el mayor beneficio a la sociedad que lo utiliza. Sin
embargo, un uso óptimo de dichos recursos depende de los objetivos que se consideren.
Desde un punto de vista puramente económico el uso óptimo es el que genera el
máximo excedente del consumidor y del productor. No obstante, la gestión de una
pesquería está sujeta a presiones de tipo político, social o de conservación de los
recursos ejercidas por grupos con objetivos diferentes, Padilla y Copes (1994), Mardle y
Pascoe (1999), Mardle y otros (2000).
Tradicionalmente el problema de la gestión de los recursos pesqueros se ha planteado
considerando que regular su explotación pasa por maximizar la utilidad o los beneficios
procedentes de la captura, dependiendo de quien ostente los derechos de propiedad
sobre el recurso, Clark (1990), Conrad (1987), Feichtinger y otros (1992) tomando
como restricción la dinámica del crecimiento del recurso sometido a explotación.
Una rápida mirada a los diferentes objetivos que puede conllevar la gestión de las
pesquerías va desde la conservación de los recursos, la producción de alimentos, la
generación de riqueza económica para un país, producir ingresos razonables para los
pescadores, el mantenimiento de su empleo, entre otros.
Por tanto, considerando los múltiples agentes que pueden verse implicados en la gestión
de este tipo de recursos, que como recurso natural, en la mayoría de las ocasiones es
considerado de propiedad común, parece lógico pensar que el problema pueda ser
planteado bajo la perspectiva de un enfoque multicriterio dinámico (Caballero y otros,
1997 y 1998), teniendo en cuenta de esta forma otras posibilidades que no se consideran
desde el punto de vista tradicional.
Aquí se considera una pesquería de libre acceso que explota una única especie. El
recurso se supone de propiedad común. La teoría económica sobre la regulación de este
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Métodos Matemáticos para la Economía y la Empresa
tipo de recursos establece que se generará empleo en la pesquería, es decir, los
pescadores se incorporarán a su explotación en tanto se generen beneficios de la captura
obtenida, una vez disminuye el nivel de recurso disponible se reducen en consecuencia
las capturas generándose pérdidas a los pescadores que en ese momento abandonarían
la explotación de la pesquería.
Ya que la entrada/salida de los pescadores depende de los ingresos obtenidos a corto
plazo de las capturas, el responsable de la gestión puede aplicar como política de
regulación el conceder subvenciones o aplicar impuestos a los pescadores. Así el
problema pasa a considerar en su modelización, no sólo el objetivo de maximizar los
beneficios sino que ahora se busca la solución eficiente al problema de, además de
considerar los beneficios procedentes de la captura, que sea óptimo el nivel de empleo
que genera el sector, la producción obtenida de la explotación así como el nivel de
subvenciones a conceder como forma de política reguladora de la actividad pesquera
por parte de los gobiernos implicados en la gestión.
Pero previo al análisis de políticas eficientes de pesquerías con el modelo en evolución,
en este trabajo planteamos el estudio del comportamiento de soluciones eficientes del
problema estacionario resultante de un modelo multicriterio cuadrático de gestión de
pesquerías, con el fin de buscar en un futuro esquemas de desarrollo sostenido del
sector.
2. LA DINÁMICA DE LOS AGENTES QUE INTERVIENEN EN EL MODELO
Los recursos naturales se caracterizan porque tienen una dinámica de crecimiento que
viene determinada por su propia tasa de crecimiento intrínseco, es decir, su capacidad
de reproducirse de acuerdo a una serie de mecanismos biológicos así como por la tasa
de captura ejercida sobre ellos. Si denotamos por F(x) la ecuación que describe el
crecimiento de la especie x, se tiene que, si consideramos un modelo de crecimiento
logístico, Hallan (1987), Levin (1987), Murray (1993),
 x
F ( x) = rx1 −  ,
 k
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Dávila N., Caballero R.
donde, k, es una constante que representa la biomasa natural en equilibrio y, r, la tasa de
crecimiento intrínseco.
La captura (producción) viene dada por h( x, E ) = qEx donde q es una constante que
refleja el coeficiente de capturabilidad dada por la tecnología disponible, y, E, es el
esfuerzo pesquero, esta función de producción es una forma particular de la función de
producción de Cobb-Douglas. Así el crecimiento de la población viene dado por,
x& = F ( x ) − h ( x, E ) .
En el modelo se considera la explotación de una única especie donde la demanda y la
oferta de esfuerzo pesquero se consideran perfectamente elásticas, se asume pues que
implícitamente el precio representa el beneficio marginal de la captura y que el coste
unitario de esfuerzo pesquero es una medida del coste marginal. Así si p, representa el
valor de una unidad de recurso capturado y c el coste unitario de cada pescador la
función de beneficios B( x, h) = ph( x, E ) − C ( E ) , donde C ( E ) = cE .
Como se dijo anteriormente, la teoría económica del libre acceso predice la entrada a la
pesquería en tanto se obtengan ingresos positivos de la explotación. Por tanto, el
número de pescadores se incrementará mientras se pueda derivar algún beneficio de las
capturas. Cuando el recurso decrece como consecuencia del nivel de capturas, se
generan pérdidas para los pescadores que optarían por dejar la pesquería. La entrada y
salida es función de los ingresos que a corto plazo se generan de la explotación, por
tanto, el nivel de empleo, NE.
Finalmente el problema de la regulación gubernamental pasa por optimizar la cuantía de
subvenciones concedidas al sector. Por ello, con el fin de mantener el nivel de empleo
óptimo cuanto mayor es el número de pescadores actuando en la pesquería y, en
consecuencia, mayor la presión pesquera ejercida sobre el stock menor será la cantidad
que se destine a subvencionar la actividad pesquera, sin embargo, un exceso de
explotación conllevaría una reducción del stock, una pérdida de ganancias por parte de
los pescadores, un abandono de la actividad y un incremento en el número de
subvenciones a conceder por la administración como respuesta a la disminución en el
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Métodos Matemáticos para la Economía y la Empresa
nivel de empleo. Así pues la subvención, SUB, dependerá definitivamente del nivel de
stock, del nivel de empleo y de la producción.
El modelo planteado en tiempo continuo tiene el inconveniente de asumir que la
población de peces responde de forma instantánea a cualquier acción que se ejerza sobre
el sistema, tanto por agentes externos como internos. Al no incluirse el retardo en el
sistema estamos considerando que éste no tiene memoria, por decirlo de alguna manera.
Sin embargo, en la naturaleza la mayoría de las poblaciones están sujetas a complejos
sistemas dinámicos tales como, por ejemplo, el reclutamiento, o incorporación al stock
de aquellos ejemplares que pueden ser considerados objeto de captura. Puede ocurrir
que dicho reclutamiento tenga lugar varios años después de la freza o desove de los
adultos existentes en la población.
Por ello, vamos a considerar algunos de estos factores y aproximarnos al modelo en
tiempo discreto. Así podemos reescribir el modelo como sigue:
El nivel de stock en el tiempo puede describirse por la siguiente ecuación,
xt +1 − xt = F ( xt ) ,
donde xt representa el stock de recurso (biomasa) en el período t. Lo que implica que el
cambio en el nivel de stock del período t al t+1 depende de stock en el período t. La
función F ( x t ) que habíamos considerado una función de crecimiento logístico se puede
escribir ahora como
x 

x t +1 − x t = rx t 1 − t  .
k 

En un sistema natural no alterado por el hombre la función logística en su versión en
tiempo continuo da lugar a un equilibrio estable dado por k. En tiempo discreto la
ecuación en diferencias da lugar a dinámicas de comportamiento más complejas. Así
dependiendo del valor que tome la tasa de crecimiento intrínseca r se tiene que la
población se aproxima a un equilibrio estable k, si 0 ≤ r ≤ 1 ; o bien, se aproxima a k
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Dávila N., Caballero R.
mostrando oscilaciones amortiguadas para 1 < r ≤ 2 ; así hasta llegar a presentar caos
cuando r > 2.570 , (Clark (1990), Murray (1993)).
Cuando se modifica el sistema por la introducción de la tasa de captura la producción
obtenida
Yt = h ( x t , E t ) .
Considerando, como hicimos anteriormente, que la captura por unidad de esfuerzo es
proporcional al nivel de stock,
Yt = qE t x t .
Por tanto la ecuación que describe la pesquería queda ahora en su forma discreta
modificada como sigue,
x t +1 − x t = F ( x t ) − h( x t , E t ) .
En definitiva, la producción se extrae de la biomasa natural obteniéndose así el cambio
neto en el stock.
Por otra parte, el nivel de Empleo que se genera en la pesquería en el período t+1, se
puede considerar directamente dependiente del nivel de beneficios que se genera en el
período anterior, así como se ha dicho anteriormente, al ser la pesquería de libre acceso
en tanto se generen beneficios positivos se incorporarán pescadores a la pesquería,
mientras que el nivel de empleo disminuirá cuando se reduzcan los beneficios. Luego
NE t +1 = σ Bt .
Respecto a las subvenciones que son susceptibles de ser concedidas al sector, una vez
que la producción se ha definido en términos del nivel de stock y del esfuerzo, se puede
definir que la subvención en el período t+1, depende de lo que se haya capturado en el
período anterior, así
SUBt +1 = β Y ( Et ) .
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Métodos Matemáticos para la Economía y la Empresa
3. ANÁLISIS DEL EQUILIBRIO ESTACIONARIO Y EL MODELO CON
CRITERIOS MÚLTIPLES.
Con frecuencia, el problema de interés es considerar que el régimen de pesca se puede
mantener indefinidamente, lo que implica un equilibrio en el
estado estacionario
donde x t = x , E t = E , e Yt = Y .
Con lo que tendríamos,
h( x, E ) = F ( x )
⇔
 x
qEx = rx1 −  ,
 k
de donde podemos deducir la función de producción-esfuerzo.
 qE 
Y = Y ( E ) = qkE1 −
 .
r 

En la pesquería de libre acceso el coste en el período t, vendrá dado por C t = cE t . La
función de ingresos quedaría considerando q=1,
 E 
I t = pY ( Et ) = pkEt 1 − t  .
r 

En el período t, los ingresos procedentes de la pesquería quedarán definidos por,
Bt = I t − C t = pY ( E t ) − cE t .
En principio, como podemos observar nuestro problema sería un problema
multiobjetivo dinámico en variable tiempo discreta y, por tanto, el análisis de la
eficiencia debería hacerse a lo largo de un periodo de planificación, pero teniendo en
consideración que el nivel de empleo y las subvenciones no son más que proporciones
de los objetivos de beneficios y capturas en periodos anteriores, su impacto en la
eficiencia vendría marcada vía pesos, y para la determinación de la frontera eficiente no
tiene consecuencias, puesto que dichos pesos no son más que parámetros de resolución
de los problemas ponderados. Además, en este trabajo, como se expresó en la
introducción, estamos interesados en las capturas de procesos de equilibrio, lo que nos
lleva a considerar sólo el conjunto eficiente para el problema bicriterio cuadrático
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Dávila N., Caballero R.
Eff ( B( E ),Y(E))
sujeto a F ( x ) − h( x, E ) ≥ 0
0≤ x≤k
0 ≤ E ≤ Emax ,
donde
 qE 
B( E ) = pY ( E ) − cE = pqkE 1 −
 − cE ,
r 

 qE 
Y ( E ) = qkE 1 −
,
r 

h( x, E ) = qEx ,
 x
F ( x) = rx1 − .
 k
dicho problema puede ser resuelto analíticamente o computacionalmente como
problema bicriterio (Caballero y otros (1997a), obteniendose lo que buscamos siempre
que exista conjunto eficiente en la situación de equilibrio.
4. EJEMPLO
Con el fin de ilustrar el modelo obtenido con la determinación del conjunto eficiente
daremos en este ejemplo a los parámetros biológicos valores utilizados en la literatura
que sobre dinámica de poblaciones y economía pesquera permiten asegurar la existencia
de equilibrios estables y la ausencia de comportamientos oscilatorios y caos (Murray
(1993) Sharov (1996)). En concreto serán: r=1, q=1, k=5. Por otra parte, como valores
de referencia para los parámetros económicos utilizaremos algunos de las ya utilizados
en trabajos similares, Dávila y Martín-González (1999) en el estudio de la gestión
óptima de pesquerías como por ejemplo, c=2, p=1.5.
El modelo queda como sigue:
Eff (5.5E − 7.5E 2 , 5E − 5E 2 )
x
sujeto a E ≤ 1 −
5
0≤ x≤5
0 ≤ E ≤ Emax ,
puede obtenerse de forma analítica tanto en el caso cuadrático no restringido:
B’E(E) + α Y’E(E) = 0,
B’x(E) + α Y’x(E) = 0.
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Métodos Matemáticos para la Economía y la Empresa
Como los objetivos no dependen explicitamente del tamaño de la población la segunda
expresión es irrelevante, y de la primera obtenemos
E=
5α + 5.5
10α + 15
con α ≥ 0 ,
siempre dentro de nuestro conjunto admisible, por tanto obtenemos la gráfica siguiente
que nos representa el conjunto eficiente. En ella se muestra una franja eficiente sobre un
planteamiento estacionario del sistema, observándose posibilidades de encontrar
políticas pesqueras acordes con un desarrollo sostenible del sector.
5. CONCLUSIONES Y LÍNEAS FUTURAS
En el trabajo desarrollado se ha considerado el problema de la gestión de la pesquería
en un contexto multicriterio en el que inicialmente se parte de un modelo con cuatro
objetivos que puede reducirse a uno bicriterio cuadrático al considerarse dos de los
objetivos como proporciones de los otros y en el que estamos interesados en estudiar las
capturas a través de la medida del esfuerzo en el equilibrio.
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Dávila N., Caballero R.
A la vista de los resultados obtenidos del análisis del problema estacionario se observa
que existe un conjunto de soluciones eficientes de dicho problema.
Esta es una primera aproximación al problema de la gestión de pesquerías bajo un
enfoque multicriterio que se pretende desarrollar en un futuro mejorando el modelo a
través de la estimación de las funciones que intervienen, tanto para las que definen la
parte biológica del modelo donde hemos hecho uso del modelo logístico de crecimiento
y que puede mejorarse haciendo uso de ecuaciones que reflejan de un modo más
realista dicho crecimiento así como para las funciones que describen la dinámica de
entrada salida y de subvenciones al sector pesquero.
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