Examen de Física-1, 1° Ingeniería Química Examen final. Septiembre de 2011 Problemas (Dos puntos por problema). Problema 1 (Primer parcial): Una lancha de masa m navega en un lago con velocidad v0 . En el instante t = 0 se desconecta el motor. Suponiendo que la fuerza de resistencia ! ! del agua al movimiento de la lancha es proporcional a la velocidad fr = !kv , determinar: PROBLEMAS 1) Una lancha de masa m navega en un lago (a) La velocidad en función deleltiempo. V0 con velocidad v0. En instante t = 0 se (b) Su velocidad en función de la distanciaque la desconecta el motor. Suponiendo de resistencia del aguarecorrida al movimiento recorrida,fuerza así como la distancia de la lancha es proporcional a la velocidad Fr = kv. Determinar: hasta su parada. a) La velocidad en función del tiempo (c) La velocidad de en la función lanchadeenlaeldistancia transcurso del tiempo que larecorrida velocidad b) Sumedia velocidad recorrida, así comoen la el distancia v0 hasta v0 / 2 . disminuye desde hasta su parada c) La velocidad media de la lancha en el transcurso de tiempo en el que la velocidad Si viajamos en una lancha cuyo peso total, incluidos los pasajeros, es de 400 kg a disminuye desde v0 hasta v0/2. v0 = 10 m/slancha una velocidad y comprobamos queincluidos para llegar al embarcadero Si viajamos en una cuyo peso total, pasajeros, es de 400 kg acon una velocidad v = 10 m/s y comprobamos que para llegar al embarcadero con velocidad 0 velocidad cero, tenemos que apagar el motor 20 m antes, cero, tenemos que apagar el motor 20 m antes. (d) ¿Cuánto vale Utiliza las ecuaciones apartados anteriores. k ?. vale d) ¿cuanto k?. Utiliza las ecuacionesobtenidas obtenidas enenloslos apartados anteriores Solución: SOLUCION a) Al desconectar el motor la única fuerza que actúa es la fuerza de rozamiento que se opone al movimiento: fr = -kv. Aplicando la 2ª ley de Newton !F= ma y teniendo en desconectar el motor la única fuerza que actúa es la fuerza de rozamiento cuenta que el movimiento se ! reduce!a una dimensión (a) Al que se opone al movimiento, fr = !kv . Aplicando la segunda ley de Newton ! !F= ma " -kv = m (dv/dt) " -(k/m) dt = dv/v ! ! F = m a y teniendo en cuenta que el movimiento se reduce a una dimensión Invirtiendo la igualdad e integrando aparece una constante de integración c1 #F = m a ! "kv = m dv ! " Ln v = - (k/m) d tt + c k dv dt = . m v (1) Imponiendo que para t = 0 v = v0: Ln v0= - (k/m) 0 + c1 " c1 = Ln v0 Integrando la Ecuación (1), Sustituyendo este valor de c1 k t + c1, (2) Ln v - Ln m v0 = - (k/m) t " ln v = ! Ln v = - (k/m) t + Ln v0 " Ln (v/v0) = - (k/m) t " - (k/m) t - (k/m) t v/v0 = e de integración. " v = vImponiendo donde c1 es una constante que para t(1.1) = 0 , v = v0 , 0e entonces b) Para encontrar la relación entre la velocidad y la distancia, partimos de nuevo de la 2ª ley de Newton, pero expresando la aceleración en función de dx: ln v = c . (3) !F= ma " -kv = m (dv/dt) " 0-kv =1 m (dv/dx) (dx/dt) " -kv = m (dv/dx) v " -(k/m) dv Sustituyendo la Ecuación (3) endxla=Ecuación (2), #v& k k k Invirtiendo la de integración ln v = ! igualdad t + ln v0e integrando " ln vaparece ! ln v0una = !constante t " ln % ( = !c2: t. m m m $ v0 ' v = -(k/m)x + c2 Imponiendo que para x = 0 v = v0: v0 = -(k/m)0 + c2 " c2 = v0 Sustituyendo este valor de c2 v ! k/m t =e ( ) v0 " v = v0 e !( k/m) t . (b) Para encontrar la relación entre la velocidad y la distancia, partimos de nuevo de la segunda ley de Newton, pero expresando la aceleración en función de d x #F = m a ! "kv = m dv dt ! "kv = m dv dx d x dt ! "kv = m dv k v ! " d x = d v. dx m Integrando la Ecuación (4), v=! k x + c2 , m (5) donde c2 es una constante de integración. Imponiendo que para x = 0, v = v0 , entonces c2 = v0 . (6) Sustituyendo la Ecuación (6) en la ecuación (5) v = v0 ! k x. m Cuando la barca se detiene, la velocidad final vale cero, por lo que sustituyendo este valor en v encontramos el espacio recorrido xmax , 0 = v0 ! k xmax m " xmax = m v0 . k (7) (c) Primero determinamos el tiempo T que tarda en pasar de v0 a v0 / 2 , y el espacio X recorrido durante dicho intervalo. Partiendo de la solución del apartado (a), v0 ! k/m T = v0 e ( ) 2 #1& # k & " ln % ( = ! % ( T $2' $m' " T =! m #1& m ln % ( = ln 2. k $2' k (4) Partiendo de la solución del apartado (b), v0 k = v0 ! X 2 m " v0 k = X 2 m " X= m v0 . 2k La velocidad media será el espacio recorrido dividido por el tiempo que tarda en recorrer dicho espacio m v0 X v 2k Vm = = = 0 = 0, 7213 v0 . T m ln 2 2 ln 2 k (d) Utilizando la Ecuación (7) y despejando el valor de k , k= m v0 400 !10 kg kg = = 200 . xmax 20 s s V (m/s) 0 5.43 8.73 10.73 11.94 12.68 13.12 10 v (m / s) t (s) 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 v (t) 5 Problema 2 (Segundo parcial): Disponemos de una esfera inhomogénea de radio R , masa M , y densidad volúmica ! (r) = c r , donde c es una constante y r es la distancia radial al centro de la esfera. (a) Determinar la masa de la esfera en función de R y c . 0 (b) Calcular el momento de inercia, respecto un eje2 que2.5pase3por 3.5 su centro 0 0.5 1 de 1.5 (expresar el resultado en función de M y R ). t (s) Recordar que ! ( y 2 + z 2 ) dm + ! ( x 2 + z 2 ) dm + ! ( x 2 + y 2 ) dm = 2 ! ( x 2 + y 2 + z 2 ) dm Si a dicha esfera se la hace girar con una velocidad ! 0 y después se 2) Disponemos de una esfera inhomogénea de radio R, masa M y densidad volúmica coloca en una esquina (ver figura), sabiendo que el coeficiente de "(r) = cr, donde c es una constante la distancia radial centro es de laµ esfera. rozamiento con y rlaes pared y con el alsuelo , calcular, a) Determinar la masa de la esfera en función de R y c. expresándolo de respecto la forma de más valor de todas las b) Calcular el momento de inercia, unsimple eje queposible, pase porelsu centro, fuerzas que actúan sobre la esfera. SOLUCION (expresar el resultado en función de M y R) Recordar que # (y2+z2) dm + # (x2+z2) dm + # (x2+y2) dm = 2 # (x2+y2+z2) dm Si Como a dichalaesfera seSolución: ladepende hace girar una velocidad $0de y después la colocaesférica) en una esquina (ver figura), a) densidad de con la distancia al centro la esferase(simetría sabiendo que el coeficiente de rozamiento con la pared y con el suelo es µ, calcular, tomamos un dm encerrado en una corteza esférica de radio r y espesor dr, ya que en expresándolo r de la R formavolumen mas simple posible:Como (a) densidad depende de la distancia al centro de la dicho la densidad será lalamisma: OLUCION c) El valor de todasesfera las fuerzas que actúan sobretomamos la esfera.un dm encerrado en una (simetría esférica), d) La aceleración la esfera. 2 angular 2 corteza de esférica de 2radio r y espesor dr , 3ya que en dicho dV = 4!r dr "que da dmantes = # 4!r dr = cr 4!r dr = 4!cr dr e) El número de vueltas de detenerse. dr volumen la densidad será la misma )f)Como la densidad de la la los esfera (simetría esférica) Calcular la masa depende y momento dedistancia inercia deallacentro esferadeasí valores numéricos de las magnitudes que omamos un dm encerrado en una corteza esférica dr,4 ya que2 en r R3 4 R de radio r y 4espesor 2 2 R r dV = 4 ! r dr ! = "c dV = "/%) 4!4rkg/m dr = ,cr4 c rrad/s. dr (1) aparecen en los apartados anteriores para R = 30dm cm, = (10 µ =! 2r ydr$=0 4=!40 3 % ' icho volumen la densidad será la misma: Integrando: m = $ 4! c r dr = 4! c " m = !cR 0 & 4 (0 Integrando la Ecuación (1) 2 2 2 3 dV = 4!r dr " dm = # 4!r dr = cr 4!r dr = 4!cr dr dr b) La densidad no es constante, y por lo tanto no podemos considerar la esfera como Iz R 4 R una suma de discos, ya que no sabemos cuanto vale el I de cada rdisco (dentro de 4 MR= ! 4! cr 3 dr = 4! c " M =al! cR 4 . R r 4 de la distancia 3 variando). Como cada disco la densidad va la densidad depende % ' ntegrando: m = $ 4! c r dr = 4! c m = !cR 4 0 0 " centro, al igual que0 para la masa, las regiones & 4 ( 0 en las que la densidad es constante son Iy cortezas esféricas, por lo que tendremos que relacionar el momento de inercia con (b) La densidad no es constante, y por lo tanto no podemos una integral de dm situadas en cortezas. ) La densidad no esconsiderar constante, ylapor lo tanto no podemos la esfera como IxIz esfera como una sumaconsiderar de discos, ya que no na suma de discos, sabemos ya que nocuánto sabemosvale cuanto vale el I de cada disco (dentro de el momento de inercia 2de 2cada disco 2 2 2 2 Pordisco simetría, Ix = Iy =vaIzvariando). = de I. Además, Ixla=la $(ydensidad +z )dm, =de$(x +z )dm eal Izla= $(x +y )dm. ada la densidad densidad depende la distancia (dentro cadaComo disco vaIyvariando). Como entro, al igual que para la masa, las regiones en las que densidad es constante densidad depende de la distancia al la centro, al igual que parason la 2 2 2 2 2 2 2 2 Iy ortezas esféricas, por lo $que tendremos que momento inercia masa, regiones en+zrelacionar las)dm que+ $la(xeldensidad Aplicando la relación: (ylas+z )dm + $(x +y )dm =esde2constante $(x2 +y2con +zson )dm = 2 $ r dm na integral de dm situadas cortezas. por lo que tenemos que relacionar el cortezasenesféricas, Ix 2 2 momento de inercia con una integral de dm situadas en Vemos que 3I = 2 $ r dm " I = (2/3) $2r dm 2 2 2 2 2 or simetría, Ix = Iy cortezas. = Iz = I. Además, Ix = $(y +z )dm, Iy = $(x +z )dm e Iz = $(x +y )dm. Esta es la relación que estabamos buscando. 2 Por 2 simetría,2 I x 2= I y = I z = 2I . Además 2 2 2 2 2 Aplicando la relación: $(y +z )dm + $(x +z )dm + $(x +y )dm = 2 $(x +y +z )dm = 2 $ r dm 2 Tomamos un dm igual que para el cálculo I x = ! (yde2 +lazmasa, )dm, por I y lo = !que z 2 ) dm, ede inercia I z = ! (será: x 2 + y 2 ) dm. ( x 2el+momento 2 Vemos que 3I = 2 $ r dm " I = (2/3) R I = es (2/3) r dm que = (2estabamos / 3) r2 4! c r3dr = sta la relación buscando. 0 $ 2 $ $ r2 dm R R 5 (2 / 3)$ 4! c r dr = 0 r6 (2 / 3)4! c % ' = & 6 (0 (4 / 9)! cR 6 " omamos un dm igual que para el cálculo de la masa, por lo que el momento de inercia será: 4 2 2 I = (4/9) !cR R " I = (4/9) m R Iz una suma de discos, ya que no sabemos cuanto vale el I de cada disco (dentro de cada disco la densidad va variando). Como la densidad depende de la distancia al centro, al igual que para la masa, las regiones en las que la densidad es constante son Iy cortezas esféricas, por lo que tendremos que relacionar el momento de inercia con una integral de dm situadas en cortezas. Ix Aplicando la relación 2 2 2 2 2 2 Por simetría, Ix = Iy = Iz = I. Además, Ix = $(y +z )dm, Iy = $(x +z )dm e Iz = $(x +y )dm. ! ( y 2 + z 2 ) dm + ! ( x 2 + z 2 ) dm + ! ( x 2 + y 2 ) dm = 2 ! ( x 2 + y 2 + z 2 ) dm = 2 ! r 2 dm, 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Aplicando la relación: $(y +z )dm + $(x +z )dm + $(x +y )dm = 2 $(x +y +z )dm = 2 $ r dm vemos que 2 2 Vemos que 3I = 2 $ r dm " I = (2/3) $ r dm 2 3I = 2 " r 2 dm ! I = " r 2 dm. Esta es la relación que estabamos buscando. 3 Tomamos un dm igual que para cálculo masa, lo que Tomamos uneldm igual de quelapara el por cálculo deellamomento masa, pordeloinercia que elserá: momento de inercia será I = (2/3) $r 2 R 2 R r 4! 2c r3dr2 = (2 /R 3)2 4! c 3r5dr 2 0 I= r dm = r 40 ! c r dr = dm = (2 / 3)$ ! 3 4 ! 3 $ 0 2 I = (4/9) !cR R " R r6 ' 6 % =r (4 / 9)! 2= (2 / 3)4! c 26 4 cR ! 4! c r dr =& 3 4(!0c 6 = 9 ! cR 3 6 R R 5 0 " 6 0 2 I = (4/9) m R 4 4 I = ! c R 4 R 2 ! I = MR 2 . 9 9 c) En la figura se muestran las fuerzas que actúan sobre la esfera. Como el centro (c) laEn la figura se muestran las tiene fuerzas sobre de masas no se desplaza, suma de todas esas fuerzas queque seractúan 0 ()F = 0) "la esfera. Como el centro de masas no se desplaza, la suma de ! todas esas fuerzas debe anularse, ! F = 0. )Fx = 0 " N2 – fr1 = 0 (1) )Fy = 0 " N1 + fr2 – mg# =F 0x = 0 (2) ! N 2 " fr1 = 0 fr2 N2 mg N1 (2) ! la N " mg =0 (3) Además, como hay deslizamiento, fuerza rozamiento máxima µN " # Fy = 0actúa 1 + fr2de fr1 fr1 = µN1 , fr2 = µN2 . Sustituyendo estos valores en las ecuaciones anteriores: Además, como hay desplazamiento, actúa la fuerza de rozamiento máxima µ N ! fr1 = µ N1, fr2 = µ N 2 . Sustituyendo estos valores en las ecuaciones anteriores, (1) ! N 2 " µ N1 = 0, (2) ! N1 + µ N 2 " mg = 0. De la primera ecuación despejamos el valor de N 2 , N 2 = µ N1 , y lo introducimos en la segunda N1 + µ µ N1 ! mg = 0 " N1 (1+ µ 2 ) = mg " N1 = Y sustituyendo este valor en N 2 , fr1, fr2 mg . (1+ µ 2 ) N2 = mgµ , (1+ µ 2 ) fr1 = mgµ , (1+ µ 2 ) mgµ 2 fr2 = . (1+ µ 2 ) Problema 3 (Segundo parcial): Un vehículo espacial de 200 kg pasa para t = 0 por el origen de coordenadas de un sistema de referencia inercial Oxyz con velocidad ! ! v0 = 150 i m/s relativa al sistema. Tras la detonación de unas cargas explosivas, el vehículo se separa en tres partes A, B, y C de masas 100, 60, y 40 kg respectivamente. Sabiendo que para t = 2, 5 s las posiciones de las partes A y B son respectivamente (555, -180, 240) y (255, 0, -120) donde las coordenadas se expresan en m, determinar la posición de la parte C en ese instante. Solución: Todas las fuerzas implicadas en la explosión son internas al sistema. Como no hay fuerzas externas, la aceleración del centro de masas se anula, ! #F ext ! ! = MaCM = 0 " aCM = 0. Por otra parte ! ! dptot # Fext = dt = 0 " ! ! ptot se conserva, ! donde ptot para un sistema de n partículas se define como ! n ! ! ! ! ptot = " pi . i=1 Antes de la explosión, solo teníamos una partícula, con lo que el momento total del sistema vale ! ! ! ! inicial ptot = 200 kg ! 150 i m/s = 3!10 4 i kg m/s. Después de la explosión, podemos considerar que no actúan fuerzas sobre las partes A, B, y C, por lo que su velocidad se puede considerar constante. Si consideramos que el vehículo explosiona en el origen de coordenadas, podemos calcular la velocidad y el momento de cada uno de los fragmentos por separado Fragmento A: Masa: mA = 100 kg. ! " 555 !180 240 % m m Velocidad: vA = $ , , ' = ( 222, ! 72, 96 ) . s # 2, 5 2, 5 2, 5 & s ! ! m kg m Momento: pA = mA vA = 100 kg ! ( 222, " 72, 96 ) = ( 22200, " 7200, 9600 ) . s s Fragmento B: Masa: mB = 60 kg. ! " 255 0 !120 % m m Velocidad: vB = $ , , ' = (102, 0, ! 48) . s # 2, 5 2, 5 2, 5 & s ! ! m kg m Momento: pB = mBvB = 60 kg ! (102, 0, " 48) = ( 6120, 0, " 2880 ) . s s Fragmento C: Masa: mC = 40 kg. ! m Velocidad: vC = ( vCx , vCy , vCz ) . s ! ! m kg m Momento: pC = mC vC = 40 kg ! ( vCx , vCy , vCz ) = ( 40 vCx , 40 vCy , 40 vCz ) . s s El momento total del sistema después de la explosión será entonces ! final ! ! ! kg m ptotal = pA + pB + pC = ( 28320 + 40 vCx , ! 7200 + 40 vCy , 6720 + 40 vCz ) . s Como el momento total se tiene que conservar, igualando los momentos del sistema antes y después de la explosión llegamos a las siguientes ecuaciones 30000 = 28320 + 40 vCx 0 = !7200 + 40 vCy 0 = 6720 + 40 vCz ! vCx = 42 m , s m , s m ! vCz = "168 . s " vCy = 180 Por último, conociendo la velocidad de la partícula C, y sabiendo que ésta permanece constante tras la explosión, podemos conocer su posición al cabo de 2,5 s xC = 2, 5 ! 42 m = 105 m, yC = 2, 5 ! 180 m = 450 m, zC = 2, 5 ! ("168) m = " 420 m.