Capítulo VI DESIGUALDADES E INECUACIONES

FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES
Marcelo Romo Proaño, M.Sc.
Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador
Capítulo VI
DESIGUALDADES E INECUACIONES
6.1
DEFINICIONES:
a.
Desigualdad:
Se denomina desigualdad a toda expresión que describe la relación entre al menos 2
elementos escritos en términos matemáticos, y que incluye al menos un símbolo de los
siguientes:
>
<
≥
≤
: Mayor
: Menor
: Mayor o igual
: Menor o igual
Ejemplo 1:
Los siguientes expresiones son desigualdades y se leen como se detalla en el texto
adjunto:
6>4
:
“6” es mayor que “4”
a>b
:
“a” es mayor que “b”
x < −2
:
“x” menor que “-2” (la variable “x” toma valores menores que “2”, sin incluir el valor límite de “-2”).
2<x<7
:
“2” menor que “x” menor que “7” (la variable “x” toma valores
comprendidos entre “2” y “7”, sin incluir los valores límites).
y≥4
:
“y” mayor o igual a “4” (la variable “y” toma valores mayores a
“4”, incluido ese valor límite).
−1≤ y < 3
:
“-1” menor o igual a “y” menor que “3” (la variable “y” toma
valores entre “-1” y “3”, incluido el límite inferior “-1” y excluido
el límite superior “3”).
z2 ≥ 9
b.
:
“z2 ” mayor o igual a “9” (la variable “z” toma valores tales que su
cuadrado sea mayor o igual a “9”).
Inecuación:
Se denomina inecuación a toda desigualdad que incluye al menos una variable en su
descripción.
Ejemplo 2:
Las siguientes expresiones, tomadas del ejemplo anterior, a más de desigualdades son
inecuaciones:
x < −2
:
“x” menor que “-2”.
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2<x<7
:
“2” menor que “x” menor que “7”.
y≥4
:
“y” mayor o igual que “4”.
−1≤ y < 3
:
“-1” menor o igual a “y” menor que “3”.
z2 ≥ 9
“z2 ” mayor o igual a “9”.
:
Ejemplo 3:
Las siguientes expresiones son inecuaciones con más de una variable:
x+y<3
:
“x+y” menor que “3”.
y − x+5 ≥ 0
:
“y-z+5” mayor o igual que “0”.
x + 2y − z ≤ 4
:
“x+2y-z” menor o igual que “4”.
x 2 + y 2 ≤ 25
:
“x2 +y2 ” menor o igual a “25”.
NOTA: Las 3 primeras inecuaciones son lineales, mientras que la cuarta inecuación es
no lineal.
6.2
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LAS DESIGUALDADES E
INECUACIONES:
Para representar gráficamente las desigualdades o inecuaciones se puede utilizar como
referente la Recta Real o los Diagramas de Coordenadas Cartesianas de 2 y 3
dimensiones, dependiendo del número de variables involucradas.
Problema Resuelto 1:
Representar gráficamente las desigualdades e inecuaciones del ejemplo 1:
6>4
a>b
x < −2
2<x<7
y≥4
−1≤ y < 3
z2 ≥ 9
Solución:
Ø
6>4
Se representan los 2 miembros de la desigualdad sobre la Recta Real.
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Al colocar el número “6” a la derecha del número “4” se especifica que “6” es
mayor que “4”.
Ø
a>b
Tomando como referencia el ejemplo anterior, la representación gráfica sería:
Al colocar la constante “a” a la derecha de la constante “b” se especifica que “a”
es mayor que “b”.
NOTA 1: Las constantes numéricas se representan mediante puntos en la Recta
Real, y las relaciones matemáticas son descritas por la posición que ocupan unas
con relación a las otras.
Ø
x < −2
La representación gráfica, sobre la Recta Real, es la siguiente:
Dentro del conjunto de los números reales, existen infinitos valores de “x” que
cumplen con la inecuación. El rango de valores que satisface la condición
anterior aparece con línea más gruesa, y va desde “-2” hasta “-∞”, excluido el
valor “-2”.
La circunferencia hueca significa que el rango de valores llega hasta el valor “2”, pero no lo incluye.
NOTA 2: Los rangos consecutivos de números reales se representan mediante
líneas continuas sobre la Recta Real.
NOTA 3: Para señalar un número dentro de un rango se suele utilizar una
pequeña circunferencia; si el número mencionado forma parte del rango de
valores descrito, la circunferencia aparece llena, y si el número se excluye del
rango de valores, la circunferencia aparece vacía.
Ø
2<x<7
La representación gráfica, sobre la Recta Real, es la siguiente:
Ø
y≥4
La representación gráfica, sobre la Recta Real, es la siguiente:
La circunferencia llena, en la posición del número “4” indica que ese número
está incluido en el rango de valores descrito por la inecuación.
Ø
−1≤ y < 3
La representación gráfica, sobre la Recta Real, es la siguiente:
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Ø
z2 ≥ 9
Dado que los valores positivos de “z” iguales o superiores a “3” generan un
valor de “z2 ” igual o superior a “9”, y por otro lado, debido a que el cuadrado de
un número negativo es igual al cuadrado del mismo número pero positivo, se
tiene que los valores de “x” iguales o menores a “-3” también cumplen con la
condición de la inecuación.
z 2 ≥ 9 → z ≥ 3 y z ≤ −3
La representación gráfica, sobre la Recta Real, es la siguiente:
Problema Resuelto 2:
Representar gráficamente las siguientes desigualdades del ejemplo 3, entre las que no se
incluye la inecuación con 3 variables por requerir un gráfico en 3 dimensiones:
x+y<3
:
“x+y” menor que “3”.
y − x+5 ≥ 0
:
“y-z+5” mayor o igual que “0”.
x 2 + y 2 ≤ 25
:
“x2 +y2 ” menor o igual a “25”.
Solución:
Ø
x+y<3
Debido a la presencia de 2 variables en la desigualdad, se requiere un gráfico
sobre un diagrama de coordenadas cartesianas de 2 dimensiones.
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La expresión de referencia, para poder identificar gráficamente los valores de las
incógnitas que cumple n con la inecuación, se obtiene al reemplazar el símbolo
“<” por el símbolo “=”, en la expresión previa:
x + y = 3 Ecuación referencial
La ecuación obtenida corresponde a una línea recta. La función que se describe
con la expresión anterior tiene la siguiente representación gráfica:
La recta divide a los puntos pertenecientes al diagrama de coordenadas
cartesianas en tres sectores: el sector a la izquierda y hacia debajo de la recta; el
sector hacia arriba y hacia la derecha; y los puntos pertenecientes a la recta
dibujada.
Los puntos del diagrama que cumplen con la inecuación son aquellos ubicados
por debajo y hacia la izquierda de la línea dibujada, y no se incluye a los puntos
de la recta pues la relación expresada en la inecuación es de “<”, y no de “≤” (no
se incluye la igualdad, que generó la línea recta).
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La zona rayada representa a la solución a la inecuación.
NOTA 1: Para identificar los sectores que forman parte de la solución a la
inecuación se toman las coordenadas de puntos claramente identificables en cada
sector del diagrama (arriba de la recta y debajo de la recta) y se reemplaza esos
valores en la inecuación original. Aquellos puntos que satisfacen la desigualdad
representan a los sectores del diagrama que son solución de la inecuación, y los
que no cumplen con la desigualdad representan a los sectores que no son
solución de la inecuación.
NOTA 2: Para denotar que la curva que sirve de límite no es parte de la solución
a la inecuación, se suele dejar una separación entre la curva y la zona rayada que
representa la solución, y cuando la curva si está incluida en la solución, el
rayado alcanza a la curva (recta en el presente caso)
Ø
y − x+5 ≥ 0
La Ecuación Referencial es:
y − x + 5 = 0 Función Referencial
El gráfico de la función anterior es:
Los puntos del diagrama que cumplen con la inecuación son aquellos ubicados
por debajo y hacia la derecha de la recta de referencia y, en el presente caso, se
incluye a los puntos de la recta pues la relación expresada en la inecuación es de
“≥” (incluye la igualdad).
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Ø
x 2 + y 2 ≤ 25
La Ecuación Referencial es:
x 2 + y 2 = 25 Función Referencial
La función describe una circunferencia de radio 5.
Los puntos interiores a la circunferencia, incluidos los de la propia
circunferencia son la solución a la inecuación.
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6.3
PROBLEMAS PROPUESTOS:
Problema Propuesto 1:
Representar gráficamente las siguientes desigualdades:
2x − y < 4
x 2 + y 2 > 16
Problema Propuesto 2:
Representar gráficamente la siguiente desigualdad y explicar, en función de las
propiedades del gráfico por qué se producen los rangos de valores de “x” y “y”
obtenidos:
y ≥ x 2 − 6x + 8
Problema Propuesto 3:
Resolver, gráficamente el siguiente sistema de inecuaciones:
x + 2y ≥ 5
x−y < 3
Ayuda: Encontrar los sectores del diagrama en que se superponen los gráficos de las 2
inecuaciones.
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