simulación de caminos aleatorios en una y dos dimensiones

REVISTA COLOMBIANA DE FÍSICA, VOL. 34, No. 1, 2002
SIMULACIÓN DE CAMINOS ALEATORIOS EN UNA Y DOS DIMENSIONES.
J. O. Urrego, J. C. Giraldo, J. M. Flores, M. H. González.
Universidad Distrital Francisco José De Caldas
RESUMEN
Inicialmente tomamos como problema el de Pearson en 1906. Un borracho comienza de
un poste y anda N pasos de igual longitud en direcciones aleatorias ¿Cuál será el
camino que tomara el borracho?. El programa en VisualBasic, realiza una pequeña
estadística de este problema. Al comenzar a ejecutarlo, nos pide él numero de pasos que
nosotros deseamos que de el borracho, estos pasos el programa los repetirá 100 veces,
mostrándonos cuantos pasos dio, a la derecha, a la izquierda y la probabilidad de dar
cada paso. Se incluye una parte en dos dimensiones en donde además de la estadística
muestra gráficamente la posición probable donde se encontraran después de dar n
movimientos de igual longitud una colmena de abejas dentro de un plano, dándonos la
opción que las abejas tengan una velocidad inicial.
INTRODUCCIÓN
Muchos de los jóvenes de ahora, les llama la atención el mundo de los computadores, ya sea
para navegar en el Internet o simplemente para elaborar trabajos escritos, pero muy rara vez
se utiliza en la parte educativa. Con el desarrollo de programas como este se pretende crear
herramientas diferentes en la educación para facilitar mas el aprendizaje de los estudiantes
frente a temas que se dificulta su comprensión. El programa nos muestra dos situaciones
donde no podemos afirmar con exactitud la ubicación futura, sino tenemos que hablar de la
probabilidad que se encuentre en un lugar específico. Calculamos la probabilidad y unos
datos estadísticos que por el momento, será de nuestro interés para el análisis de nuestros dos
problemas.
CÁLCULOS EFECTUADOS POR EL PROGRAMA
.La principal cantidad de interés es la probabilidad PN(x) que después de N pasos el
caminante a experimentado un desplazamiento total X. Podemos calcular el desplazamiento
total <XN> y la varianza < X2N> del caminante con las relaciones:
X
∆X
X
2
NL
∑
=
N
X * PN (X
)
(1)
X = − NL
2
N
=
N
=
∑
X
X
2
N
2
− X
PN (X
2
N
)
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(2)
(3)
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Fig. 1 Camino aleatorio en una dimensión
El promedio se calcula sobre todos los caminos posibles de N pasos.
Fig.2 Número de pasos deseados
El análisis del problema del camino aleatorio anterior puede ser obtenido analíticamente
usando la teoría de la probabilidad. Los resultados analíticos de <XN> y <
X2N> son:
< ∆X N > = (p – q)* N L
(4)
< ∆X N > = 4 p q N L2
(5)
2
Anotemos que <XN> = 0 para el caso p = q = 1/2. Relacionando 4 y 5 usando métodos
analíticos sencillos podemos derivarlas, necesitamos desarrollar técnicas para caminos que
no pueden ser resueltos exactamente, dos importantes aproximaciones son la enumeración
exacta y el método de monte carlo (2).
En la aproximación por enumeración exacta, él numero y la probabilidad de todos los
caminos de un N dado y X son hallada explícitamente. Como un ejemplo los 8 caminos para
N = 3 y d = 1 son mostrados en la figura 3. Note que el número de caminos negativos y
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positivos X es simétrica. La enumeración de los caminos permitidos para calcular P3(X) y
obtenemos:
X 3 = ∑ xP3 (x) = −3q3 − 3 pq2 + 3 p 2 q + 3 p 3 = 3( p + q)( p − q) = 3( p − q)
X 32 = ∑ x 2 P3 (x) = 9q 3 + 3 pq2 + 3 p 2 q + 9 p 3 = 12 pq + [3( p − q)]
2
(6)
Fig. 3 Probabilidad con N=3
Usamos la relación p + q = 1 en 8. A partir de 8 podemos concluir que la mitad del
desplazamiento (en la red) al cuadrado es dado por
∆X 2 = x32 − x3
2
= 12 pq
Un resultado consistente con (5. –en la aproximación de enumeración él calculo es usado
como un “sostenedor de libros” a generar los posibles caminos y finalmente la expresión
exacta para las cantidades de interés. A partir del total numero de posibles caminos de N
pasos en una dimensión es 2N, la enumeración exacta es en general limitada por N pequeño
(del desarrollo de esta limitación puede ser salvada sí el modelo puede ser hallado
analíticamente) Usaremos los resultados de la enumeración exacta como un chequeo en
nuestra simulación de Monte Carlo.
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En el caso de dos dimensiones los cálculos son muy similares a los anteriores, se trabaja con
dos variables X y Y aplicando las mismas ecuaciones estadísticas para poder saber la
posición en la que se encontraran unas abejas.
Fig. 4 Posiciones de 3 abejas después de 59 movimientos
Si nosotros queremos que las abejas tengan una velocidad inicial diferente de 0 lo único que
nos cambiara será la grafica ya que los datos no dependen de la velocidad con la que se
encuentran las abejas.
CONCLUSIONES
El programa nos permite observar que algunas cosas no son exactas sino que son probables.
Mediante el uso del computador podemos desarrollar y comprender cosas de la naturaleza
que muchos no tenemos la posibilidad de ver. Es necesario contar con la ayuda del
computador en las aulas de clase como herramienta pedagógica.
SUGERENCIAS
El programa puede ampliarse a 3 dimensiones quedando mas cercano a la naturaleza de las
cosas.
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Fig. 5 Posición de 3 abejas con diferentes velocidades iniciales
REFERENCIAS
[1]. Visual Basic 4.0 editorial Mc Graw Hill
[2]. GOULD Harvey, TOBOCHNIK Jan, “An introduction to computer simulation methods
(applications to physical systems) part 1” Addison-wesley publishing company. Paginas
355_365.
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