Las rectas secantes y la determinación de cuatro regiones de plano

Curso
Inclusión de
las tecnologías
en el aula
Evaluación Módulo 4
Clase: 3º Año
Maestra: Gabriela Freire
2011
Escuela de Práctica Nº 28 “República de Panamá”
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Maestra Gabriela Freire
Tarea Módulo 4
Primera parte: Elaboración de la primera parte de una propuesta didáctica para trabajar en la escuela un
tópico generativo con inclusión de tecnologías digitales.
Tópico generativo: “Figuras 2D”.
Área del Conocimiento Matemático.
Disciplina: Geometría- Figuras en el plano.
Contenido: Los ángulos interiores de los polígonos (Triángulos).
(Contenido que se aborda en esta evaluación)
Antecedente: Las posiciones relativas de rectas en el plano. RECORTE: -Las rectas y la determinación de
regiones de plano (ángulos convexos).
Proyecciones: Las propiedades de los triángulos. RECORTE: La condición de los lados (la condición de
existencia). 1
Metas de comprensión: (¿Qué desea que el alumno comprenda acerca de este tópico?).
Meta de comprensión Nº 1.
- Reconocer los distintos subconjuntos que quedan determinados en un plano al representar dos rectas.
Meta de comprensión Nº 2.
-Descubrir que la suma de la medida de la amplitud de los ángulos interiores de los triángulos es
invariante.
Meta de comprensión Nº 3.
-Deducir la condición de existencia de un triángulo.
Desempeños de comprensión:
(¿Qué se propondrá a los niños que hagan para que puedan alcanzar las metas de comprensión? ¿Cuáles son las tareas que
se les plantearán?)
-Se trabajará en software dinámico “Dr. Geo II” en la representación de rectas y en otra instancia en la
representación de polígonos de tres lados y medición de la amplitud de los ángulos interiores (ángulos
convexos).
1
Contenidos extraídos del Programa de Inicial y Primaria 2008.
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Desempeños de exploración: (Mencionen aquí los desempeños de Exploración. Recuerden que estos “son los
desempeños de comprensión que generalmente corresponden al inicio de la unidad. Dan a los estudiantes la ocasión de
explorar el tópico generativo y al docente le dan la oportunidad de conocer la comprensión que tienen los estudiantes sobre
el tópico. De estas exploraciones surge la posibilidad de establecer vínculos entre los intereses personales del estudiante y el
tópico”. Especifiquen el uso de recursos web y/o actividades de la XO dentro de estas tareas).
Hacia la meta de comprensión 1 (Relacionado al “antecedente”)
En una primera instancia se trabaja con hojas de papel glacé que representan al plano. Por medio del
plegado obtenemos rectas secantes y paralelas.
Intervención docente:
Maestra: -¿Qué representa la hoja? Se lleva a los niños a pensar en la representación de un plano.
-Pliega de tal manera de obtener una recta. ¿Qué obtuviste?, ¿Qué quedaron determinados?
-Pliega otra vez para obtener otra línea recta.
Plegado de Lucía:
M: ¿Cuántas regiones de plano le quedaron representadas a Lucía?
Martina: Tres regiones.
Florencia: Las rectas son paralelas.
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Mateo plegó así:
Observen estas rectas que obtuvo Mateo, ¿Cómo son?
Agustín: -No se intersectan.
Se incita a los niños a reflexionar sobre la idea de la infinitud del plano y de la recta. Estos conceptos son
abstractos y para poder pensar sobre ellos buscamos representaciones.
Maestra: -Representa las rectas que obtuviste al plegar, rayando sobre los pliegues. Ahora prueba
continuarlas sobre otra hoja de mayor tamaño, que representa al mismo plano.
Maestra: -Mateo prolongó las rectas en una hoja de mayor tamaño, que representa al mismo plano,
observen qué sucedió con las rectas.
Emiliano: -Ahora sí se intersectaron.
Lucía: -Claro, en esa parte del plano no se veía la intersección, al prolongarlas sí.
Algunos niños recordaron, cuando trabajamos “La caracterización de los planos”, que los planos están
formados por infinitos puntos y que las rectas también son infinitas.
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No todos logran buenos plegados. Antonio intenta representar dos rectas que se intersectan en un
punto. Se aprecia en la foto la dificultad al plegar.
M: ¿Cuántas regiones de plano intentaste representar?
A: Cuatro.
Sentimos la necesidad de recurrir al software dinámico “Dr. Geo II”
El conocimiento no se lee en la pantalla sino que “es el resultado de una construcción en el proceso de
interacción con la máquina”.
Consigna 1: Representa en “Dr. Geo II” una línea recta y por un punto de ella representa a otra recta.
Mueve una u otra de las rectas y observa qué sucede.
Intervención docente
Maestra: -¿Cuántas regiones de plano quedaron determinadas?
Agustín: -Quedaron cuatro.
Maestra: -Cada una de esas regiones angulares y sus respectivos lados (semirrectas) también le
llamamos regiones angulares o ángulos.
-¿Qué tienen en común esas rectas?
Mateo: -Tienen un punto.
Maestra: -Esas rectas que tienen un punto en común se llaman “secantes”.
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Otras posiciones de las rectas secantes.
Maestra: -Llamémosle “O” al punto de intersección de las rectas.
Maestra: -¿Cómo son los ángulos que quedaron determinados?
Pablo: -Son distintos.
Martina: -Los ángulos opuestos son iguales.
Maestra: -Sí, esos ángulos se llaman “ángulos opuestos por el vértice”.
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Lucía: -Poniendo las rectas en esta posición, las regiones parecen iguales.
Maestra: -¿Cómo podríamos comprobar que las regiones angulares son iguales? ¿Hay alguna
herramienta que nos permite medir los ángulos?
Antonio: -Encontré una herramienta dentro del menú “Numérics” que tiene forma de semicírculo, es
igual al instrumento que trajo mi juego de geometría, que sirve para medir ángulos. No sé cómo se hace
para medir.
La maestra explica el procedimiento. Determinamos los puntos que faltan sobre cada una de las rectas
para poder medir la amplitud angular. Nominamos los puntos desde la herramienta “Editar el estilo de
un objeto” y desde “Ángulo definido por tres puntos o dos vectores” medimos los ángulos.
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Camila: -Casi son iguales los ángulos.
Los mueven hasta lograrlo.
Sol: -Lo pude hacer, cada región quedó de 90º.
Maestra: -Estas rectas que determinan cuatro regiones angulares iguales se llaman “perpendiculares”.
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Los niños tienden a ver la perpendicularidad de las rectas solamente en esta posición, “Dr Geo II”
permite desterrar esa concepción, por lo tanto se invita a los niños a mover las rectas para que queden
en otra posición, conservando la amplitud angular 90º, la perpendicularidad de las rectas.
De esta manera dejamos de lado la geometría estática para acercarnos a una geometría dinámica y
problematizadora.
Federico: -Hay una herramienta dentro de “Línea” que dice “Perpendicular”.
Los niños prueban ahora trazar específicamente perpendiculares para que al moverlas, se resistan al
arrastre, se conserve esa relación entre las rectas.
Consigna 2: Traza una línea recta y una perpendicular por un punto de ella. Mueve las rectas y observa
cómo conservan la perpendicularidad.
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Consigna 3: Traza una recta “AB” y un punto exterior, al que nominaremos “C”, a ella. Traza una paralela al
segmento AB, por el punto “C”.
Maestra: -¿Cuántas regiones de plano quedaron determinadas?
Emanuel:- -Quedaron tres.
Maestra: -Midan el ángulo entre esas dos rectas.
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Los niños prueban y observan que no les queda determinada ninguna región de plano de la que puedan
considerar medida de amplitud angular.
Florencia: -No hay ángulos entre las rectas, sí entre los puntos que están determinados.
Maestra: -¿Cómo tienen que ser esas rectas para poder obtener regiones angulares?
Antonio: -Tienen que intersectarse en un punto.
Mateo: -Tienen que ser secantes.
Agustina: -Y si se obtienen cuatro regiones angulares iguales es porque las rectas son perpendiculares.
Hacia la meta de comprensión 2
Se trabaja desde el software dinámico “Geogebra”.
La maestra construye un triángulo donde se aprecia el comportamiento del perímetro (Contenido ya abordado
desde la disciplina: Magnitudes y medida, “Perímetro de figuras”) y de la suma de los ángulos.
Sigue los pasos del siguiente tutorial propuesto en el material del “Módulo 4”:
http://www.youtube.com/watch?v=bc2QEsStIY4&feature=related
Se utiliza el proyector de la escuela.
Consigna: Observa qué sucede al mover los vértices del triángulo.
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Los niños advierten que cambia la forma y el tamaño del triángulo, su perímetro, pero que la suma de la amplitud
de los ángulos es siempre 180º.
Otra opción es usar la aplicación creada también en Geogebra, “Ángulos del triángulo”:
http://geogebra.es/gauss/materiales_didacticos/primaria/actividades/geometria/poligonos/angulos_triangulo/actividad.html
Preguntas
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Hacia la meta de comprensión 3
Consigna: Representa en “Dr. GeoII” los siguientes triángulos, con segmentos, cuyas medidas sean
aproximadamente:
a- 4- 7- 8
b- 6- 6- 6
c- 10- 2- 3
d- 4- 2- 4
¿Con cuáles medidas no se pudieron representar triángulos?
Explica por qué.
Lucía: -Mas o menos pude hacer el “a”.
Camila: -Con segmentos no puedo lograr el “b”. Voy a activar la cuadrícula, pero el menor movimiento
que hago de los lados se me mueve todo. Tendríamos que probar con otra herramienta.
Martín: -No se puede construir el triángulo de la propuesta “c”, no pude juntar los segmentos.
Maestra: ¿Qué variaciones harían en las medidas para poder construirlo?
Florencia: -El lado que mide “2” tendría que medir “8” para poder intersectarse con el otro que mide
“3”.
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Pablo: -El lado que mide “10” es muy largo, no puede serlo tanto con respecto a los otros dos.
Maestra: ¿Qué condición tendrán que cumplir los lados para que se pueda formar un triángulo?
Julián: -Como dijo Pablo el lado de “10”, es muy largo con respecto a los otros dos, habría que
cambiarlo por una medida menor.
Maestra: -Entonces podríamos decir que un lado no puede ser mayor que la suma de los otros dos.
Se les propone otras medidas para que, por medio del cálculo, puedan determinar sin realizar las
construcciones, qué triángulos se pueden construir.
En otra instancia se trabaja con el software dinámico Geogebra: “Desigualdad triangular”,
http://geogebra.es/gauss/materiales_didacticos/primaria/actividades/geometria/poligonos/desigualdad_triangular/actividad.html
El propósito de frecuentar las relaciones de los elementos del triángulo.
Se utiliza el proyector de la escuela.
“Desigualdad triangular”
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Preguntas
Más adelante se trabajará:
1- En la clasificación de triángulos según sus lados y sus ángulos.
También se realizarán construcciones con el software dinámico “Dr. Geo II” poniendo en juego las
propiedades de dichos triángulos, que hacen que se resista al arrastre, y que por lo tanto permitan a los
alumnos descubrir las invariantes de esas figuras.
Fuentes consultadas:
-Godino, J. y Ruíz, F. (2002). Geometría y su didáctica para maestros. Publicación realizada en el marco
del Proyecto de Investigación y Desarrollo del Ministerio de Ciencia y Tecnología, ISBN: 84-932510-1-1.
-Geogebra, manual: http://www.geogebra.org/help/docues.pdf
-Geogebra, tutoriales en You tube: http://www.youtube.com/watch?v=bc2QEsStIY4&feature=related
-Dr. Geo II, manual: http://www.slideshare.net/verocam/manualcito-dr-geo?from=embed
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