El plano de Moulton M es la geometrı́a de incidencia definida en el plano Euclı́deo R2 como sigue: los puntos de M son los puntos de R2 , el plano es todo el conjunto y las rectas de M son de tres tipos: las verticales, las de pendiente no negativa y las quebradas. Es decir, el conjunto de rectas es L = {La : a ∈ R} ∪ {Lm,b : m ≥ 0, b ∈ R} ∪ {Mm,b : m < 0, b ∈ R}, donde La tiene ecuación x = a, Lm,b tiene ecuación y = mx + b y la recta Mm,b tiene ecuación ( mx + b si x < 0, y= 2mx + b si x ≥ 0 Las rectas Mm,b se llaman rectas quebradas pues se quiebran en el eje y. 1. Verifique que el plano de Moulton satisface los axiomas de incidencia y compruebe que esta geometrı́a es afı́n. 2. Considere los triángulos abc y a′ b′ c′ formados por los puntos a = (−7, 6) a′ = (−11, 2) b = (−4, 5) b′ = (−2, 3) c = (−6, −2) c′ = (−6, 1) Pruebe que las rectas aa′ , bb′ y cc′ son concurrentes en un punto p, halle las coordenadas de p. En esta situación, decimos que los triángulos abc y a′ b′ c′ son perspectivos desde el punto p. Verifique que las rectas que contienen los lados correspondientes se intersecan: {u} = ab ∩ a′ b′ , {v} = bc ∩ b′ c′ , {w} = ac ∩ a′ c′ , sin embargo los puntos u, v y w no están alineados en esta geometrı́a. ¿Qué sucede si consideramos la misma configuración de triángulos en la geometrı́a afı́n usual de R2 ? El dibujo: 1 2 Las ecuaciones de las rectas del triángulo abc: ↔ ↔ ab es la recta quebrada M− 1 , 11 , es decir ab tiene ecuación: 3 3 ( − 13 x + 11 si x < 0, 3 y= 11 2 − 3 x + 3 si x ≥ 0 ↔ ↔ ac es la recta quebrada M−8,−50 , es decir ac tiene ecuación: ( −8x − 50 si x < 0, y= −16x − 50 si x ≥ 0 ↔ ↔ bc es la recta L 7 ,19 , es decir bc tiene ecuación: 2 7 y = x + 19 2 ′ Las rectas que contienen los lados del triángulo a b′ c′ tienen ecuaciones: ↔ ↔ a′ b′ es la recta L 1 , 29 , es decir a′ b′ tiene ecuación: 9 9 1 29 y = x+ 9 9 ↔ ↔ a′ c′ es la recta quebrada M− 1 ,− 1 , es decir a′ c′ tiene ecuación: 5 5 ( − 51 x − 15 si x < 0, y= − 52 x − 15 si x ≥ 0 ↔ ↔ b′ c′ es la recta L 1 ,4 , es decir b′ c′ tiene ecuación: 2 1 y = x+4 2 Los puntos de intersección etre los lados son: ↔ 4 23 donde u( , ) 7 7 ↔ ↔ 3 {v} =bc ∩ b′ c′ , donde v(−5, ) 2 ↔ 83 14 ↔ {w} =ac ∩ a′ c′ , donde w(− , ) 13 13 → → Para estudiar si estos tres puntos están alineados o no, veremos si los vectores uv y vw son paralelos. ↔ {u} =ab ∩ a′ b′ , Tenemos 18 11 39 25 → ,− ) vw= (− , − ) 7 14 13 26 18 25 11 los cuales no son paralelos pues − 39 /(− ) = 6 − /(− ). 7 13 14 26 → uv= (− ↔ Para ver qué sucede en la geometrı́a euclı́dea usual, tenemos que cambiar la recta ab= M− 1 , 11 por 3 ↔′ ab = L− 1 , 11 y vemos que 3 3 ↔′ ↔ {u′ } =ab ∩ a′ b′ , → donde u′ (1, → Ahora el vector u′ v= (−6, 11 6 ) que al compararlo con vw resulta → → u′ v // vw; por lo tanto u′ , v y w sı́ están alineados. 10 ). 3 3