Boletı́n FUNCIONES Y LÍMITES 1. La concentración de un compuesto orgánico en un embalse viene dada en función del tiempo t (dı́as) como 1+t , et C(t) = t ≥ 0. a) Determinar la concentración inicial; b) Determinar el valor a largo plazo de la concentración; c) Representar C(t). 2. La temperatura de un alimento dentro de un frigorı́fico viene dada por T = 10(4 + t2 34 ), + 4t + 10 t ≥ 0, donde t es el tiempo medido en horas. Se pide a) Temperatura inicial del alimento; b) Temperatura final; c) Determinar si la temperatura aumenta o disminuye con el paso del tiempo; d) Representación gráfica de T (t). 3. En cinética enzimática, la velocidad de reacción V depende de la concentración de substrato x, según la siguiente ecuación: V = ax , b+x x ≥ 0, donde a > 0, b > 0 son constantes. a) Determinar si la velocidad de reacción es máxima o mı́nima para alguna cantidad de substrato; b) ¿Cuál será la velocidad final de la reacción? c) Representar la gráfica de la función V (x). 4. Se cree que los peces migratorios intentan minimizar la energı́a requerida para desplazarse. Si el pez nada con velocidad v contra una corriente de velocidad constante k > 0 entonces la energı́a necesaria para nadar una distancia L es v3 , E(v) = 2L v−k v ≥ k. Si consideramos el caso k = 10, a) Determinar el valor de v que minimiza la energı́a; b) Representar la función E(v). 1 5. Representar la función y = (x3 − x)1/3 . 6. Un cuerpo caliente, que está inicialmente a una temperatura de 80 ºC se sumerge en un lı́quido, que está a temperatura constante de 20 ºC . El cuerpo se va enfriando según la ley de Newton T (t) = 20 + A/B t donde A, B > 0 son constantes positivas y T (t) es la temperatura del cuerpo al cabo de t horas. a) Calcular A y B si se sabe que al cabo de una hora la temperatura era de 40 ºC ; b) Representar la función T (t), t ≥ 0. 7. El ritmo de crecimiento de cierta especie de plantas se ajusta al modelo h(t) = 0, 2t + 0, 03 sen(2πt), donde h(t) es la altura de la planta y t representa el tiempo en horas. Si el momento t = 0 corresponde a la medianoche, ¿en qué momento del dı́a es máximo y mı́nimo el ritmo de crecimiento? 8. Calcular los siguientes lı́mites de funciones: a) lı́m x→0+ sen x x 1/x (sol. : 1); b) lı́m (x + ex )2/x (sol. : e2 ); ln cos x ln tg x (sol. : −1); x→∞ c) lı́m x→(π/2)− d) lı́m (x2 − x→∞ e) √ x4 − x2 + 2) (sol. : 1/2); √ lı́m (cos x)1/x x→0+ 2 √ (sol. : 1/ e).