Funciones de Clase C

Capítulo 7
Funciones de Clase C1
Vamos a considerar ahora la extensión a varias variables del concepto
de función de clase C 1 . Cada vez que establezcamos una propiedad de las
funciones diferenciables, trataremos de establecer, paralelamente, el mismo
resultado para las aplicaciones de clase C 1 .
Preliminares
Definición 7.1 Sea f : U ⊂ E → F donde U un conjunto abierto de E.
Diremos que f es de clase C 1 sobre A ⊂ U , lo que denotaremos por f ∈
C 1 (A), si
(i) f es diferenciable en cada punto x de A.
(ii) La aplicación Df : x → Df (x) es continua en A.
Aunque no se exprese explicitamente, siempre que escribamos f ∈ C 1 (A)
supondremos que f está definida sobre algún conjunto abierto que contiene
a A.
Veremos en este capítulo un teorema de caracterización para estas aplicaciones, en términos de derivadas parciales. Para establecer con comodidad
dicho teorema y también otros posteriores, necesitaremos algunos resultados
previos.
Proposición 7.2 Sea f : A ⊂ E → F1 × F2 × . . . × Fk . Es decir f =
o
(f1 , f2 , ..., fk ) y sea a ∈ A . Entonces, f es diferenciable en a (f ∈ C 1 (A)) si
y sólo si cada función coordenada fi es diferenciable en a (fi ∈ C 1 (A)). Se
verifica entonces que Df (a)h = (Df1 (a)h, Df2 (a)h, ..., Dfk (a)h).
69
Funciones de Clase C1
70
7.2
Demostración. Supongamos que cada fi es diferenciable en a, entonces teniendo en cuenta la proposición 2.11
0=
f1 (a + h) − f1 (a) − Df1 (a)h
fk (a + h) − fk (a) − Dfk (a)h
lı́m
, . . . , lı́m
h→0
h→0
khk
khk
f1 (a + h) − f1 (a) − Df1 (a)h
fk (a + h) − fk (a) − Dfk (a)h
= lı́m
,...,
h→0
khk
khk
f (a + h) − f (a) − (Df1 (a)h, . . . , Dfk (a)h)
= lı́m
,
h→0
khk
y puesto que la aplicación h → (Df1 (a)h, Df2 (a)h, . . . , Dfk (a)h) es lineal y
continua (está en L (E, F1 × . . . × Fk )), se deduce que f es diferenciable en
a, siendo
Df (a)h = (Df1 (a)h, Df2 (a)h, ..., Dfk (a)h).
Recíprocamente, si f es diferenciable en a entonces
lı́m
h→0
f (a + h) − f (a) − Df (a)h
= 0,
khk
lo que implica, usando de nuevo 2.11, que
fi (a + h) − fi (a) − πi (Df (a)h)
= 0,
h→0
khk
lı́m
i = 1, 2, . . . , k
donde πi es la proyección sobre Fi . Esto significa que fi es diferenciable en
a, y Dfi (a) = πi ◦ Df (a).
Veamos por último que f es de clase C 1 si y sólo si cada fi es de clase
1
C , es decir que la aplicación Df : x → Df (x) es continua si y sólo si la
aplicación x → (Df1 (x), . . . , Dfk (x)) es continua. En efecto,
kDf (x) − Df (a)k ≤ ε ⇔ k(Df (x) − Df (a))hk ≤ εkhk,
∀h
⇔ (Df1 (x) − Df1 (a))h, . . . , (Dfk (x) − Dfk (a))h ≤ εkhk,
⇔ k(Dfj (x) − Dfj (a))hk ≤ εkhk,
∀h
∀h, ∀j = 1 . . . , k
⇔ kDfj (x) − Dfj (a)k ≤ ε, ∀j = 1 . . . , k.
Nota. Obsérvese que a pesar de la fórmula Df (x)h = (Df1 (x)h, Df2 (x)h, ...,
Dfk (x)h), las aplicaciones Dfi no son las funciones coordenadas de la
aplicación Df , pues Df (x) 6= (Df1 (x), Df2 (x), ..., Dfk (x)) ya que
Df (x) ∈ L (E, F1 × . . . × Fk ) mientras que (Df1 (x), Df2 (x), ..., Dfk (x)) ∈
Funciones de Clase C1
7.3
71
i=1 L (E, Fi ). Sin embargo, existe una isometría lineal entre estos dos espacios normados que aplica Df (x) sobre (Df1 (x), Df2 (x), ..., Dfk (x)) (la
prueba de esto está implícita en la demostración anterior), y por tanto que
Df es continua si y sólo si, para cada i, Dfi es continua, se puede obtener
como consecuencia de la proposición 6.8
Qk
Condición suficiente de diferenciabilidad
o
Teorema 7.3 Sea f : A ⊂ Rn → Rp , y a ∈ A. Si f admite derivadas
parciales, respecto a cualquier índice, en un entorno del punto a y éstas son
aplicaciones continuas en a, entonces f es diferenciable en a.
Demostración. Observemos antes de nada que la hipótesis, las derivadas
parciales de f son continuas en a, es equivalente a que esto mismo suceda
para las funciones coordenadas, ya que es evidente que
∂f
∂f1
∂fp
(x) =
(x), . . . ,
(x) .
∂xj
∂xj
∂xj
Puesto que suponemos que las aplicaciones
∂fi
∂fi
:x→
(x)
∂xj
∂xj
están definidas en a, para que f sea además diferenciable se tendrá que
verificar que
f (x) − f (a) −
(7.1)
lı́m
∂f
j=1 ∂xj (a)(xj
Pn
− aj )
kx − ak
x→a
= 0.
Para ello vamos a aplicar el teorema 5.6 a la función
g(x) = f (x) − f (a) −
n
X
∂f
j=1
∂xj
(a)(xj − aj ).
Es claro que
∂gi
∂fi
∂fi
(x) =
(x) −
(a).
∂xj
∂xj
∂xj
Por tanto, aplicando el hecho de que las derivadas parciales de f son continuas en a, se tiene que para todo ε > 0 existe algún δ > 0 tal que si
x ∈ V = B[a, δ] entonces
∂gi
∂fi
∂fi
(x) = (x) −
(a) ≤ ε, ∀i, j.
∂xj
∂xj
∂xj
Funciones de Clase C1
72
7.3
Se deduce, pues, que la función g cumple en V las hipótesis del teorema 5.6,
luego es lipschitziana en V . En particular, si x ∈ V
n
X
∂f
kg(x) − g(a)k∞ = f (x) − f (a) −
j=1
∂xj
(a)(xj − aj )∞ ≤ εkx − ak1 ,
que, obviamente, significa que f satisface la condición 7.1.
Nota. Obsérvese que del hecho de que la función g de la demostración anterior sea lipschitziana en V , se deduce que
f (x) − f (y) −
lı́m
∂f
j=1 ∂xj (a)(xj
Pn
− yj )
kx − yk
(x,y)→(a,a)
= 0.
Una función que satisface la condición anterior se dice que es estrictamente
diferenciable en a. Por lo tanto, se ha demostrado que si f es una función
cuyas derivadas parciales son continuas en a, entonces f es algo más de
diferenciable en a, es estrictamente diferenciable en a. En particular, es fácil
ver que f es, en ese caso, lipschitziana en algún entorno de a.
Corolario 7.4 Sea f : U ⊂ Rn → Rp con U un abierto, entonces f es de
clase C 1 sobre U si, y sólo si, admite derivadas parciales continuas en U .
Demostración. Si f admite derivadas parciales continuas en U , por el resultado anterior, se tiene que f es diferenciable en cada punto de U. Para que
f ∈ C 1 (U ) sólo falta ver que la aplicación Df es continua en U . Trabajemos,
para concretar, con la norma producto de Rn :
kDf (x) − Df (a)k = sup kDf (x)h − Df (a)hk
khk≤1
n
n X
X
∂f
∂f
∂f (x) − ∂f (a).
= sup (x) −
(a) hj ≤
|hj |≤1
j=1
∂xj
∂xj
j=1
∂xj
∂xj
De las desigualdades anteriores se deduce trivialmente que si las aplicaciones
son continuas en a, entonces también es continua en a la aplicación Df.
Recíprocamente, si Df es continua en a, entonces
∂f
∂f
(x) −
(a) = k(Df (x) − Df (a))ej k
∂xj
∂xj
≤ kDf (x) − Df (a)kkej k = kDf (x) − Df (a)k,
lo que expresa que la aplicación ∂f /∂xj es continua en a.
7.6
Funciones de Clase C1
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Corolario 7.5 Sea U un abierto de Rn y f : U ⊂ Rn → Rp una función de
clase C 1 sobre U , entonces
1. f es localmente lipschitziana.
2. f es lipschitziana sobre cada compacto K ⊂ U .
Demostración. Teniendo en cuenta que las derivadas parciales de f están
acotadas sobre cada bola cerrada contenida en U , del corolario 5.7 resulta
entonces que f es localmente lipschitziana.
Supongamos ahora que K es un compacto contenido en U y sea 0 <
λ < d(K, U c ). (Utilizaremos, para situarnos en el marco del teorema 5.6, la
norma k · k1 en Rn y la norma k · k∞ en Rp ) Denotemos por K1 al conjunto
K1 = {x ∈ U : d(x, K) ≤ λ}. De acuerdo con la elección de λ, es claro que
∪ B(y, λ) ⊂ K1 ⊂ U.
y∈K
Además es fácil probar que K1 es un compacto (ejercicio). Sea entonces
α una cota superior de f en K, y β una cota superior para las derivadas
parciales de f en K1 . Entonces si x, y ∈ K puede suceder:
1. kx − yk < λ. En este caso y ∈ B(x, λ) ⊂ K1 , luego
kf (x) − f (y)k ≤ βkx − yk.
2. kx − yk ≥ λ, entonces
kf (x) − f (y)k ≤ 2α ≤ 2α
kx − yk
.
λ
Luego f es lipschitziana sobre K de constante M = máx(β, 2α/λ).
Algunos ejemplos
Vamos a dar, para terminar, algunos ejemplos de funciones de clase C 1
utilizados con frecuencia en demostraciones de tipo teórico.
Ejemplos 7.6 Las siguientes aplicaciones son de clase C 1 :
(a) Las aplicaciones constantes.
(b) Las aplicaciones lineales y continuas.
(c) Las aplicaciones bilineales y continuas.
Funciones de Clase C1
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7.6
En efecto, (a) Las funciones constantes son aplicaciones de clase C 1 . Si
f (x) = α, para todo x, entonces
f (x + h) − f (x)
0
=
= 0,
khk
khk
lo cual implica que f es diferenciable en x y Df (x) = 0 para cada x. Luego
Df es la aplicación idénticamente nula y, por tanto, f es de clase C 1 .
(b) Toda aplicación lineal y continua es de clase C 1 . Supongamos, en primer
lugar, que T es una forma lineal sobre Rn , es decir
T (x1 , . . . , xn ) = a1 x1 + a2 x2 + . . . + an xn .
Obviamente T admite derivadas parciales en cada punto, concretamente:
∂T
(x) = aj ,
∂xj
∀x.
Y, puesto que éstas son aplicaciones constantes, son continuas, luego por el
corolario 7.4, T es una aplicación de clase C 1 . Observemos que la matriz
jacobiana de DT (x) no es otra que la matriz que representa a la aplicación
lineal T , por lo que necesariamente DT (x) = T .
Todo lo anterior es válido para una aplicación lineal y continua cualquiera, es decir que si T ∈ L (E, F ), entonces T ∈ C 1 (E) y DT (x) = T , para
todo x de E. En efecto:
T (x + h) − T (x) − T (h)
T (x) + T (h) − T (x) − T (h)
= lı́m
= 0,
h→0
h→0
khk
khk
lı́m
lo que significa que T es diferenciable en x y DT (x) = T .
Así pues DT es una aplicación constante: la aplicación que lleva cada x
de E en el elemento T de L (E, F ), por tanto T ∈ C 1 (E).
(c) Sea ahora T una aplicación bilineal y continua. Para fijar ideas supongamos en primer lugar que T es la aplicación producto de dos números reales,
es decir la aplicación
(x, y) → xy.
Se tiene entonces que
∂T
= y;
∂x
∂T
= x.
∂y
Luego las aplicaciones ∂T /∂x y ∂T /∂y son continuas, lo que implica que T
es de clase C 1 y DT (x, y)(h, k) = hy + xk = T (h, y) + T (x, k) .
Funciones de Clase C1
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75
En el caso general, si T es una aplicación bilineal y continua de E × F
en G, vamos a probar que T es diferenciable en cada punto y que
DT (x, y)(h, k) = T (h, y) + T (x, k).
(Obsérvese que la aplicación (h, k) → T (h, y) + T (x, k) es una aplicación
lineal y continua de E × F en G)
En efecto,
T ((x, y) + (h, k)) − T (x, y) − T (h, y) − T (x, k)
k(h, k)k
(h,k)→(0,0)
lı́m
=
lı́m
(h,k)→(0,0)
= lı́m
T (x + h, y + k) − T (x, y) − T (h, y) − T (x, k)
k(h, k)k
T (x, y) + T (h, y) + T (x, k) + T (h, k) − T (x, y) − T (h, y) − T (x, k)
k(h, k)k
=
T (h, k)
= 0.
(h,k)→(0,0) k(h, k)k
lı́m
La última igualdad es consecuencia de que
kT (h, k)k ≤ kT k khk kkk ≤ kT k k(h, k)k2 .
Finalmente comprobemos que DT es continua: Observemos primero que
la aplicación DT resulta ¡en este caso! lineal (Comprobarlo). Por lo tanto,
para demostrar que es continua podemos utilizar la proposición 4.1, que
caracteriza a las aplicaciones lineales continuas.
kDT (x, y)k =
sup
kDT (x, y)(h, k)k
k(h,k)k≤1
=
sup
kT (h, y) + T (x, k)k
k(h,k)k≤1
≤
sup
kT k khk kyk + kT k kxk kkkk
k(h,k)k≤1
≤ kT k(kxk + kyk)
≤ 2 kT k k(x, y)k.
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7.7
Ejemplo 7.7 Sean E, F y G espacios normados. Una aplicación bilineal
y continua con la que nos encontraremos algunas veces es la aplicación de
L (E, F ) × L (F, G) en L (E, G)
(T, U ) → U ◦ T
Ejercicios
7A Sean f, g dos funciones escalares no nulas de una variable. Probar que la función
h(x, y) = f (x) · g(y) es de clase C 1 si y sólo si f y g son de clase C 1 .
7B Probar que todas las funciones siguientes son diferenciables en (0, 0) Estudiar
si también satisfacen la condición suficiente de diferenciabilidad en (0, 0) ¿Cuáles
son de clase C 1 ?
1. f (x, y) =
x3
,
x2 + y 4
3. f (x, y) = xy cos
f (0, 0) = 0
1
,
x2 + y 2
f (0, 0) = 0
p
x4 + y 4
(
sen xy si xy ≥ 0
4. f (x, y) =
xy
si xy < 0
2. f (x, y) =
7C Sea T una aplicación n-lineal y continua de E1 × · · · × En en F . Probar que T
es de clase C 1 y obtener la fórmula
DT (x1 , . . . , xn )(h1 , . . . , hn ) = T (h1 , x2 , . . . , xn )
+ T (x1 , h2 , x3 , . . . , xn ) + . . . + T (x1 , . . . , xn−1 , hn )