VI FINANCIACIÓN DEL PROYECTO

FORMULACIÓN Y EVALUACIÓN DE PROYECTOS
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JOAS GÓMEZ
VI FINANCIACIÓN DEL PROYECTO
6.1 Definiciones
6.2 Capitalización
6.3 Actualización
6.4 Anualidades
6.5 Formulación de equivalencias
6.6 Ejercicios
FINANCIACIÓN DEL PROYECTO
En la evaluación económica se presenta el problema de comparar cantidades que
ocurren en diferentes momentos de la vida del proyecto.
El tiempo y sus efectos tienen una gran influencia sobre el análisis de las
inversiones. En la actualidad no existe ninguna actividad económica que deje de
lado el análisis del tiempo como factor de riesgo en los proyectos. En la economía
se presentan diversas causas por las que el dinero cambia de valor con el paso
del tiempo. En primer lugar debe considerarse que el dinero que se gana hoy es
más valioso que el dinero (en igual cantidad) que se ganará en el futuro, ya que el
dinero actual se encuentra disponible para adquirir bienes de producción, de
consumo, intermedios, servicios, etcétera, mientras que el dinero que se recibirá
en el futuro se encuentra sometido a la incertidumbre.
Otra razón por la que el tiempo afecta al valor subjetivo del dinero, es que las
ganancias que se obtendrán de los proyectos serán mayores en tanto sea más
rápido el retorno o regreso del capital inicial invertido; entre más rápido se
recupere el capital, las ventajas económicas son mayores. El riesgo que enfrenta
el proyecto durante su desarrollo, hace que el inversionista busque proyectos con
breves períodos de vida. Los pronósticos y circunstancias económicas que rodean
al proyecto pueden cambiar en poco tiempo por lo que los proyectos de largo
plazo se encuentran sujetos a enormes riesgos; los proyectos de corta vida (un
año) enfrentan una menor incertidumbre y por lo tanto el riesgo es menor. Por esta
razón, el dinero obtenido en el corto plazo es más apreciado que un dinero incierto
en el futuro.
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Por último, en la economía se presentan fenómenos de inflación. La inflación se
entiende como el aumento general de precios lo que significa la pérdida del poder
adquisitivo de la moneda. Este fenómeno de pérdida gradual del poder adquisitivo
del dinero hace que las inversiones de hoy se realicen con dinero más valioso que
el que se recibiría por la operación del nuevo proyecto.
La magnitud de la inflación puede varias. Varían también las tasas de interés y de
preferencia social. (Costos de oportunidad del dinero que es el valor que pierde la
sociedad por no realizar otro proyectos alternativos). El problema de la
homogeneización de valores en el tiempo se resuelve mediante el uso de
coeficientes que involucran todo el período de vida del proyecto, (n) la tasa de
capitalización (r) y cualquiera de los valores capital presente (Po) o capital futuro
(Fn.). Conociendo tres de los datos anteriores se determina el cuarto en forma
automática, mediante el uso de las fórmulas apropiadas, que adelante se explican.
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6.1. DEFINICIONES
1. Tiempo (n)
El tiempo se mide en períodos iguales. El número de períodos (n), generalmente
años, es el tiempo durante el cual estará sujeto el capital inicial a la condición de
préstamo.
2. Interés
Es la cantidad de dinero que se paga por el uso de dinero prestado.
El interés puede ser aplicado en forma simple o en forma compuesta.
i. Interés simple
Se dice que se aplica una tasa de interés simple cuando durante un solo período
(n) se aplica la tasa i de interés.
Para períodos más largos se repite el procedimiento en cada ocasión, de tal
manera que el monto de los intereses será n veces el pago por período.
Si se tiene un capital inicial Po y se somete a una tasa i de interés simple durante
n años, el monto (M) del interés será:
M = n.iPo
El monto del interés simple no se reinvierte en el siguiente período.
Un capital Po sujeto a la tasa i durante tres períodos, habrá acumulado:
INTERÉS
Primer Período
iPo
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Segundo Período
iPo
Tercer Período
iPo
––––––––––––
M = 3(iPo)
ii. Interés compuesto
Se llama interés compuesto al proceso de reinversión de los intereses para cada
nuevo período. Así, un capital inicial Po, sujeto a la tasa i durante tres períodos
habrá acumulado:
PERIOD CAPITAL FÓRMULA INTERÉ
O
S
Capital
Po
-inicial
Primer
(Po +
= Po(1+i) iPo
Período
iPo)
Po(1+ i)
Segundo
+
= Po(1+i)2 iPo +
Período iPo(1+ i)
i2Po
Po(1+
iPo +
Tercer
i)2
= Po(1+i)3 2i2Po
Período
+
+
iPo(1+
i3Po
i)2
El capital inicial se considera en el año cero, antes de empezar el primer período.
Para los periodos primero, segundo, etc., se consideran, al final de cada uno de
ellos, cuando el capital ya ha funcionado como tal, es decir ha sido utilizado y por
lo tanto generado sus propios beneficios, el interés.
3. Tasa de Interés (i)
Generalmente el interés se expresa en porciento y significa el rendimiento del
dinero. Es una relación que existe entre la cantidad que se pagó por el uso del
capital y el capital mismo, considerado desde el inicio del período de que se trate y
durante todo ese período.
4. Anualidades (A)
Por anualidad (A) se entiende una cantidad igual pagadera al final de cada uno de
los n períodos establecidos.
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6.2 CAPITALIZACIÓN
Si se deposita una cantidad de dinero en el banco, a una cierta tasa de interés,
durante un cierto tiempo, la cantidad depositada ganará periódicamente un
porcentaje del depósito inicial. Si al final de cada etapa, se reinvierte el capital
inicial así como el porcentaje obtenido como interés, entonces se dice que el
capital inicial se esta capitalizando. Esto quiere decir que la tasa de interés se
aplica sobre la suma del principal más el interés, en cada nueva etapa, esto es, se
trata de interés compuesto.
Para explicar mejor el proceso de capitalización se pueden considerar los
siguientes aspectos:
Considerando:
i
n
Po
Fn
A
:
:
:
:
:
Tasa de interés expresada en porciento
Número de años o períodos
Valor actual (principal)
Valor futuro (al final del año n a la tasa i)
Anualidades pagadas al final de cada año
Po F1 F2 F3
Fn-1
Fn
+–––+–––+–––+––––––-+––––––+–––––
0
1
2 3
n-1
n
Gráfica de Valores en el tiempo
Esto es cuando :
n = 0, Fn = Po, y, Po = Po
por definición.
- Al final del primer año se tiene:
F1 = Po + iPo, es decir, la cantidad (Po) que se tiene hoy, más un porcentaje que
se acumula (i) x (Po)
Factorando:
F1 = Po(1 + i)
- Al final del segundo año (n = 2) se tiene:
F2 = Po(1+i)2
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es decir, la cantidad Po (1+i) al final del primer año más el porcentaje sobre ella
que se acumula (i) Po (1+i).
Así F2 = Po(1+i)2
Siguiendo el razonamiento para el final del tercer año:
F3 = Po(1+i)3
y para el final del año n
(1) Fn = Po(1+i)n
Esta es la fórmula del monto acumulado en el año n de una inversión en el año
cero (Po) que gana un interés i% anual.
donde:
(2) (1+i)n
es el factor singular de capitalización
Resumiendo:
Fo = Po
F1 = Po + iPo
= Po(1+i)
F2 = Po(1+i) + iPo(1+i)
= Po(1+i)2
F3 = Po(1+i)2 + iPo(1+i)2 = Po(1+i)3
.
.
n
Fn =
= Po(1+i) n
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6.3
ACTUALIZACIÓN
En otros casos se presenta la posibilidad de aceptar pagos en el futuro. Cuando
esto sucede debe considerarse que el dinero pierde valor en el tiempo. Los
objetos (Kg. de carne) que ahora pueden comprarse con cierta cantidad de dinero,
después de algún tiempo ese dinero no será suficiente para adquirir la misma
cantidad y calidad de ese producto. Este fenómeno de pérdida de valor del dinero
obliga a realizar cálculos a fin de que la evaluación económica del proyecto
considere unidades monetarias homogéneas en el tiempo. Los proyectos pueden
durar varios meses o años en su construcción e instalación, por lo que los
ingresos empezarán a recibirse en el futuro, cuando ya el dinero haya perdido
valor. Para dar solución a este problema se realiza la actualización de la corriente
monetaria en el tiempo.
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Por actualización de la corriente de ingresos o gastos se entiende el proceso
mediante el cual se hacen homogéneas las cantidades que ingresan y egresan al
proyecto durante toda su vida.
Esta homogeneización se hace en un punto en el tiempo, generalmente en el
momento actual. Por esto se le llama actualización del valor (valor actual = valor
presente). El método de actualización hace uso de los datos y fórmulas de
capitalización. De hecho la actualización es el proceso inverso de la capitalización.
Con la capitalización conocemos el valor futuro de un capital depositado a la tasa i
durante n años o períodos; con la actualización conocemos el valor presente de un
capital Fn que será pagado dentro de n años. Este capital está sujeto a
devaluación a una tasa i por período.
Tomando en cuenta las mismas definiciones del apartado sobre capitalización y
conociendo tres de las cuatro incógnitas, se puede determinar la cuarta; si
conocemos el valor futuro F, la tasa i y el número de años que ha permanecido
capitalizándose el principal Po, tenemos que:
Fn = Po(1+i)n
despejando
Po ;
Fn
Po = ––––––––––
(1+i)n
1
(3) Po = Fn ––––––––
(1+i)n
1
(4) –––––––––––
(1+i) n
Fórmula del
Valor Actual
Factor Singular de
Actualización.
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6.4. ANUALIDADES
Por anualidad se entiende el pago igual al final de cada período o año de una
serie.
Si se paga una renta (An) al casero, a la tasa i durante n años, se tiene: La
anualidad que se paga al final del penúltimo año (n-1) genera intereses por (1+i);
la que se paga al final del año (n-2) genera intereses por (1+i) x (1+i); etcétera (ver
la recta de valores en el tiempo).
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FACTOR
El pago al final del año n genera intereses por (1+i)0 = 1
El pago al final del año (n-1)
genera intereses
por (1+i)
El pago al final del año (n-2)
genera intereses
2
por (1+i)
El pago al final del año (n-3)
genera
intereses
por
(1+i)3
.
.
.
.
.
.
El pago al final del año 1 genera intereses por (1+i)n-1
Recta de valores en el tiempo
AÑO 1 AÑO 2 AÑO 3 AÑO 4
A
A
A
VALOR
FUTURO
DE CADA
ANUALIDAD
F3=A(1+i)3
F2=A(1+i)2
F1=A(1+i)1
A F0=A
Sumando:
Al final del año n se paga la anualidad A sin intereses, por lo tanto:
Fn = A + A(1+i) + A(1+i)2 + A(1+i)3 + ....A(1+i)n-1
Factorando
Fn = A [ 1 + (1+i) + (1+i)2 + (+i)3 + (+i)4 +
La suma se expresa
como
(1+i)n – 1
Fn = A –––––––––––––
I
NOTA :
La suma S de una serie creciente que se
acumula en base a la razón, es:
r – 
S = –––––––––––––
... + (1+i)n-1 ]
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r–1
donde
 es el último término de la serie
r : razón
 : primer término de la serie.
Por lo tanto
(1+i)n – 1
(5) Fn = A ––––––––––– Fórmula del
i
monto acumulado
de la Anualidad.
(1+i)n – 1
(6) ––––––––––– Factor de interés
i
compuesto para series
uniformes.
Si lo que se desea calcular es la anualidad que se debe pagar habiendo conocido
el monto total Fn, se despeja de (5).
(1+i)n – 1
Fn = A ––––––––––––
i
de donde
i
(7) A = Fn ––––––––––––––
Fórmula de
(1+i)n – 1 la anualidad
i
(8) ––––––––––––Factor del fondo de
(1+i)n – 1 acumulación
Si en (7) sustituimos Fn tenemos:
i
A = Fn ––––––––––––––
(1+i)n – 1
pero según Fn = Po (1+i)n,
Por lo tanto
i (1+i)n
(9) A = Po –––––––––––––
Fórmula de
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(1+i)n – 1
i(1+i)n
(10) ––––––––––––––(1+i)n – 1
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la anualidad
Se conoce como F.r.c.
Factor de Recuperación
del Capital
Despejando Po en (9) se tiene
(1+i)n – 1
Fórmula del valor
(11) Po = A ––––––––––– actual de una serie
i(1+i)n
uniforme que se paga durante n años
(1+i)n – 1
(12) ––––––––––––––
i(1+i)n
Factor de actualización
para series uniformes.
Considérese el siguiente ejemplo de un adeudo por 63,000 que pagará intereses
del 2% durante 4 años.
SALDO AL
AÑO INICIO DEL AMORTI INTERÉS
AÑO
ZACIÓN
0
63,000.00
1
63,000.00
1,260.00
15,285.30
2
47,714.70
954.29
15,591.00
3
32,123.70
642.47
15,902.82
4
16,220.88
324.42
16,220.88
SUM 159,059.28
3,181.19
A
63,000.00
ANUALIDAD
16,545.30
16,545.30
16,545.30
16,545.30
66,181.19
n=4
i = 0.02
P0 = 63,000
A = _____
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6.5 FORMULARIO DE EQUIVALENCIAS FINANCIERAS
Valores de Po, Fn y A, en función de i y n
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1) Fn = Po (1 + i)n Fórmula de capitalización.
(1 + i) n Factor singular de capitalización.
1
2) Po = Fn ––––––––––– Fórmula de
(1 + i)n
actualización.
1
–––––––– Factor singular de actualización
(1 + i)n
(1+i)n – 1
3) Fn = A –––––––––––
Fórmula del monto
i
acumulado de la anualidad.
n
(1+i) – 1
–––––––––––– Factor de interés compuesto
i
para series uniformes.
i
4) A = Fn ––––––––––– Fórmula de la
(1+i)n – 1 anualidad.
i
–––––––––– Factor del fondo de acumulación
(1+i)n – 1
i (1+i)n
5) A = Po –––––––––––
Fórmula de la
(1+i)n – 1
anualidad
i (1+i)n
–––––––––––––––– Factor de recuperación
(1+i)n – 1
del (f.r.c.)
(1+i)n – 1
Fórmula del valor
6) Po = A –––––––––––– valor actual de
i (1+i)n
una serie uniforme que se paga durante n periodos
(1+i)n – 1
––––––––––––
Factor de actualización
n
i (1+i)
para series uniformes.
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