1 Diseño de prácticas de laboratorio para el análisis transitorio de sistemas de tiempo discreto El VIII Congreso Internacional de Informática en la Educación Dr.Modesto Angulo Aguilera* Ing.Ariel Domínguez Cardosa M. Sc. Ing.Hugo Domínguez Abreu Dr. Pedro Arafet Padilla. Organismo: Universidad de Oriente País: CUBA *angulo@fie.uo.edu.cu Ponente: Dr.Modesto Angulo Aguilera Telf. 641454 WWW : http://uo.edu.cu Resumen: En este trabajo se presenta un paquete de programas elaborados en Matlab/Simulink mediante el cual los estudiantes pueden analizar el comportamiento transitorio de un sistema de control discreto para diferentes tipos de plantas. La simulación se realiza teniendo en cuenta diferentes señales de entrada típicas como son el escalón y la rampa unitaria pudiéndose observar el comportamiento del sistema para diferente tiempo de muestreo y/o ganancia de la planta, haciendo énfasis en el comportamiento de la estabilidad del sistema y el error de estado estacionario. Estos programas han sido de gran utilidad en las asignaturas de Automatización, y Accionamiento Eléctrico II en 4to y 5to años de la carrera de Ingeniería Eléctrica respectivamente, donde los estudiantes deben evaluar el comportamiento dinámico de sistemas de tiempo discreto y sintetizar los controladores. Los programas están preparados de manera que los estudiantes puedan seguir las señales en diferentes puntos del sistema de control, y distinguir las que son continuas en el tiempo y aquellas que tiene un carácter discreto. Los mismos se están utilizando desde el curso 1998-1999, con resultados muy satisfactorios. Introducción: En la asignatura Automatización que se imparte al cuarto año de la carrera de Ingeniería Eléctrica se debe lograr entre sus objetivos que el estudiante sea capaz de diseñar controladores digitales, así cómo que pueda 2 evaluar el comportamiento transitorio de los sistemas de tiempo discreto. La posibilidad que brindan estos programas se ha utilizado para el cumplimiento de estos objetivos. Diseño de sistemas muestreados. En el diseño de compensadores de los sistemas discretos podemos hacer uso de las mismas técnicas empleadas en los sistemas continuos, además de que con los sistemas discretos, el compensador puede ser discreto, continuo o una combinación de ambos[1]. Las técnicas para el diseño de compensadores que más se utilizan son las siguientes: 1. Diagramas de Bode y carta de Nichols. 2. Método de respuesta mínima. 3. Método de Dahlin. 4. Método de Kalman 5. Métodos convencionales de ajuste de controladores. Desarrollo: Diseño del controlador utilizando la transformada z mediante especificaciones de la Función de Transferencia. El método proporciona varias reglas mediante las cuales se diseña el controlador [3]. Fig.1 Sistema de control discreto Para el sistema de la Fig. 1, la función de transferencia del lazo cerrado T ( z) C ( z) D ( z )G ( z ) R ( z ) 1 D( z )G ( z ) (1) 3 El término G(z) es el correspondiente a la transformada z de G1(s)G2(s). De aquí que D(z) T(z) 1 G (z) 1 T ( z) (2) Es importante para realizar el propósito primario del controlador digital, cancelar cualquier polo y cero indeseable del sistema sin compensar y reemplazar estos con polos y ceros los cuales den la respuesta deseada del sistema. De la ecuación (1) se deduce que se puede lograr la compensación haciendo corresponder los ceros de D(z) con los polos de G(z) y los ceros de G(z) con los polos de D(z), que se encuentren sobre o fuera del círculo unitario en el plano z; obviamente cualquier cambio en los parámetros del sistema ya haría ineficaz este método. Un mejor método para la compensación es el obtenido de la ecuación (2). Los polos y ceros de G(z) que estén sobre o fuera del círculo unitario en el plano Z pueden ser cancelados por especificación de [1-T(z)] y T(z) con vistas que ellos cancelen los polos y ceros, respectivamente ( teniendo en cuenta la expresión de T(z)). Para esto se dan las siguientes 4 reglas, que se proponen cuando se especifica la función de transferencia del sistema T(z) para que resulte un sistema estable. Regla 1.- La función de transferencia del sistema especificada T(z) debe contener, como sus ceros, todos los polos de G(z) que estén sobre o fuera del círculo unitario en el plano z. Regla 2.- 1-T(z) debe contener, como sus polos, todos los ceros de G(z) que estén sobre o fuera del círculo unitario del plano z. Regla 3.- Para que D(z) sea físicamente realizable, la función de transferencia del sistema especificada debe ser de la forma T ( z) K m Z m K p Z p Lo L1 Z 1 LqZ [ Términos de cancelación de ceros ] (3) q donde m es el menor orden en z-1 de la transformada z: G( z ) Pm Z m Pn Z n Qo Q1 Z 1 Qb Z b (4) Además el término L0 no puede ser cero. Regla 4.- T(z) debe ser especificada con vista a que el error en estado estacionario que resulte de la 4 aplicación de una señal de entrada que tenga la forma: R( z ) (5) A( z ) 1 z 1 m sea cero. De la tabla de transformada z vemos que este tipo de entrada puede representar a un escalón, rampa o parábola (aceleración), dependiendo del valor de m. Aquí A(z) representa un polinomio en z el cual no contiene factores de la forma 1-z-1. De la relación dada el error E1 ( z) R( z) C( z) T ( z) (6) C( z) R( z ) (7) La transformada z del error del sistema puede ser expresada como E1 ( z) R( z)1 T ( z) (8) Aplicando el teorema del valor final a esta ecuación: e1 ( ) lím 1 z 1 R( z )1 T ( z ) Z 1 (9) sustituyendo (5) en (9) se tiene: e1 () lím 1 z 1 Z 1 A( z ) 1 z 1 m 1 T ( z ) (10) De aquí se observa que el error será cero para entradas de este tipo si se cumple que: 1 T ( z ) 1 z 1 m F ( z) (11) F(z)=1 cuando T(z) no contiene ningún cero sobre o fuera del círculo unitario. Donde F(z) es una relación sin especificar de polinomios en z -1 y m es el valor del exponente del denominador de la entrada R(z). Cuando F(z) es unidad resulta una función de respuesta de prototipo mínimo y el orden de T(z) en z 1 es un mínimo. Sin embargo una función respuesta de prototipo mínima puede solamente ser utilizada cuando T(z) no contiene ningún cero sobre o fuera del círculo unitario del plano z, sistema de fase mínima 5 [2]. Un análisis más detallado nos indica que cuando m=1 el sistema responde ante una entrada escalón con cero error y para m=2 el sistema responde ante una señal de entrada rampa sin error. Paquete de Programas Características de los programas: Tipos de Plantas que se simulan. 1 ; s 1 ; s2 1 ; s 1 1 s( s 1) Se eligió estas funciones de transferencia debido a que son muy utilizadas en la carrera de Ingeniería Eléctrica fundamentalmente en los accionamientos eléctricos. En cada caso el estudiante deberá diseñar el controlador discreto atendiendo al método explicado y haciendo uso del Matlab. A manera de ilustración se representa uno de los programa en Simulink para el estudio del comportamiento dinámico de un sistema de tiempo discreto cuya planta tiene como función de transferencia 1/S y el controlador es el calculado en el ejemplo. ANÁLISIS DE LA RESPUESTA TEMPORAL DE SISTEMAS MUESTREADOS. Para entrada en escalón unitario: -investigar la influencia de la variación del tiempo de muestreo sobre la respuesta y la estabilidad; -investigar la influencia de la ganancia de la planta sobre la respuesta y la estabilidad. 1 Step Input 1 1 Sum Z.O.H. D(z) s Z.O.H.1 Mux Transfer Fcn muestr. Mux1 ejem 1 1.2 ejem1a 12 1 10 0.8 8 0.6 6 0.4 4 0.2 2 0 0 0 2 4 Time Auto-Scale Graph 6 8 Fig 4. Respuesta del sistema de tiempo 10 0 2 4 6 Time (Seconds) 8 Fig 5. Respuesta del sistema de tiempo 10 6 discreto ante señal de entrada escalón y T= 1 discreto ante señal de entrada rampa unitaria y T= 1 ejem1 2 1.5 1 0.5 0 0 2 4 6 Time (Seconds) 8 10 Fig 6. Representación del sistema de tiempo discreto ante señal de entrada escalón y T= 2 Resultados obtenidos Desarrollo de un paquete de programas para el estudio del comportamiento transitorio de un sistema de control de tiempo discreto. Se puede observar, de las gráficas obtenidas, la influencia del tiempo de muestreo en la estabilidad del sistema. Aplicación de un método para el diseño de controladores discretos y posibilidad de utilización de programas para el cálculo del mismo. En las prácticas de laboratorios realizadas se obtuvieron buenos resultados reflejados en una mejor comprensión por parte de los estudiantes del comportamiento dinámico de este tipo de sistema, y del diseño de los controladores discretos. Bibliografía 1 Misa, Roger: Teoría de control II , Ediciones M. E. S. , La Habana 1985. 2 Ogata, K: Sistema de control de tiempo discreto. Prentice Hall Hispanoamericana SA, Mexico,1996 3 Truxal, John G: Control System Design. Edic. Revoluc., 1968 4 -------------- : Matlab Tutorial , Mathworks 5 -------------- :Aprenda Matlab 5.3 como si estuviera en primero, Esc. Sup. Ing. Industriales, Univ. San Sebastián, 1997 7