M16. Estática de los fluidos

TTeem
Essttááttiiccaa ddee llooss fflluuiiddooss
maa 1166..-- E
0B
§16.1.- Los fluidos como medios continuos.
16.1.a. Propiedades mecánicas
Un fluido es una sustancia
 que puede fluir
 que carece de forma fija, de modo que adopta
la del recipiente que la contiene.
esfuerzo cortante
El término fluido se aplica a los líquidos y a los
gases.
Los sólidos
 poseen elasticidad de volumen
 poseen elasticidad de forma (rigidez).
esfuerzo cortante
Los fluidos
 sólo poseen elasticidad de volumen
 carecen de elasticidad de forma (rigidez)
Lo que representa que:
 En los fluidos no aparecen esfuerzos cortantes recuperadores.
 Los fluidos son sustancias incapaces de resistir fuerzas o esfuerzos cortantes.
16.1.b. Fuerzas intermoleculares
Líquidos: poco compresibles, existencia de superficie libre.
Gases: muy compresibles, volumen indefinido.
Gases perfectos: pV = nRT
 r=
pM
RT
R = 8.31´103 J/kmol ⋅ K
16.1.c. Medios continuos
Aunque los fluidos poseen una estructura discreta (se componen de moléculas que se
mueven y colisionan constantemente), vamos a considerarlos los fluidos como medios
continuos (medios materiales sin espacios vacíos o soluciones de continuidad).
Utilizaremos términos como: partícula fluida, elemento de fluido, volumen de control,…
Estática de los fluidos
16.1/13
§16.2.- Fuerzas másicas y superficiales. Presión.
Entre las fuerzas másicas se incluyen aquellas fuerzas
exteriores que actúan sobre el fluido sin contacto directo con
el mismo. La fuerza másica más común es el propio peso del
fluido.
Las fuerzas superficiales incluyen todas las fuerzas ejercidas
sobre el contorno de un elemento de fluido por el resto del
fluido o cualquier otro material (v.g., las paredes del
recipiente,...) mediante contacto directo.
Presión
 Los fluidos en equilibrio deberán estar libres de esfuerzos cortantes.
 La superficie que delimita cierto volumen de fluido sólo soportará esfuerzos normales,
bien sean tensores o compresores.
 La situación práctica más frecuente corresponde a los esfuerzos normales compresores.
Definimos la presión como la fuerza de compresión normal por unidad de área que actúa
sobre una superficie sumergida en un fluido.
La presión en un punto queda definida mediante el proceso de paso al límite cuando
imaginamos el área sobre la que actúa el esfuerzo normal compresor cada vez más pequeña,
pero conteniendo siempre al punto P.
ΔS
fuerza
F
dF
=
ΔS 0 ΔS
dS
p = lim
La presión es una magnitud escalar a pesar de que la fuerza sea
una magnitud vectorial.
Sus unidades son el newton/metro cuadrado (N/m2), que recibe el
nombre de pascal (Pa).
La presión en un punto de un fluido en equilibrio es independiente de
la orientación del elemento de superficie sobre el que se defina.
P
La presión en un punto de un fluido en equilibrio es isotrópica y
recibe el nombre de presión hidrostática; y también el de presión.
La presión toma un valor único en cada punto y variará, en general, de un punto a otro. Así
pues, tenemos una distribución de presiones dada por una función escalar de punto p(x,y,z)
que nos define un campo escalar de presión.
Estática de los fluidos
16.2/13
Conocido el campo escalar de presión, p(x,y,z), podemos calcular la fuerza neta superficial
que actúa sobre el contorno de una porción de fluido. Consideremos un elemento de
superficie dS sobre el contorno del volumen V; convencionalmente, tomamos dS dirigido
hacia el exterior. La fuerza superficial elemental que actúa sobre dS es
dF = - pdS
siendo p la presión en el punto P. La fuerza que actúa
sobre una superficie abierta S’ será
F = -ò pdS
S'
y la fuerza que actúa sobre toda la superficie cerrada S
que delimita al volumen V será
F = -ò
 pdS
S
§16.3.- Estática de los fluidos en el campo de la gravedad.
 La presión es función de z; esto es, p(z).
 Fuerza neta hacia arriba = F1 - F2
 Fuerza neta horizontal = 0 (por simetría)
z
F2
p + Δp
p dS - ( p + dp )dS = éë p - ( p + dp )ùû dS = r g dS dz
\
p
-dp = r g dz
F1
Ecuación diferencial de la estática de fluidos en un campo
gravitatorio.
Gradiente de presión:
-
x
y
dp
= rg
dz
Integrando:
ò
p2
p1
z2
dp = -ò r g dz = -r g ò
z1
z2
z1
dz 
p2 - p1 = -r g ( z2 - z1 )
Obtenemos la ecuación fundamental para un fluido homogéneo (densidad constante) en un
campo gravitatorio uniforme:
p1 + r gz1 = p2 + r gz2
Estática de los fluidos

p + r gz = cte.
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§16.4.- Principio de Pascal.
La diferencia de presión existente entre dos puntos P1 y P2
en el seno de un fluido en equilibrio, tales que puedan
unirse mediante una trayectoria que se encuentre dentro del
fluido, viene dada por
p2 - p1 = -r g ( z2 - z1 )
Por consiguiente, cualquier cambio de presión en un punto
de un fluido estático implicará un cambio exactamente
igual en todos los demás puntos del fluido siempre que el
fluido pueda considerarse como incompresible. Este
resultado fue enunciado por Blaise PASCAL, en 1653:
Todo cambio de presión en un punto de un fluido
incompresible confinado en un recipiente se
transmite íntegramente a todos los puntos del fluido
y a las paredes del recipiente que lo contiene.
Pascal puso en evidencia su célebre principio por medio de un
curioso experimento; hizo que se abrieran las duelas de un tonel,
sólidamente construido y lleno de agua, por cuya cubierta superior
penetraba un tubo muy estrecho y muy alto, sin más que llenar de agua el tubo, i.e., añadiendo al peso total
un peso insignificante. Las paredes del tonel portaban entonces las mismas presiones que si hubiesen tenido
encima una masa de agua cuya base fuera la del tonel y su altura la del tubo. De este modo, un kilogramo de
agua puede producir el mismo efecto que miles de kilogramos.
El principio de Pascal queda ilustrado en el funcionamiento de la
prensa hidráulica, dispositivo en el que nos servimos de un
pistón de pequeño diámetro para ejercer una fuerza pequeña
directamente sobre la superficie de un líquido (agua, aceite,...).
La presión se transmite a través del fluido al cilindro de mayor
diámetro, equipado con el correspondiente pistón; de modo que
p=
F1 F2
=
A1 A2

F2 A2
= >1
F1
A1
 Por tanto, la prensa hidráulica es una máquina para multiplicar la fuerza por un factor
igual a la razón de áreas de los pistones.
 Resulta fácil comprobar que los trabajos realizados por F1 y F2 son iguales y de signos
opuestos, de modo que no se economiza energía con esta máquina.
Estática de los fluidos
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§16.5.- Ejemplos de aplicación
16.5.a. Líquidos homogéneos
Midiendo las cotas desde la solera:
1 → 2: p1 + r gz1 = p2 + r gz2
Si un líquido tiene una superficie libre, ésta será el
nivel de referencia natural para medir distancias
verticales (profundidades).
1 → 2: p1 - r gh1 = p2 - r gh2
0 → P: p0 - r gh0 = p - r gh 
p = p0 + r gh
La presión es la misma en todos los puntos situados a la misma profundidad, con
independencia de la forma del recipiente que contenga al fluido.
16.5.b. Líquidos no homogéneos
Si las dos ramas de un tubo U en contuvieran dos líquidos inmiscibles de
diferentes densidades (v.g., agua y aceite), la presión sería diferente en el
mismo nivel en cada una de las ramas.
ì(A  C)
ï
ï
ï
í
ï
C  B)
ï
ï
î(
pA + r1 gz = pC
pC = pB + r2 gz

pA + r1 gz = pB + r2 gz
pA - pB = (r2 - r1 ) gz > 0
Por otra parte:
ì
ï
(1  C)
ï
ï
í
ï C  2)
ï
ï
î(
p0 + r1 gz1 = pC
pC = p0 + r2 gz2
Estática de los fluidos
 r1 gz1 = r2 gz2

r1 z2
=
r2 z1
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§16.6.- Presión atmosférica.
El peso de la atmósfera origina lo que llamamos presión atmosférica.
La presión atmosférica en un punto es numéricamente igual al peso de una columna de
aire de área de sección recta unitaria que se extiende desde ese punto hasta el límite
superior de la atmósfera.
En 1643, Evangelista TORRICELLI ideó un método para medir la presión atmosférica y
construyó el primer barómetro de mercurio.
Consiste en un tubo largo de vidrio, de unos 100 cm de longitud, cerrado
por uno de sus extremos, que se llena completamente de mercurio.
Evitando que se vierta el mercurio (tapando el extremo abierto del tubo se
invierte el tubo y se introduce su extremo abierto en una cubeta que
contiene mercurio, situando el tubo en posición vertical.
Torricelli observó que el nivel del mercurio descendía dentro
del tubo hasta que quedaba una columna (columna
barométrica) de unos 760 mm de altura sobre el nivel del
mercurio en la cubeta.
El espacio que se forma sobre la columna de mercurio (cámara
barométrica) sólo contiene vapor de mercurio, cuya presión podemos
despreciar por ser muy pequeña a las temperaturas ordinarias.
La diferencia de niveles (h) del mercurio en el tubo y en la
cubeta permite calcular la presión atmosférica.
patm = r gh
donde ρ es la densidad del mercurio a la temperatura correspondiente a la realización de la
experiencia.
Barómetro aneroide
Consiste en una caja metálica (C), aplanada, de forma
circular y tapa ondulada, cerrada herméticamente y en la
que se ha hecho el vacío; se evita el aplastamiento de la
caja colocando un resorte adecuado (R). Cuando la
presión atmosférica varía, la deformación del resorte se
modifica. Dicho cambio es amplificado y transmitido,
mediante un dispositivo mecánico adecuado (D), a una
aguja indicadora (A) que puede moverse frente a una
escala que se ha calibrado por comparación con un
barómetro de mercurio.
Estática de los fluidos
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La presión atmosférica decrece a razón de 1
mmHg por cada 10 m de elevación en los
niveles próximos al del mar. En la práctica se
emplean
unos
instrumentos,
llamados
altímetros, que son simples barómetros
aneroides calibrados en alturas; estos
instrumentos no son muy precisos.
§16.7.- Unidades de presión.
1 atm = 760 Torr = 13 596
kg
m
´ 9.806 2 ´ 0.760 m = 101325 Pa
3
m
s
Definición nombre
Sistema Internacional (S.I.) N/m2
pascal
2
Sistema cegesimal
dyn/cm
baria
bar
milibar
kg/m2
Sistema técnico
símbolo
Pa
---bar
mbar
atmósfera técnica at
atmósfera
atm
equivalencia
1 Pa = 10 barias
1 baria = 0.1 Pa
1 bar = 106 barias
1 bar = 105 Pa
1 mbar = 1000 barias
1 mbar = 1 hPa
1 at = 0.968 atm
1 atm = 1013.25 hPa
1 atm = 760 Torr
La presión atmosférica estándar equivale a 101 325 Pa (1013 hPa o mbar).
Pa
baria
bar
atm
at
Torr
m.c.a.
1
10
10-5
9.869×10-6 1.0197×10-5 7.5006×10-3 1.0197×10-4
1 Pa =
0.1
1
10-6
9.869×10-7 1.0197×10-6 7.5006×10-4 1.0197×10-5
1 baria =
6
1
0.9869
1.0197
750.06
10.197
100 000
10
1 bar =
101 325 1 013 250 1.0132
1
1.0332
760
10.33
1 atm =
98 067
980 665
0.9807
0.9678
1
735.6
9.997
1 at =
1333.2
0.001333 0.00132
0.00136
1
0.0136
1 Torr (mmHg)= 133.32
1 m.c.a. =
9 807
Estática de los fluidos
98 067
0.098067
0.0968
0.10003
73.57
1
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§16.8.- Manometría.
 Los manómetros son aparatos empleados para la
medida de presiones
 Utilizan la presión atmosférica como nivel de
referencia
 Miden la presión manométrica, i.e., diferencia entre la
presión real o absoluta y la presión atmosférica.
Manómetro abierto
(A  M  B) p + r gd = pM = patm + rm gh
\
pman = p - patm = rm gh - r gd
Mide directamente la presión relativa o manométrica.
Manómetro truncado
(A  M  B) p + r gd = pM = rm gh
\
p = rm gh - r gd
Mide directamente la presión absoluta.
Estática de los fluidos
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§16.9.- Fuerza sobre superficies sumergidas. Centro de presión.
16.9.a. Superficies planas.
Placa plana inclinada sumergida en un fluido incompresible en reposo.
p0
x
h cp
F


hc h
dF
yc
ycp
x
dS
S
y
cp
c
A. Fuerza resultante que actúa sobre la cara superior de dicha placa, debida a la presión
que se ejerce sobre ella.
Facilitaremos los cálculos adoptando un sistema de ejes coordenados apropiado.
 Eje x definido por la intersección del plano de la placa con el de la superficie libre
del líquido,
 Eje y contenido en el plano de la placa
Consideraremos un elemento de superficie, de área dS, tal que cada uno de sus puntos se
encuentre a la misma profundidad h respecto a la superficie libre del líquido, y, por tanto,
sometido a una presión constante ( p0 + r gh) . El módulo de la fuerza que actúa sobre dicho
elemento de superficie será dF = ( p0 + r gh) dS y el valor del módulo de la fuerza resultante
F sobre toda la superficie plana, de área S, de la cara superior de la placa se determina por
integración
F = ò dF = ò ( p0 + r gh)dS = ò ( p0 + r gy sen q )dS = p0 S + r g sen q ò ydS
S
S
S
\
Estática de los fluidos
S
F = p0 S + r gyc sen q S = p0 S + r ghc S
16.9/13
TEOREMA DE LA PRESIÓN:
La fuerza resultante que actúa sobre una superficie plana sumergida en un líquido
puede calcularse como si la presión que actúa sobre su centroide es la que actuase
uniformemente sobre toda la superficie.
B. Centro de presión.
La presión crece linealmente con la profundidad, por lo que el punto de aplicación de la
fuerza resultante estará situado a mayor profundidad que el centroide de la superficie plana
considerada.
Determinaremos ahora la coordenada ycp del punto de aplicación de la fuerza resultante F. El
momento de la resultante F, respecto al eje Ox, será igual al momento resultante debido a la
distribución de presión sobre la cara superior de la placa, respecto al mismo eje. Esto es,
ycp F = ò ydF = ò ( p0 y + r gy 2 sen q )dS = p0 ò ydS + r g sen q ò y 2dS = p0 yc S + r g sen q I xx
S
S
S
S
donde Ixx es el momento de segundo orden del área de la placa respecto al eje Ox.
TEOREMA DE CENTRO DE PRESIÓN:
La posición del centro de presión queda determinada mediante la expresión:
ycp =
p0 yc S + r g sen q I xx
p0 S + r gyc sen q S
En muchos problemas de interés práctico, la presión p0 actúa no solamente sobre la
superficie libre del líquido, sino también sobre una de las caras de la superficie sumergida.
Así, en el ejemplo que se ilustra en la figura, las fuerzas producidas por la presión uniforme
p0 en ambas caras de la compuerta se compensan y la fuerza
resultante de interés es la debida únicamente al aumento de
presión con la profundidad; en consecuencia, las
F = r gyc sen q S = r ghc S
yc ycp =
Estática de los fluidos
I xx
I
o hc hcp = xx sen 2 q
S
S
16.10/13
16.9.b. Superficies curvas.
Para calcular la fuerza resultante que actúa sobre la
dicha superficie tomaremos un elemento de área
genérico dS. La fuerza debida a la presión que actúa
sobre dicho elemento de área será dF = - pdS y la
fuerza que actúa sobre toda la superficie curva se
calculará por integración:
F = -ò pdS .
S
La integración no constituye necesariamente el
método más conveniente para calcular las
componentes de la fuerza.
Las componentes horizontales, Fx y Fy, paralelas a la superficie libre del líquido, pueden
determinarse fácilmente por los métodos para superficies planas sumergidas.
1. Proyectamos toda la superficie curva S sobre los planos coordenados x=0 e y=0; así
obtendremos las superficies planas de áreas Sx y Sy, respectivamente.
2. Calculamos las fuerzas resultantes Fx y Fy sobre dichas superficies planas, así como sus
respectivos puntos de aplicación.
La componente vertical Fz es igual al peso de la columna de fluido que se encuentra por
encima de la superficie curva y su línea de acción pasa por el centro de gravedad de la
dicha columna.
Así, podemos determinar las tres componentes Fx, Fy y Fz de la fuerza resultante y las líneas
de acción de las mismas. En general, estas líneas de acción no son concurrentes; esto
significa que el sistema de fuerzas Fx, Fy y Fz se reduce a una fuerza única y un par, en el
caso general.
Estática de los fluidos
16.11/13
§16.10.- Principio de Arquímedes.
Todo cuerpo sumergido total o parcialmente en un fluido experimenta
una fuerza de empuje dirigida verticalmente hacia arriba cuya magnitud
es igual al peso del fluido desalojado y cuya línea de acción pasa por el
centro de gravedad de dicho líquido desalojado.
El volumen de fluido desalojado por el cuerpo recibe el nombre de
carena. El centro de gravedad de dicho volumen recibe los nombres de
centro de carena o centro de empuje y lo representaremos por el punto C.
La fuerza de empuje o empuje hidrostático (o aerostático) es una
consecuencia del aumento de presión con la profundidad. En la parte baja
actúa una presión mayor que en la parte alta; el resultado es una fuerza
neta dirigida hacia arriba.
El principio de Arquímedes puede demostrarse con la ayuda del llamado
principio de solidificación de Cauchy.
La magnitud de la fuerza de empuje viene dada por
FE = r gV
donde ρ es la densidad del fluido y V es el volumen de la carena.
16.10.a. Cuerpo sumergido totalmente en un fluido
Cuerpo homogéneo de densidad ρm:
 El centro de gravedad coincide con el centro de carena
 La fuerza de empuje FE y a su propio peso P representan una fuerza neta
FE - P = r gV - rm gV = (r - rm ) gV
 El cuerpo subirá, permanecerá en equilibrio (de traslación) o se hundirá en el fluido
según que su densidad sea menor, igual o mayor que la del fluido.
Cuerpo no homogéneo, de densidad media ρm:
 En general, el centro de gravedad G del mismo no coincide con el centro de empuje C.
 En general, al no coincidir las líneas de acción de las fuerzas F y P, el cuerpo estará
sometido a una fuerza resultante y a un momento resultante o par,
 El cuerpo se hundirá o subirá al tiempo que gira (movimiento rototraslatorio).
16.10.b. Flotación. Estabilidad de la flotación
 Flotador, un cuerpo sólido parcialmente sumergido bajo la superficie libre de un
líquido.
 Plano de flotación, el definido por la superficie libre.
Estática de los fluidos
16.12/13
 Superficie de flotación, la parte de plano de flotación contenida en el interior del
flotador.
 Línea de flotación, contorno es la superficie de flotación.
 Carena, el volumen del flotador situado bajo el plano de flotación.
 Centro de carena o de empuje, el centroide de la carena.
 Desplazamiento, el peso del líquido desplazado por el
flotador (igual al empuje hidrostático sobre la superficie
de la carena).
El equilibrio del flotador puede ser estable, inestable o
indiferente.
La condición suficiente para que el equilibrio del flotador
sea estable es que su centro de gravedad G se encuentre en
la misma vertical que el centro de carena C y situado por
debajo de éste.
Se presenta esta situación en las embarcaciones de regatas que tienen la
quilla lastrada con plomo. Cuando la embarcación se inclina hacia un
lado de su plano de simetría longitudinal, aparece un momento adrizante
que tiende a enderezar la embarcación.
La condición anterior, aunque suficiente, no es necesaria.
En un buque, el centro de gravedad está situado por encima del centro
de carena. Cuando el buque se inclina, el centro de carena se desplaza
hacia el costado más hundido, ya que ha cambiado la forma de la
carena. Este desplazamiento del centro de carena es suficiente para que
aparezca un momento adrizante que tiende a enderezar al buque.
Naturalmente, el momento adrizante, y por tanto la estabilidad,
aumenta cuando el centro de gravedad desciende, por lo que resulta
conveniente colocar la maquinaria y la carga en la parte más baja del
buque.
Resulta fácil observar que la condición necesaria y
suficiente para que el equilibrio de un flotador sea estable es
que, para una posición próxima a la de equilibrio, la vertical
que pasa por el nuevo centro de carena C’ corte a la vertical
primitiva CG en un punto M, llamado metacentro, situado
por encima del centro de gravedad G.
En realidad, el equilibrio así definido es metaestable, por
estar limitado a pequeños ángulos de inclinación; un buque
puede zozobrar si la inclinación es suficientemente grande.
Estática de los fluidos
16.13/13