q = (h2 – h1)+ = h1

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UNIDAD 10 – TOBERAS Y DIFUSORES
Se denomina tobera a un conducto que orienta a una vena fluida, mientras se
produce en ella una conversión de energía del fluido (entalpía), en energía cinética.
Es decir que a lo largo de una tobera la velocidad del fluido aumentara.
Se denomina difusor a un conducto en el cual se produce el proceso energético
inverso, dado que al circular el fluido en un difusor, este se desacelera, disminuyendo
su energía cinética y aumentando su energía (entalpía).
Es decir que a lo largo de un difusor la velocidad del fluido disminuirá.
Si aplicamos 1° Principio tanto para una tobera como para un difusor, en los cuales
circula un fluido a régimen permanente, tendremos:
2
2
q = (h2 – h1) + Wc + ( w2 − w1 ) + g.(z 2 − z1 )
2
(10-1) válida para m= 1 Kg
2
Si consideramos al conducto adiabático, entonces Q=0 ; Wc=0 dado que no existe
intercambio de trabajo entre sistema y medio y z1 =z2 , entonces :
w22 w12
= h1 - h2
−
2
2
(10-2)
Esta expresión nos indica que en una tobera el aumento de Energía Cinética del fluido,
se logra a expensas de una disminución de su entalpía, mientras que en un difusor la
disminución de la energía cinética del fluido se traducirá en un aumento de la entalpía
del mismo.
La ecuación (10-2) puede escribirse en forma diferencial considerando dos secciones en
el conducto muy próximas entre si.
∂(
w2
) = −dh
2
w.dw = −dh
(10-3)
dh = dU + p.dv + v.dp = ∂Q + v.dp
∂Q = 0 por ser adiabático, por lo tanto :
w.dw = −v.dp
(10-4)
Esta expresión nos indica que a un aumento de velocidad corresponderá una
disminución de la presión y viceversa.
Luego en las toberas la presión del fluido disminuirá de la entrada a la salida.
En los difusores por el contrario la presión del fluido aumentara de la entrada a la salida.
Unidad 10 – Toberas y difusores.
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1
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Ecuación de continuidad
El gasto masico (m), cantidad de masa que pasa por cierta sección en la unidad de
tiempo será:
m = F .w.δ
F : sección transversal
w : velocidad media en la sección considerada
⎛1⎞
ρ : densidad del fluido ⎜ ⎟
⎝v⎠
v : volumen especifico del fluido
m=
F .w
v
Aplicando logaritmos → ln m = ln F + ln w − ln v
Diferenciando para el caso en que el flujo sea permanente (m=cte)
dF dw dv
+
−
=0
F
w
v
(10-5)
Que representa la ecuación diferencial de continuidad.
Velocidad del sonido y numero Mach
La velocidad del sonido en un medio fluido es la velocidad con que se propaga una
pequeña perturbación de presión en él y la denominaremos “c”.
Para obtener una relación para la velocidad del sonido en un medio, consideremos una
tubería adiabática llena de un fluido, en la cual se genera una perturbación de presión, la
misma generara un frente de onda que se propaga de izquierda a derecha, a la velocidad
del sonido c.
En la figura fig. 10-1 se indica el frente de onda de presión visto por un observador en
reposo, que lo vería pasar de izquierda a derecha a la velocidad “c”.
Figura 10-1
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El fluido a la izquierda del frente de onda (fluido perturbado) experimenta un cambio en
sus propiedades termodinámicas, su presión será p + dp ; su densidad ρ + dρ y su
entalpía h + dh .
A la derecha del frente de onda, el fluido conserva sus propiedades termodinámicas
originales (fluido estacionario), sus parámetros serán p, ρ y h .
Si consideramos un volumen de control que encierre al frente de onda y suponiendo
flujo adiabático a régimen permanente, la variación de entalpía originará una variación
de velocidad de acuerdo con la (10-3), haciendo un balance de masas considerando la
sección por la que pasa el frente de onda:
ρ .F .c = ( ρ + dρ ).F .(c − dw)
ρ .F .c = ρ .F .c + dρ .F .c − ρ .F .dw − F .dρ .dw
Cancelando las áreas y despreciando diferenciales de segundo orden :
c.dρ − ρ .dw = 0
(10-6)
Aplicando 1° principio al volumen de control:
h+
(c − dw) 2
c2
= (h + dh) +
2
2
h+
c2
c2
= h + dh + − .c.dw + dw 2
2
2
Simplificando y despreciando diferenciales de segundo orden :
0 = dh − c.dw
(10-7)
Suponiendo flujo adiabático :
0 = dh − v.dp ⇒ dh =
dp
(10-8)
ρ
Combinando 10-6 ; 10-7 y 10-8
c2 =
dp
dρ
(10-9)
Si el proceso se supone ideal (isentrópico) y el fluido gas ideal:
⎛ ∂p ⎞
c 2 = ⎜⎜ ⎟⎟
⎝ ∂ρ ⎠ S = cte
(10-10)
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k
⎛1⎞
p.v = cte ⇒ p.⎜⎜ ⎟⎟ = cte
⎝ρ⎠
k
Aplicando logaritmos :
ln p − k . ln ρ = cte
dp
dρ
− k.
=0
p
ρ
diferenciando :
⇒
⎛ ∂p ⎞
k. p
⎜⎜ ⎟⎟ =
= k . p.v
ρ
⎝ ∂ρ ⎠ S
Reemplazando en (10-10)
c = k . p.v
c = k .R.T
Es decir que la velocidad del sonido en un fluido depende de las propiedades
termodinámicas del mismo.
El número de Mach es una relación adimensional entre la velocidad a la que circula el
fluido y la del sonido en el mismo fluido.
M=
w
c
Se dirá que un fluido es subsónico cuando M < 1 , ósea w < c.
El flujo será sónico cuando M = 1 , ósea w = c.
Será supersónico cuando M < 1 , ósea w < c.
Forma de toberas y difusores
Analizaremos la forma de las toberas y difusores a partir de la ecuación de continuidad
dF dv dw
=
−
F
v
w
(10-5)
Se pueden considerar dos casos:
a) Fluidos incompresibles : por ejemplo líquidos, en este caso v=cte y dv=o
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dF
dw
=−
F
w
(10-11)
Dado que en las toberas la velocidad (w) debe ser creciente a lo largo de la misma, las
secciones deberán ser decrecientes, o sea la tobera será convergente.
Por el contrario los difusores deberán ser divergentes.
b) Fluidos compresibles.: es el caso de los gases y vapores, vale entonces la
ecuación (10-5) completa, la cual presentaremos de modo que aparezca en ella la
variación de presión.
De la (10-4), multiplicando ambos miembros por w:
dw
v
= − 2 .dp (10-12)
w
w
Si suponemos que el fluido que circula es un gas ideal que evoluciona en forma
adiabática reversible, será válida:
p.v k = cte
, aplicando logaritmos,
ln p + k . ln v = cte diferenciando:
dp
dv
+ k . = 0 de donde :
p
v
1
dv
=−
.dp
v
k. p
(10-13)
Reemplazando la (10-12) y (10-13) en la (10-5):
dF
v
1
=−
.dp + 2 .dp ⇒
F
k. p
w
dF ⎛ v
1 ⎞
⎟.dp
= ⎜⎜ 2 −
k . p ⎟⎠
F ⎝w
(10-14)
Con esta ecuación podemos analizar la forma de toberas y difusores para gases ideales.
1) Toberas
En el caso de las toberas la presión a lo largo de ellas disminuirá por lo que será dp < 0
Si el flujo de gas que ingresa a la tobera es subsónico, entonces M < 1 ⇒ w < k . p.v ,
ósea :
1
v
w 2 < k . p.v ⇒
< 2 ósea que :
k. p
w
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v
1
−
> 0 y como dp < 0 , entonces la (10-14) será :
2
k. p
w
dF
< 0, ósea que en una tobera en la cual ingrese un fluido subsónico las secciones
F
deberán tener al menos una primera parte convergente.
Al avanzar el fluido por la tobera, su velocidad aumentara y al mismo tiempo la
velocidad del sonido en el fluido decrecerá, pues al expandirse disminuirá la
temperatura. Podrá en consecuencia llegarse a una sección que llamaremos crítica, en la
que se alcance M=1, ósea circulación sónica, entonces :
wc = k . p c .v c ⇒
wc2 = k . p c. .v c
O bien :
vc
1
−
= 0 Condición que equivale a dF=0
2
wc k . p c
(10-15)
Dado que las secciones venian disminuyendo, la (10-15) implica que la tobera tendrá su
sección minima en dicho estado. A dicha sección se la denomina garganta de la tobera.
Si la tobera continua, se pasara luego a secciones en que el flujo será supersónico ósea
M > 1, lo que equivale a :
w > wc
w 2 > k . p.v
⇒ w>
⇒
k . p.v
1
v
> 2 que analizando la (10-14) vemos que :
k. p w
v
1
−
< 0 y dado que dp < 0 ⇒ dF > 0
2
k. p
w
Lo que implica que de continuar la tobera a partir de la sección crítica, las secciones
deberán ser crecientes, ósea tobera divergente.
Es decir en una tobera en que el flujo pase de subsónico a flujo supersónico, la misma
será convergente-divergente.
Las toberas en que el fluido ingresa a velocidades subsónicas y en las que a la salida el
flujo es subsónico o a lo sumo sónico, serán convergentes.
En el caso que el fluido ingrese a la tobera a velocidades supersónicas, las mismas serán
solo divergentes.
En la figura (fig. 10-2), se representan los diagramas correspondientes a las variaciones
de presión, velocidad y sección transversal a lo largo de una tobera, en que el fluido
pasa de flujo subsónico a flujo supersónico.
En este caso la tobera será convergente-divergente, y en la sección mínima (garganta),
el flujo será sónico (M = 1).
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Figura 10-2
En el caso de los difusores, la presión irá aumentando desde la entrada a la salida, ósea
que dp > 0, en consecuencia se invertirán las condiciones y se tendrá :
1) Si el fluido que ingresa al difusor tienen velocidad supersónica (w > c), entonces
dF < 0, el difusor será convergente.
2) Si el fluido alcanza o ingresa con velocidad sónica (w = c), dicha sección será la
mínima.
3) Si el fluido ingresa o alcanza en una región una velocidad subsónica w < c ,
entonces será divergente dF > 0
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pc
pe
Relación crítica de presiones
La relación critica de presiones nos permite predecir si la tobera deberá tener o no
sección crítica (garganta).
Si la velocidad de entrada a la tobera es nula o despreciable, aplicando la (10-4):
w.dw = −v.dp
Integrando entre 2 secciones:
w22 − w12
= ∫ − v.dp
2
(10-16)
Si el fluido que circula es un gas ideal y el proceso isentrópico:
k −1
⎤
⎡
k
⎛
⎞
k
p
2
⎢
∫p1− v.dp = k − 1RT1 ⎢1 − ⎜⎜⎝ p1 ⎟⎟⎠ ⎥⎥
⎥⎦
⎢⎣
p2
(10-17)
Reemplazando la (10-17) en la (10-16) y considerando despreciable la velocidad de
entrada a la tobera ( we ≅ 0 ) , para una sección cualquiera tendremos :
k −1
⎡
⎤
⎛
⎞
w
k
p k
=
R.Te ⎢1 − ⎜⎜ ⎟⎟ ⎥
⎢ ⎝ pe ⎠ ⎥
2
k −1
⎢⎣
⎦⎥
2
w=
k −1
⎤
⎡
k
⎞
⎛
p
2.k
⎢
R.Te 1 − ⎜⎜ ⎟⎟ ⎥
⎢ ⎝ pe ⎠ ⎥
k −1
⎥⎦
⎢⎣
(10-18)
En la garganta tendremos la wc ⇒
wc =
k −1
⎤
⎡
k
⎛
⎞
p
2.k
c
⎢
R.Te 1 − ⎜⎜ ⎟⎟ ⎥ = k . p c .vc
⎢ ⎝ pe ⎠ ⎥
k −1
⎥⎦
⎢⎣
k −1
⎤
⎡
⎛
⎞
p k
2
R.Te ⎢1 − ⎜⎜ c ⎟⎟ ⎥ = p c .vc
⎢ ⎝ pe ⎠ ⎥
k −1
⎢⎣
⎦⎥
R.Te = p e .ve reemplazando y pasando al 2°miembro :
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k −1
⎤
⎡
2 ⎢ ⎛ pc ⎞ k ⎥ pc .vc
1 − ⎜⎜ ⎟⎟
=
k − 1 ⎢ ⎝ pe ⎠ ⎥ pe .ve
⎦⎥
⎣⎢
(10-19)
1
Como p c .vc = p e .ve
k
k
−1
⎛ p ⎞k ⎛ p ⎞ k
v
⇒ c = ⎜⎜ e ⎟⎟ = ⎜⎜ c ⎟⎟
ve ⎝ pc ⎠
⎝ pe ⎠
reemplazando en la anterior
k −1
k −1
⎡
⎤
2 ⎢ ⎛ pc ⎞ k ⎥ ⎛ pc ⎞ k
=⎜ ⎟
1− ⎜ ⎟
k − 1 ⎢ ⎜⎝ pe ⎟⎠ ⎥ ⎜⎝ pe ⎟⎠
⎣⎢
⎦⎥
⎛p ⎞
2
= ⎜⎜ c ⎟⎟
k − 1 ⎝ pe ⎠
k −1
k
2 ⎤
⎡
⎢⎣1 + k − 1⎥⎦
k
pc ⎛ 2 ⎞ k −1
=⎜
⎟
pe ⎝ k + 1 ⎠
(10-20)
La (10-20) expresa que la relación crítica de presiones solo depende del gas que se trate,
para gases biatómicos (aire), k=1,4, entonces :
pc
= 0,5283
pe
Recordamos que esta expresión solo es válida si la velocidad de entrada es nula o
despreciable, en este caso conocida la presión de entrada y salida en la tobera,
determinando la presión crítica pueden presentarse dos casos:
a) pe > pc > p f en este caso la tobera será convergente-divergente, ya que a la salida
tendrá velocidad supersónica.
b) pe > p f ≥ pc
en este caso la tobera será convergente, pues la velocidad final en la
misma alcanzara en caso extremo la velocidad del sonido, por lo tanto el flujo será
subsónico.
Si la velocidad en la tobera tiene una velocidad de entrada no despreciable es decir
we ≠ 0 entonces la relación (10-20) no será aplicable.
Para solucionar esto, habrá que determinar el estado de estancamiento o remanso de la
tobera.
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Estado de estancamiento o de remanso
Se denomina estado de estancamiento o de remanso al estado que alcanzaría un fluido
que se encuentra en movimiento, cuando se lo desacelera hasta alcanzar el reposo.
Partiendo de un estado inicial, el estado de estancamiento al que se llegara dependerá
del tipo de proceso de desaceleración que experimente.
Si consideramos un proceso adiabático de un sistema circulante, aplicando el
1°Principio, para el proceso que lleva a un fluido a un estado de reposo, a partir de un
estado con velocidad de entrada we y entalpía he , tendremos :
he +
we2
2
= ho (10-21)
²
En la que ho representa la entalpía del estado de estancamiento y he la entalpía del
fluido a la entrada de la tobera y we la velocidad del fluido a la entrada de la misma.
Sea el proceso que lleva al fluido al estancamiento reversible o irreversible, siempre
sera válida la (10-21), pero el estado de estancamiento no será el mismo, dado que en el
proceso irreversible el fluido incrementara su entropia.
Figura 10-3
En la fig 10-3, se indican un proceso isentrópico y uno adiabático irreversible en el
diagrama h-S :
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En la figura se observa que para el proceso reversible el estado de estancamiento (estado
2), tendrá una presión po, mientras que para el proceso irreversible el estado será el 3 y
la presión correspondiente po1, siendo p o1 < p o .
A partir de la (10-21)
we2
= ho − he
2
si el fluido es un gas perfecto entonces :
we2
w2
= cp.To − cpTe ⇒ To = Te + e
2
2.cp
(10-22)
Para la transformación isentrópica (adiabática reversible):
T.p
1− k
k
To . p o
= cte ósea
1− k
k
= Te . p e
1− k
k
⇒
⎛T
p o = ⎜⎜ o
⎝ Te
k
⎞ k −1
⎟⎟ . p e
⎠
Entonces la relación crítica de presiones para una tobera con velocidad de entrada
distinta de cero será:
k
p c ⎛ 2 ⎞ k −1
=⎜
⎟
po ⎝ k + 1 ⎠
(10-23)
Puede obtenerse también una relación crítica de temperaturas para gases ideales, la
misma será :
Tc
2
=
To k + 1
(10-24)
Se deja al alumno la demostración de la misma.
Análisis de la forma de las toberas
A partir de los datos de diseño de una tobera :
p e : Presión de entrada del fluido.
we : velocidad de entrada.
Te : Temperatura de entrada.
p f : presión final o de descarga.
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a) Se determinaran los parámetros de estancamiento To; po; ho)
b) Se calcula la presión crítica de la tobera con la relación crítica de presiones.
Obtenida la pc pueden ocurrir 3 casos :
I)
Si p e > p c > p f , entonces la tobera será convergente-divergente, en la cual
el fluido se acelerara desde un flujo subsónico a uno supersónico a la salida.
II)
Si la pe > pf ≥ pc , entonces la tobera será convergente, en ella el flujo será
subsónico.
III)
Si la pc > pe > pf , entonces la tobera será divergente y en ella el fluido
circulara a velocidades supersónicas.
Rendimiento de las toberas
En una tobera real el flujo no será isentrópico, debido a la viscosidad del fluido, al
rozamiento con las paredes del conducto, por lo tanto habrá una transformación de
energía mecánica en energía térmica en el fluido mismo.
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Si la tobera es adiabática, el resultado será que a la salida de la misma el fluido tendrá
una entropía mayor que a la entrada, en la figura 10-4 se representa la evolución del
fluido a lo largo de una tobera ideal (isentrópica) y de una tobera real (irreversible).
La isentrópica 1-2i representa la evolución ideal, si el fluido ingresa a la tobera con una
velocidad despreciable, la velocidad de salida será :
wf ideal = 2(h1 − h2 )
(10-25)
En una tobera real la velocidad final será menor.
wf real = 2(h1 − h2 r ) y dado que h1 − h2 r < h1 − h2i
Se define como rendimiento de una tobera :
η=
h1 − h2 r
h1 − h2i
(10-26)
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APLICACIONES PRACTICAS DE TOBERAS Y DIFUSORES
1) Turbina de vapor
Se puede observar en la figura que el fluido (vapor) que ingresa con velocidad Co y sale
de la misma con una velocidad mayor C1, mientras que la presión decrece a lo largo de
la tobera.
El fluido a la salida de la tobera impacta contra los alabes de la turbina, los cuales están
fijos a una corona móvil, produciendo el moviendo de la misma.
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