Transformaciones lineales

Universidad Técnica
Federico Santa Marı́a
Departamento de Matemática
Matemática III
Guı́a No 1
Primer Semestre 2015
Transformaciones Lineales
Problemas Propuestos
1. Sea T : R2 [x] −→ R3 una transformación lineal definida por
T (ax2 + bx + c) = (a + b, a + c, b − c)
(a) Demuestre que T es lineal.
(b) Determine una base para Ker(T ) y una base para Im(T ).
(c) Determine la matriz asociada a T respecto a las bases canónicas.
2. Sea T : R4 → R4 definida por
T (a, b, c, d) = (a, a + b, a + b + c, a + b + c + d)
Considere
B1 = {(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)}
y
B2 = {(1, 1, 1, 1), (0, 2, 2, 2), (0, 0, 3, 3), (0, 0, 0, 4)}
−1 B1
2
]B2 en caso de que exista la inversa.
dos bases de R4 . Encuentre [T ]B
B1 y [T
3. Sea C la base canónica de R3 . Sean T, L : R3 → R3 transformaciones lineales tales que T (1, 1, 1) = (1, −3, 3),
T (1, 1, 0) = (2, −3, 2), T (1, 0, 0) = (−1, −1, 2) y


−2 −3 −2
C
1
1 
[L]C =  1
4
6
5
(a) Determine T explı́citamente.
C
(b) Determine [T ◦ L]C
(c) ¿Qué relación existe entre T y L?
(d) Determinar Ker(T ) e Im(L).
4. Sea A : R2 [x] → R2 [x] una aplicación lineal definida por:
A(p(x)) = p(x) −
p(x) − p(0)
.
x
(a) Calcule la matriz de esta aplicación lineal , desde la base V = {1, 1 + x, 1 + x + x2 } a la base W =
{1, 1 − x, 1 + 2x + x2 }.
(b) Calcule la matriz de la aplicación A, desde la base W a la base V .
1 −1
5. Sean B =
y T : M2×2 → M2×2 tal que T (A) = BA. Determine dim Im(T ). Obtenga T ◦ T .
−4 4
6. Sea T : R3 → R3 la transformación lineal definida por
T (x, y, z) = (x + z, y + 3z, x + y + αz)
con α ∈ R:
(a) Determine el valor de la constante α para que dim Ker(T ) = 1 y en este caso Calcule Ker(T ).
(b) Para el valor anterior de α calcule Im(T ).
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7. Considere la aplicación T : R2 [x] → R3 [x] definida por
1
T (p(x)) = p(x − 1) + kp0 (1) x3 − p00 (1) x2
2
Determine ker(T ) para k ∈ R.
8. Considere las aplicaciones T, S : R2 → R2 definidas por
T (x, y) = (y − x, x + y)
S(x, y) = (xy, x − xy)
y
(a) Determine si son transformaciones lineales.
(b) Sea D ⊂ R2 un triángulo de vértices (0, 0), (2, 0) y (0, 2). Dibuje T (D). ( Es decir, la imagen del triángulo
D por la transformación T .)
(c) Sea R la región del plano limitada por las siguientes curvas:
xy = 1,
x − xy = 1,
xy = 3,
x − xy = 3.
Dibuje S(R).
9. Sea T : V → W una transformación lineal, B = {v1 , v2 , v3 } base de V y C = {w1 , w2 , w3 , w4 } base de W . Si
se cumple que
T (v1 − v3 ) = w1 + w2 ,
T (v1 − v2 − v3 ) = w1 + w3 ,
T (v1 − v2 − 2v3 ) = w1 + w4
¿T es inyectiva?, ¿ T es epiyectiva?. Justifique.
10. Sea T : R3 [x] → M2×2 (R) tal que
2 −3
0
T (1) =
, T (x + 3) =
−1 −3
1
1
,
1
2
T (x ) =
1
1
0
y
0
3
T (x − x) =
(a) Encontrar bases para Im(T ) y ker(T ).
(b) ¿Es la aplicación T inyectiva?
11. Sean U y V los subespacios vectoriales de R3 y R4 generados, respectivamente, por:
B = (−1, 2, 1); (1, 0, −1)
y:
D = (1, 0, 1, 0); (1, 1, 0, 0)
Considere la transformación lineal T : U → V tal que:
D
T B =
−1
2
2
−4
Calcule el núcleo y la imagen de T .
Problemas Resueltos
1. Sean B =
0
1
1
y T : M2×2 → M2×2 tal que T (A) = BA − AB.
0
i) ¿Es T una transformación lineal?
ii) Si (i) es verdadero. ¿Cuál es la dimensión de Im(T )?
Solución.
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1
0
0
0
i) Sean α, β ∈ R y A, C ∈ M2×2 (R), entonces basta probar que
T (αA + βC)
= B(αA + βC) − (αA + βC)B
= αBA + βBC − αAB − βCB
= α(BA − AB) + β(BC − CB) = αT (A) + βT (C),
y luego la transformación es lineal.
ii) Usamos el teorema de la dimensión y primero determinamos ker(T ). Es decir, buscamos las matrices
A ∈
M2×2 tales que T (A) = 0M2×2 o bien, dada la definición, las matrices que conmutan con B. Sea
a b
A=
, entonces
c d
a
c
AB
= BA
b
0 1
0
=
d
1 0
1
b a
c
=
d c
a
1
a
0
c
d
,
b
b
d
que son iguales si a = d, b = c. Por lo tanto
ker(T ) =
1
0
0
0
,
1
1
1
,
0
que tiene dimensión 2. Por el teorema de la dimensión sigue que dimR Im(T ) = 2.
2. Sea T : R2 (x) → R3 , dada por T (p(x)) = (p0 (1), p00 (x) − p0 (0), p(0) + p00 (0)). Considere bases
B1 = {1, x − 1, x2 + x} y B2 = {(0, 0, 1), (1, −1, 0), (1, 1, 1)} de R2 y R3 , respectivamente
(a) Determine la dimensión de Im T .
(b) Si T es invertible. Determine la matriz asociada a la inversa de T desde la base B2 a la base B1 .
Solución. Sea p(x) = ax2 + bx + c, entonces p0 (x) = 2ax + b y p00 (x) = 2a. De esta forma se tiene que
T (p(x)) = (2a + b, 2a − b, 2a + c).
(a) Calculamos ker T = {p(x) ∈ R2 |T (p) = (0, 0, 0)}. Es claro que
2a + b =
0
2a − b =
0
2a + c =
0.
De donde a = b = c = 0 y luego la dimensión del kernel de T es cero. Por el Teorema de la dimensión
entonces se tiene que dim Im T = 3.
2
(b) Calculamos [T ]B
B1 .
T (1)
=
(0, 0, 1)
T (x − 1)
=
T (x) − T (1) = −1(0, 0, 1) + (1, −1, 0)
T (x2 + x)
= T (x2 ) + T (x) = 1(1, −1, 0) + 2(1, 1, 1).
Y entonces la matriz asociada es

2
[T ]B
B1
1
= 0
0
−1
1
0

0
1 
2
,
1
que es diagonal superior. Se tiene entonces que [T −1 ]B
B2 posee la estructura


1 u v
1
 0 1 w  .
[T −1 ]B
B2 =
0 0 1/2
−1 B2
2
Puesto que [T ]B
]B1 = I, sigue que u = 1, v = w = −1/2.
B1 · [T
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3. Sean U y V los subespacios vectoriales de R3 y R4 generados, respectivamente, por:
B = (−1, 2, 1); (1, 0, −1)
y:
D = (1, 0, 1, 0); (1, 1, 0, 0)
Considere la transformación lineal T : U → V tal que:
D
T B =
−1
2
2
−4
Calcule el núcleo y la imagen de T .
Solución.
Se deja como ejercicio probar que tanto B como D son conjuntos linealmente independientes y puesto que sus
cardinalidades son ambas iguales a 2, se tiene que dim U = dim V = 2. Este comentario nos permite aplicar el
teorema de la dimensión como sigue.
Para determinar ker T calculamos los vectores coordenadas u = (α, β) ∈ R2 tales que [T ]D
B u = 0. En efecto
−1 2
α
0
=
=⇒ α = 2β,
2 −4
β
0
y las soluciones son generadas por u = (2, 1). Ahora bien, esto entrega las coordenadas en B de ker T y entonces
ker T = h2(−1, 2, 1) + 1(1, 0, −1)i = h(−1, 4, 1)i.
Puesto que dim ker T = 1, por el teorema de la dimensión sigue que dim Im T = 1. Geométricamente, puesto
que V posee dimensión 2, se tiene que es un plano por el origen en R4 y entonces Im T es una recta por el origen
de R4 . Para determinar explı́citamente a Im T , calculamos la imagen de (−1, 2, 1), que posee como vector de
coordenadas a (1, 0) en R2 y entonces
−1 2
1
−1
=
,
2 −4
0
2
y esto nos entrega las coordenadas en V que son −1(1, 0, 1, 0) + 2(1, 1, 0, 0) = (1, 2, −1, 0). Luego
Im T = h(1, 2, −1, 0)i.
Note que si repite lo anterior pero esta vez con el vector (1, 0, −1) que posee coordenadas (0, 1) obtiene el
vector (−2, −4, 2, 0) = −2(1, 2, −1, 0), que pertenece al espacio generado por Im T .
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