Movimiento armónico simple Introducción

Movimiento armónico simple
Introducción
Hay muchas situaciones en física en las cuales la fuerza que siente una partícula en cierto sistema es
proporcional a un desplazamiento respecto cierto punto de equilibrio''. Es decir, existen sistemas para los
cuales es válida la ley de Hooke
o al menos, lo es manteniendo el móvil entre ciertos límites. Estos sistemas se dice de ellos que describen un
movimiento armónico simple.
La intención de este apartado es estudiar este tipo de movimientos, dada su importancia y su sencillez.
En todo el estudio que se haga en este capítulo se tratará el problema de manera unidimensional.
*Se puede demostrar que la gran mayoría de los sistemas que tiene un punto de equilibrio estable admiten un
tratamiento armónico para pequeñas oscilaciones en torno a dicho punto. Esto se puede ver desarrollando en
serie de Taylor alrededor del punto y dándose cuenta de que como la primera derivada será nula el primer
término que aparecerá será, precisamente, el término de un potencial armónico:
Dinámica del sistema
Ecuación del movimiento
Si aplicamos la ley de Newton
, junto con la ley de Hooke, obtendremos que
Esta sencilla ecuación es, no obstante, algo más complicada de resolver que otras anteriores, puesto que las
magnitudes involucradas, a y x dependen La una de la otra, concretamente como
que constituye una ecuación diferencial, ya que involucra derivadas de funciones con la propias funciones.
Resolver esta ecuación está bastante más allá del ámbito de este curso, pero aún así es fácil darse cuenta de
que las funciones sen y cos van a tener algo que ver, dado que son las únicas que al ser derivadas dos veces y
sumadas consigo mismas dan nulo. Manipulando algunos coeficientes en estas funciones y operando se
encuentra la solución más general a este movimiento, que es *
y que por tanto constituye la ecuación de movimiento de un sistema que cumpla la ley de Hooke, o bien de un
movimiento armónico simple.
Significado de la ecuación
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En esta ecuación A es la amplitud máxima que puede recorrer el móvil, w es la frecuencia angular de la
oscilación, es decir, el número de ``radianes'' que da en un segundo. Como parece que la palabra radián no
tiene sentido para un muelle, por ejemplo, quizás sea preferible pensar en la frecuencia del movimiento
es decir, el número de oscilaciones completas que da en un segundo, o bien tomar
el periodo de la oscilación, que será el tiempo que tarda nuestro sistema en dar una oscilación completa.
Por último, ¿qué será ? Notemos que, si tomamos t=0 tendremos que en el instante 0, el cuerpo que realiza
un movimiento estaba en la posición x=sen(), por lo que , parámetro al que se conoce con el nombre de
fase, nos indica cuando empieza el movimiento.
Periodicidad de la ecuación
Fijándose en la ecuación * se puede observar que, la existencia de una función seno para describir este
movimiento, nos va a llevar irremediablemente hacia un movimiento de tipo periódico. Efectivamente, si
tuviéramos un resorte perfecto, este estaría oscilando ``eternamente'' describiendo el mismo movimiento en
cada oscilación.
Para adivinar cada cuanto se repite el movimiento bastará igualar el argumento del seno a 2, pues como se
sabe sen(2)=sen(). De esta manera tendremos que el movimiento se repetirá, esto es, hará un periodo,
cuando wt=2, lo cual supone que el periodo T será, como ya habíamos dicho,
.
Es también frecuente describir el movimiento armónico simple como la analogía de una proyección sobre el
eje OY o OX bien de un movimiento circular de velocidad angular constante w.
Velocidad
Para hallar la velocidad que un móvil sometido a una fuerza armónica presenta en un instante t basta derivar
su ecuación del movimiento. Así tendremos que, como
relación que nos ofrece la velocidad de un movimiento armónico para cualquier instante. Es también común
relacionar la velocidad con la posición, cosa sencilla notando que
y que, por tanto
de donde, introduciendo la amplitud A en la raíz cuadrada
y ahora, echando un vistazo a la relación * se ve que
siendo esta la relación entre v y x buscada.
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Aceleración
La aceleración a la que se encuentra sometido un móvil que describe un movimiento armónico simple se
puede obtener teniendo presente * y que
. Por tanto
Si queremos obtener una relación de la aceleración con respecto a la posición del móvil podemos recurrir a
observar la similitud entre la ecuación anterior y la que describe la ecuación de movimiento de un m.a.s., o
bien utilizando las leyes de Newton y Hooke
Energía
Energía cinética
Partiendo de la relación de la energía cinética de un móvil, y de la ecuación de velocidad del m.a.s. se tiene
que
o, relacionándolo con la posición
Energía potencial
¿Es conservativo el movimiento armónico simple? ¿Podemos definir un potencial para él?. La respuesta es sí,
por tratarse de una fuerza central.En este caso ¿cuál será el potencial?. Para hallarlo recordamos que
y que, por tanto, tendremos que
siendo ahora ya muy sencillo identificar la energía potencial en una posición x como
Energía mecánica
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Para obtener la energía mecánica o total puesta en juego en un movimiento armónico simple sumaremos las
energías potencial y cinética respecto a la posición. Así tendremos que
En el movimiento armónico simple se ve, de una forma que casi roza en lo magistral, lo que la conservación
de la energía supone en física. En este caso toda la energía está dada por la fórmula
que es la energía potencial máxima que alcanza el muelle por separarle una distancia A de su posición de
equilibrio. Más tarde, cuando empieza el movimiento, éste va adquiriendo energía cinética, siempre a costa de
su energía potencial, y por tanto acercándose a la posición de equilibrio. Cuando el móvil se encuentra en la
posición de equilibrio su energía potencial es nula, pero el cuerpo conserva una cantidad de energía cinética
que se irá ahora utilizando en comprimir otra vez el muelle hasta su amplitud máxima, y que contribuirá, por
tanto, a incrementar nuevamente la energía potencial. En cualquier caso la suma de ambas nos dará la energía
máxima puesta en juego, que se conserva. En un muelle real la conservación de la energía no se cumple, ya
que siempre existen pérdidas por rozamiento. Estas pérdidas dan lugar a lo que se denomina un movimiento
armónico simple amortiguado, ya que la amplitud va disminuyendo poco a poco, informándonos a su vez de
la cantidad de energía que se está perdiendo.
Una forma de solucionar este fenómeno es aportando algo de energía extra al móvil, para contrarrestar la que
pierde por rozamiento. Esto puede dar lugar a resonancias y otros fenómenos físicos muy interesantes.
El péndulo simple
Hay ciertos sistemas que, si bien no son estrictamente sistemas sometidos a una fuerza tipo Hooke, si pueden,
bajo ciertas condiciones, considerarse como tales. El péndulo simple, es decir, el movimiento de un grave
atado a una cuerda y sometido a un campo gravitatorio constante, es uno de ellos.
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Al colocar un peso de un hilo colgado e inextensible y desplazar ligeramente el hilo se produce una oscilación
periódica. Para estudiar esta oscilación es necesario proyectar las fuerzas que se ejercen sobre el peso en todo
momento, y ver que componentes nos interesan y cuales no. Esto se puede observar en la figura .
Figura: Descomposición de las fuerzas en un péndulo.
Vemos pues que, considerando únicamente el desplazamiento tangente a la trayectoria, es decir, el arco que se
está recorriendo, podemos poner
donde no hemos hecho sino aplicar la segunda ley de Newton. Esto se puede ver considerando que el arco es
y, como
es la longitud del hilo y es constante, la aceleración será
.Por otra parte, aplicando
en este caso la fuerza es sólo la de la gravedad, mg que se descompone en una componente, que se
contrarresta con la tensión, más otra, que es la que hace que exista movimiento en la trayectoria marcada por
el arco.
Esta ecuación diferencial no es nada fácil de resolvery por ello recurrimos a la aproximación siguiente:
suponiendo que el ángulo que desplazamos es pequeño, tomamos que
y así tenemos que
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que a veces también se expresa como
Esta ecuación es absolutamente análoga a la de un movimiento armónico simple, y por tanto su solución
también será * teniendo, únicamente, la precaución de sustituir el valor de w antiguo por el que tiene ahora
para un péndulo
A partir de aquí se pueden extraer todas las demás relaciones para un péndulo simple, el periodo, frecuencia,
etc.
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