UNIVERSIDAD VERACRUZANA

UNIVERSIDAD VERACRUZANA
FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA ELECTRICA
CD. MENDOZA, VER.
“CÁLCULO DE FLUJOS DE POTENCIA APLICANDO EL CONCEPTO
DE MATRIZ DOMINANTE”
TRABAJO PARA ACREDITAR LA EXPERIENCIA RECEPCIONAL
DE LA CARRERA:
INGENIERIO MECÁNICO ELECTRICISTA
MODALIDAD:
TESIS
ALUMNO:
HERNÁNDEZ RUIZ LUIS DANIEL
ASESOR:
DR. VILLAFUERTE DÍAZ RUBÉN
CD. MENDOZA, VER.
FECHA: Octubre 2012
DEDICATORIAS
A Dios:
Por la vida y fortaleza que me ha dado para culminar mis estudios.
A mis padres:
Héctor Hernández Ramírez y María Reyna Ruiz Díaz
Por todo su apoyo, esfuerzo, sacrificio, paciencia y la fe que han tenido en mí.
Gracias por estar a mi lado en los momentos más importantes de mi vida…
Simplemente los mejores papás del mundo y agradezco a Dios por la dicha de
tenerlos a mi lado.
A mis hermanos:
Jorge has sido un gran ejemplo para ser un profesional, por los consejos, por
las horas de estudio a mi lado.
Rosario que puedo decir, de alguna u otra forma has estado aquí a mi lado,
espero ser un buen ejemplo a seguir como lo ha sido Jorge.
A los dos por estar en las buenas y en las malas, por compartir tiempos de
estudio, broncas con la computadora, peleas y felicidad. Los quiero mucho
hermanos.
A mi primo
Javier Martínez Hernández: por tus oraciones y tu gran apoyo, hemos
compartido muchos momentos juntos y espero en Dios cumplamos todos
nuestros sueños. Se te quiere hermano.
ii
Agradecimientos
Es difícil empezar a escribir estas líneas, no encuentro la forma de cómo agradecer a
todas aquellas personas que han sido parte importante de mi vida y aunque sé que
estas palabras no bastan espero no regarla como siempre:
A mi asesor de tesis: Dr. Rubén Villafuerte Díaz, por creer en mí y darme la
oportunidad de trabajar junto a tan brillante profesor de esta institución, por el tiempo
y los consejos brindados así como de sus importantes recomendaciones, sin ellas no
habría podido terminar este proyecto, así como también pedir una disculpa por el
tiempo perdido, creo que al final de cuentas podemos decir “¡al fin!”.
A mi gran amigo Gerardo, hermano gracias por este tiempo que hemos compartido
juntos, por tus consejos y apoyo incondicional.
Moncesita, gracias por este tiempo juntos, has sido un gran motor para ser una mejor
persona cada día, por estar ahí y apoyarme en cada momento, todo mi cariño y
amor.
Gracias a Dios por poner en mi camino a todos ustedes mis amigos, con los que he
compartido muchas experiencias maravillosas, sin ustedes no valgo nada… su alma
es mi alimento: Leticia Torres, Marcos y Karlita, José Manuel, Héctor, Hugo, Jessica,
Heriberto, Papanei, Adriana, Brenda, mi querido Rafita, Jazmín Glez., Eduardo
Vargas, Jesús Escalante, Ángel Sánchez, Judith, Uriel, Erick y Omar, y a la gran
familia Ortiz Martínez.
Eternamente agradecido
Luis Daniel Hernández Ruiz
iii
RESUMEN
El estudio contempla la solución al problema de flujos de potencia, para la
modificación o planeación de una nueva red eléctrica. El objetivo es conocer el
comportamiento del voltaje, de la potencia real y reactiva en un sistema eléctrico de
potencia cuando hay cambios en su configuración, además definir un nuevo método
iterativo, para el cálculo de los voltajes que serán utilizados con el fin de poder
encontrar cuanto flujo de potencia circula a través de la red, este método es
programado bajo el entorno del software VISUAL FORTRAN 5.0.
Se incluyen los estudios de dos métodos iterativos: GAUSS-SEIDEL y NEWTONRAPSHON, que sirven para comparar los resultados del método iterativo planteado
en este documento. Asimismo se incluyen conceptos y técnicas para el manejo de
sistemas eléctricos de potencia, con la finalidad de comprender y manejar el método
de la matriz dominante y poder manipular el programa. Se dan solución a ejercicios
relacionados con el problema de flujos de potencia con la ayuda del programa
desarrollado.
Con esto se busca dar mejores resultados para la solución al problema de flujos de
potencia (en comparación con otros métodos), en menos tiempo y con un menor
margen de error.
iv
ÍNDICE
INTRODUCCIÓN ................................................................................................... - 1 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA ..................................................................... - 2 OBJETIVO GENERAL ...................................................................................... - 2 OBJETIVOS ESPECIFICOS............................................................................. - 2 JUSTIFICACIÓN ............................................................................................... - 3 ALCANCE ......................................................................................................... - 3 -
CAPITULO 1.
IMPORTANCIA DEL ESTUDIO DE FLUJOS DE POTENCIA................................ - 4 1.1 INTRODUCCIÓN .............................................................................................. - 4 1.2 CONCEPTOS BÁSICOS ................................................................................... - 4 1.3 POTENCIA EN CIRCUITOS MONOFÁSICOS DE C.A. .................................... - 5 1.4 TRIANGULO DE POTENCIA ............................................................................ - 8 1.5 FACTOR DE POTENCIA .................................................................................. - 9 1.6 DIAGRAMA UNIFILAR .................................................................................... - 10 1.6.1 Diagramas de impedancia y reactancia ................................................. - 12 1.7 SISTEMAS EN POR UNIDAD ......................................................................... - 13 1.7.1 Cambio de base ..................................................................................... - 15 1.8 FLUJOS DE POTENCIA. ................................................................................ - 19 1.8.1 Modelo de representación de un SEP ................................................... - 20 1.8.2 Presentación del problema de flujos de potencia .................................. - 23 -
CAPÍTULO 2.
MÉTODOS PARA EL CÁLCULO DE FLUJOS DE POTENCIA........................... - 26 2.1 INTRODUCCIÓN ............................................................................................ - 26 2.2 MÉTODO ITERATIVO DE GAUSS-SEIDEL ................................................... - 26 2.3 MÉTODO ITERATIVO DE NEWTON-RAPHSON. .......................................... - 34 -
v
CAPITULO 3.
PLANTEAMIENTO Y DESARROLLO DEL MÉTODO DE LA MATRIZ
DOMINANTE......................................................................................................... - 45 3.1 INTRODUCCIÓN ............................................................................................ - 45 3.2 FORMACIÓN DE LA MATRIZ DE ADMITANCIAS ......................................... - 45 3.2.1 Inspección de red................................................................................... - 46 3.3 ELABORACIÓN DEL MÉTODO DE LA MATRIZ DOMINANTE ...................... - 47 3.3.1 Nodo de voltaje controlado .................................................................... - 50 3.4 DESARROLLO DEL SOFTWARE ................................................................... - 52 -
CAPÍTULO 4.
RESULTADOS ...................................................................................................... - 53 4.1 PROBLEMAS RESUELTOS ........................................................................... - 53 CONCLUSIÓNES ................................................................................................. - 60 RECOMENDACIONES Y SUGERENCIAS ........................................................... - 62 ANEXO A. SINTAXIS DEL SOFTWARE QUE CALCULA FLUJOS DE POTENCIA
POR MEDIO DE LA MATRIZ DOMINANTE, BAJO EL ENTORNO DE VISUAL
FORTRAN 5.0
................................................................................................. - 63 ANEXO B. DATOS DE ENTRADA PARA LOS EJERCICIOS PROPUESTOS EN EL
CAPITULO 4.
................................................................................................. - 68 LISTA DE FIGURAS ............................................................................................. - 71 LISTA DE TABLAS................................................................................................ - 72 BIBLIOGRAFÍA
................................................................................................. - 73 -
vi
CALCULO DE FLUJOS DE POTENCIA APLICANDO EL CONCEPTO DE MATRIZ DOMINANTE
INTRODUCCIÓN
Un sistema eléctrico de potencia (SEP) tiene como propósito proporcionar la energía
necesaria para el desarrollo de un país; para fin de evaluar su desempeño en
confiabilidad, seguridad y economía, se requieren de estudios sobre planificación,
diseño y análisis de operación.
El estudio más frecuente de un sistema eléctrico, lo constituye el cálculo de las
condiciones de operación en régimen permanente. En estos cálculos interesa
determinar las tensiones en los distintos nodos de la red; flujos de potencia activa y
reactiva en todas las líneas; pérdida en los transformadores, etc.
Estudios de este tipo son de gran importancia tanto en sistemas ya existentes
(buscando resolver problemas de operación económica, regulación de tensión, etc.),
como en la planificación de nuevos sistemas (verificar el comportamiento de los
elementos en las distintas alternativas, compensación shunt, derivaciones de los
transformadores, etc.).
El flujo de potencia es la herramienta básica para estudiar un sistema de transporte o
de distribución de energía eléctrica, en tiempo real y en simulación, así como para
tomar medidas oportunas tanto desde el punto de vista de la explotación, como
desde el de la planificación.
Luis Daniel Hernández Ruiz
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CALCULO DE FLUJOS DE POTENCIA APLICANDO EL CONCEPTO DE MATRIZ DOMINANTE
PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
Un sistema eléctrico de potencia tiene como finalidad satisfacer la continua demanda
de energía eléctrica de la sociedad. Para ello se debe de contar con un sistema
eléctrico en óptimas condiciones, desde la generación hasta el consumo. El análisis
de flujos de potencia, es de suma importancia para el buen funcionamiento de los
sistemas de potencia, ya que con la ayuda de este se pueden hacer modificaciones
previas a la red, así como la el diseño de nuevos sistemas de potencia. Un estudio
de flujos de potencia proporciona el voltaje en cada nodo del sistema así como la
potencia real y reactiva que fluye a través del mismo.
OBJETIVO GENERAL
Conocer el comportamiento del voltaje, de la potencia real y reactiva en un sistema
eléctrico de potencia cuando hay cambios en su configuración.
OBJETIVOS ESPECIFICOS
Los objetivos específicos están encaminados a proporcionar de manera aproximada,
los resultados que se obtienes del análisis de flujos de potencia. La descripción de
estos objetivos queda de la siguiente forma:

Desarrollar un nuevo método iterativo para el cálculo de los voltajes de cada
nodo de un sistema eléctrico de potencia.

Desarrollar un programa de computadora a partir del nuevo método iterativo
planteado, con el fin de obtener resultados con una lógica de programación
más sencilla.
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CALCULO DE FLUJOS DE POTENCIA APLICANDO EL CONCEPTO DE MATRIZ DOMINANTE
JUSTIFICACIÓN
En la operación de sistema eléctricos, es necesario conocer la forma en la que se
comporta el flujo de la potencia real y reactiva en la red, esto nos lleva a que
mediante el desarrollo de herramientas computacionales, se puede conocer de
manera rápida el efecto que tendrán los cambios o la conexión y desconexión de
elementos en el sistema de potencia.
Esto permite desarrollar métodos más eficientes para el cálculo de los voltajes de
una red eléctrica. Métodos que engloben las características generales de un sistema
eléctrico de potencia y que los resultados (Los voltajes y flujos de potencia) sean
mas aproximados.
Con la ayuda de un programa de computadora se calculan los voltajes y flujos de
potencia de manera más simple.
ALCANCE
Este documento pretende explicar la solución al problema de flujos de potencia,
mediante los métodos iterativos de Gauss-Seildel y Newton-Rapshon, con la ayuda
de estos dos métodos se desarrolla un nuevo método iterativo capaz de calcular
voltajes en los nodos del sistema y a partir de estos encontrar el flujo de potencia en
la red eléctrica. En el programa de computadora se pueden realizar cálculos de flujos
de potencia para una red de hasta 50 nodos, para incluir más nodos para el estudio
debe modificarse la sintaxis del mismo.
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CALCULO DE FLUJOS DE POTENCIA APLICANDO EL CONCEPTO DE MATRIZ DOMINANTE
CAPITULO I.
IMPORTANCIA DEL ESTUDIO DE FLUJOS DE POTENCIA.
1.1 Introducción
El objetivo principal de un Sistema Eléctrico de Potencia (SEP) es satisfacer la
demanda de energía eléctrica de la población. Para este fin es necesario evaluar su
desempeño en confiabilidad, seguridad y economía, y para ello se requieren de
estudios sobre su planificación, diseño y análisis de operación.
Un sistema eléctrico de potencia consiste en elementos de generación, líneas de
transmisión, cargas, transformadores y compensadores estáticos de potencia
reactiva. El estudio más frecuente en un sistema eléctrico, lo constituye el cálculo de
las condiciones de operación en régimen permanente. En estos cálculos interesa
determinar las tensiones en los distintos nodos de la red; flujos de potencia activa y
reactiva en todas las líneas; pérdida en los transformadores, etc.
En este primer capítulo se darán a conocer conceptos importantes para la
comprensión y cálculo de los flujos de potencia en un sistema eléctrico, conceptos
como lo son: voltaje, intensidad de corriente, energía, potencia, diagramas unifilares,
sistemas en p.u. entre otros.
1.2 Conceptos básicos
Antes de comenzar los temas relacionados con potencia, es importante definir los
siguientes conceptos, ya que son importantes para la interpretación acerca del
cálculo de flujos de potencia.
Diferencia de potencial (v).
La diferencia de potencial o voltaje entre dos puntos de un campo eléctrico, por
definición es el trabajo para desplazar la unidad de carga eléctrica positiva dentro del
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CALCULO DE FLUJOS DE POTENCIA APLICANDO EL CONCEPTO DE MATRIZ DOMINANTE
campo. En el sistema MKS la unidad de diferencia de potencial es el volt (V) y
corresponde al trabajo de 1 Joule (J) al desplazar 1 Coulomb (C) de la carga de un
punto a otro. Es decir:
V = J/C
Corriente eléctrica (i).
Se refiere al desplazamiento de una o mas cargas eléctricas dentro de un conductor.
La unidad de corriente eléctrica es el ampere (A) y esta presente cuando la carga se
transfiere a la velocidad de 1 Coulomb (C) por segundo (s). Es decir:
A=C/s
Energía.
Es la capacidad que se tiene de realizar un trabajo; en el caso de la energía eléctrica,
cuando se conecta un dispositivo eléctrico con cierta resistencia a una fuente de
tensión, la energía eléctrica fluye por el conductor permitiendo encender
una
computadora o poder arrancar un motor. La energía utilizada en realizar ese trabajo
útil se mide en Joule y se representa con la letra “J”.
1.3 Potencia en circuitos monofásicos de C.A.
La potencia es la razón del cambio de la energía con respecto al tiempo en términos
del voltaje y corriente. Su unidad de medida es el watt. La potencia que absorbe una
carga en cualquier instante es el producto de la caída de voltaje a través de la carga
y de la corriente que entra a la carga.
La caída de voltaje presente en un circuito eléctrico no siempre tiene un mismo valor,
sino que éste varia con respecto a la razón del tiempo, siendo una tensión senoidal:
v = Vmax cosωt
Luis Daniel Hernández Ruiz
(1.1)
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CALCULO DE FLUJOS DE POTENCIA APLICANDO EL CONCEPTO DE MATRIZ DOMINANTE
Así mismo, la corriente que cambia de sentido a través del tiempo y repitiéndose de
forma periódica:
i = Imax cos ωt − ϴ
(1.2)
Por lo que la potencia en un sistema eléctrico es:
p = vi = Vmax Imax cosωt cosωt − ϴ
(1.3)
La potencia eléctrica entregada depende de la carga conectada al circuito y a la
relación de desfase que provoque la carga entre la tensión y la corriente. Si la carga
es puramente resistiva, se dice que entre el voltaje y la corriente no existe ángulo de
desfasamiento, o habitualmente llamado “están en fase”, en este caso la potencia
siempre es positiva o se mantiene con signo positivo ya que la corriente y la tensión
tienen el mismo signo a cada instante y su valor es el producto de los valores
eficaces de estos. Si la carga contiene en su mayoría elementos capacitivos se dice
que es una carga mayormente capacitiva, este fenómeno trae como consecuencia
que la intensidad de corriente adelanta 90 o /2 a la tensión. Ahora bien si la carga
contiene en su mayoría elementos inductivos, se dice que es la carga es
mayormente inductiva, en este caso la intensidad de corriente se retrasa 90 o /2 a
la tensión.
En la ecuación 1.3 el ángulo ϴ, es positivo cuando la corriente está atrasada con
relación al voltaje (carga mayormente inductiva) y negativo cuando la corriente está
adelantada con respecto al voltaje (carga mayormente capacitiva). Así mismo un
valor positivo de “p” indica que la corriente fluye en la dirección de la caída de voltaje,
lo que expresa la razón de transferencia de energía a la carga, de otro modo la
potencia es negativa cuando la corriente fluye en la dirección de elevación de voltaje
y representa la energía que es transferida desde la carga al sistema en el que se
encuentra conectada.
Haciendo un análisis adecuado sobre la ecuación 1.3 en relación con términos
senoidales, y aplicando identidades trigonométricas, se obtiene:
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CALCULO DE FLUJOS DE POTENCIA APLICANDO EL CONCEPTO DE MATRIZ DOMINANTE
p=
V max I max
2
cosϴ 1 + cos2ωt +
V max I max
2
senϴsen2ωt
El primer término de la ecuación 1.4, tiene el elemento
valor medio es cero y de un elemento
V max I max
2
V max I max
2
(1.4)
cosϴ cos2ωt cuyo
cosϴ que se mantiene constante. Es
decir:
1
P=T
P=
T
p
0
t dt
Vmax Imax
2
cosϴ
(1.5)
(1.6)
O interpretado de acuerdo al valor eficaz de corriente y voltaje:
P = V I cos ϴ
(1.7)
P es la potencia media o también conocida como potencia activa (media o real),
medida en watts. Es la potencia utilizable por el circuito, es decir, la que produce un
trabajo efectivo, dicho en otras palabras es la energía eléctrica que consumen los
aparatos eléctricos que suministran energía en forma de luz, calor, sonido,
movimiento, etc.
De la ecuación 1.7 el cosϴ se conoce como factor de potencia (f.p.), el ángulo ϴ se
forma de V e I y esta comprendido entre +/- 90. Para indicar su signo depende del
tipo de circuito; esto es si es inductivo, la intensidad de corriente esta retrasada
respecto a la tensión y se dice que tiene un factor de potencia en retraso, por el
contrario si el circuito es capacitivo la corriente esta adelantada respecto a la tensión
y se tiene un factor de potencia en adelanto.
El segundo término de la ecuación 1.4, contiene una expresión senϴ, es
alternadamente positivo-negativo y tiene un valor promedio de 0. Esta potencia es la
potencia instantánea reactiva y expresa el flujo de energía desde la carga y hacia la
carga alternadamente. Es expresada por la ecuación:
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CALCULO DE FLUJOS DE POTENCIA APLICANDO EL CONCEPTO DE MATRIZ DOMINANTE
Q=
Vmax Imax
2
senϴ
(1.8)
O interpretado de acuerdo al valor eficaz de corriente y voltaje:
Q = V I sen ϴ
(1.9)
La potencia reactiva tiene como unidad de medida los volts-amperes reactivos
(VAR). Esta potencia por si misma no produce ningún trabajo, solo genera el campo
magnético necesario para el funcionamiento de los motores, transformadores y
equipos similares, por lo tanto esta energía no es registrada por los medidores de
CFE. Si el ángulo de fase es mayor a cero, la carga en este caso RL (resistenciabobina) absorbe VARs, de lo contrario se el ángulo de fase es menor a cero, la carga
RL genera VARs.
1.4 Triangulo de potencia
Si se representa al voltaje y la corriente como vectores en un plano cartesiano como
se muestra en la figura 1.1a y después se representa a la corriente con sus
componentes activa y reactiva como en la figura 1.1b:
Figura 1.1 Representación del voltaje y la corriente
Se obtiene:
Potencia activa (P): Voltaje x componente activa de la corriente = VIcosϴ
Potencia reactiva (Q): Voltaje x componente reactiva de la corriente = VIsen ϴ
Potencia aparente (P): Voltaje x Corriente = VI
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CALCULO DE FLUJOS DE POTENCIA APLICANDO EL CONCEPTO DE MATRIZ DOMINANTE
Por lo que dentro del triangulo se representan estos tres tipos de potencia eléctrica.
Figura 1.2 Triángulo de potencias
Recordemos, potencia activa es la energía aprovechada en un sistema eléctrico y es
medida en watts (W), la potencia reactiva no es consumida por la carga sino que está
circulando continuamente entre la carga y el generador, provoca pérdidas al hacer
circular más corriente de la necesaria por los conductores, su unidad de medida son
los volts amperes reactivos (VARs), la potencia total o aparente es la suma
geométrica de las potencias activa y reactiva, o bien, el producto de la corriente y el
voltaje; su símbolo es S y sus unidades se expresan en volts-amperes (VA).
El triangulo de potencia nos muestra el método grafico para obtener P, Q, y S de una
carga. Recordando el teorema de Pitágoras:
𝑆=
𝑃2 𝑄 2
(1.10)
Así como también el ángulo de fase de la misma, con la función coseno de este
ángulo se obtiene el factor de potencia.
cos 𝛳 =
𝑉𝐼 𝐶𝑜𝑠𝜃
𝑉𝐼
=
𝑃
(1.11)
𝑆
1.5 Factor de potencia
Indica la parte de la potencia suministrada (aparente) se consume en la carga
(activa), de la ecuación 1.11, ϴ es el ángulo de desfasamiento que existe entre el
voltaje y la intensidad de corriente. Como es una función coseno, el f.p. tiene como
resultado un valor adimensional y comprende entre 0 y
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+
−1,
entre mas cercano se
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CALCULO DE FLUJOS DE POTENCIA APLICANDO EL CONCEPTO DE MATRIZ DOMINANTE
encuentre el valor del f.p. a 1 es mejor el aprovechamiento de energía, siendo 1 el
valor ideal del f.p. Entre más bajo sea el valor del f.p. se afecta a la red eléctrica
(tanto en alta tensión y baja tensión), provocando pérdidas por efecto Joule,
sobrecarga de los generadores, transformadores y líneas de transmisión, aumento
de la caída de tensión, trayendo como consecuencia penalizaciones por parte de
CFE.
Si el signo del f.p. es positivo (se encuentra en atraso), se trata de un circuito
mayormente inductivo, de lo contrario si el f.p. es negativo (se encuentra
adelantado), se trata de un circuito mayormente capacitivo. Las cargas inductivas
como motores, balastros, transformadores, etc., son el origen del bajo factor de
potencia ya que son cargas no lineales que contaminan la red eléctrica, en este tipo
de equipos el consumo de corriente se desfasa con relación al voltaje lo que provoca
un bajo factor de potencia.
1.6 Diagrama unifilar
El diagrama unifilar es la representación abstracta del sistema eléctrico de potencia
(SEP), en el cual indica por medio de líneas sencillas y símbolos simplificados, la
interconexión y partes componentes de un circuito o un sistema eléctrico, para así
poder programar mantenimiento a diferentes zonas y con ello disminuir riesgos de
incendio por fallas eléctricas, etc.
Dentro del diagrama unifilar se representan básicamente las líneas de transmisión,
transformadores y las cargas que intervienen en el SEP, obteniendo un circuito
equivalente, recordemos que resulta más sencillo estudiar un sistema eléctrico en su
forma monofásica que en su forma trifásica, ya que lo que ocurre en la forma
monofásica ocurre en forma trifásica solo que desfasadas 240 ó 120 según se trate
de la fase b o c, tomando como referencia para el análisis la fase a, por lo que un
diagrama unifilar para cálculos de flujo de potencia se recomienda sea monofásico
(una fase con su respectivo neutro de retorno).
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CALCULO DE FLUJOS DE POTENCIA APLICANDO EL CONCEPTO DE MATRIZ DOMINANTE
El objeto de un diagrama unifilar es suministrar de manera más concisa los datos
más significativos e importantes de un sistema y depende de la persona que
desarrolla el diagrama, el tipo y cantidad de información que desea proporcionar al
usuario, por lo que para el estudio de flujo de potencia se omiten elementos que no
tienen importancia como lo son interruptores y relés.
Figura 1.3 Símbolos de elementos generales de sistemas de potencia, norma ANSI e IEC
La figura 1.4 representa un sistema eléctrico de potencia, el cual contiene dos
generadores conectados entre sí mediante una línea de transmisión, estos
generadores suministran energía a una carga de 10 MVA.
T1
100 MVA
22:110 KV
X=10%
G1
100 MVA
22 KV
X=90%
LT1
50 MVA
120 KV
Z=j.8403 p.u.
LT2
X= 60.5 Ω
LT3
X= 60.5 Ω
T2
100 MVA
120:24 KV
X=12.6%
G2
80 MVA
22 KV
X=1.48 p.u.
Carga
10 MVA
110 KV
F. p. = 1
Figura 1.4 Diagrama unifilar de un sistema de potencia
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CALCULO DE FLUJOS DE POTENCIA APLICANDO EL CONCEPTO DE MATRIZ DOMINANTE
1.6.1 Diagramas de impedancia y reactancia
Dentro del estudio de sistema de potencia, del diagrama unifilar se desprende el
diagrama de impedancias y reactancias, en el cual se representan los elementos
eléctricos por medio de su impedancia, el cual nos muestra el comportamiento del
sistema en condiciones de carga o cuando se presenta un corto circuito.
Además el diagrama de impedancias nos permite una mejor visión del SEP,
permitiéndonos el cálculo de las variables eléctricas comunes (tensión, corriente,
potencia) en unidades reales a partir del planteamiento de simples ecuaciones
circuitáles.
Líneas de
transmisión
1, 2, 3
+
-
Generador 2
Transformador 2
Carga
Generador 1
Transformador 1
+
-
Figura 1.5 Diagrama de impedancias correspondientes al diagrama unifilar de la figura 1.4
La figura 1.5 muestra un ejemplo del diagrama de reactancias que corresponde al
diagrama unifilar de la figura 1.4, cada elemento está conformado por una resistencia
y una reactancia inductiva en serie (impedancia). El diagrama de impedancias no
muestra las impedancias limitadoras de corriente, representadas en el diagrama
unifilar entre los neutros de los generadores y tierra, porque en condiciones de
equilibrio, no circulan corrientes por la tierra y los neutros de los generadores están al
mismo potencial que el neutro del sistema.
Por lo general, algunas simplificaciones pueden ser llevadas a cabo dentro del
diagrama de inductancias, a manera de reducir los cálculos:

Se desprecia la parte resistiva de la impedancia, de los generadores,
transformadores y las cargas, debido a que es más pequeña comparada con
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CALCULO DE FLUJOS DE POTENCIA APLICANDO EL CONCEPTO DE MATRIZ DOMINANTE
la reactancia inductiva de estos (solo se puede hacer esta simplificación a
sistemas de media y alta tensión pero para sistemas menores a 600 V si se
deben de tomar en cuenta)

Se desprecian todas las cargas estáticas, es decir, que no son contribuyentes
al sistema, de lo contrario cuando se presenten en la carga motores síncronos
deben incluirse para realizar cálculos de fallos.

En el caso de las líneas de transmisión se pueden despreciar la resistencia de
línea y las capacidades asociadas.
Al diagrama resultante una vez aplicadas estas simplificaciones sobre el diagrama de
inductancias, se le denomina diagrama de reactancias. Estas simplificaciones se
aplican únicamente al cálculo de fallas y no a los estudios de flujos de carga.
J2
J 0.1
J 0.150
J 0.9
J 1.85
J 0.5
J 0.5
J 10
Figura 1.6 Diagrama de reactancias resultante del diagrama de impedancias de la figura 1.5.
Se muestran las unidades en cantidades por unidad (p. u.)
1.7 Sistemas en por unidad
Debido a las grandes cantidades de energía que se manejan en los sistemas de
potencia, se emplea el método de sistema por unidad (p. u.). En el cual se
transforman las grandes magnitudes eléctricas a valores relativamente bajos, para
posteriormente realizar los cálculos correspondientes. Los valores de la tensión, la
intensidad de corriente y la impedancia de un circuito son los que comúnmente se
expresan en valores de p. u.
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CALCULO DE FLUJOS DE POTENCIA APLICANDO EL CONCEPTO DE MATRIZ DOMINANTE
El valor en p.u. de una magnitud cualquiera se define como la razón de su valor real
a un valor particular denominado base, quedando expresado el valor por unidad
como un decimal adimensional.
𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑒𝑛 𝑝. 𝑢. =
𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑟𝑒𝑎𝑙
𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑏𝑎𝑠𝑒
=
𝐸𝑠𝑝𝑒𝑐𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠
(1.12)
𝐸𝑠𝑝𝑒𝑐𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑓𝑎𝑏𝑟𝑖𝑐𝑎𝑛𝑡𝑒
Ventajas del los sistemas en p. u.

Evita el reconocer el tipo de conexión en los transformadores (‫ ץ‬o Δ).

Evita el trabajo con cantidades muy grandes.

No hace referencia del valor primario o secundario del transformador.

Reduce el empleo de 3 en los sistemas trifásicos.
Normalmente se toman como valores base, los valores nominales de los
transformadores y transformadores, pero cuando estos valores son diferentes, se
toman en cuenta los valores nominales de voltaje y potencia aparente que más se
repitan.
En sistemas monofásicos o en sistemas trifásicos en los que el término “corriente” se
refiere a la corriente de línea, el término “tensión” se refiere a la tensión con respecto
al neutro y los
volts-ampere son los volts-ampere por fase, relacionándose las
diversas magnitudes se determinan las siguientes formulas base:
En los sistemas en p.u., la potencia real, reactiva y aparente se trataran como una
sola potencia, así como también la reactancia, impedancia y la resistencia:
Y
𝑃𝑏𝑎𝑠𝑒
1ø
= 𝑄𝑏𝑎𝑠𝑒
1ø
= 𝑆𝑏𝑎𝑠𝑒
𝑋𝑏𝑎𝑠𝑒 = 𝑍𝑏𝑎𝑠𝑒 = 𝑅𝑏𝑎𝑠𝑒
1ø
(1.13)
(1.14)
Con lo anterior, en forma monofásica:
𝑉𝑝.𝑢. =
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𝑉𝑜𝑙𝑡𝑎𝑗𝑒 𝑟𝑒𝑎𝑙
𝑉𝑜𝑙𝑡𝑎𝑗𝑒 𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙
(1.15)
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CALCULO DE FLUJOS DE POTENCIA APLICANDO EL CONCEPTO DE MATRIZ DOMINANTE
𝐶𝑜𝑟𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑏𝑎𝑠𝑒 =
𝐼𝑚𝑝𝑒𝑑𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 =
𝑉𝐴 1ø 𝑏𝑎𝑠𝑒
𝑉𝐿𝑁 𝑏𝑎𝑠𝑒
𝑉𝐿𝑁 𝑏𝑎𝑠𝑒
𝐼 𝑏𝑎𝑠𝑒
𝑆
= 𝑉𝑏
(1.16)
𝑏
𝑉𝑏2
ó
𝑆𝑏
(1.17)
De donde: LN indica línea monofásica o “línea a tierra”
Valores base dentro de un transformador tomando como referencia el lado
secundario.
𝑉𝑏
= 𝑉𝑏
𝑝𝑟𝑖𝑚𝑎𝑟𝑖𝑜
𝑍𝑏
𝑉𝑝𝑟𝑖𝑚𝑎𝑟𝑖𝑜
𝑠𝑒𝑐𝑢𝑛𝑑𝑎𝑟𝑖𝑜
𝑝𝑟𝑖𝑚𝑎𝑟𝑖𝑜
[𝑉𝑏 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑎𝑟𝑖𝑜
𝑆𝑏
=
𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙
𝑉𝑠𝑒𝑐𝑢𝑛𝑑𝑎𝑟𝑖𝑜
𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙
]2
(1.18)
(1.19)
Tomando como referencia el lado primario:
𝑉𝑏
𝑠𝑒𝑐𝑢𝑛𝑑𝑎𝑟𝑖𝑜
𝑍𝑏
= 𝑉𝑏
𝑝𝑟𝑖𝑚𝑎𝑟𝑖𝑜
𝑠𝑒𝑐𝑢𝑛𝑑𝑎𝑟𝑖𝑜
=
𝑉𝑠𝑒𝑐𝑢𝑛𝑑𝑎𝑟𝑖𝑜
𝑉𝑝𝑟𝑖𝑚𝑎𝑟𝑖𝑜
[𝑉𝑏 𝑠𝑒𝑐𝑢𝑛𝑑𝑎𝑟𝑖𝑜
𝑆𝑏
𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙
𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙
]2
(1.20)
(1.21)
Impedancia de una línea de transmisión
𝑍𝑏 =
(𝑉𝑏 )2
𝑆𝑏
(1.22)
En un sistema monofásico el voltaje que se requiere para la solución por el método
de p. u. es el voltaje a neutro, mientras que un sistema trifásico el voltaje que se
toma como base es el voltaje existente entre línea a línea. Recordemos que en un
sistema trifásico el voltaje de línea a línea (VLL) es la 3 multiplicado por el voltaje de
fase (Vø).
1.7.1 Cambio de base
Los valores por unidad de los equipos eléctricos, están especificados en relación con
sus datos de placa, los cuales difieren en la mayoría de los casos con los valores
reales que conforman el sistema eléctrico, trayendo como consecuencia más de una
Luis Daniel Hernández Ruiz
Página - 15 -
CALCULO DE FLUJOS DE POTENCIA APLICANDO EL CONCEPTO DE MATRIZ DOMINANTE
impedancia por unidad para el análisis de flujo de potencia, es por ello que las
impedancias base deben expresarse sobre una misma base en común. Se toma en
cuenta un valor nominal de voltaje y potencia (datos de placa), el valor de real de
voltaje y potencia (valores reales) y el valor nominal de la impedancia (dato de
placa).
Por lo que la nueva impedancia en p. u. es:
𝑍𝑝.𝑢.2 = 𝑍𝑝.𝑢.1
𝑉 𝑏𝑎𝑠𝑒 1 2 𝑆 𝑏𝑎𝑠𝑒 2
𝑉 𝑏𝑎𝑠𝑒 2
(1.23)
𝑆 𝑏𝑎𝑠𝑒 1
Donde: 1 es el valor nominal y 2 es el valor real
Dentro de una línea de transmisión hay varias formas de indicar su impedancia, ya
sea cuando dentro del circuito se maneje el valor de la reactancia en ohm, en forma
de porcentaje.
𝑍𝑝.𝑢.1
𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑒𝑛 %
𝑍𝑝.𝑢.2 =
(1.24)
100
𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑒𝑛 𝛺
(1.25)
𝑉 𝑏2 2
𝑆 𝑏2
Ejercicio 1.1
Sea un sistema eléctrico de potencia mostrado en la figura 1.7, en donde se tienen
dos generadores que alimentan una carga. Calcule las impedancias en p. u. Tome en
cuenta los valores base de V=110 KV y S=100 MVA presentes en la transmisión
(incluyendo la carga).
T1
100 MVA
22:110 KV
X=10%
G1
100 MVA
22 KV
X=90%
LT1
50 MVA
120 KV
Z=j.8403 p.u.
LT2
X= 60.5 Ω
LT3
X= 60.5 Ω
T2
100 MVA
120:24 KV
X=12.6%
G2
80 MVA
22 KV
X=1.48 p.u.
Carga
10 MVA
110 KV
F. p. = 1
Figura 1.7 Diagrama unifilar de un sistema eléctrico de potencia de 5 nodos
Luis Daniel Hernández Ruiz
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CALCULO DE FLUJOS DE POTENCIA APLICANDO EL CONCEPTO DE MATRIZ DOMINANTE
El problema nos indica que tomemos como valores base a V=110 KV y S=100 MVA,
que serian nuestros valores reales y son tomados como Vb2 y Sb2 respectivamente.
𝑉𝑏2 = 110 𝐾𝑉
𝑦
𝑆𝑏2 = 100 𝑀𝑉𝐴
Se calculan los valores base para todos los elementos que conforman el sistema
eléctrico de potencia.
Generadores
Para este caso se toma como referencia el lado secundario ya que es el lado de baja
(salida del generador) es el que se va a calcular, de la ecuación 1.18 tenemos:
𝑉𝑏
𝑝𝑟𝑖𝑚𝑎𝑟𝑖𝑜
= 𝑉𝑏
𝑠𝑒𝑐𝑢𝑛𝑑𝑎𝑟𝑖𝑜
𝑉𝑝𝑟𝑖𝑚𝑎𝑟𝑖𝑜
𝑉𝑠𝑒𝑐𝑢𝑛𝑑𝑎𝑟𝑖𝑜
𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙
𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙
= 110 𝐾𝑉
22𝐾𝑉
100 𝐾𝑉
𝑉𝑏1 = 22𝑘𝑉
De la misma forma se realizan los cálculos para el generador 2.
𝑉𝑏
𝑝𝑟𝑖𝑚𝑎𝑟𝑖𝑜
= 𝑉𝑏
𝑠𝑒𝑐𝑢𝑛𝑑𝑎𝑟𝑖𝑜
𝑉𝑝𝑟𝑖𝑚𝑎𝑟𝑖𝑜
𝑉𝑠𝑒𝑐𝑢𝑛𝑑𝑎𝑟𝑖𝑜
𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙
𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙
= 110 𝐾𝑉
24𝐾𝑉
120 𝐾𝑉
𝑉𝑏1 = 22𝑘𝑉
Teniendo los valores base de los generadores y las líneas de transmisión, es obvio
que no es necesario realizar los cálculos para los transformadores.
Una vez obtenidos los valores base del sistema eléctrico, se calculan los valores en
p.u. de cada elemento del sistema.
Generador 1
𝑍𝑝.𝑢.1 =
𝑍𝑝.𝑢.2 = 𝑍𝑝.𝑢.1
𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑒𝑛 %
90
=
= 𝑗 0.9 𝑝. 𝑢.
100
100
𝑉 𝑏𝑎𝑠𝑒 1
𝑉 𝑏𝑎𝑠𝑒 2
2
𝑆 𝑏𝑎𝑠𝑒 2
22𝑘𝑉
= 𝑗 0.9 𝑝. 𝑢.
𝑆 𝑏𝑎𝑠𝑒 1
22𝑘𝑉
2
100𝑀𝑉𝐴
100 𝑀𝑉𝐴
𝒁𝒑.𝒖.𝟐 = 𝒋 𝟎. 𝟗 𝒑. 𝒖.
Luis Daniel Hernández Ruiz
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CALCULO DE FLUJOS DE POTENCIA APLICANDO EL CONCEPTO DE MATRIZ DOMINANTE
Generador 2
𝑍𝑝.𝑢.2 = 𝑍𝑝.𝑢.1
2
𝑉 𝑏𝑎𝑠𝑒 1
𝑉 𝑏𝑎𝑠𝑒 2
2
𝑆 𝑏𝑎𝑠𝑒 2
22𝑘𝑉
= 𝑗 1.48 𝑝. 𝑢.
𝑆 𝑏𝑎𝑠𝑒 1
22𝑘𝑉
100𝑀𝑉𝐴
80 𝑀𝑉𝐴
𝒁𝒑.𝒖.𝟐 = 𝒋 𝟏. 𝟖𝟓 𝒑. 𝒖.
Para los transformadores se puede calcular el valor en p.u. de dos formas: por el
lado de baja (primario) y el lado de alta (secundario).
Transformador 1
Lado de baja
𝑍𝑝.𝑢.1 =
𝑍𝑝.𝑢.2 = 𝑍𝑝.𝑢.1
𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑒𝑛 %
10
=
= 𝑗 0.1 𝑝. 𝑢.
100
100
2
𝑉 𝑏𝑎𝑠𝑒 1
𝑉 𝑏𝑎𝑠𝑒 2
𝑆 𝑏𝑎𝑠𝑒 2
22𝑘𝑉
= 𝑗 0.1 𝑝. 𝑢.
𝑆 𝑏𝑎𝑠𝑒 1
22𝑘𝑉
2
100𝑀𝑉𝐴
100 𝑀𝑉𝐴
𝒁𝒑.𝒖.𝟐 = 𝒋 𝟎. 𝟏 𝒑. 𝒖.
Lado de alta
𝑍𝑝.𝑢.2 = 𝑍𝑝.𝑢.1
2
𝑉 𝑏𝑎𝑠𝑒 1
𝑉 𝑏𝑎𝑠𝑒 2
𝑆 𝑏𝑎𝑠𝑒 2
110𝑘𝑉
= 𝑗 0.1 𝑝. 𝑢.
𝑆 𝑏𝑎𝑠𝑒 1
110𝑘𝑉
2
100𝑀𝑉𝐴
100 𝑀𝑉𝐴
𝒁𝒑.𝒖.𝟐 = 𝒋 𝟎. 𝟏 𝒑. 𝒖.
Transformador 2
Lado de baja
𝑍𝑝.𝑢.1 =
𝑍𝑝.𝑢.2 = 𝑍𝑝.𝑢.1
𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑒𝑛 % 12.6
=
= 𝑗 0.126 𝑝. 𝑢.
100
100
𝑉 𝑏𝑎𝑠𝑒 1
𝑉 𝑏𝑎𝑠𝑒 2
2
𝑆 𝑏𝑎𝑠𝑒 2
24𝑘𝑉
= 𝑗 0.126 𝑝. 𝑢.
𝑆 𝑏𝑎𝑠𝑒 1
22𝑘𝑉
2
100𝑀𝑉𝐴
100 𝑀𝑉𝐴
𝒁𝒑.𝒖.𝟐 = 𝒋 𝟎. 𝟏𝟓𝟎 𝒑. 𝒖.
Lado de alta
𝑍𝑝.𝑢.2 = 𝑍𝑝.𝑢.1
𝑉 𝑏𝑎𝑠𝑒 1
𝑉 𝑏𝑎𝑠𝑒 2
2
𝑆 𝑏𝑎𝑠𝑒 2
120𝑘𝑉
= 𝑗 0.126 𝑝. 𝑢.
𝑆 𝑏𝑎𝑠𝑒 1
110𝑘𝑉
2
100𝑀𝑉𝐴
100 𝑀𝑉𝐴
𝒁𝒑.𝒖.𝟐 = 𝒋 𝟎. 𝟏𝟓𝟎 𝒑. 𝒖.
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CALCULO DE FLUJOS DE POTENCIA APLICANDO EL CONCEPTO DE MATRIZ DOMINANTE
Línea de transmisión 1
𝑍𝑝.𝑢.1 = 𝑗 0.8403 𝑝. 𝑢.
𝑍𝑝.𝑢.2 = 𝑍𝑝.𝑢.1
𝑉 𝑏𝑎𝑠𝑒 1
𝑉 𝑏𝑎𝑠𝑒 2
2
𝑆 𝑏𝑎𝑠𝑒 2
120𝑘𝑉
= 𝑗 0.8403 𝑝. 𝑢.
𝑆 𝑏𝑎𝑠𝑒 1
110𝑘𝑉
2
100𝑀𝑉𝐴
50 𝑀𝑉𝐴
𝒁𝒑.𝒖.𝟐 = 𝒋 𝟐 𝒑. 𝒖.
Línea de transmisión 2 y 3
𝑍𝑝.𝑢.2 =
𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑒𝑛 𝛺
𝑉𝑏2 2
𝑆𝑏2
=
60.5
110𝐾𝑉 2
100 𝑀𝑉𝐴
𝒁𝒑.𝒖.𝟐 = 𝒋 𝟎. 𝟓 𝒑. 𝒖.
Impedancia de la carga
Como solo nos dan los valores del voltaje y potencia nominales, solo se realiza el
siguiente cálculo:
𝑍𝑝.𝑢 =
𝑍𝑝.𝑢.2
𝑉 𝑏𝑎𝑠𝑒 1
=
𝑉 𝑏𝑎𝑠𝑒 2
2
𝑍𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎
ó
𝑍 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎
𝑆 𝑏𝑎𝑠𝑒 2
110𝑘𝑉
=
𝑆 𝑏𝑎𝑠𝑒 1
110𝑘𝑉
2
100𝑀𝑉𝐴
10 𝑀𝑉𝐴
𝒁𝒑.𝒖.𝟐 = 𝒋 𝟏𝟎 𝒑. 𝒖.
1.8 Flujos de potencia.
El estudio de flujos de potencia es un concepto muy importante dentro del área
eléctrica, ya que a través de ello, se realiza el planeamiento y diseño de nuevas
redes eléctricas, así como la determinación del funcionamiento y modificación de las
ya existentes.
A las interconexiones de estos elementos son llamadas nodos, en algunos de estos
nodos, la potencia es inyectada en la red (mediante generadores, motores
síncronos), mientras que en otros es extraída (carga). Debe existir en forma continua
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CALCULO DE FLUJOS DE POTENCIA APLICANDO EL CONCEPTO DE MATRIZ DOMINANTE
un equilibrio entre la generación y el consumo, obteniendo así una operación estable.
Básicamente, el estudio de flujos de potencia se puede definir como el cálculo de los
voltajes en cada nodo, para posteriormente calcular los flujos de potencia a través de
cada elemento de la red eléctrica, para los valores conocidos de generación y cargas
en los nodos, en un instante de tiempo especifico, sin embargo, mucha información
adicional e importante se puede obtener por medio de ecuaciones relacionadas con
estos conceptos.
El cálculo de flujos de potencia, no se resuelve como un sistema eléctrico
convencional (por un método de nodos o mallas) para calcular tensiones y corriente,
debido a ciertas características de los sistemas de potencia:

Las cargas son conocidas como potencias complejas y no como impedancias
como normalmente están representadas.

Los generadores no se representan con fuentes de tensión, sino se comportan
como fuentes de potencia.
1.8.1 Modelo de representación de un SEP
Un sistema eléctrico de potencia está representado básicamente por 4 elementos:
barras (Bus), transformadores, líneas de transmisión, generadores. Resulta más
sencillo manejar estos elementos en su forma estable, por lo que a continuación se
presenta un breve resumen de esta condición a estos elementos.
Tipos de bus
Según las variables conocidas y desconocidas en el bus de un SEP, se pueden
clasificar en los siguientes grupos:
a) Bus de carga: en este grupo la potencia real (P) y reactiva (Q) son conocidas
por lo que el módulo y el ángulo del voltaje deben calcularse. Son nodos que
no poseen generadores y por lo tanto incapaces de generar potencia real, en
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CALCULO DE FLUJOS DE POTENCIA APLICANDO EL CONCEPTO DE MATRIZ DOMINANTE
algunos casos generan potencia reactiva, por la intervención de banco de
capacitores o motores síncronos.
b) Bus de voltaje controlado: cualquier nodo que se mantenga constante y donde
se conoce la potencia real (P) y el módulo del voltaje, estos son
proporcionados por el generador, en este caso deben calcularse el ángulo del
voltaje y la potencia reactiva (Q). En este tipo de bus, debe existir una fuente
controlable de potencia reactiva.
c) Bus de referencia (de compensación, slack): se conoce el módulo y el ángulo
de voltaje,
es por conveniencia el nodo 1, el ángulo del voltaje es de
referencia a todos los demás fasores de la red, en este caso la potencia real y
reactiva, deben calcularse. Esta barra debe suministrar la diferencia entre la
potencia compleja proporcionada al sistema en el resto de las demás barras y
la carga total mas las perdidas, por lo que debe contar con al menos un
generador.
Líneas de transmisión
Se representan usualmente por su circuito  nominal. En algunos casos basta
representar la línea por su impedancia serie. El flujo de potencia en
una línea de
transmisión está en función de las magnitudes de los voltajes
los
externos, de la diferencia de los ángulos de fase de los
en
nodos
voltajes en los nodos y
de su reactancia de línea.
Zpq (Ypq)
Spq
Spq
P
q
Ipq
Ipq
Vp
Ypq /2
Ypq /2
Vq
Figura 1.8 Representación de una línea de transmisión por su forma  nominal.
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CALCULO DE FLUJOS DE POTENCIA APLICANDO EL CONCEPTO DE MATRIZ DOMINANTE
Transformadores
Cuando funcionan con su razón nominal, se desprecia la impedancia de
magnetización y el transformador se representan con su impedancia de corto circuito,
la cual se da en los datos de placa. Cuando operan con cambio de TAP y su razón
no nominal, se pueden representar por su circuito equivalente .
R
X
Vp
B
Vp
Vs
Figura 1.9Transformador con
TAP nominal
A
Vs
C
Figura 1.10 Transformador con TAP
fuera de la posición nominal.
Donde:
Y= Es la admitancia serie del transformador
𝐴=
𝑌
1
𝛼
𝛼
1
−𝛽
𝐵=
𝑌
𝛼𝛽
𝐶=
𝑌
1
𝛽
𝛽
1
−𝛼
Con 𝛼 = 1 + t1, 𝛽 = 1 + t2, donde t1 y t2 representan el cambio de TAP, en el lado
respectivo.
Generadores
Se consideran normalmente como fuentes de potencia activa y reactiva
Cargas
Se debe definir una carga en particular, ya que comúnmente las cargas se
encuentran dispersas a través de los sistemas de distribución. En la
solución de problemas de flujos de potencia, las cargas se manipulan en
estado estacionario.

Potencia constante: En este modelo, P y Q son variables constantes, por lo
que son independientes del voltaje. Este es el modelo de carga que
Luis Daniel Hernández Ruiz
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CALCULO DE FLUJOS DE POTENCIA APLICANDO EL CONCEPTO DE MATRIZ DOMINANTE
generalmente se utiliza en los sistemas de potencia. Son definidos por el
usuario y se obtienen mediante mediciones dentro de las subestaciones.

Corriente constante: implica que la demanda de la carga, cambia linealmente
con el voltaje y es un modelo adecuado para representar la demanda de la
potencia reactiva de un conjunto de motores y equipos resistivos. Es un
modelo generalmente usado en estudios armónicos.

Impedancia constante: representa por lo general las cargas en forma de
iluminación, es común en estudios de estabilidad transitoria. Es un modelo de
utilidad en cargas agregadas en redes de distribución de medio y bajo voltaje.
1.8.2 Presentación del problema de flujos de potencia
Los resultados que obtenemos del estudio de flujos de potencia, (calculo de voltajes
en nodos, para posteriormente calcular cuanta potencia circula por cada elemento
del SEP) nos sirve para:

Estudiar el comportamiento del sistema eléctrico en condiciones normales o
cuando se presenta una falla, para así elaborar un plan de contingencia para
prevenir y en su caso como reaccionar ante estas anomalías.

Para determinar las características de los alimentadores.

Evaluar las alternativas que llegaran a existir para la planificación de nuevos
sistemas o de la ampliación de los ya existentes.

Ayudan a determinar los valores nominales óptimos y el margen de regulación
en los generadores.
La solución del problema puede o no estar sujeta a restricciones de red, tales como
límites de generación de potencia activa y reactiva, magnitud de voltajes complejos
nodales, así como flujos en elementos, entre otras.
Luis Daniel Hernández Ruiz
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CALCULO DE FLUJOS DE POTENCIA APLICANDO EL CONCEPTO DE MATRIZ DOMINANTE
En cada nodo se especifican dos de las cuatro variables (potencia real, reactiva,
modulo de tensión y ángulo de la tensión), determinando las otras dos que
intervienen en el estudio de flujos de potencia. La potencia que suministra cada nodo
se separa en términos de potencia generada y potencia consumida:
𝑃 = 𝑃𝐺 + 𝑃𝐷
(1.26)
𝑄 = 𝑄𝐺 + 𝑄𝐷
(1.27)
Donde: G = Generada y D = Demanda
Como ya se ha escrito anteriormente, todos los elementos importantes que
componen el SEP (Generadores, líneas de transmisión, transformadores y cargas),
tienen datos importantes que nos ayudaran a dar solución al problema de los flujos
de potencia. Las líneas de transmisión tienen como datos iniciales la impedancia en
serie (Z) y la admitancia en paralelo (Y) del circuito equivalente, para un
transformador, los datos iniciales son la impedancia (Z) en p.u. de cada devanado.
Con estos datos iniciales se pueden escribir las ecuaciones del sistema eléctrico de
potencia, utilizando la matriz de admitancias:
𝐼 = 𝑌𝑏𝑢𝑠 𝑉
(1.28)
Considerando un nodo del sistema, la corriente que entra al sistema esta expresada
mediante:
𝐼=
𝑛
𝑗 𝑌𝑖𝑗
𝑉𝑗
(1.29)
Expresados en términos de potencia:
𝑆 = 𝑃 + 𝑗𝑄 = 𝑉𝐼
𝑃 + 𝑗𝑄 = 𝑉 𝑛𝑗 𝑌𝑖𝑗 𝑉𝑗
(1.30)
Considerando la parte real e imaginaria de la expresión anterior:
𝑃 = 𝑟𝑒𝑎𝑙 𝑉
𝑛
𝑗 𝑌𝑖𝑗
𝑄 = 𝑖𝑚𝑎𝑔𝑖𝑛𝑎𝑟𝑖𝑎 𝑉
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𝑉𝑗
𝑛
𝑗 𝑌𝑖𝑗
(1.31)
𝑉𝑗
(1.32)
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CALCULO DE FLUJOS DE POTENCIA APLICANDO EL CONCEPTO DE MATRIZ DOMINANTE
Estas expresiones son las ecuaciones de la potencia real y reactiva que suministran
a un nodo en general. Siendo estas las elementales en la solución de cálculos de
flujos de potencia, las cuales como son ecuaciones no lineales se darán solución
mediante métodos iterativos en la segunda unidad.
Luis Daniel Hernández Ruiz
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CALCULO DE FLUJOS DE POTENCIA APLICANDO EL CONCEPTO DE MATRIZ DOMINANTE
CAPÍTULO II.
MÉTODOS PARA EL CÁLCULO DE FLUJOS DE POTENCIA
2.1 Introducción
El manejo de métodos iterativos dentro del cálculo de flujos de potencia, son una
herramienta matemática de suma importancia, con ello se da el resultado de las
ecuaciones no lineales que se generan del sistema eléctrico de potencia.
En este capítulo se estudiaran dos métodos iterativos que comúnmente se utilizan
para la solución de ecuaciones no lineales: GAUSS-SEIDEL y NEWTON-RAPSHON,
los cuales se explicarán y se dará solución a cada uno ellos poniendo como ejemplo
problemas de flujos de potencia.
El proceso iterativo dentro del cálculo de flujos de potencia, sugiere asignar valores
estimados a las tensiones desconocidas en los nodos, con estos valores dados se
calcula la tensión en un nodo especifico, dada esta forma se obtienen nuevos valores
de las tensiones en los nodos, mismos que se emplearan para seguir calculando
valores aproximados a los reales de las tensiones en los nodos, hasta un margen
mínimo de error.
2.2 Método iterativo de Gauss-Seidel
La solución de problemas de flujos de potencia por este método, la empezaremos
con un sistema que contiene únicamente nodos de tipo PQ (bus de carga) y el nodo
de referencia. Las ecuaciones fundamentales se obtienen partiendo de una
formulación nodal de las ecuaciones de red, es decir, las ecuaciones de cada nodo,
consistirán de la ecuación del voltaje de ese nodo, en función de los voltajes de los
nodos subsecuentes a este y de la potencia inyectada a dicho nodo.
Si las potencias real (P) y reactiva (Q), son las que entran al sistema por el nodo i
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CALCULO DE FLUJOS DE POTENCIA APLICANDO EL CONCEPTO DE MATRIZ DOMINANTE
𝑉𝑖 𝐼𝑖∗ = 𝑃𝑖 + 𝑗𝑄𝑖
(2.1)
La corriente 𝐼𝑖 , se expresa como:
𝑉𝑖 𝐼𝑖∗
∗
= 𝑃𝑖 + 𝑗𝑄𝑖
∗
𝐼𝑖 𝑉𝑖∗ = 𝑃𝑖 + 𝑗𝑄𝑖 ∗
𝑃𝑖 + 𝑗𝑄𝑖 ∗
𝐼𝑖 =
𝑉𝑖∗
𝑃 −𝑗𝑄
𝐼𝑖 = 𝑖 𝑉 ∗ 𝑖
(2.2)
𝑖
En términos de admitancias la corriente se expresa como:
𝐼𝑖 = 𝑌𝑖1 𝑉1 + 𝑌𝑖2 𝑉2 +. . . 𝑌𝑖𝑖 𝑉𝑖 +. . . + 𝑌𝑖𝑗 𝑉𝑗
(2.3)
Substituyendo la ecuación 2.2.3 en 2.2.2:
𝑌𝑖1 𝑉1 + 𝑌𝑖2 𝑉2 +. . . 𝑌𝑖𝑖 𝑉𝑖 +. . . + 𝑌𝑖𝑗 𝑉𝑗 =
𝑃𝑖 −𝑗𝑄 𝑖
𝑉𝑖∗
(2.4)
De esta última ecuación despejamos el voltaje en el nodo (Vi), por lo que tenemos:
1
𝑉𝑖 = 𝑌
𝑃𝑖 −𝑗𝑄 𝑖
𝑉𝑖∗
𝑖𝑖
− 𝑌𝑖1 𝑉1 + 𝑌𝑖2 𝑉2 +. . . + 𝑌𝑖𝑗 𝑉𝑗
(2.5)
O en su forma compacta:
1
𝑉𝑖 = 𝑌
Siendo i≠j.
𝑃𝑖 −𝑗𝑄 𝑖
𝑉𝑖∗
𝑖𝑖
−
𝑛
𝑗 𝑌𝑖𝑗 𝑉𝑗
(2.6)
Recordemos que en el método de Guass-Seildel, se van utilizando los valores de las
incógnitas recién calculados en la misma iteración, y no en la siguiente.
Por lo que la ecuación 2.2.6 quedaría expresada de la siguiente forma:
𝑉𝑖
(𝑘)
1
=𝑌
𝑖𝑖
𝑃𝑖 −𝑗𝑄 𝑖
∗(𝑘−1)
𝑉𝑖
−
(𝑘)
𝑛
𝑗 𝑌𝑖𝑗 𝑉𝑗
−
(𝑘−1)
𝑛
𝑗 𝑌𝑖𝑗 𝑉𝑗
(2.7)
Supongamos que se ha calculado el voltaje del nodo 2, en la ecuación
correspondiente al nodo 3 el superíndice (k) indica que el valor encontrado de este
voltaje (en el nodo 2) se utilizará en la ecuación para el voltaje 3, el superíndice (k-1)
se refiere al valor del voltaje a la iteración anterior.
Luis Daniel Hernández Ruiz
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CALCULO DE FLUJOS DE POTENCIA APLICANDO EL CONCEPTO DE MATRIZ DOMINANTE
El nodo de referencia no requiere de la ecuación de voltaje (2.6), ya que este se
especifica, por lo que no constituye a una incógnita.
Este proceso se repite sucesivamente en todas los nodos de la red para completar la
primera iteración (el proceso iterativo de Gauss-Seidel permite repetir la ecuación 2.7
dos veces dentro de la misma iteración, si se calcula el voltaje en el nodo 2, antes de
pasar al cálculo del nodo 3, se puede volver a recalcular el voltaje utilizando el recién
calculado). Después se vuelve a realizar todo el proceso, las veces que sea
necesario, el proceso iterativo termina cuando se cumple que:
(𝑘+1)
𝑉𝑖
−𝑉𝑖𝑘
(𝑘 +1)
𝑉𝑖
≤ 𝑇𝑜𝑙𝑒𝑟𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎
(2.8)
La tolerancia es el margen de error que el usuario desea que tenga el proceso
iterativo. Para que el error de potencia sea lo suficientemente pequeño y aceptable,
se debe especificar una tolerancia muy pequeña para el valor de la tensión (entre
1x10-5 y 5x10-5).
Cuando un nodo es de voltaje controlado, recordemos que en este nodo están dados
los valores del voltaje y la potencia real, por lo que se tiene que calcular la potencia
reactiva (Q), antes de realizar el cálculo con la ecuación 2.2.6. La potencia se calcula
de la siguiente forma:
𝑆𝑘 =
𝑁
𝑗 =1
𝑃𝑘 − 𝑄𝑘 =
𝑄𝑘 = −𝐼𝑚𝑎𝑔𝑖𝑛𝑎𝑟𝑖𝑎
𝑌𝑖𝑗 𝑉𝑗 Vi ∗
𝑁
𝑗 =1
𝑌𝑖𝑗 𝑉𝑗 Vi ∗
∗
𝑁
𝑗 =1 𝑌𝑖𝑗 𝑉𝑗 Vi
(2.9)
Una vez calculada la potencia reactiva, esta se complementará junto con la potencia
real para formar la potencia aparente, continuando así con el proceso iterativo. Para
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CALCULO DE FLUJOS DE POTENCIA APLICANDO EL CONCEPTO DE MATRIZ DOMINANTE
las iteraciones siguientes ya no se debe de repetir este paso ya que el nodo de
voltaje controlado paso a ser un nodo de carga.
Ejercicio 2.1.
La figura 2.1, representa el diagrama unifilar de un sistema, en que se ha omitido la
barra del neutro. Los generadores están conectados a las barras 1 y 3. Las cargas
están indicadas en las barras 2, 4 y 5. Suponer que el cálculo iterativo parte del nodo
2. Determinar los valores de la tensión en cada nodo, con solo dos iteraciones.
Figura 2.1. Diagrama unifilar de un sistema eléctrico de potencia de 5 nodos,
correspondiente al ejercicio 2.1
Los valores de las impedancias se dan en la tabla 2.1 y los valores de las potencias
real y reactiva se dan en la tabla 2.2.
Tabla 2.1 Impedancias de
Interconexión entre nodos
Línea
1-2
1-4
1-5
2-3
2-4
3-5
R
(p. u.)
0.10
0.15
0.05
0.05
0.10
0.05
X
(p. u.)
0.40
0.60
0.20
0.20
0.40
0.20
Tabla 2.2 Potencia real, reactiva y voltaje de cada elemento
Barra
1
2
3
4
5
P
Q
(p. u.) (p. u.)
-0.6
1.0
-0.4
-0.6
-0.3
-0.1
-0.2
V
Observaciones
(p. u.)
1.02 0 Nodo de referencia
Nodo de carga
1 0
1.04 0 Valor constante de V
Nodo de carga
1 0
Nodo de carga
1 0
Como primer paso y muy importante, es la formulación de la matriz de admitancias.
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CALCULO DE FLUJOS DE POTENCIA APLICANDO EL CONCEPTO DE MATRIZ DOMINANTE
𝑌𝑏𝑢𝑠
2.1568 − 𝑗8.6274
−0.5882 + 𝑗2.3529
0
=
−0.3921 + 𝑗1.5686
−1.1764 + 𝑗4.7058
−0.5882 + 𝑗2.3529
2.3529 − 𝑗9.4117
−1.1764 + 𝑗4.7058
−0.5882 + 𝑗2.3529
0
0
−1.1764 + 𝑗4.7058
2.3529 − 𝑗9.4117
0
−1.1764 + 𝑗4.7058
−0.3921 + 𝑗1.5686
−0.5882 + 𝑗2.3529
0
0.9803 − 𝑗3.9215
0
−1.1764 + 𝑗4.7058
0
−1.1764 + 𝑗4.7058
0
2.3529 − 𝑗9.4117
La matriz Ybus anterior se sustituye en la ecuación 2.7.
Primera iteración: K=0.
Para el nodo 1.
Por ser el nodo de referencia no se incluye en el proceso iterativo. Cuando
el proceso iterativo finalice se pueden calcular las potencias real y reactivas.
Para el nodo 2.
Se sustituye los valores de la fila 2, en la ecuación 2.2.7
1 𝑃2 − 𝑗𝑄2
(k)
(k)
(k)
(k)
− 𝑌21 V1 + 𝑌23 V3 + 𝑌24 V4 + 𝑌25 V5
𝑌22 𝑉 ∗ (𝑘)
2
1 −0.6 + 𝑗0.3
1.02 −0.5882 + 𝑗2.3529 + 1.04 −1.1764 + 𝑗4.7058
=
−
+1(−0.5882 + 𝑗2.3529)
𝑌22 1.0 + 𝑗0
(𝑘+1)
𝑉2
(𝑘+1)
𝑉2
=
(1)
=
1 −0.6 + 𝑗0.3
− −2.4117 + 𝑗9.6470
𝑌22 1.0 + 𝑗0
(1)
=
1
𝑌22
𝑉2
𝑉2
−0.6 − 𝑗0.3 — (−2.4117 + 𝑗9.6470
(1)
𝑉2
1
1.8117 − 𝑗. 93470
𝑌22
=
(1)
𝑉2
=
(1)
𝑉2
1.8117 − 𝑗. 93470
2.3529 − 𝑗. 941176
= 0.9799 − 𝑗0.0525
Para el nodo 3 tenemos:
Por ser nodo de voltaje controlado se tiene que calcular la potencia reactiva:
𝑄3 = −𝐼𝑚𝑎𝑔𝑖𝑛𝑎𝑟𝑖𝑎 𝑌31 𝑉1 V3∗ + 𝑌32 𝑉2 V3∗ + 𝑌33 𝑉3 V3∗ +𝑌34 𝑉4 V3∗ + 𝑌35 𝑉5 V3∗
Luis Daniel Hernández Ruiz
Página - 30 -
CALCULO DE FLUJOS DE POTENCIA APLICANDO EL CONCEPTO DE MATRIZ DOMINANTE
𝑄3 = −𝐼𝑚𝑎𝑔𝑖𝑛𝑎𝑟𝑖𝑎 1.04 −1.1764 + 𝑗4.7058 0.9799 − 𝑗0.0525
+ 2.3529 − j9.4117 1 + −1.1764 + 𝑗4.7058 1
𝑄3 = −𝐼𝑚𝑎𝑔𝑖𝑛𝑎𝑟𝑖𝑎 0.37944 − 0.42533
𝑄3 = 0.42533 𝑝. 𝑢.
Una vez calculada la potencia reactiva del nodo 3, que será incluida junto con la
potencia real en el nodo3, se puede calcular el voltaje:
1 𝑃3 − 𝑗𝑄3
(k)
(k)
(k)
(k)
− 𝑌31 V1 + 𝑌32 V2 + 𝑌34 V4 + 𝑌35 V5
∗
(𝑘)
𝑌33 𝑉
3
1 1 − 𝑗0.4253
0.9799 − 𝑗0.0525 −1.1764 + 𝑗4.7058
=
−
+1(−1.1764 + 𝑗4.7058)
𝑌33 1.04 + 𝑗0
(𝑘+1)
𝑉3
(1)
𝑉3
=
(1)
𝑉3
(1)
𝑉3
=
=
1
𝑌33
1 1 − 𝑗0.4253
− −2.0821 + 𝑗9.3791
𝑌33 1.04 + 𝑗0
0.9615 − 𝑗0.4089 — (−2.0821 + 𝑗9.3791
(1)
𝑉3
1
3.0437 − 𝑗9.7881
𝑌33
=
3.0437 − 𝑗9.7881
2.3529 − 𝑗. 941176
(1)
=
(1)
= 1.0549 + 𝑗0.05966
𝑉3
𝑉3
Para el nodo 4
1 𝑃4 − 𝑗𝑄4
(k)
(k)
(k)
(k)
− 𝑌41 V1 + 𝑌42 V2 + 𝑌43 V3 + 𝑌45 V5
𝑌44 𝑉 ∗ (𝑘)
4
1 −0.4 + 𝑗0.1
0.9799 − 𝑗0.0525 −0.5882 + 𝑗2.3529
=
−
+(1.02)(−0.3921 + 𝑗1.5686)
𝑌44
1
(𝑘+1)
𝑉4
(1)
𝑉4
(1)
𝑉4
=
=
1
−0.4 + 𝑗0.1 — (−0.8528 − 𝑗3.9366
0.9803 − 𝑗3.9215
=
(1)
= 0.9479 − 𝑗0.1215
𝑉4
Luis Daniel Hernández Ruiz
0.4528 − 𝑗3.8366
0.9803 − 𝑗3.9215
(1)
𝑉4
Página - 31 -
CALCULO DE FLUJOS DE POTENCIA APLICANDO EL CONCEPTO DE MATRIZ DOMINANTE
Para el nodo 5
1 𝑃5 − 𝑗𝑄5
(k)
(k)
(k)
(k)
− 𝑌51 V1 + 𝑌52 V2 + 𝑌53 V3 + 𝑌54 V4
∗
(𝑘)
𝑌55 𝑉
5
1 −0.6 + 𝑗0.2
1.02 −1.1764 + 𝑗4.7058
=
−
+ −1.1764 + 𝑗4.7058 1.0549 + 𝑗0.05966
𝑌55
1
(𝑘+1)
𝑉5
(1)
𝑉5
(1)
𝑉5
=
=
1
−0.6 + 𝑗0.2 — (−2.7217 + 𝑗9.6939
2.3529 − 𝑗9.4117
2.1217 − 𝑗9.4939
2.3529 − 𝑗9.4117
(1)
=
(1)
= 1.0024 − 𝑗0.0251
𝑉5
𝑉5
Los valores de los voltajes (en p.u.) en la primera iteración son:
𝑉1 = 1.02 + 𝑗0
𝑉2 = 0.9799 − 𝑗0.052508
𝑉3 = 1.0549 + 𝑗0.05960
𝑉4 = 0.9479 − 𝑗0.1215
𝑉5 = 1.0024 + 𝑗0.0251
Para la segunda iteración se toman ahora estos valores de tensión, como referencia.
Segunda iteración: k=1
Para el nodo 2
(2)
𝑉2
1
−0.6+𝑗 0.3
22
𝟎.𝟗𝟕𝟗𝟗−𝒋𝟎.𝟎𝟓𝟐𝟓
=𝑌
(2)
=
(2)
=
𝑉2
𝑉2
1.02 −0.5882 + 𝑗2.3529 +
𝟏. 𝟎𝟓𝟒𝟗 + 𝒋𝟎. 𝟎𝟓𝟗𝟔 −1.1764 + 𝑗4.7058 +
(𝟎. 𝟗𝟒𝟕𝟗 − 𝒋𝟎. 𝟏𝟐𝟏𝟓)(−0.5882 + 𝑗2.3529)
−
1
−0.6 + 𝑗0.3
− −2.3934 + 𝑗9.5959
2.3529 − 𝑗9.4117 𝟎. 𝟗𝟕𝟗𝟗 − 𝒋𝟎. 𝟎𝟓𝟐𝟓
1
−0.6268 + 𝑗0.2725 — (−2.3934 + 𝑗9.5959
2.3529 − 𝑗9.4117
1.7666 − 𝑗9.3234
(2)
𝑉2 =
2.3529 − 𝑗9.4117
(2)
𝑉2
= 0.9765 − 𝑗0.0564
Para el nodo 3:
Luis Daniel Hernández Ruiz
Página - 32 -
CALCULO DE FLUJOS DE POTENCIA APLICANDO EL CONCEPTO DE MATRIZ DOMINANTE
(2)
𝑉3
1
=𝑌
33
0.9765 − 𝑗0.0564 −1.1764 + 𝑗4.7058 +
𝟏. 𝟎𝟎𝟐𝟒 + 𝒋𝟎. 𝟎𝟐𝟓𝟏 (−1.1764 + 𝑗4.7058)
1−𝑗 0.4253
−
𝟏.𝟎𝟓𝟒𝟗+𝒋𝟎.𝟎𝟓𝟗𝟔
(2)
=
1
1 − 𝑗0.4253
− −1.9440 + 𝑗9.4086
2.3529 − 𝑗. 941176 𝟏. 𝟎𝟓𝟒𝟗 + 𝒋𝟎. 𝟎𝟓𝟗𝟔
(2)
=
1
0.9221 − 𝑗0.4553 — (−1.9440 + 𝑗9.4086
2.3529 − 𝑗. 941176
𝑉3
𝑉3
2.8662 − 𝑗9.8639
2.3529 − 𝑗. 941176
(2)
=
(2)
= 1.0580 + 𝑗0.04003
𝑉3
𝑉3
Para el nodo 4
(2)
𝑉4
=
1
−0.4 + 𝑗0.1
−
𝑌44 𝟎. 𝟗𝟒𝟕𝟗 − 𝐣𝟎. 𝟏𝟐𝟏𝟓
(2)
𝑉4
=
0.9765 − 𝑗0.0564 −0.5882 + 𝑗2.3529 +
(1.02)(−0.3921 + 𝑗1.5686)
1
−0.4284 + 𝑗0.0505 — (−0.8415 + 𝑗3.9308
0.9803 − 𝑗3.9215
(2)
𝑉4
(2)
𝑉4
=
0.4131 − 𝑗3.8802
0.9803 − 𝑗3.9215
= 0.95606 − 𝑗0.1336
Para el nodo 5
(2)
𝑉5
=
1
−0.6 + 𝑗0.2
1.02 −1.1764 + 𝑗4.7058
−
+ −1.1764 + 𝑗4.7058 1.0580 + 𝑗0.04003
𝑌55 𝟏. 𝟎𝟎𝟐𝟒 + 𝐣𝟎. 𝟎𝟐𝟓𝟏
(2)
𝑉5
=
1
−0.6031 + 𝑗0.1843 — (−2.6330 + 𝑗9.7318
2.3529 − 𝑗9.4117
2.0298 − 𝑗9.5474
2.3529 − 𝑗9.4117
(2)
=
(2)
= 1.0055 − 𝑗0.0357
𝑉5
𝑉5
Los nuevos valores (en p.u.) de los voltajes en la segunda iteración son:
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Página - 33 -
CALCULO DE FLUJOS DE POTENCIA APLICANDO EL CONCEPTO DE MATRIZ DOMINANTE
𝑉1 = 1.02 + 𝑗0
𝑉2 = 0.9765 − 𝑗0.05564
𝑉3 = 1.0580 + 𝑗0.04003
𝑉4 = 0.9560 − 𝑗0.13360
𝑉5 = 1.0055 + 𝑗0.0357
2.3 Método iterativo de Newton-Raphson.
El método iterativo de Newton-Raphson, se basa en aproximar la función a
desarrollar, por medio de la serie de Taylor. Es empleado para resolver problemas de
flujos de potencia en sistemas eléctricos de potencia de tamaño real y constituye el
método iterativo base en los programas computacionales para cálculos de potencia.
De la misma forma que en el método de Gauss-Seidel, la potencia de un nodo
cualquiera se expresa por:
𝑃𝑘 − 𝑄𝑘 =
𝑁
𝑗 =1 𝑉𝑖 𝑌𝑖𝑗 𝑉𝑗
(2.10)
Pero a diferencia que el voltaje y la admitancia se componen de la siguiente manera:
el voltaje estará expresado mediante su forma polar y la admitancia mediante sus
elementos de conductancia (G) y susceptancia (B):
𝑉𝑖 = Vi θ = Vi (cosθi + jsenθi )
𝑌𝑖𝑗 = Gij + 𝑗𝐵ij
(2.11)
(2.12)
Sustituyendo las ecuaciones 2.11 y 2.12 en la ecuación 2.10
𝑃𝑘 − 𝑗𝑄𝑘 =
𝑛
𝑗 =1
𝐺𝑖𝑗 − 𝑗𝐵𝑖𝑗
𝑉𝑖 𝑉𝑗 𝜃𝑖𝑗 + 𝜃𝑗 − 𝜃𝑖
(2.13)
Tomando los valores reales se obtiene la potencia real de la ecuación 2.14, y la
potencia reactiva tomando los valores reactivos (ecuación 2.15).
𝑃𝑘 = 𝑛𝑗=1 𝐺𝑖𝑗 − 𝑗𝐵𝑖𝑗 𝑉𝑖 𝑉𝑗 cos⁡
(𝜃𝑖𝑗 + 𝜃𝑗 − 𝜃𝑖 )
𝑛
𝑗𝑄𝑘 = − 𝑗 =1 𝐺𝑖𝑗 − 𝑗𝐵𝑖𝑗 𝑉𝑖 𝑉𝑗 𝑠𝑒𝑛(𝜃𝑖𝑗 + 𝜃𝑗 − 𝜃𝑖 )
Luis Daniel Hernández Ruiz
(2.14)
(2.15)
Página - 34 -
CALCULO DE FLUJOS DE POTENCIA APLICANDO EL CONCEPTO DE MATRIZ DOMINANTE
Cuando en las ecuaciones 2.15 y 2.16 “i” se hace igual a “j”, se tiene:
𝑃𝑘 = 𝑉𝑖2 𝐺𝑖𝑖 +
𝑄𝑘 = −𝑉𝑖2 𝐵𝑖𝑖 −
𝑛
(𝜃𝑖𝑗 + 𝜃𝑗 − 𝜃𝑖 )
𝑗 =1 𝑉𝑖 𝑉𝑗 𝑌𝑖𝑗 cos⁡
𝑗 ≠𝑖
𝑛
𝑗 =1 𝑉𝑖 𝑉𝑗 𝑌𝑖𝑗 𝑠𝑒𝑛(𝜃𝑖𝑗 + 𝜃𝑗 − 𝜃𝑖 )
𝑗 ≠𝑖
(2.16)
(2.17)
Como ya se ha mencionado en el método de Gauss-Seidel, estas son las ecuaciones
para la solución de flujos de potencias pero ahora de forma polar, por lo que el
método de Newton-Rapshon se aplica de la siguiente manera:
Paso 1.
En este método iterativo se calculan primero la diferencia entre los valores
especificados y los valores calculados. A esta diferencia de potencias, en este
método iterativo se conocen como errores.
∆𝑃𝑘 = 𝑃𝑘,𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎 − 𝑃𝑘,𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑎
∆𝑄𝑘 = 𝑄𝑘,𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎 − 𝑄𝑘,𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑎
(2.18)
(2.19)
Donde los valores calculados se obtienen aplicando las ecuaciones 2.16 y 2.17 y los
valores especificados, se obtienen de las condiciones iniciales del problema.
Antes de continuar cabe mencionar que con estas nuevas incorporaciones en el
método de Newton-Raphson, hay nueva información que tomar en cuenta para
identificar los distintos tipos de nodos:

Nodo de compensación: Por conveniencia es común definir a ϴ1 = 0. En este
punto por ser el nodo de referencia, no se definen errores porque ∆𝑃1 y ∆𝑄1 ,
son indefinidos cuando P1 y Q1 no intervienen en la iteración.

Nodo de carga: En este punto las potencias real y reactiva de generación son
cero y las potencias real y reactivas de demanda son tomadas del sistema
mediante la carga, por lo que 𝑃𝑘,𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎 = −𝑃𝑑,𝑖 y 𝑄𝑘,𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎 = −𝑄𝑑,𝑖 son
conocidos y los errores pueden calcularse. 𝑉𝑖 y 𝜃𝑖 son desconocidos y deben
calcularse.
Luis Daniel Hernández Ruiz
Página - 35 -
CALCULO DE FLUJOS DE POTENCIA APLICANDO EL CONCEPTO DE MATRIZ DOMINANTE

Nodo de voltaje controlado: En este nodo se especifican 𝑃𝑔𝑖 y 𝑉𝑖 . Por lo que
se puede definir el error ∆𝑃𝑖 . Como se conoce el valor de 𝑉𝑖 no es necesario
calcular 𝑄𝑖 . Por lo que se puede omitir 𝑉𝑖 𝑦 𝑄𝑖 de la matriz jacobiana y al final
de cada iteración se calcula 𝑄𝑖 con la ecuación 2.15 y para cada barra de
voltaje controlado 𝑄𝐺𝑖 = 𝑄𝑖 + 𝑄𝑘
Paso 2.
Formar la matriz jacobina, como ya se ha mencionado, se omitirá el nodo de
referencia, esto porque se sobreentiende que tiene valores especificados para
𝜃1 𝑦 𝑉 1 . A partir de las ecuaciones 2.16 y 2.17 tenemos:
𝜕𝑃2
𝜕𝜃 2
⋮
𝜕𝑃 𝑖
𝐽=
𝜕𝜃 2
⋯
𝜕𝑄 2
𝜕𝜃 2
⋮
⋯
𝜕𝑃2
𝜕𝑃2
𝐽1
𝜕𝜃 𝑖
⋯
𝜕𝑉2
⋯
𝜕𝑃 𝑖
𝜕𝑃 𝑖
𝜕𝜃 𝑖
𝜕𝑉2
⋯
𝜕𝑄 2
𝜕𝑄 2
𝜕𝜃 𝑖
𝜕𝑉2
𝜕𝑄 𝑖
𝜕𝑄 𝑖
𝜕𝜃 𝑖
𝜕𝑉2
𝐽3
𝜕𝑄 𝑖
⋯
𝜕𝜃 2
⋯
⋮
⋮
⋯
𝐽2
𝜕𝑃2
𝜕𝑉 𝑖
⋯
⋯
𝜕𝑃 𝑖
⋯
𝜕𝑄 2
𝐽4
⋯
𝜕𝑉 𝑖
(2.20)
𝜕𝑉𝑛
⋯
𝜕𝑄 𝑖
𝜕𝑉 𝑖
La ecuación 2.20 está dividida en 4 secciones, ya que las potencias real y reactiva se
deben de derivar cada una por el valor del voltaje y el ángulo de este. Por lo que sus
derivadas parciales que corresponden a esta matriz jacobina son:
Para 𝐽1 tenemos:
Elementos fuera de la diagonal principal:
𝜕𝑃
𝐽1,𝑖𝑗 = 𝜕𝜃 𝑖 = − 𝑉𝑖 𝑉𝑗 𝑌𝑖𝑗 𝑠𝑒𝑛 𝜃𝑖𝑗 +𝜃𝑗 −𝜃𝑖
𝑗
(2.20a)
Elementos de la diagonal principal:
𝜕𝑃
𝐽1,𝑖𝑖 = 𝜕𝜃 𝑖 = −𝑄𝑖 − 𝑉𝑖 2 𝐵𝑖𝑖
𝑖
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(2.20b)
Página - 36 -
CALCULO DE FLUJOS DE POTENCIA APLICANDO EL CONCEPTO DE MATRIZ DOMINANTE
Para 𝐽2 tenemos:
Elementos fuera de la diagonal principal:
𝜕𝑃
𝐽2,𝑖𝑗 = 𝜕𝑉 𝑖 = 𝑉𝑖 𝑉𝑗 𝑌𝑖𝑗 𝑐𝑜𝑠 𝜃𝑖𝑗 +𝜃𝑗 − 𝜃𝑖
(2.20c)
𝑗
Elementos de la diagonal principal:
𝜕𝑃
𝐽2,𝑖𝑖 = 𝜕𝜃 𝑖 = 𝑃𝑖 + 𝑉𝑖 2 𝐺𝑖𝑖
(2.20d)
𝑖
Para 𝐽3 tenemos:
Elementos fuera de la diagonal principal:
𝜕𝑄
𝐽3,𝑖𝑗 = 𝜕𝜃 𝑖 = −𝑉𝑖 𝑉𝑗 𝑌𝑖𝑗 𝑐𝑜𝑠 𝜃𝑖𝑗 +𝜃𝑗 − 𝜃𝑖
(2.20e)
𝑗
Elementos de la diagonal principal:
𝜕𝑃
𝐽3,𝑖𝑖 = 𝜕𝜃 𝑖 = 𝑃𝑖 − 𝑉𝑖 2 𝐺𝑖𝑖
(2.20f)
𝑖
Para 𝐽4 tenemos:
Elementos fuera de la diagonal principal:
𝜕𝑄
𝐽4,𝑖𝑗 = 𝜕𝜃 𝑖 = −𝑉𝑖 𝑉𝑗 𝑌𝑖𝑗 𝑠𝑒𝑛 𝜃𝑖𝑗 +𝜃𝑗 − 𝜃𝑖
(2.20g)
𝑗
Elementos de la diagonal principal:
𝜕𝑃
𝐽4,𝑖𝑖 = 𝜕𝜃 𝑖 = 𝑄𝑖 − 𝑉𝑖 2 𝐵𝑖𝑖
(2.20h)
𝑖
Sustituir los valores de voltaje así como su respectivo ángulo con los valores
especificados en el problema.
Paso 3
Se resuelve la expresión 2.21 Esta expresión contiene los elementos de la matriz
jacobina y los errores calculados a partir de los valores estimados de voltaje:
𝐽1
⋯
𝐽3
Luis Daniel Hernández Ruiz
⋯
⋯
⋯
𝐽2
⋯
𝐽4
∆𝑃
∆𝜃
⋯ = ⋯
∆𝑄
∆𝑉
(2.21)
Página - 37 -
CALCULO DE FLUJOS DE POTENCIA APLICANDO EL CONCEPTO DE MATRIZ DOMINANTE
Paso 4
Encontrar los nuevos valores del ángulo y la magnitud de la tensión, sumando los
valores encontrados en la ecuación 2.21 con los valores especificados al inicio del
problema, esto es:
(𝑘)
𝜃𝑖 𝑘+1 = 𝜃𝑖 𝑘 + ∆𝜃𝑖
𝑉
𝑖
𝑘+1
= 𝑉𝑖 𝑘 + ∆ 𝑉
(𝑘)
𝑖
(2.22)
(2.23)
Todo este proceso con un valor inicial de k = 0, realizándolo hasta alcanzar el mínimo
error de convergencia deseado.
Ejercicio 2.2
En la figura 2.2, se muestra el diagrama unifilar de un sistema de potencia. Los
valores base para el sistema de transmisión son 100 MVA y 230KV. Los datos de
línea vienen dados en la tabla 2.3, así como los datos de cada uno de los nodos
vienen especificados en la tabla 2.4. Aplicar el método de Newton-Raphson para
encontrar el ángulo y magnitud del voltaje utilizando una sola iteración.
Figura 2.2 Diagrama unifilar de un sistema de potencia de 4 nodos
Tabla 2.3 Datos de línea, correspondiente al diagrama unifilar de la figura 2.3.1
Línea de
barra a barra
1–2
1–3
2–4
3–4
Serie Z
R
X
por unidad
por unidad
0.01008
0.05040
0.00744
0.03720
0.00744
0.03720
0.01272
0.06360
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Serie Y
G
B
por unidad
por unidad
3.815629
-19.078144
5.169561
-25.847809
5.169561
-25.847809
3.023705
-15.118528
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CALCULO DE FLUJOS DE POTENCIA APLICANDO EL CONCEPTO DE MATRIZ DOMINANTE
Tabla 2.4 Datos de nodos, correspondiente al diagrama unifilar de la figura 2.3.1
Nodo
1
2
3
4
Generación
P, Mw Q, Mvar
0
0
0
0
318
-
Carga
P, Mw Q, Mvar
50
30.99
170
105.35
200
123.94
80
49.58
V, por unidad
1.00 0
1.00 0
1.00 0
1.02 0
Observaciones
Nodo de referencia
Nodo de carga
Nodo de carga
Voltaje controlado
Solución:
Con los valores de la tabla 2.3 se obtiene la matriz de impedancias del sistema.
8.985180 − 𝑗44.835953
−3.815629 + 𝑗19.078144
−5.169561 + 𝑗25.847809
0
−3.815629 + 𝑗19.078144
8.985180 − 𝑗44.835953
0
−5.169561 + 𝑗25.847809
−5.169561 + 𝑗25.847809
0
8.193267 − 𝑗40.863838
−3.815629 + 𝑗19.078144
0
−5.169561 + 𝑗25.847809
−3.815629 + 𝑗19.078144
8.193267 − 𝑗40.863838
En el método de Newton-Raphson, se trabaja de forma polar los valores de la
admitancia que están fuera de la diagonal principal (el nodo de referencia no se toma
en cuenta), por lo que se obtiene:
−
−
−
−
19.455965101.30993
−
0
26.35969101.30993
26.35969101.30993
0
−
15.4179337101.30993
0
26.35969101.30993 15.4179337101.30993
−
El proceso iterativo comienza con un valor de k igual a 0.
Paso 1. Calculo de errores:
Para realizar el cálculo de errores es necesario conocer la potencia real y
reactiva calculada y especificada.
Aplicando las ecuaciones 2.16 y 2.17 tenemos:
(0)
𝑃2,𝑐𝑎𝑙𝑐 = 𝑉2 𝑉1 𝑌21 cos 𝜃12 + 𝑉22 𝐺22 + 𝑉2 𝑉4 𝑌24 cos 𝜃24
(0)
𝑃2,𝑐𝑎𝑙𝑐 = 1 1 19.4559 cos(101.3099) + 1 8.98519
+ 1 1.02 26.35969 cos(101.30993)
(0)
𝑃2,𝑐𝑎𝑙𝑐 = −0.10338
(0)
(0)
(0)
(0)
Se realiza este mismo procedimiento para 𝑃3 , 𝑃4 , 𝑄2 𝑦 𝑄3 .
(0)
𝑃3,𝑐𝑎𝑙𝑐 = −0.06047
Luis Daniel Hernández Ruiz
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CALCULO DE FLUJOS DE POTENCIA APLICANDO EL CONCEPTO DE MATRIZ DOMINANTE
(0)
𝑃4,𝑐𝑎𝑙𝑐 = 0.16714
(0)
𝑄2,𝑐𝑎𝑙𝑐 = −0.60695
(0)
𝑄3,𝑐𝑎𝑙𝑐 = −0.40486
Recordemos que el nodo 4, es de voltaje controlado, donde no se especifica a Q4.
En la tabla 2.4 tenemos especificados la potencia real y reactiva de
generación así como de carga, de lo cual podemos obtener:
0
𝑃2,𝑝𝑟𝑜
𝑔 = 𝑃2,𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 − 𝑃2,𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎
(0)
𝑃2,𝑝𝑟𝑜𝑔 = 0 − 1.7
(0)
𝑃2,𝑝𝑟𝑜𝑔 = −1.7
(0)
(0)
(0)
(0)
De la misma manera para 𝑃3 , 𝑃4 , 𝑄2 𝑦 𝑄3 .
(0)
𝑃3,𝑝𝑟𝑜𝑔 = −2
(0)
𝑃4,𝑝𝑟𝑜𝑔 = 2.38
(0)
𝑄2,𝑝𝑟𝑜 𝑔 = −1.0535
(0)
𝑄3,𝑝𝑟𝑜𝑔 = −1.2394
Una vez obtenidos los valores de potencia real y reactiva programados y
calculados
se obtienen los errores de la primera iteración:
(0)
∆𝑃2
∆𝑃2
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0
= 𝑃2,𝑝𝑟𝑜𝑔 − 𝑃2,𝑐𝑎𝑙𝑐
= −1.7 − −0.10338
(0)
∆𝑃2 = −1.59661
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CALCULO DE FLUJOS DE POTENCIA APLICANDO EL CONCEPTO DE MATRIZ DOMINANTE
De la misma forma se obtienen:
∆𝑃3 0 = −1.93952
(0)
∆𝑃4
= 2.21285
(0)
∆𝑄2 = −0.44654
(0)
∆𝑄3 = −0.83453
Paso 2. Formación de la matriz jacobina
Como el nodo 4 es de voltaje controlado, el valor de V 4 tiene un valor
constante, por lo que la corrección del voltaje siempre debe ser cero. Por lo
que la sexta columna de la matriz jacobina se multiplica por cero, por lo tanto
es eliminada.
𝐽=
𝜕𝑃2
𝜕𝑃2
𝜕𝑃2
𝜕𝑃2
𝜕𝑃2
𝜕𝜃 2
𝜕𝑃3
𝜕𝜃 3
𝜕𝑃3
𝜕𝜃 4
𝜕𝑃3
𝜕𝑉2
𝜕𝑃3
𝜕𝑉3
𝜕𝑃3
𝜕𝜃 2
𝜕𝑃4
𝜕𝜃 3
𝜕𝑃4
𝜕𝜃 4
𝜕𝑃4
𝜕𝑉2
𝜕𝑃4
𝜕𝑉3
𝜕𝑃4
𝜕𝜃 2
𝜕𝑄2
𝜕𝜃 3
𝜕𝑄 2
𝜕𝜃 4
𝜕𝑄 2
𝜕𝑉2
𝜕𝑄 2
𝜕𝑉3
𝜕𝑄 2
𝜕𝜃 2
𝜕𝑄 3
𝜕𝜃 3
𝜕𝑄 3
𝜕𝜃 4
𝜕𝑄 3
𝜕𝑉2
𝜕𝑄 3
𝜕𝑉3
𝜕𝑄 3
𝜕𝜃 2
𝜕𝜃 3
𝜕𝜃 4
𝜕𝑉2
𝜕𝑉3
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
Se aplican las ecuaciones obtenidas de la ecuación 2.20
Para los elementos que conforman la submatriz J1 se tiene:
Elementos fuera de la diagonal principal.
𝜕𝑃3
= −𝑉2 𝑉3 𝑌23 𝑠𝑒𝑛𝜃23 = −[ 1 1 0 𝑠𝑒𝑛 101.30993 = 0
𝜕𝜃2
𝜕𝑃4
= −𝑉2 𝑉4 𝑌24 𝑠𝑒𝑛𝜃24 = −[ 1 1.02 26.3596 𝑠𝑒𝑛 101.30993 ] = −26.36476 𝑝. 𝑢.
𝜕𝜃2
𝜕𝑃2
= −𝑉3 𝑉2 𝑌32 𝑠𝑒𝑛𝜃32 = −[ 1 1 0 𝑠𝑒𝑛 101.30993 = 0
𝜕𝜃3
𝜕𝑃4
= −𝑉3 𝑉4 𝑌34 𝑠𝑒𝑛𝜃34 = − 1 1.02 15.41793 𝑠𝑒𝑛 101.30993 = −15.42089 𝑝. 𝑢.
𝜕𝜃3
𝜕𝑃4 𝜕𝑃2 𝜕𝑃4 𝜕𝑃3
=
𝑦
=
𝜕𝜃2 𝜕𝜃4 𝜕𝜃3 𝜕𝜃4
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CALCULO DE FLUJOS DE POTENCIA APLICANDO EL CONCEPTO DE MATRIZ DOMINANTE
Elementos de la diagonal principal.
𝜕𝑃2
= −𝑄2 − 𝑉22 𝐵22 = − −0.60695 − 1
𝜕𝜃2
2
−44.835953 = 45.4429 𝑝. 𝑢
𝜕𝑃3
= −𝑄3 − 𝑉32 𝐵33 = − −0.40486 − 1 2 −40.863838 = 41.2687 𝑝. 𝑢
𝜕𝜃3
𝜕𝑃3 𝜕𝑃4 𝜕𝑃4
=
+
= −26.36476 − 15.42089 = 41.78566
𝜕𝜃3 𝜕𝜃2 𝜕𝜃3
Elementos que conforman la submatriz J2:
Fuera de la diagonal principal.
𝜕𝑃2
= 𝑉2 𝑉3 𝑌23 𝑐𝑜𝑠𝜃23 = 1 1 0 𝑐𝑜𝑠 101.30993 = 0
𝜕𝑉3
𝜕𝑃4
= 𝑉4 𝑉2 𝑌42 𝑐𝑜𝑠𝜃42 = 1.02 1 26.35969 𝑐𝑜𝑠 101.30993 = −5.27295 𝑝. 𝑢.
𝜕𝜃2
𝜕𝑃4
= 𝑉4 𝑉3 𝑌43 𝑐𝑜𝑠𝜃43 = 1.02 1 15.41793 𝑐𝑜𝑠 101.30993 = −3.084179 𝑝. 𝑢.
𝜕𝜃3
𝜕𝑃2 𝜕𝑃3
=
=0
𝜕𝑉3 𝜕𝑉2
Elementos de la diagonal principal.
𝜕𝑃2
= 𝑃2 + 𝑉22 𝐺22 = −0.10338 − 1
𝜕𝑉2
𝜕𝑃3
= 𝑃3 + 𝑉32 𝐺33 = −0.06047 − 1
𝜕𝑉3
2
2
8.985190 = 8.8818 𝑝. 𝑢
8.193267 = 8.13279 𝑝. 𝑢
Para los elementos que conforman la submatriz J3 se tiene:
Fuera de la diagonal principal.
𝜕𝑄2
= −𝑉2 𝑉3 𝑌23 𝑐𝑜𝑠𝜃23 = −[ 1 1 0 𝑐𝑜𝑠 101.30993 ] = 0
𝜕𝜃3
𝜕𝑄2
= −𝑉2 𝑉4 𝑌24 𝑐𝑜𝑠𝜃24 = −[ 1 1.02 26.3596 𝑐𝑜𝑠 101.30993 ] = −5.27295 𝑝. 𝑢.
𝜕𝜃4
𝜕𝑄3
= −𝑉3 𝑉4 𝑌34 𝑐𝑜𝑠𝜃34 = − 1 1.02 15.41793 𝑐𝑜𝑠 101.30993 = −3.0841 𝑝. 𝑢.
𝜕𝜃4
𝜕𝑄2 𝜕𝑄3
=
=0
𝜕𝜃3 𝜕𝜃2
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CALCULO DE FLUJOS DE POTENCIA APLICANDO EL CONCEPTO DE MATRIZ DOMINANTE
Elementos de la diagonal principal.
𝜕𝑄2
= 𝑃2 − 𝑉22 𝐺22 = −0.60695 − 1
𝜕𝜃2
2
8.98519 = −9.08857 𝑝. 𝑢.
𝜕𝑄3
= 𝑃3 − 𝑉32 𝐺33 = −0.40486 − 1
𝜕𝜃3
2
8.19326 = −8.25373 𝑝. 𝑢.
Elementos que conforman la submatriz J4:
Fuera de la diagonal principal.
𝜕𝑄2
= −𝑉2 𝑉3 𝑌23 𝑠𝑒𝑛𝜃23 = 1 1 0 𝑠𝑒𝑛 101.30993 = 0
𝜕𝑉3
𝜕𝑄2 𝜕𝑄3
=
=0
𝜕𝑉3
𝜕𝑉2
Elementos de la diagonal principal.
𝜕𝑄2
= 𝑄2 + 𝑉22 𝐵22 = −0.60695 − 1
𝜕𝑉2
2
−44.835953 = 44.22899 𝑝. 𝑢
𝜕𝑄3
= 𝑄3 + 𝑉32 𝐵33 = −0.40486 − 1
𝜕𝑉3
2
−40.863838 = 40.45896 𝑝. 𝑢
La matriz jacobina queda formada de la siguiente manera:
45.4429
0
𝐽 = −26.3647
−9.0885
0
0
41.2687
−15.4208
0
−8.2537
−26.3647 8.8818
−15.4208
0
41.7856 −5.2729
5.2729
44.4289
3.0841
0
0
8.1327
−3.0841
0
40.4589
Paso 3.
Encontrar los valores del ángulo y magnitud del voltaje, mediante la solución de la
expresión 2.3.11
45.4429
0
−26.3647
−9.0885
0
0
41.2687
−15.4208
0
−8.2537
Luis Daniel Hernández Ruiz
−26.3647
−15.4208
41.7856
5.2729
3.0841
8.8818
0
−5.2729
44.4289
0
0
8.1327
−3.0841
0
40.4589
∆𝜃2
−1.5966
∆𝜃3
−1.9395
∆𝜃4 = 2.21285
∆𝑉2
−0.4465
∆𝑉3
−0.8345
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CALCULO DE FLUJOS DE POTENCIA APLICANDO EL CONCEPTO DE MATRIZ DOMINANTE
45.4429
0
−26.3647
−9.0885
0
0
41.2687
−15.4208
0
−8.2537
−26.3647
−15.4208
41.7856
5.2729
3.0841
8.8818
0
−5.2729
44.4289
0
0
8.1327
−3.0841
0
40.4589
−1
∆𝜃2
−1.5966
∆𝜃3
−1.9395
2.21285 = ∆𝜃4
∆𝑉2
−0.4465
∆𝑉3
−0.8345
Los valores del ángulo y magnitud del voltaje son:
∆𝜃2 = −0.93094
∆𝜃3 = −1.78790
∆𝜃4 = −1.54383
∆𝑉2 = −0.01665
∆𝑉3 = −0.02905
Paso 4.
Con los valores anteriores, se calculan los nuevos valores de magnitud y ángulo de
voltaje con las ecuaciones 2.3.12 y 2.3.13, dando fin a la primera iteración.
(1)
𝜃2
= 𝜃20 + ∆𝜃20 = 0 + −0.93094 = −0.93094 𝑝. 𝑢.
𝜃31 = 𝜃30 + ∆𝜃30 = 0 + −1.78790 =
(1)
(0)
𝜃4 = 𝜃40 + ∆𝜃4 = 0 + −1.54383 =
𝑉 21 = 𝑉2 0 + ∆ 𝑉 20 = 1 + −0.01665
(0)
𝑉 31 = 𝑉3 0 + ∆ 𝑉 3 = 1 + −0.02905
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−1.78790 𝑝. 𝑢.
−1.54383 𝑝. 𝑢.
= 0.98335 𝑝. 𝑢.
= 0.97095 𝑝. 𝑢.
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CALCULO DE FLUJOS DE POTENCIA APLICANDO EL CONCEPTO DE MATRIZ DOMINANTE
CAPITULO III.
PLANTEAMIENTO Y DESARROLLO DEL MÉTODO DE LA MATRIZ
DOMINANTE
3.1 Introducción
En el presente capítulo se plantea el método de la matriz dominante, como una
alternativa para la solución al problema de flujos de potencia. En el capítulo anterior
se estudiaron dos métodos de los cuales parte el método de la matriz dominante,
del cual se pretende obtener resultados más aproximados de los que resultan por
otros métodos iterativos, esto con la ayuda de una programa de computadora basado
en el, este programa es realizado bajo el software de VISUAL FORTRAN 5.0, La
implementación de un software para la solución al problema de flujos de potencia, es
de gran ayuda, ya que reduce considerablemente el tiempo de ejecución de este y
cualquier método iterativo, además de evitar pérdidas de información entre cada
ecuación del método utilizado.
3.2 Formación de la matriz de admitancias
La matriz de admitancias, también llamada Ybus, es de suma importancia en los
análisis de flujos de potencia, ya que a través de ella, se puede identificar como
están interconectados los distintos tipos de nodos del sistema y así poder calcular
cuanta potencia real y reactiva fluye a través de las líneas de transmisión, además de
saber cómo se comporta un nodo cuando se le suministra diferentes tipos de voltaje.
La matriz de admitancias puede formarse por medio de distintos métodos, como lo
son: la ley de voltajes y corrientes de Kirchhoff, por la aplicación de matrices de
transformaciones singulares, por inspección de red, etc.
En este capítulo solo se explicará la formación de Ybus a través del método por
inspección de red, la cual se describe a continuación.
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CALCULO DE FLUJOS DE POTENCIA APLICANDO EL CONCEPTO DE MATRIZ DOMINANTE
3.2.1 Inspección de red
Sea la figura 3.1 el diagrama unifilar de un sistema de potencia de 3 nodos, donde en
el nodo 1 y 2 muestra los generadores que alimentan al sistema y el nodo 3 la carga
que consume el mismo. Los valores de los elementos se especifican en la tabla 3.1.
Figura 3.1 Diagrama unifilar de un sistema eléctrico de potencia de 3 nodos
Tabla 3.1 Datos de elementos del diagrama unifilar de la figura 3.1
Impedancia
Admitancia
Línea de nodo
a nodo
R
X
G
B
1–2
0.15
0.02
6.5502
-0.8734
1–3
0.25
0.17
2.7352
-1.8600
2–3
0.05
0.20
1.1765
-4.7059
Recordemos que los elementos principales de la matriz de admitancias son: los que
integran la diagonal principal, también llamadas admitancias propias, y de los
elementos que se encuentran fuera de la diagonal principal, o admitancias mutuas.
De la tabla 3.1 se observa que el nodo 1 tiene conexiones con los nodos 2 y 3, por lo
que los elementos de la fila 1 son:
Si se toman en cuenta las impedancias:
Para la admitancia propia se realiza el cálculo de la siguiente manera:
𝑌11 =
1
1
1
1
+
=
+
= 9.2854 − 𝑗2.7334
𝑍12 𝑍13 0.15 + 𝑗0.02 0.25 + 𝑗0.17
En las admitancias mutuas se toma en cuenta solo la conexión que existe entre los
nodos, pero con signo negativo:
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CALCULO DE FLUJOS DE POTENCIA APLICANDO EL CONCEPTO DE MATRIZ DOMINANTE
1
1
=−
= −6.5502 + 𝑗0.8734
𝑍12
0.15 + 𝑗0.02
1
1
𝑌13 = −
=−
= −2.7352 + 𝑗1.86
𝑍13
0.25 + 𝑗0.17
𝑌12 = −
Si se toman en cuenta las admitancias:
Admitancia propia, solo se suman de forma compleja los valores de las admitancias
que intervienen en el nodo.
𝑌11 = 𝑌12 + 𝑌13 = 6.5502 − 𝑗0.8734 + 2.7352 − 𝑗1.8600 = 9.2854 − 𝑗2.7334
Admitancia mutua, se toman en cuenta que elementos están interconectados entre sí
pero con signo contrario:
𝑌12 = − 6.5502 − 𝑗0.8734 = −6.5502 + 𝑗0.8734
𝑌13 = − 2.7352 − 𝑗1.86 = −2.7352 + 𝑗1.86
Este mismo procedimiento se repite para los demás elementos de las filas siguientes
de la matriz de admitancias, queda a consideración si realizar el cálculo mediante
admitancias o impedancias, dependiendo si el problema cuenta con ambos datos.
Los elementos de las filas 2 y 3 del problema 3.1 son:
𝑌𝐵𝑢𝑠
9.2854 − 𝑗2.7334
= −6.5502 + 𝑗0.8734
−2.7352 + 𝑗1.86
−6.5502 + 𝑗0.8734
7.7267 − 𝑗5.5793
−1.1765 + 𝑗4.7059
−2.7352 + 𝑗1.86
−1.1765 + 𝑗4.7059
3.9117 − 𝑗6.5659
3.3 Elaboración del Método de la matriz dominante
En el capítulo 2 se explicaron dos de los métodos iterativos comunes para la solución
de flujos de potencia: GAUSS-SEIDEL y NEWTON RHAPSON, en este capítulo se
presenta una nueva solución para este problema, que será denominado “Método de
la matriz dominante”.
Se dice que una matriz es dominante, cuando un elemento de la diagonal principal es
mayor a la sumatoria del resto de los elementos que conforman la misma fila:
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CALCULO DE FLUJOS DE POTENCIA APLICANDO EL CONCEPTO DE MATRIZ DOMINANTE
𝑌𝑖𝑖 >
𝑌𝑖𝑗
𝑗 ≠𝑖
Una propiedad de este tipo de matriz se establece en el teorema: “Toda matriz
dominante es una matriz invertible”, con ello podemos dar solución de la forma Ax=b,
como se realizó en el método de Gauss-Seidel, y como se aplica en el método de
Jacobi.
𝐴𝑥 = 𝑏
𝑌𝑉 = 𝐼
3.1
Donde: Y es la matriz dominante de admitancias del sistema
V son los voltajes en los nodos del sistema representados por un vector
I son las corrientes que circulan a través del sistema
Sea un sistema de 4 nodos como el mostrado en la figura 3.2, de donde la ecuación
3.3.2 puede escribirse como sigue:
Figura 3.2 Diagrama unifilar de un SEP de 4 nodos
𝑌11
𝑌21
𝑌31
𝑌41
𝑌12
𝑌22
𝑌32
𝑌42
𝑌13
𝑌23
𝑌33
𝑌43
𝑌14
𝑌24
𝑌34
𝑌44
𝑉1
𝐼1
𝑉2
𝐼2
=
𝑉3
𝐼3
𝑉4
𝐼4
3.2
Sabemos que la potencia aparente de un sistema eléctrico de potencia se calcula
mediante:
𝑆 = 𝑉𝐼 ∗
3.3
De esta ecuación podemos despejar la corriente como se muestra a continuación
𝑆 ∗ = 𝑉𝐼 ∗
∗
𝑆 ∗ = 𝑉 ∗𝐼
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CALCULO DE FLUJOS DE POTENCIA APLICANDO EL CONCEPTO DE MATRIZ DOMINANTE
𝑆∗
𝐼𝑖 = 𝑉𝑖 ∗
3.4
𝑖
Sustituyendo la ecuación 3.4 en la ecuación 3.2 tenemos:
Para el nodo 1.
𝑆1 ∗
𝑌11 𝑉1 + 𝑌12 𝑉2 + 𝑌13 𝑉3 + 𝑌14 𝑉4 = ∗
𝑉1
Para el nodo 2.
𝑌21 𝑉1 + 𝑌22 𝑉2 + 𝑌23 𝑉3 + 𝑌24 𝑉4 =
𝑆2 ∗
𝑉2∗
𝑌31 𝑉1 + 𝑌32 𝑉2 + 𝑌33 𝑉3 + 𝑌34 𝑉4 =
𝑆3 ∗
𝑉3∗
Para el nodo 3.
Para el nodo 4.
𝑆4 ∗
𝑌41 𝑉1 + 𝑌42 𝑉2 + 𝑌43 𝑉3 + 𝑌44 𝑉4 = ∗
𝑉4
Debido a que las ecuaciones son semejantes, se puede adoptar una ecuación
general, de la forma siguiente:
𝑌𝑖1 𝑉1 + 𝑌𝑖2 𝑉2 + 𝑌𝑖3 𝑉3 +. . . +𝑌𝑖𝑖 𝑉𝑖 +. . . +𝑌𝑖𝑗 𝑉𝑗 =
𝑆𝑖 ∗
𝑉𝑖∗
3.5
De la ecuación 3.5 tenemos:
𝑉𝑖∗ 𝑌𝑖1 𝑉1 + 𝑌𝑖2 𝑉2 + 𝑌𝑖3 𝑉3 +. . . +𝑌𝑖𝑖 𝑉𝑖 +. . . +𝑌𝑖𝑗 𝑉𝑗 = 𝑆𝑖 ∗
3.6
De la ecuación 3.6, se establece una función, la cual controlará al método iterativo de
la matriz dominante:
𝑓𝑖 = 𝑆𝑖∗ −
𝑛
𝑗 =1,𝑗 ≠𝑖
𝑌𝑖𝑗 𝑉𝑗 𝑉𝑖∗
3.7
Esta función a su vez es controlada por el elemento principal de la fila de la matriz
Ybus, ósea la admitancia propia del nodo en el que se esté calculando el voltaje, de
aquí el nombre de matriz dominante.
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CALCULO DE FLUJOS DE POTENCIA APLICANDO EL CONCEPTO DE MATRIZ DOMINANTE
𝑉𝑖
(𝑘+1)
= 𝑉𝑖
(𝑘)
𝑓
+ 𝑌𝑖
3.8
𝑖𝑖
Esta es la ecuación general que será utilizada por el método de la matriz dominante.
3.3.1 Nodo de voltaje controlado
Como se vio en el capítulo 2, por el método de GAUSS-SEIDEL, la potencia reactiva
(Q), que existe en un nodo de voltaje controlado, se calculará de la misma manera,
por lo que:
𝑆𝑘 =
𝑃𝑘 − 𝑄𝑘 =
𝑁
𝑌𝑖𝑗 𝑉𝑗 Vi ∗
𝑗 =1
𝑁
𝑗 =1
𝑌𝑖𝑗 𝑉𝑗 Vi ∗
∗
𝑁
𝑗 =1 𝑌𝑖𝑗 𝑉𝑗 𝑉𝑖
𝑄𝑘 = −𝐼𝑚𝑎𝑔𝑖𝑛𝑎𝑟𝑖𝑎
3.9
Así mismo el voltaje se mantiene con la misma magnitud pero su ángulo varia, de
acuerdo con la siguiente ecuación:
𝑉𝑖 =
𝑉𝑜𝑟𝑖𝑔𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑛𝑜𝑑𝑜
𝑉𝑖
𝑉𝑖
3.10
Ejercicio 3.1
Para la demostración de este nuevo método de solución a problemas de flujos de
potencia, se tomará el ejercicio 2.1 de capitulo 2. Donde los valores de las
impedancias se dan en tabla 3.2
Tabla 3.2 Datos de los elementos del SEP correspondientes al ejercicio 3.1
R
X
P
Q
V
Línea
Barra
Observaciones
(p. u.) (p. u.)
(p. u.) (p. u.)
(p. u.)
1-2
0.10
0.40
1
1.02 0 Nodo de referencia
1-4
0.15
0.60
2
-0.6
-0.3
Nodo de carga
1 0
1-5
0.05
0.20
3
1.0
0.42553 1.04 0
Nodo de carga
2-3
0.05
0.20
4
-0.4
-0.1
Nodo de carga
1 0
2-4
0.10
0.40
5
-0.6
-0.2
Nodo de carga
1 0
3-5
0.05
0.20
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CALCULO DE FLUJOS DE POTENCIA APLICANDO EL CONCEPTO DE MATRIZ DOMINANTE
Formación de la matriz de admitancias:
2.1568 − 𝑗8.6274
−0.5882 + 𝑗2.3529
0
−0.3921 + 𝑗1.5686
−1.1764 + 𝑗4.7058
−0.5882 + 𝑗2.3529
2.3529 − 𝑗9.4117
−1.1764 + 𝑗4.7058
−0.5882 + 𝑗2.3529
0
0
−1.1764 + 𝑗4.7058
2.3529 − 𝑗9.4117
0
−1.1764 + 𝑗4.7058
−0.3921 + 𝑗1.5686
−0.5882 + 𝑗2.3529
0
0.9803 − 𝑗3.9215
0
−1.1764 + 𝑗4.7058
0
−1.1764 + 𝑗4.7058
0
2.3529 − 𝑗9.4117
Para el nodo 1.
Por ser el nodo de referencia no se incluye en el proceso iterativo. Cuando el
proceso iterativo finalice se pueden calcular las potencias real y reactivas.
Para el nodo 2.
De acuerdo a la ecuación 3.3.
(𝑘+1)
𝑉2
(𝑘)
= 𝑉2
+
𝑃2 − 𝑄2 −
𝑌21 𝑉1 𝑉2∗ + 𝑌22 𝑉2 𝑉2∗ + 𝑌23 𝑉3 𝑉2∗ +
𝑌24 𝑉4 𝑉2∗ + (𝑌25 𝑉5 𝑉2∗ )
𝑌22
−0.6 + 𝑗0.3 − −0.05872 + 𝑗0.23519
2.3529 − 𝑗9.4117
= 1 + (−0.02001 − 𝑗0.052508)
= 0.97998 − 𝑗0.052508
=1+
Para el nodo 3.
= 1.04 +
1 + 𝑗0.42553 − 0.097984 − 𝑗0.39163
2.3529 − 𝑗9.4117
= 1.04 + (0.02594 + 𝑗0.08935)
= 1.06594 + 𝑗0.89354
Para el nodo 4.
=1+
−0.4 − 𝑗0.1 − −0.00784 + 𝑗0.03137
0.9803 − 𝑗3.9215
= 1 + (−0.039999 − 𝑗0.090002)
= 0.9900005 − 𝑗0.090002
Para el nodo 5.
=1+
−0.6 − 𝑗0.2 − −0.07048 + 𝑗0.28224
2.3529 − 𝑗9.4117
= 1 + (−0.005013 − 𝑗0.055008)
Luis Daniel Hernández Ruiz
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CALCULO DE FLUJOS DE POTENCIA APLICANDO EL CONCEPTO DE MATRIZ DOMINANTE
= 0.99498 − 𝑗0.055008
A continuación se muestran los resultados que arroja este método, al término de la
segunda iteración:
V2 = 0.98591-j0.03434
V3 = 1.06264+j0.01914
V4 = 0.95181-j0.12708
V5 = 1.01319-j0.01346
3.4 Desarrollo del software
Se acaba de desarrollar el método de la matriz dominante, el cual es programado en
el software de Visual Fortran 5.0, el cual esta descrito en el apéndice A.
En este programa el usuario proporciona la siguiente información:

Impedancia y admitancia en paralelo que existe entre las líneas de conexión
entre cada nodo del sistema eléctrico.

La potencia de generación y de carga.

El voltaje en cada nodo

Tipo de nodo (nodo de referencia, de voltaje controlado, de carga) con el que
cuenta la red.

La tolerancia que el usuario desea tenga el margen de error entre los voltajes
Con estos datos el software crea la matriz de admitancias de la red, con la cual se
calcula la magnitud y ángulo del voltaje en cada nodo, estos voltajes son verificados
con un margen de tolerancia entre cada iteración del método de la matriz dominante.
Una vez obtenidos los voltajes, se calcula el flujo de potencia entre cada línea de
conexión y la pérdida de potencia total de la red.
En el siguiente capítulo se muestran los resultados obtenidos del método de la matriz
dominante mediante el programa desarrollado.
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CALCULO DE FLUJOS DE POTENCIA APLICANDO EL CONCEPTO DE MATRIZ DOMINANTE
CAPÍTULO IV.
RESULTADOS
4.1 Problemas resueltos
Ejercicio 4.1
La figura 4.1, representa el diagrama unifilar de un sistema de 5 nodos. Los
generadores están conectados a los nodos 1 y 3. Las cargas están indicadas en los
nodos 2, 4 y 5. Suponer que el cálculo iterativo parte del nodo 2. Determinar los
valores de la tensión en cada nodo y el flujo de potencia, con un margen de error de
1.0e-08. [11]
Figura 4.1. Diagrama unifilar de un sistema de potencia de 5 nodos
Los valores de las impedancias, potencia real y reactiva correspondiente al diagrama
unifilar de la figura 4.1 se dan en la tabla 4.1.
Tabla 4.1 Datos de los elementos del SEP correspondientes al ejercicio 3.1
Línea
1-2
1-4
1-5
2-3
2-4
3-5
R
(p. u.)
0.10
0.15
0.05
0.05
0.10
0.05
X
(p. u.)
0.40
0.60
0.20
0.20
0.40
0.20
Luis Daniel Hernández Ruiz
Barra
1
2
3
4
5
P
(p. u.)
0
-0.6
1.0
-0.4
-0.6
Q
(p. u.)
0
-0.3
0
-0.1
-0.2
V
(p. u.)
1.02 0
1 0
1.04 0
1 0
1 0
Observaciones
Nodo de referencia
Nodo de carga
Valor constante de V
Nodo de carga
Nodo de carga
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CALCULO DE FLUJOS DE POTENCIA APLICANDO EL CONCEPTO DE MATRIZ DOMINANTE
El programa muestra los datos del sistema: impedancia, potencia de generación,
potencia de carga, voltajes en cada nodo de la red, y la interconexión que existe
entre cada elemento del sistema de potencia.
Una vez obtenidos los datos del sistema, el programa calcula la matriz de
admitancias de la red.
|
Realiza las iteraciones correspondientes de acuerdo al margen de error permitido
(especificado en los datos del problema).
Al termino de las iteraciones correspondientes, muestra los voltajes calculados por el
método de la matriz dominante, y en base a ellos realiza el cálculo de flujo de
potencia que existe entre cada línea de conexión de nodos.
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CALCULO DE FLUJOS DE POTENCIA APLICANDO EL CONCEPTO DE MATRIZ DOMINANTE
Con los flujos de potencia calculados, al finalizar el programa muestra la pérdida total
de potencia de la red.
Tiempo de ejecución: 31.20020 milisegundos
Ejercicio 4.2
Un sistema de 9 elementos se muestra en la figura 4.2, en el se estable que el nodo
1 es el de referencia, mientras que en el nodo 2 y 3 se inyecta un voltaje a la red. Los
datos de cada elemento del sistema se muestran en la tabla 4.2 y 4.3. Determinar los
valores de la tensión en cada nodo y el flujo de potencia, con un margen de error de
1.0e-11. [13]
Figura 4.2. Diagrama unifilar de un sistema de potencia de 9 nodos
Luis Daniel Hernández Ruiz
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CALCULO DE FLUJOS DE POTENCIA APLICANDO EL CONCEPTO DE MATRIZ DOMINANTE
Tabla 4.2. Conexión entre los elementos del sistema.
Tabla 4.3. Potencia de generación y de carga de cada nodo.
Con estos valores y de acuerdo a la tolerancia permitida por el enunciado, se
produce un numero de 202 iteraciones con un margen de error entre cada uno de los
voltajes de 9.476E-12.
Los nuevos voltajes son:
Con estos voltajes el flujo de potencia entre cada elemento son y la pérdida de
potencia es:
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CALCULO DE FLUJOS DE POTENCIA APLICANDO EL CONCEPTO DE MATRIZ DOMINANTE
Tiempo de ejecución: 78.005 milisegundos
Ejercicio 4.3
En la figura 4.3 se muestra el diagrama unifilar de un sistema eléctrico de potencia
de 4 nodos, en el cual, se muestra al nodo 1 como nodo de compensación, mientras
que el nodo 4 como nodo de voltaje controlado, los nodos restantes (2 y 4) como
nodos de carga, los valores de cada elemento de la red, se muestran en las tablas de
impedancia y potencia (tabla 4.4 y 4.5 respectivamente), calcular los voltajes de cada
nodo y el flujo de potencia entre líneas con un margen de error de 1.0e-08. [12]
Figura 4.3. Diagrama unifilar de un sistema de potencia de 4 nodos.
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CALCULO DE FLUJOS DE POTENCIA APLICANDO EL CONCEPTO DE MATRIZ DOMINANTE
Tabla 4.4 Impedancias de los elementos correspondientes a la figura 4.3.
Tabla 4.5 Potencia y voltaje de cada nodo correspondiente a la figura 4.3.
El sistema muestra la matriz de impedancias de la red.
Al término de 19 iteraciones y con un margen de error de 6.04 E-9 se producen los
siguientes voltajes:
Con estos voltajes, el programa muestra el flujo de potencia entre las líneas de
transmisión de la red.
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CALCULO DE FLUJOS DE POTENCIA APLICANDO EL CONCEPTO DE MATRIZ DOMINANTE
Con una pérdida de potencia total de:
Tiempo de ejecución: 46.8003 milisegundos.
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CALCULO DE FLUJOS DE POTENCIA APLICANDO EL CONCEPTO DE MATRIZ DOMINANTE
CONCLUSIÓNES
Con la metodología expuesta a lo largo de este documento, así como los resultados
obtenidos por medio del análisis de flujos de potencia, dan paso a exponer las
siguientes conclusiones:
El análisis de flujos de potencia juega un papel muy importante dentro del estudio de
los sistemas eléctricos de potencia, ya que a través de este, se da solución al
problema de mantener equilibrada la red eléctrica en cuanto a generación y
demanda, siendo este el objetivo principal de un sistema eléctrico de potencia.
A través el estudio de flujos de potencia, el ingeniero puede llegar a diseñar una
nueva red eléctrica, ya que contempla la impedancia de los elementos eléctricos que
intervienen (como hemos visto), desde la generación, la transformación, transporte y
la carga de un sistema eléctrico de potencia. Llegar a determinar el tamaño de la red,
si será corta, mediana o grande, poder observar cuanta energía fluye a través de las
líneas de transmisión, que voltaje existirá en cada nodo de la red, entre otras
variables se deriven de estas dos, como por ejemplo cuanta corriente fluye en el
sistema de acuerdo a la carga con la que esté operando el sistema, además del
factor de potencia. Todas estas variables se contemplan a su vez para la protección
del sistema, para: sobrecorriente, sobretensión, sobrecalentamiento, fallas de línea,
etc.
Cuando ya se cuenta con una red eléctrica, el ingeniero utiliza el análisis de flujos de
potencia para observar cómo es que se comportará la red con posibles
modificaciones como lo son las adiciones de nuevas cargas, nuevas centrales
generadoras, nuevas líneas de transmisión, efectos de interconexión con otras,
simular situaciones de riesgo para identificar y corregir bajos voltajes, fallas u otros
fenómenos eléctricos.
Cualquiera que sea el caso, el objetivo del análisis de flujos de potencia, es encontrar
el voltaje de cada nodo del sistema y a partir de estos calcular cuanta potencia real,
reactiva y/o aparente circula a través de las líneas de transmisión, obtener las
pérdidas de potencia del sistema eléctrico, etc.
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CALCULO DE FLUJOS DE POTENCIA APLICANDO EL CONCEPTO DE MATRIZ DOMINANTE
En este trabajo se propone una nueva metodología para dar solución al problema de
flujos de potencia: “Método de la matriz domínate”, denominado así porque su
principal característica es controlar al proceso iterativo por medio de la diagonal
principal de la matriz de admitancias de la red. En el capítulo 3, se explica cómo es
que se desarrolla este método, sus características así como su solución, que ya en el
capítulo 4, se resuelven 3 ejercicios con características eléctricas diferentes, en
cuanto a voltaje, impedancias, tipos y número de nodos que intervienen en ellos. Los
resultados presentados, comprueban y dan validez a la efectividad que este método
puede utilizarse como una alternativa más para el cálculo de flujos de potencia, al dar
resultados fiables y muy aproximados a los reales. También, además de proponer
este método, se exponen dos métodos más como solución a flujos de potencia, los
cuales son comúnmente utilizados: GAUSS-SEIDEL y NEWTON-RAPSHON.
Este nuevo método propuesto para el cálculo de flujos de potencia, cuenta con el
respaldo de un programa de computadora, el cual ayuda a dar resultados con un
rango mínimo de error, al no haber pérdida de información entre las operaciones y
realizarlas en tiempos más rápidos, en comparación con los métodos que se
utilizaban antes de la aparición de las computadoras, como lo eran los analizadores
de redes de corriente alterna o en su caso de corriente continua, los cuales obtenían
los resultados correctos pero con grandes tiempos para la realización del cálculo.
Otra ventaja que podemos encontrar con la programación del método iterativo, es
que podemos realizar modificaciones a los elementos que intervienen en el sistema
y estudiar los resultados del comportamiento de la red eléctrica en distintas
situaciones de operación, obteniendo estos resultados impresos y en cuestión de
segundos.
Independientemente si este método es utilizado por ingenieros para el cálculo de
flujos de potencia a un nivel alto como en las empresas dedicadas a diseñar redes
eléctricas, este trabajo también es enfocado para uso didáctico en la enseñanza de
estudios de flujos de potencia a un nivel de ingeniería o superior, ya que con la
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CALCULO DE FLUJOS DE POTENCIA APLICANDO EL CONCEPTO DE MATRIZ DOMINANTE
ayuda del programa, se podrá observar cómo es que se comporta un sistema de
potencia simulando un problema en la computadora.
Es importante la búsqueda de nuevas formas para la solución de los problemas
eléctricos, en cuanto a eficiencia, aproximación a los valores reales y tiempo de
solución al proceso, ya que con el paso del tiempo, la demanda se está
acrecentando y llegará el momento en que las soluciones que tenemos en la
actualidad lleguen a ser obsoletas, cada día surge tecnología más avanzada y con
ello nuevos problemas y nuevas soluciones.
RECOMENDACIONES Y SUGERENCIAS
Para la solución a problemas de flujos de potencia a través del programa de
computadora por el método de la matriz dominante, se recomienda seguir el formato
para la captura de datos como se muestra en el apéndice B, así mismo como se
delimito en el alcance de este documento, el programa da solución a sistemas
eléctricos que contengas hasta 50 nodos, para incluir mas numero de nodos al
programa se deberá corregir la sintaxis del mismo.
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CALCULO DE FLUJOS DE POTENCIA APLICANDO EL CONCEPTO DE MATRIZ DOMINANTE
ANEXO A. Sintaxis del software que calcula flujos de potencia por
medio de la matriz dominante, bajo el entorno de VISUAL FORTRAN
5.0
Nomenclatura de las variables utilizadas
err = suma de los errores de cada iteración
ybs(50,50) = matriz de admitancias
v(50) = voltaje de nodo calculado
sumaz(50) = sumatoria de la multiplicación de Y,V y Y*
pq(50) = potencia total del sistema
fn(50) = función del método de la diagonal dominante
div(50) = resultado de la división de la función entre la admitancia propia
res1 = resultado previo del flujo de potencia del nodo de origen - destino
res2 = resultado previo del flujo de potencia del nodo de destino - origen
Fp1(50) = flujo de potencia de origen - destino
Fp2(50) = flujo de potencia de destino - origen
Perdidas = perdidas de flujo de potencia
vreal(50) = valor real del voltaje calculado
vimag(50) = valor imaginario del voltaje calculado
yreal(50,50) = valor real de la admitancia calculada
yimag(50,50) = valor imaginario de la admitancia calculada
q(50) = potencia reactiva en nodo de voltaje controlado
p(50) = potencia real en nodo de voltaje controlado
x(50) = nodo de origen
y(50) = nodo de destino
k = contador de iteraciones
tipond(50) = tipo de nodo
Sintaxis del programa
C PROGRAMA QUE CALCULA FLUJOS DE POTENCIA DE UN SISTEMA
ELÉCTRICO
character file*16
real*8 tol, pbase, error, mag(50), ang(50), tiempo, inicial, final
complex*8 yp(50), zl(50), sg(50), sc(50), vnd(50), vo(50), res(50), err
complex*8 ybs(50,50), v(50), sumaz(50), pq(50), fn(50), div(50)
complex*8 res1, res2, Fp1(50), Fp2(50), a, b, perdidas
dimension vreal(50), vimag(50)
dimension yreal(50,50), yimag(50,50), q(50), p(50)
integer x(50), y(50), k, tipond(50), c
write(6,7)
c ENCABEZADO
7 format(2/,T29,'UNIVERSIDAD VERACRUZANA',/,
1T20,'FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA ELECTRICA',/,
2T30,'CAMPUS CIUDAD MENDOZA',/,T20,41('-'),3/,
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CALCULO DE FLUJOS DE POTENCIA APLICANDO EL CONCEPTO DE MATRIZ DOMINANTE
3T33,'DATOS DE LA RED',/,t13,53('*'),2/,
4t7,'Tabla No. 1: Impedancia de la red',/,t7,65('-'))
C IMPEDANCIAS
open(unit=1,file='ddiagov.dat')
read(unit=1,fmt=*)n,inte,tol,itmax,pbase,alfa,icom
write(6,1)
1 format(T7,'-',5x,'Conexion',8x,'Impedancia',11x,
1'Admitancia Shunt',5x,'-',/,T7,'-',
23x,'entre nodos',9x,'(p. u.)',17x,
3'(p. u.)',9x,'-',/,6x,65('-'))
do i=1,inte
read(unit=1,fmt=*)x(i),y(i),zl(i),yp(i)
end do
do i=1,inte
write(6,3)x(i),y(i),zl(i),yp(i)
end do
3 FORMAT(T7,'-',' Del',I3,' al',I3,3X,2F8.4,8x,2f8.4,5x,'-')
write(6,4)
4 format(t7,65('-'),2/)
C POTENCIAS Y VOLTAJE
write(6,5)
format(T7,'Tabla No. 2: Potencias real y reactiva,
1y voltaje de la red',/,t7,65('-'),/,
2t7,'-',3x,'Nodo',6x,'Potencia de',7x,'Potencia de',7x,'Voltaje',
37x,'-',/,t7,'-',10x,'Generacion (p.u.)',3x,'Carga (p.u.)',
43x,'Inicial (p.u.)',3x,'-',/,t7,65('-'))
do i=1,n
read(unit=1,fmt=*)sg(i),sc(i),vnd(i),tipond(i)
end do
do i=1,n
write(6,6)i,sg(i),sc(i),vnd(i)
end do
6 format(t7,'-',2x,i3,4x,2f8.2,2x,2f8.2,2f8.2,4x,'-')
write(6,8)
8 format(t7,65('-'),3/)
WRITE(6,9)
9 FORMAT(t7,'La Matriz De Admitancias De La Red Es:',/,t7,65('-'))
c FORMULACIÓN DE LA MATRIZ DE ADMITANCIAS
do i=1, n
do j=1, n+1
ybs(i,i) = cmplx(0.0,0.0)
do z=1, inte
if(i.EQ.x(z).OR.i.EQ.y(z)) then
iz=x(z)
jz=y(z)
ybs(i,i) =ybs(i,i)+1.0/zl(z)+yp(z)
ybs(iz,jz) =-1.0/zl(z)
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CALCULO DE FLUJOS DE POTENCIA APLICANDO EL CONCEPTO DE MATRIZ DOMINANTE
ybs(jz,iz) =-1.0/zl(z)
else
ybs(i,j) = cmplx(0.0,0.0)
end if
end do
end do
end do
DO i=1,n
DO j=1,n
yreal(i,j)= REAL(ybs(i,j))
yimag(i,j)= AIMAG(ybs(i,j))
end do
end do
C IMPRESIÓN DE LA MATRIZ DE ADMITANCIAS
10 FORMAT(t6,8(F9.4,1X))
DO i=1,n
WRITE(6,10)(yreal(i,j),j=1,n)
WRITE(6,10)(yimag(i,j),j=1,n)
write(6,*)
end do
WRITE(6,11)
11 FORMAT(t7,65('-'),/,t7,65('-'),2/)
C CALCULO DE LA SUMATORIA DE LAS IMPEDANCIAS DE CADA NODO
k=0
error=1
do i=1,n
if(tipond(i).EQ.2)then
vo(i)=vnd(i)
end if
sc(i)=sc(i)/pbase
sg(i)=sg(i)/pbase
end do
do while (tol.LE.error)
do i=1,n
sumaz(i)=(0.00,0.00)
end do
do i=1, n
do j=1, n
res(i)=(ybs(i,j)*vnd(j)*conjg(vnd(i)))
sumaz(i)=sumaz(i)+res(i)
end do
end do
do i=1, inte
if(tipond(i).EQ.2)then
q(i)=-aimag(sumaz(i))
p(i)=real(sg(i))
sg(i)=cmplx(p(i),q(i))
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CALCULO DE FLUJOS DE POTENCIA APLICANDO EL CONCEPTO DE MATRIZ DOMINANTE
end if
end do
c CÁLCULO DE VOLTAJES
do i=1, n
pq(i)=conjg(sg(i)-sc(i))
fn(i)=pq(i)-sumaz(i)
div(i)=fn(i)/ybs(i,i)
v(i)=(vnd(i)+div(i))
if(tipond(i).EQ.2)then
v(i)=abs(vo(i)/v(i))*v(i)
end if
if(tipond(i).EQ.0)then
v(i)=vnd(i)
end if
a=v(i)
b=vnd(i)
end do
err=cmplx(0.0,0.0)
do i=1,n
err=err+(v(i)-vnd(i))**2
end do
do i=1,n
vnd(i)=v(i)
end do
k=k+1
error=(abs(err))
end do
do i=1, n
vreal(i)=real(v(i))
vimag(i)=aimag(v(i))
mag(i)=abs(v(i))
ang(i)=(atan(vimag(i)/vreal(i)))*180/3.1416
end do
WRITE(6,12)k, error
12 FORMAT(t7,'Al termino de:',i3,2x,'Iteraciones',/
1t7,'Se produce un error de:',1pe12.3,2/)
WRITE(6,13)
13 FORMAT(t7,'Voltajes Calculados En Cada Nodo (P.U.)',/,t7,65('-'),/
1t7,'-',10x,'Nodo',6x,'Forma Rectangular',6x,'Forma Polar',9x,'-',/
2t7,65('-'))
do i=1,n
WRITE(6,14)i, v(i), mag(i), ang(i)
14 FORMAT(t7,'-',2x,'Voltaje',i3,7x,2F8.5,3x,F9.5,F9.5,7x,'-')
end do
write(6,15)
15 format(t7,65('-'),/,t7,65('-'),3/)
c FLUJOS DE POTENCIA
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CALCULO DE FLUJOS DE POTENCIA APLICANDO EL CONCEPTO DE MATRIZ DOMINANTE
write(6,16)
16 format(t15,'FLUJOS DE POTENCIA',/,t15,50('-'),/
1t15,'-',x,'Linea de flujo',4x,'Pot. Aparente (MVA)'
210x,'-',/,t15,50('-'))
do i=1,inte
k1=x(i)
k2=y(i)
res1=(v(k1)-v(k2))/zl(i)+yp(i)*v(k1)
Fp1(i)=conjg(v(k1))*(res1)
Fp1(i)=conjg(Fp1(i))*pbase
res2=(v(k2)-v(k1))/zl(i)+yp(i)*v(k2)
Fp2(i)=conjg(v(k2))*(res2)
Fp2(i)=conjg(Fp2(i))*pbase
write(6,17)x(i),y(i),Fp1(i)
write(6,18)y(i),x(i),Fp2(i)
write(6,*)
end do
c PÉRDIDAS TOTALES
do i=1, n
perdidas=perdidas+(Fp1(i)+Fp2(i))
end do
17 format(t15,'-',4x,i2,3x,i2,7x,2f10.4,10x,'-')
18 format(t15,'-',4x,i2,3x,i2,7x,2f10.4,10x,'-')
write(6,19)
19 format(t15,50('-'),/,t15,50('-'),3/)
write(6,20)perdidas
20 Format(T7,'Las Perdidas De Potencia del sistema son:',/
1t7,1pe12.5,2x,1pe12.5,2x,'(MVA)')
c TIEMPO DE EJECUCIÓN
CALL CPU_TIME(final)
write(*,*)
tiempo=(final - inicial)*1000.0
write(6,21)tiempo
21 format(t7,'Tiempo de ejecucion= ',f10.5,' mili segundos',/)
WRITE(6,22)
22 FORMAT(2/,t20,'***** REPORTE TERMINADO *****',3/)
stop
end
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CALCULO DE FLUJOS DE POTENCIA APLICANDO EL CONCEPTO DE MATRIZ DOMINANTE
ANEXO B. DATOS DE ENTRADA PARA LOS EJERCICIOS
PROPUESTOS EN EL CAPITULO 4.
Ejercicio 4.1, sistema de 5 nodos, tomado del libro “Análisis de sistemas eléctricos de
potencia” Stevenson Jr.
5, 6, 1.0e-08, 100, 100, .95, 1
1,2,(0.10,0.40),(0.00,0.030)
1,4,(0.15,0.60),(0.00,0.035)
1,5,(0.05,0.20),(0.00,0.025)
2,3,(0.05,0.20),(0.00,0.025)
2,4,(0.10,0.40),(0.00,0.030)
3,5,(0.05,0.20),(0.00,0.025)
(0.000,0.000),( 00.00,0.00),(1.02,0.00),0
(0.000,0.000),( 60.00,30.0),(1.00,0.00),1
(100.0,0.000),( 00.00,0.00),(1.04,0.00),2
(0.000,0.000),( 40.00,10.0),(1.00,0.00),1
(0.000,0.000),( 60.00,20.0),(1.00,0.00),1
end file
Ejercicio 4.2, sistema de nueve nodos, “Sistemas de potencia: análisis y diseño”, D.
Anderson
9, 9, 1.0e-11, 20, 100, 1.0, 1
1, 4, (0.000,0.0576),(0.0,0.00)
2, 7, (0.000,0.0625),(0.0,0.00)
3, 9, (0.000,0.0586),(0.0,0.00)
4, 5, (0.010,0.0850),(0.0,0.088)
4, 6, (0.017,0.0920),(0.0,0.079)
5, 7, (0.032,0.1610),(0.0,0.153)
6, 9, (0.039,0.1700),(0.0,0.179)
7, 8, (0.0085,0.072),(0.0,0.0745)
8, 9, (0.0119,0.1008),(0,0.1045)
( 0.0, 0.00),( 0.0, 0.0),(1.04,0.00),0
(163.0, 6.70),( 0.0, 0.0),(1.00,0.00),2
( 85.0,-10.90),( 0.0, 0.0),(1.00,0.00),2
( 0.0, 0.00),( 0.0, 0.0),(1.00,0.00),1
( 0.0, 0.00),(125.0,50.0),(1.00,0.00),1
( 0.0, 0.00),( 90.0,30.0),(1.00,0.00),1
( 0.0, 0.00),( 0.0, 0.0),(1.00,0.00),1
( 0.0, 0.00),(100.0,35.0),(1.00,0.00),1
( 0.0, 0.00),( 0.0, 0.0),(1.00,0.00),1
end file
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CALCULO DE FLUJOS DE POTENCIA APLICANDO EL CONCEPTO DE MATRIZ DOMINANTE
Ejercicio 4.3, sistema de cuatro nodos, “Analisis de Sistemas de
potencia”, Grainger.
4, 4, 1.0e-08, 100, 100, 0.95, 1
1, 2, (0.01008, 0.05040), (0.0, 0.05125)
1, 3, (0.00744, 0.03720), (0.0, 0.03875)
2, 4, (0.00744, 0.03720), (0.0, 0.03875)
3, 4, (0.01272, 0.06360), (0.0, 0.06375)
( 00.000, 0.000),( 50.000, 30.990),(1.00,0.0),0
( 00.000, 100.000),(170.000,105.350),(1.00,0.0),1
( 00.000, 0.000),(200.000,123.940),(1.00,0.0),1
(318.000, 0.000),( 80.000, 49.580),(1.02,0.0),2
end file
Formato para la introducción de datos al sistema, esta información se guarda en
Block de notas con el nombre de “ddiagov”
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Tipo de nodo:

0 nodo de referencia

1 nodo de carga

2 Nodo de voltaje controlado
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CALCULO DE FLUJOS DE POTENCIA APLICANDO EL CONCEPTO DE MATRIZ DOMINANTE
LISTA DE FIGURAS
Figura 1.1. Representación del voltaje y la corriente. ..................................................8
Figura 1.2. Triángulo de potencias. .............................................................................9
Figura 1.3. Símbolos de elementos generales de sistemas de potencia, normas
ANSI e IEC ..............................................................................................................11
Figura 1.4. Diagrama unifilar de un sistema eléctrico de potencia . ..........................11
Figura 1.4. Diagrama de impedancias correspondientes al diagrama unifilar de
la figura 1.4 . ..............................................................................................................12
Figura 1.5. Diagrama de reactancias resultante del diagrama de impedancias de
la figura 1.5. Se muestran las unidades en cantidades por unidad (p. u.). ................13
Figura 1.6. Diagrama unifilar de un sistema eléctrico de potencia de 5 nodos. .........16
Figura 1.7. Representación de una línea de transmisión por su forma  nominal. ....21
Figura 1.8. Transformador con TAP nominal ............................................................22
Figura 1.10. Transformador con TAP fuera de la posición nominal . ..........................22
Figura 2.1. Diagrama unifilar de un sistema eléctrico de potencia de 5 nodos,
correspondiente al ejercicio 2.1 . ................................................................................29
Figura 2.2. Diagrama unifilar de un sistema eléctrico de potencia de 4 nodos ..........38
Figura 3.1. Diagrama unifilar de un sistema eléctrico de potencia de 3 nodos. .........46
Figura 3.2. Diagrama unifilar de un SEP de 4 nodos .................................................48
Figura 4.1. Diagrama unifilar de un sistema eléctrico de potencia de 5 nodos ..........53
Figura 4.2. Diagrama unifilar de un sistema eléctrico de potencia de 9 nodos ..........55
Figura 4.3. Diagrama unifilar de un sistema eléctrico de potencia de 4 nodos ..........57
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LISTA DE TABLAS
Tabla 2.9. Impedancias de interconexión entre nodos ........................................................ 29
Tabla 2.10. Potencia real, reactiva y voltaje de cada nodo ................................................... 29
Tabla 2.11. Datos de línea, correspondiente al diagrama unifilar de la figura 2.3.1 .38
Tabla 2.4. Datos de nodos, correspondiente al diagrama unifilar de la figura 2.3.1 .............. 39
Tabla 3.1. Datos de elementos del diagrama unifilar de la figura 3.1 .........................46
Tabla 3.2. Datos de los elementos del SEP correspondientes al ejercicio 3.1 ..........50
Tabla 4.1. Datos de los elementos del SEP correspondientes al ejercicio 4.1. ..................... 53
Tabla 4.2. Conexión entre los elementos del sistema ........................................................... 56
Tabla 4.3. Potencia de generación y carga de cada nodo .................................................... 56
Tabla 4.4. Impedancias de los elementos correspondientes a la figura 4.3.. .............58
Tabla 4.5. Potencia y voltaje de cada nodo correspondiente a la figura 4.3. . ...........58
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CALCULO DE FLUJOS DE POTENCIA APLICANDO EL CONCEPTO DE MATRIZ DOMINANTE
BIBLIOGRAFÍA
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