Experimentos en Teoría de Control: Convertidores CD-CD. Daniel U. Campos-Delgado Facultad de Ciencias (UASLP) Resumen—. En el presente artículo se introduce el desarrollo de convertidores CD-CD como elementos didácticos en teoría de control. El modelado de las 3 topologías básicas (Buck, Boost y Buck-Boost) es detallado, desarrollando los modelos no-lineales promedio y las aproximaciones lineales para cada caso. La configuración con perturbación en el voltaje de alimentación es considerada. Así, se presenta el problema de regulación del voltaje de salida promedio ante perturbaciones utilizando un lazo de retroalimentación de voltaje. Controladores PI son propuestos para este propósito, y por medio del análisis de Routh-Hurwitz se derivan los rangos de valores para las ganancias del controlador que garantizan estabilidad de lazo cerrado. La respuesta transitoria es medida a través del margen de fase del sistema de lazo abierto. Además también se analiza el efecto de las perturbaciones a través de la función de transferencia de sensitividad. Finalmente, tomando el caso del convertidor Boost (elevador), pruebas experimentales demuestran la efectividad del diseño final. Índices—Sistemas de Electrónica de Potencia. D Control, Convertidores CD-CD, I. INTRODUCCIÓN entro de las carreras con perfil en ingeniería mecánica, eléctrica o electrónica, la teoría de control es un tema relevante que se relaciona con aplicaciones prácticas en estas áreas. Más allá, la creciente tendencia a automatizar los procesos industriales ha llevado a la teoría de control a ser un requisito importante en el perfil de los nuevos ingenieros. De esta manera, durante la licenciatura, conceptos como modelado matemático, funciones de transferencia, respuesta transitoria y de estado estable, estabilidad, controladores PID, respuesta en frecuencia, lugar de las raíces y diseño de compensadores son cubiertos en los cursos de control. Un punto esencial durante el proceso enseñanza-aprendizaje recae en proveer al estudiante con ejemplos prácticos donde pueda ver la importancia de dichos conceptos. Debido al avance en los paquetes de simulación numérica, una primera instancia es utilizar la simulación como un medio para reforzar los conocimientos teóricos vistos por el estudiante en el salón de clase. Así, la simulación permite un acceso inmediato a implementaciones en el área de control. Sin embargo, siempre es motivante para el estudiante ver implementaciones físicas El desarrollo de este trabajo fue realizado gracias al apoyo brindado por PROMEP (Proyecto para la Generación y Aplicación del Conocimiento). de los algoritmos de control. Al respecto existen compañías que realizan experimentos didácticos en teoría de control, pero en ocasiones el precio de estos sistemas puede ser prohibitivo para algunas instituciones. Otro punto a considerar, es que el estudiante debe también entender y proyectar que la implementación de un sistema de control involucra el diseño de actuadores, compra de sensores e instrumentación electrónica para acondicionamiento de señales. Con esta motivación, se buscó desarrollar un experimento didáctico que pudiera ser de bajo costo y que involucrara los aspectos esenciales cubiertos en la materia básica de teoría de control: modelado matemático, funciones de transferencia, estabilidad y respuesta transitoria. El experimento desarrollado es el de la regulación del voltaje de salida en un convertidor CD-CD, el cual satisface los aspectos antes descritos y su puesta en marcha requiere conocimientos de teoría de circuitos y amplificadores operacionales. La organización del resto del artículo se presenta a continuación. La Sección 2 describe las tres configuraciones de los convertidores CD-CD estudiadas y el modelado matemático se obtiene para cada topología. A continuación, en la Sección 3 la instrumentación electrónica necesaria en el experimento se ilustra. El diseño de los controladores PI se detalla en la Sección 4. Finalmente, las pruebas experimentales para el convertidor Boost se presentan en la Sección 5, y comentarios finales se dan en la Sección 6. II. CONVERTIDORES CD-CD Los convertidores CD-CD son configuraciones de electrónica de potencia que permiten a partir de una fuente de CD constante, controlar el voltaje CD a la salida del convertidor [1],[2],[3]. Estos convertidores tienen múltiples aplicaciones: fuentes de poder en computadoras, sistemas distribuidos de potencia, sistemas de potencia en vehículos eléctricos, etc. Las configuraciones básicas son tres: Buck (reductora), Boost (elevadora) y Buck-Boost (elevadorareductora). Estas configuraciones permiten elevar, reducir o elevar/reducir el voltaje de alimentación (vs) en la salida (vo). Cada configuración a su vez contiene cuatro elementos básicos: bobina (L), capacitor (C), diodo y un interruptor controlado (Q); así las propiedades de cada topología dependen de la ubicación de estos cuatro elementos, ver Figura 1, 2 y 3. Se asume en general que la carga para los convertidores es de tipo resistiva (R). • Resistencias parásitas y caídas de voltaje en los elementos reactivos del circuito. Debido a estos factores, se debe añadir un lazo de control y así poder regular el voltaje de salida en el valor deseado. Figura 1. Convertidor Buck (Reductor). Figura 4. Esquema de Conmutación PWM. Por lo tanto, el problema de control se plantea asumiendo que las variables de interés poseen un valor constante y una parte fluctuante: vs = Vs + vˆs (t ) vo = Vo + vˆo (t ) Figura 2. Convertdir Boost (Elevador). (2) u = U + uˆ (t ) En consecuencia, se busca reducir las variaciones en el voltaje de salida ante el efecto de las posible perturbaciones del voltaje de alimentación y resistencia de carga, añadiendo un factor de corrección en el ciclo de trabajo û(t). Esto se logra utilizando un lazo de retroalimentación proporcional-integral (PI) [2] como se muestra en la Figura 5. Figura 3. Convertidor Buck/Boost (Reductor/Elevador). La variable a controlar para regular el voltaje de salida es el patrón de conmutación del interruptor controlado. Siendo la estrategia base conmutar el interruptor a una frecuencia fija variado solamente el tiempo de activación del mismo: estrategia PWM (Pulse Width Modulation). Esta estrategia se puede implementar a través de comparar una señal diente de sierra (vrampa) de frecuencia fija (f) y voltaje pico Vmax, con un voltaje de referencia (vref) para lograr el voltaje de activación (vPWM), ver Figura 4. Notar que se debe de cumplir siempre que 0 ≤ vref ≤ Vmax. Por lo tanto, si ton representa el tiempo en que el interruptor esta activado y T=1/f el periodo de conmutación, se define el ciclo de trabajo U como: U= t on ⇒ 0 ≤U ≤1 T (1) Ahora, los convertidores CD-CD son usualmente diseñados para trabajar bajo ciertas condiciones de operación. De esta manera, se define el voltaje deseado de salida (Vo), el voltaje de nominal de alimentación (Vs) y el valor de la carga. Así, bajo este panorama se puede calcular cual debe ser el ciclo de trabajo promedio del convertidor. Sin embargo, en la realidad el convertidor esta sujeto a diversos agentes externos: • Perturbaciones en el voltaje de alimentación, • Variaciones en la carga, Figura 5. Lazo de Control de Voltaje para Convertidores CD-CD. El actuador del sistema de control (modulador PWM) tiene la estructura que se muestra en la Figura 4. Su salida es entonces el voltaje de polarización de compuerta (vg) para el interruptor activo Q. Nótese que la señal de error (e) que procesa el controlador PI también representa la variación del voltaje de salida vˆo sobre su valor promedio deseado, lo que enfatiza el objetivo de control que es minimizar esta variable. A continuación se detalla el modelado matemático de los tres convertidores CD-CD. A. Modelado Matemático del Convertidor Buck El modelado matemático del convertidor Buck se realizará asumiendo que este trabaja en modo-continuo de conducción (MCC), es decir la corriente en el inductor y el voltaje en el capacitor poseen un valor constante, y una parte fluctuante alrededor de un valor promedio. Esta condición de operación está ligada a los valores de la inductancia, la resistencia de carga del convertidor y a la frecuencia de conmutación, por la relación mostrada en la Tabla 1. Buck Boost 2 Lf > U (1 − U ) 2 R 2 Lf > (1 − U ) R Buck/Boost 2 Lf > (1 − U ) 2 R t +T 1 x2 = T t +T u= 1 T ∫ i (τ )dτ L t ∫ v (τ )dτ t +T ∫ µ (τ )dτ t dx1 x V vˆ =− 2 + s u+ s u dt L L L dx2 x1 x2 = − dt C RC Vo De esta manera se puede llegar al modelo del convertidor Buck en (3): diL v v =− o + s µ dt L L dvo v i =− o + L dt RC C Buck Boost Buck/Boost Vo R U ⋅ Vs Vo R(1 − U ) Vs (1 − U ) −Vo R(1 − U ) −U Vs (1 − U ) (B) Figura 6. Modos de Operación en el Convertidor Buck (A) QÆ ON (µ=1) y (B) QÆ OFF (µ=0). (3) donde la variable de control µ = 0 o 1 es el estado del interruptor Q. Más allá, considerando que se trabaja bajo un esquema de modulación PWM, se toma un modelo promedio del sistema en (3), con estados definidos en (4). (5) Ahora, los valores en CD de las variables de estado pueden obtenerse a partir del modelo promedio tomando la derivada igual a cero y despejando en cada caso. Estos valores se muestran en la Tabla 2. Valor Promedio IL (A) (4) o t En la descripción de (4), al integrar la variable de control µ sobre el periodo de conmutación T, la nueva variable de control u representa ahora el ciclo de trabajo. Nótese que si se toma una frecuencia de conmutación f=1/T suficientemente grande los valores promedio de las variables reales se acercan a los valores instantáneos. Así, el modelo promedio del convertidor incluyendo variaciones en el voltaje de alimentación está dado por (5): Tabla 1. Condiciones para MCC en cada Convertidor CD-CD. La técnica utilizada para obtener el modelo del convertidor se basa en espacio de estados, y en definir 2 condiciones de operación del interruptor activo Q: ON (µ=1) y OFF (µ=0). Enseguida, se toman 2 estados en el sistema: corriente en el inductor iL y el voltaje de salida vo (el cual también representa el voltaje en el capacitor). Los circuitos equivalentes para ambas condiciones de operación se muestran en la Figura 6. 1 x1 = T Tabla 2. Valores Promedio de los Estados en los Convertidores CD-CD. Finalmente, tomando la aproximación lineal de (5) alrededor de la condición nominal (Vs,Vo,U,R) de operación, se obtiene el modelo lineal en espacio de estados (6): x1 0 x = 1 2 C −1 V U L x1 s L ˆ L ˆ + + u vs −1 x2 0 0 RC (6) x y = [ 0 1] 1 x2 Por lo tanto, se pueden definir 2 funciones de transferencia (7) y (8) con respecto a las variaciones en el voltaje de salida vˆo : G1 ( s ) = G2 ( s) = 1 vˆo ( s ) Vo LC = ⋅ uˆ( s ) U s 2 + 1 s + 1 RC LC vˆo ( s) =U ⋅ vˆs ( s) 1 s2 + (7) LC (8) 1 1 s+ RC LC las cuales representan el efecto de las variaciones del ciclo de trabajo (control) con respecto al voltaje de salida (G1(s)), y las variaciones del voltaje de entrada (perturbación) con respecto al voltaje de salida (G2(s)). Esta relación se muestra gráficamente en la Figura 7. siguiendo los mismos pasos que para el convertidor Buck se puede llegar a un modelo promedio dado por (4): dx1 x x V vˆ = − 2 + 2 ⋅u + s + s dt L L L L dx2 x1 x1 x = − ⋅u − 2 dt C C RC donde se mantiene la definición de las variables de estado de la ecuación (5). Nótese que el modelo en (9) es bilineal, ya que presenta términos donde un estado se multiplica por la variable de control. Al respecto, el problema de control también puede ser visualizado utilizando técnicas de control no-lineal [4]. Ahora, tomando los valores en CD de las variables de estado (Tabla 2), se puede obtener una aproximación lineal del modelo promedio en términos de las funciones de transferencia en (10) y (11): −Vo vˆ ( s ) G1 ( s ) = o = ⋅ uˆ ( s ) (1 − U ) RC Figura 7. Relación Lineal entre las Señales de Control y Perturbación en Convertidores CD-CD. Buck Polos ωn ζ 1 LC 1 L 2R C Cero ------ Mr 2 R 2C ωr Boost 1−U LC Buck/Boost 1 L 2 R (1 − U ) C R (1 − U ) 2 L R(1 − U ) 2 LC 2 R 2C (1 − U ) L(4 R 2C − L) L 4 R 2C (1 − U ) − L 11 1 − C L 2 R 2C 11 1 − C L 2 R 2C (1 − U ) 2 Tabla 3. Características Dinámicas de la Función de Transferencia G1(s) en los Convertidores CD-CD. Las funciones de transferencia en (7) y (8) son estables y presentan una respuesta subamortiguada bajo la condición 4R2C-L>0, con esta premisa se derivan los parámetros de frecuencia natural ωn y amortiguamiento ζ de los polos complejos que se muestran en la Tabla 3. Además se incluye el valor del pico de resonancia Mr y su respectiva frecuencia ωr [7],[8]. Nótese que las funciones de transferencia en (7) y (8) no contienen ceros. B. Modelo Matemático del Convertidor Boost. Por limitaciones de espacio en el artículo no se presenta a detalle el modelado matemático para este convertidor. Así, (9) G2 ( s ) = vˆo ( s ) = (1 − U ) ⋅ vˆs ( s ) R(1 − U ) 2 L (1 − U ) 2 1 s2 + s+ RC LC s− 1 LC 1 (1 − U ) 2 s + s+ RC LC (10) (11) 2 Las funciones de transferencia (10) y (11) son estables y se observa que los polos dependen de la condición del ciclo de trabajo promedio U. Más allá, (10) y (11) muestran una respuesta subamortiguada (polos complejos) bajo la condición 4R2(1-U)2C-L>0. Además, se tiene que (10) es de fase nomínima pues posee un cero inestable (ver Tabla 3), lo que limitará el desempeño del sistema de control. Las características dinámicas de la función de transferencia G1(s) se muestran en la Tabla 3. C. Modelo Matemático del Convertidor Buck/Boost El modelo promedio de este convertidor está dado por (12): dx1 x2 x2 V vˆ = − ⋅u + s ⋅u + s ⋅u dt L L L L dx2 x x x = − 1 + 1 ⋅u − 2 dt C C RC (12) Tomando la aproximación lineal de (12) alrededor de la condición nominal (Vs,Vo,U,R) de operación, se obtienen las funciones de transferencia en (13) y (14): −Vo vˆ ( s ) G1 ( s ) = o = ⋅ uˆ ( s ) (1 − U ) RC G2 ( s ) = vˆo ( s ) = −U (1 − U ) ⋅ vˆs ( s ) R(1 − U ) 2 LU (1 − U ) 2 1 2 s + s+ RC LC s− 1 LC 1 (1 − U ) 2 s + s+ RC LC 3) Etapa de Potencia (13) La etapa de potencia para los tres convertidores (Figuras 1,2 y 3) se realizó utilizando los mismos componentes en cada caso, y tomando las condiciones de operación mostradas en la Tabla 4. (14) 2 El denominador de ambas funciones de transferencia presenta raíces complejas estables bajo la condición 4R2(1U)2C-L>0. La función de transferencia (13) posee además un cero real inestable más alejado del origen que el cero del convertidor Boost. Lo cual afectará los alcances del sistema de control. Algunos parámetros de la respuesta en frecuencia del sistema lineal se muestran en la Tabla 3. vref III. INSTRUMENTACIÓN DEL EXPERIMENTO Enseguida se detalla la instrumentación electrónica necesaria para la implementación de los convertidores CDCD. Este desarrollo se dividió en tres etapas: 1. 2. 3. Figura 8. Implementación del Modulador PWM. Modulador PWM Etapa de Acoplamiento Etapa de Potencia 1) Modulador PWM El modulador PWM se realizó a través de 2 bloques. En el primero, una configuración integradora con reset y un comparador implementados a través de amplificadores operacionales [5],[6] generan un voltaje de rampa vrampa (ver Figura 8) a una frecuencia f=50 kHz y Vmax=5 V. Finalmente esta señal es comparada con un voltaje de referencia vref por medio de un LM 311, y así se produce el voltaje de activación PWM. 2) Etapa de Acoplamiento La etapa de acoplamiento mostrada en la Figura 9, se usó para aislar el modulador PWM de la etapa de potencia por medio de un opto-acoplador 6N135. En la configuración mostrada se necesita una fuente independiente de voltaje que provea de corriente y voltaje suficiente a la compuerta del interruptor para encenderlo. Así entonces, se usa una fuente independiente de +12V. En la Figura 9, el primer transistor refuerza la señal de PWM para poder suministrar la corriente necesaria al diodo emisor del opto-acoplador. El último transistor es utilizado para invertir la señal PWM dada por la configuración de transistor del opto-acoplador. Los transistores utilizados son el 2n2222 que cumplen con las especificaciones de conmutación que se requiere para el uso de la técnica de PWM. Figura 9. Etapa de Acoplamiento Vs Vo U Buck 15 V 9V 0.6 Boost 9V 15 V 0.4 Buck/Boost 9V -15 V 0.625 Tabla 4. Valores Nominales para el Diseño de los Convertidores CD-CD. Modulador PWM y acoplamiento Boost Buck/Boost Buck Figura 10. Implementación Física de los Convertidores CD-CD. amplificación de las perturbaciones al sistema de control. Ambos índices de pueden describir matemáticamente por (17): Con esta consideración de diseño se escogieron los valores de los elementos de los convertidores: Φ=180o + (( C(s) ⋅ G1(s)) s= jω → C( jωc ) ⋅ G1( jωc ) =1 • • • • • RP = max G2 ( jω) ⋅ S( jω) Interruptor Activo: MOSFET IRF640 Diodo de Conmutación Rápida: MUR1520 Capacitor: 1000 µF / 50 V Bobina: 200 µH. Resistencia de Carga: 10 Ω. IV. DISEÑO DE CONTROLADORES PI El diseño de los controladores PI se dividió en dos etapas. Primero se define el rango que pueden tomar las ganancias proporcional Kp e integral Ki del controlador para mantener estabilidad de lazo cerrado. La estructura del controlador está dada por (15): Ki s (15) El análisis de estabilidad se realizó aplicando el criterio de Routh-Hurwitz [7],[8] al polinomio característico de la función de transferencia T(s): T ( s) = (17) 0≤ω<∞ La elección de estos elementos garantiza que los convertidores trabajarán en MCC para la consideración de operación elegida (Tabla 4). La implementación física de los tres convertidores se muestra en la Figura 10. C (s) = K p + c C ( s ) ⋅ G1 ( s ) 1 + C ( s ) ⋅ G1 ( s ) (16) 1 S (s) = 1 + C ( s ) ⋅ G1 ( s ) donde S(s) representa la función de transferencia de sensitividad. La elección del controlador PI se enfoca a mejorar las características de seguimiento del sistema de control debido a la acción integral del controlador. No se considera incluir acción derivativa ya que presenta una alta sensitividad ante ruido en la medición del sensor de voltaje. Enseguida, la elección particular de cada ganancia del controlador se puede realizar utilizando varios criterios de desempeño: 1. Margen de Fase Φ → fase de la función de transferencia de lazo abierto C(s)G1(s) en la frecuencia de crossover ωc. 2. Rechazo de Perturbaciones RP → Máximo valor en la respuesta en frecuencia de la función de transferencia de las perturbaciones a la salida G2(s)S(s). Con el primer índice se desea obtener un valor de los parámetros de control (Kp,Ki) tal que se maximize el margen de fase y así aumentar el factor de amortiguamiento de lazo cerrado [7]. Por otro lado, con el segundo índice de desempeño se busca minimizar el máximo factor de El valor óptimo de las ganancias se puede obtener por medio de un barrido de valores para (Kp,Ki). Así, utilizando el análisis de Routh-Hurwitz se definen intervalos para las dos ganancias tal que se garantize estabilidad y después se realiza el cómputo de las superficies de desempeño (Kp,Ki,Φ) y (Kp,Ki,RP) a través de simulación numérica. Esto se puede realizar por medio de un lenguaje de programación de alto nivel o MATLAB©. De esta manera se puede seleccionar de modo visual los valores óptimos de las ganancias para cada índice, y encontrar un punto común de balance entre ambos requerimientos. A continuación se derivan los rangos de estabilidad para los parámetros (Kp,Ki) en cada convertidor CD-CD. A. Análisis de Estabilidad Convertidor Buck Tomando la función de transferencia G1(s) en (7) y el polinomio característico 1+C(s)G1(s)=0, se realiza el análisis de Routh Hurwitz resultando en las siguientes condiciones: Ki > 0 (18) U 1 Ki < + ⋅Kp Vo RC RC lo cual define la región mostrada en la Figura 10. A partir de esta figura es posible observar que la ganancia proporcional no se ve acotada en su valor máximo, sin embargo se debe considerar los posibles efectos de saturación debido a que la señal de control debe estar siempre limitada al intervalo [0,1]. Figura 10. Región de Estabilidad para Convertidor Buck B. Análisis de Estabilidad Convertidor Boost De manera similar que en el caso anterior, se toma la función de transferencia (10) como base para el análisis de estabilidad, obteniéndose los márgenes de estabilidad: Kp < 1−U Vo V. PRUEBAS EXPERIMENTALES (19) Ki > 0 1−U 1−U Kp − Kp + Vo Vo R(1 − U ) 2 Ki < ⋅ 2 2 L 1 − U CR (1 − U ) Kp − + 1 Vo L Ahora, se observa que la ganancia proporcional se ve limitada en su valor máximo a (1-U)/Vo, esto debido al cero de fase nomínima de la planta G1(s). En la Figura 11 se muestra la región de estabilidad a partir de las relaciones obtenidas en (19). Una vez detallado el proceso de diseño de los controladores PI para cada convertidor, se toma como ejemplo el convertidor Boost bajo las condiciones de operación mostradas en la Tabla 4. Por lo tanto, sustituyendo las valores de los elementos usados en la implementación del convertidor (Sección III.3) en las ecuaciones (10) y (11), se deducen las aproximaciones lineales correspondientes: G1 ( s ) = −2500 ⋅ ( s − 1.8 ×104 ) s 2 + 100 s + 1.8 × 106 (22) G2 ( s ) = 3 × 106 s 2 + 100 s + 1.8 × 106 (23) La respuesta en frecuencia de estas funciones de transferencia se muestra en la Figura 13. Ahora, realizando el análisis de estabilidad descrito en la Sección IV, se puede deducir un intervalo simétrico para las ganancias del controlador PI tal que mantenga estabilidad de lazo cerrado. Así se obtuvieron los siguientes intervalos: Figura 11. Región de Estabilidad para Convertidor Boost. K p ∈ (0, 0.03] C. Análisis de Estabilidad Convertidor Buck/Boost K i ∈ (0,1.5] Debido a que el voltaje de salida de este convertidor es negativo, el análisis de estabilidad de lazo cerrado se realiza asumiendo retroalimentación positiva. Así, se toma la función de transferencia en (13) como planta, y se llega a los siguientes márgenes de estabilidad: Kp < 1−U −Vo (20) Ki > 0 Ki < c ⋅ K p2 + Finalmente, utilizando los índices de desempeño definidos en (17), se realizó el cómputo de las superficies de costo tomando 25 valores intermedios en los intervalos descritos en (24). Esto se implementó a través de MATLAB © y Control System Toolbox. Las superficies se muestran en las Figuras 14 y 15. De esta manera, analizando las superficies se observa que con los valores Kp=0.03 y Ki=0.5 se obtiene un valor de margen de fase mayor a 30º y se minimiza el valor de RP. 1 ab (b − ac) ⋅ K p − 2 d d c+a Kp − d donde a= −Vo 1 (1 − U ) 2 R (1 − U ) 2 ,b = ,c = ,d = RC LC LU RC (1 − U ) (21) En la Figura 12 se muestra la región de estabilidad a partir de las relaciones obtenidas en (20). Figura 13. Respuesta en Frecuencia del Convertidor Boost. Figura 12. Región de Estabilidad para Convertidor Buck/Boost. (24) Figura 14. Superficie de Costo para Margen de Fase: Convertidor Boost. Figura 16. Respuesta Experimental al Conmutar el Sistema de Control de Lazo Abierto a Lazo Cerrado. Figura 15. Superficie de Costo para Índice RP: Convertidor Boost. Una vez finalizada la etapa de diseño del controlador PI se realizaron pruebas experimentales con la ayuda del sistema de adquisición y procesamiento de datos dSpace DS1104. Sin embargo, la implementación podría también realizarse utilizando amplificadores operacionales [7]. Una de las ventajas del sistema dSpace es que permite grabar las señales del experimento en tiempo real para después graficarlas en MATLAB. El sistema de adquisición se programó a una frecuencia de muestreo de 20 kHz. La alimentación de voltaje del convertidor se tomó de una fuente de voltaje variable Tektronix PS282 de 15 V/5 A. Es importante recalcar que el sensor de voltaje utilizado (ver Figura 5) fue un amplificador operacional en configuración de voltaje diferencial [5], lo que permite aislar la etapa de potencia del sistema de control. Se tomaron tres casos de prueba: 1. Sistema trabajando inicialmente a lazo abierto y conmutar a lazo cerrado (Figura 16). 2. Escalón en la resistencia de carga de R=10Ω a R=6.67 Ω (Figura 17). 3. Ajuste gradual en el voltaje de alimentación de Vs=9V a Vs=12 V (Figura 18). Como se observa en las respuestas experimentales de las tres pruebas (Figuras 16, 17 y 18), el sistema de control es capaz de regular de manera robusta el voltaje de alimentación a 15 V a pesar de cambios de carga y en el voltaje de alimentación. Figura 17. Respuesta Experimental ante un Cambio de Resistencia de Carga. VI. CONCLUSIONES Y COMENTARIOS FINALES En el presente artículo se detalla el desarrollo de un sistema de control para convertidores CD-CD. Las tres topologías básicas son estudiadas: Buck, Boost y Buck/Boost. El modelado matemático, así como las herramientas para diseñar controladores PI con retroalimentación de voltaje son ilustradas. Se considera que este ejemplo de sistema de control puede ser desarrollado fácilmente debido a su bajo costo, y además los estudiantes requieren ejercitar los conceptos elementales en teoría de control (modelado matemático, respuesta en frecuencia, análisis de estabilidad, y rechazo de perturbaciones) para llevar a cabo el diseño. Por lo tanto, se considera que pueden ser una buena elección para desarrollar experimentos educativos en teoría de control. Figura 18. Respuesta Experimental ante un Ajuste en el Voltaje de Alimentación. VII. REFERENCIAS [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] H. Rashid, Muhammad. “Electrónica de Potencia, circuitos, dispositivos y aplicaciones”, 2ª ed., Prentice Hall., 1995. R.W. Erickson y D. Maksimoivc, “Fundamentals of Power Electronics”, 2ª Edición, Kluwer Academic Press, 2001. M.H. Rashid, “Power Electronics Handbook”, Academic Press, 2001. A. Kugi y K. Schlacher, “Nonlinear H∞ –Controller Design for DC-toDC Power Converter”, IEEE Transactions on Control Systems Technology, Vol. 7, No. 2, pp. 230-237, 1999. R. Coughlin. F. Driscoll, “Amplificadores Operacionales y integrados lineales”, 5a ed., Prentice may 1999. Boylestad Nashelsky, “Electronica: Teoria de Circuitos”, 6a ed., Prentice Hall, 1997. K. Ogata, “Ingeniería de Control Moderna”, 4a Edición, Prentice Hall, 2002. W. 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