2. Fuerzas fundamentales y aparentes

Introducción a la Dinámica de la Atmósfera 2011
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2. Fuerzas fundamentales y aparentes
Los movimientos de la atmósfera están governados por las leyes físicas
fundamentales de conservación de masa, momento y energía. Para derivar esas
ecuaciones es necesario aplicar esos principios a un elemento de volumen de la
atmósfera. No obstante, en este capiítulo primero discutiremos la naturaleza de las
fuerzas que influyen los movimientos.
Las fuerzas pueden ser clasificadas como fuerzas de volumen y fuerzas de
superficie. Las fuerzas de volumen actúan en el centro de masa de una parcela de fluído
y tienen magnitudes proporcionales a la masa de la parcela (por ej. la gravedad). Las
fuerzas de superficie actúan sobre la frontera que separa el elemento de volumen de su
entorno (por ej. la fuerza de presión) y su magnitud es independiente de la masa de la
parcela.
Para movimientos atmosféricos de interés meteorológico las fuerzas mas
importantes son la fuerza de presión, la fuerza gravitacional y la fricción. Estas son las
fuerzas fundamentales. Si, como es usual, el movimiento es referido a un sistema de
coordenadas rotando con la Tierra, la segunda ley de Newton se aplica incluyendo dos
fuerzas aparentes: la centrífuga y la de Coriolis.
2.1 Fuerza gradiente de presión
Consideremos las fuerzas actuando sobre un elemento de volumen como muestra la
figura 2.1
Figura 2.1 – Fuerza de presión actuando sobre un elemento de volumen.
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La fuerza neta en la direccion x es:
δFx = p δyδz - (p + δp) δyδz
δFx = -δp δy δz
Pero
y por lo tanto
Para hallar la aceleración dividimos entre la densidad
Análogamente en las otras direcciones. Por lo tanto la fuerza gradiente de presión total
actuando sobre la parcela puede ser expresada como
F −1
=
∇p
M 
2.2 Aceleración gravitatoria
La aceleración gravitatoria por unidad de masa es
Fg
GM E
=g f = 3 r
M
r
donde G=6.66x1011 m2/kg2 es la constante gravitatoria y ME =5.988x1024 kg es la masa
de la Tierra. El vector r está determinado por el centro de la Tierra y la parcela en la
atmósfera.
En ausencia de rotación las fuerzas gravitacionales mantienen la materia unida
formando un cuerpo esférico con el material más denso en el centro. Debido a la
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rotacion, cada parcela de aire está sujeta a una fuerza centrípeta con sentido hacia el eje
de rotación. Para aplicar la segunda ley de Newton en un sistema de coordenadas que se
mueva con la Tierra es necesario incluir una fuerza aparente: la fuerza centrífuga. La
fuerza centrífuga causa una fuerza hacia afuera del eje de rotación distorsionando el
equilibrio esférico de forma que el planeta asume una forma achatada en los polos. La
fuerza resultante de las fuerzas de gravedad y centrífuga tiene una dirección que apunta
a la vertical local (ver figura 2.2), y no hacia el centro de la Tierra.
Por simplicidad llamaremos fuerza gravitacional a la resultante de la fuerza gravitatoria
y centrífuga
g = gf - Ω x (Ω x r)
(Notemos que debido a inhomogeneidades en la distribución de rocas y magma la
verdadera fuerza gravitacional no está dirigida hacia el centro de la Tierra.) La
superficie que se obtiene se llama un geoide y puede ser interpretado como la superficie
de un océano en reposo. Esta superficie “virtual” es perpendicular en todo punto a la
direccion de la gravedad (neta) y forma una superficie equipotencial, o sea que una
parcela moviéndose en esa superficie no sufre cambios en la energía potencial. El valor
de la energía potencial por unidad de masa se llama geopotencial y el geoide es por lo
tanto una superficie de geopotencial constante.
Figura 2.3 – Fuerza gravitatoria neta resultante de la fuerza gravitatoria y la centrífuga.
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La distorsión causada por la fuerza centrífuga es muy pequeña: el radio terrestre es de
6378 km en el ecuador y 6351 km en los polos. Por lo tanto la Tierra puede considerarse
como una esfera en la mayoria de los problemas meteorológicos.
2.3 Fuerza de Fricción
Todo fluído real está sujeto a una fricción interna entre las partículas que lo
forman (viscocidad molecular) que causa una resistencia a fluir.
La derivación del termino de fricción es análogo al de la fuerza de presión.
Consideremos la figura 2.4 donde consideramos un elemento diferencial de volumen de
lados dxdy.
τyy(x,y)
τxy(x,y)
τyx(x,y)
dy
τxx(x-dx,y)
τxx(x,y)
τyx(x-dx,y)
τxy(x,y-dy)
τyy(x,y-dy)
dx
Figura 2.4 – Esfuerzos sobre un elemento de volumen bidimensional. Por ejemplo,
 xy indica el esfuerzo realizado en la dirección x por un cortante de la velocidad
según x en la dirección y.
El esfuerzo neto aplicado al elemento de volumen en la direccion x es
 xy  x , y dx− xy  x , y−dy dx xx  x , y  dy− xx  x−dx , y dy 
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donde el esfuerzo τ depende de la naturaleza del fluido. Notar que τ xy(x,y) y τyx(x,y)
tienen direcciones diferentes pero la misma amplitud: si estos esfuerzos no tuvieran la
misma magnitud el elemento de volumen infinitesimal estaría sujeto a un torque que no
podría ser balanceado por un torque interno.
Entonces, dividiendo entre dxdy el esfuerzo neto en la direccion x se puede escribir
como
∂ x y ∂ x x

.
∂y
∂x
Para un fluido newtoniano los esfuerzos viscosos son proporcionales a los gradientes de
velocidad (figura 2.5). Si el fluído es incompresible podemos escribir
donde μ es el coeficiente de viscocidad dinamica. Notar que los esfuerzos
 xy ,  xz ,  yz son términos de deformación por esfuerzo de corte vistos en la sección
1.2.2.
Figura 2.5 – Relación entre esfuerzo y gradiente de velocidades para un fluido
newtoniano
Para la atmósfera μ se puede considerar constante y podemos simplificar las
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
 que
tiene un valor empírico de 1.46 x 10-5 m2/s en la atmósfera, y obtenemos las siguientes
expresiones para las componentes de fricción por unidad de masa en las tres
coordenadas
expresiones anteriores. Se define el coeficiente de viscocidad cinemática
=
∂2 u ∂2 u ∂2 u
 2 2
2
∂x ∂ y ∂z
∂2 v ∂2 v ∂2 v
Fry = 2  2  2 
∂x ∂ y ∂z
∂2 w ∂ 2 w ∂2 w
Frx = 2  2  2 
∂x
∂y
∂z
F rx=
En la tropósfera  es tan pequeña que la viscosidad molecular es despreciable
excepto en una capa de unos milímetros justo arriba de la superficie de la Tierra donde
el cortante vertical es muy grande. En las cercanías de la superficie las moléculas
chocan contra ella y le transfieren momento. Moléculas mas alejadas colisionan con las
moléculas que chocaron con la superficie transfiriendo el cambio de momento al
interior del fluído. Esta trasnferencia de momento por viscosidad molecular es muy
ineficiente ya que las moléculas viajan micrómetros entre colisiones (figura 2.6)
Figura 2.6 - Moléculas colisionan con la superficie y entre ellas transfiriendo el
momento del fluído a la superficie, disminuyendo la velocidad el flujo.
Por encima de esta capa cercana a la superficie el momento es transferido
fundamentalmente por los movimientos turbulentos. El efecto de los movimientos
turbulentos puede visualizarse considerando al fluído como compuesto de torbellinos
que se mueven y transfieren momento hacia o desde la superficie en forma análoga a las
moléculas en la viscocidad molecular. Es posible definir una longitud de mezcla que es
el camino promedio que recorre un torbellino antes de mezclarse con el entorno y
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transferir momento. Con este ajuste los efectos dispativos de la turbulencia de pequeña
escala puede ser representado definiendo una viscocidad turbulenta K.
2.4 Fuerza de Coriolis
Supongamos que se le da un impulso hacia el este a una parcela de aire y que la
fricción es despreciable. En esas circunstancias la parcela se mueve más rápido que la
Tierra por lo que la fuerza centrífuga actuando sobre la parcela es


u 2
R
R
Fcen=  
R=2 
R2 u u2 2
R
R
R
donde u/R es el cambio incremental en la velocidad angular debido al impulso inicial.
El primer término es la fuerza centrífuga, incluída en la gravedad efectiva. Los otros
términos son fuerzas que van en la dirección de R (perpendicular al eje de rotación).
Para escalas sinópticas u << ΩR por lo que el tercer término es despreciable comparado
con el segundo. El segundo término representa la fuerza de Coriolis por unidad de masa
que resulta de un movimiento a lo largo de un círculo de latitud y tiene dos
componentes, una vertical y otra horizontal (figura 2.7) que se pueden escribir como
dw
=2 u cos 
dt
dv
=−2 u sin 
dt
f =2 sin  como el parámetro de Coriolis es
dv
=−f u lo cual muestra
posible reescribir las fuerzas horizontales resultantes como
dt
que dado un impulso inicial hacia el este la fuerza de Coriolis tenderá a desviar la
parcela hacia el norte (H.S., recordemos que f<0 en el H.S.).
donde
 es la latitud. Definiendo
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Figura 2.7 - Para movimientos este-oeste relativos a la Tierra la fuerza de Coriolis
aparece como un exceso de fuerza centrífuga.
Consideremos ahora que el movimiento inicial de la parcela es hacia el ecuador.
En la ausencia de torques en la dirección este-oeste la parcela debe conservar su
momento angular. Puesto que la distancia R al eje de rotación cambia en el
u
desplazamiento, la velocidad angular absoluta   debe cambiar para que la
R
parcela conserve su momento angular. Como Ω es constante, debe aparecer una
velocidad relativa u y la parcela se moverá como si existiera una fuerza actuando en la
dirección zonal. Si δu es la velocidad hacia el este en el nuevo radio de rotación R + δR
obtenemos
u
 R2=
 
R R2
R R
u
  R R 2
 R2 =
 R22 R
R R
Como δR y δu son pequeños se desprecia el producto de esos términos y se obtiene
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u
 R22 
R  R
R R
R2  u
2
2



 R = R 2 R  R
R R
2

−R  u
2
R  R=
R R
 R2=
O sea que  u=−2  
R . El aumento de velocidad δu puede ser inducido por
movimientos meridionales o verticales pues el aumento en el radio de rotación tiene
R
componentes en esas direcciones. Para movimientos meridionales sin =
− y
(figura 2.8) y
 u=2 sin  y .
De la figura 2.8 puede verse que  y=a   y
 u=2 sin a  
Por lo tanto
du
d
=2 sin a

dt
dt
d
du
=f v , y una parcela moviéndose hacia el
podemos escribir
dt
dt
ecuador en el H.S. tenderá a torcerse hacia el oeste.
Como
v =a
Para movimiendos verticales vale cos =
R
. y  u=−2 cos  z . Dividiendo
z
entre δt y tomando el límite se obtiene
du
dz
=−2 cos   =−2 cos w
dt
dt
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Figura 2.8 – Efecto de movimientos meridionales en el radio de rotación R.
Movimientos de ascenso o hacia el ecuador producen un aumento de R.
Entonces la expresión completa para la fuerza de Coriolis está dada por
du
=f v−2 w cos 
dt
dv
=−fu
dt
dw
=2 u cos 
dt
Como punto final es bueno remarcar que la fuerza de Coriolis siempre actúa en forma
perpendicular a la dirección del movimiento y por lo tanto no realiza trabajo.
Referencias
– An Introduction to Dynamical Meteorology, Holton, 2004.
– Mid-Latitude Atmospheric Dynamics, Martin, 2006.
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