Tema 7: Funciones y gráficas.

Tema 7: Funciones y gráficas.
Ejercicio 1.
En la gráfica siguiente viene representado el porcentaje de fumadores en España en los últimos
años (parte roja), así como la previsión de cómo se supone que irá evolucionando dicho
porcentaje en los años próximos (parte azul):
Figura 1.
a) ¿Cuáles son las dos variables que se relacionan?
b) ¿Entre qué años se ha hecho el estudio? ¿En cuáles hay solamente previsiones y no datos
reales?
c) ¿Cuál es la escala que se ha considerado en el eje X ? ¿Y en el eje Y ?
d) Observa que tanto en el eje X como en el eje Y aparecen dos rayitas señaladas. ¿Cuál crees
que es su significado?
e) ¿Cuál era el porcentaje de fumadores en el año 1987? ¿Y en 1991? ¿Y en 1995? ¿Y en 2005?
f) ¿En qué años se dio el porcentaje más alto de fumadores?
g) ¿Cuál es el porcentaje de fumadores previsto (aproximadamente) para el año 2015? ¿Y para
2017?
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
h) Si las previsiones se cumplieran respecto al porcentaje de fumadores, ¿este irá aumentando o
disminuyendo en los próximos años?
i) Haz una descripción global de la gráfica, indicando el dominio, el crecimiento y el
decrecimiento de la función, y sus máximos y mínimos.
Solución:
a) Variable independiente: tiempo años. Variable dependiente: porcentaje de fumadores.
b) El estudio se ha hecho entre 1987 y 2009. A partir de 2009 se supone que irá evolucionando
dicho porcentaje en los años próximos, luego no son datos reales.
c) Eje X: cada lado de un cuadrado son dos años. Eje Y: el lado de un cuadrado son 2,5%
d) Las rayitas son “roturas de los ejes” e indican que no empezamos a contar desde 0.
e) 1987: 37,5%; 1991: 35%; 1995: 37,5% y 2005: 27,5%.
f) El porcentaje más alto de fumadores se dio en los años 1987 y 1995 con un 37,5%.
g) El porcentaje de fumadores previsto para 2015 es, aproximadamente, 21,5%, y para 2017, 10%.
h) Disminuyendo.
i)
Dominio: desde 1987 hasta 2019. Crecimiento: desde 1991 hasta 1995. Decrecimiento: desde
1987 hasta 1991 y desde 1995 hasta 2019. Hay un máximo en 1995 y un mínimo en 1991.
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
Figura 2.
2
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 7. Funciones y gráficas.
Figura 3.
Figura 4.
Figura 5.
Figura 6.
Figura 7.
Figura 8.
3
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
Figura 9.
Figura 10.
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
Ejercicio 2.
La estatura de Óscar entre los 5 y los 18 años viene representada en esta gráfica:
Figura 11.
a) ¿Cuáles son las variables que intervienen?
b) ¿Qué escala se utiliza para cada variable?
4
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 7. Funciones y gráficas.
c) ¿Cuántos centímetros creció entre los 5 y los 8 años? ¿Y entre los 15 y los 18? ¿En cuál de
estos dos intervalos el crecimiento fue mayor?
d) Observa que la gráfica al final crece más lentamente. ¿Crees que aumentará mucho más la
estatura o que se estabilizará en torno a algún valor?
Solución:
a) Variable independiente: edad. Variable dependiente: estatura.
b) Eje X: un cuadrado es un año. Eje Y: un cuadrado son 10 cm.
c) Entre los 5 y los 8 años creció 23 cm, y entre los 15 y los 18 años, 9 cm. El crecimiento fue mayor
entre los 5 y los 8 años.
d) Por la trayectoria de la gráfica, parece que se estabilizará alrededor de los 180 cm.
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
Figura 12.
Figura 13.
Figura 14.
5
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
Figura 15.
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
Ejercicio 3.
Para medir la capacidad espiratoria de los pulmones, se hace una prueba que consiste en inspirar
al máximo y, después, espirar tan rápido como se pueda en un aparato llamado espirómetro.
Esta curva indica el volumen de aire que entra y sale de los pulmones.
Figura 16.
a) ¿Cuál es el volumen en el momento inicial?
b) ¿Cuánto tiempo duró la observación?
c) ¿Cuál es la capacidad máxima de los pulmones de esta persona?
d) ¿Cuál es el volumen a los 10 segundos de iniciarse la prueba? ¿Y cuánto termina?
Solución:
a) 1,5 litros.
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[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 7. Funciones y gráficas.
b) 18 segundos.
c) 4 litros.
d) A los 10 segundos, el volumen era de 1 litro. Cuando la prueba termina, el volumen de aire en los
pulmones es de 0,6 litros.
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
Figura 17.
Figura 18.
Figura 19.
Figura 20.
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
7
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
Ejercicio 4.
El uso de teléfonos móviles ha aumentado mucho en los últimos años. Sin embargo, la telefonía
fija no ha sufrido grandes variaciones. En esta gráfica vemos qué ha ocurrido en una gran ciudad:
Figura 21.
a) ¿Cuántas líneas de telefonía fija y móvil había activadas, aproximadamente, a principios de
1997? ¿Y a principios de 2002? ¿Y a finales de 2004?
b) ¿En qué momento (aproximado) había igual número de líneas de teléfonos fijos que de
móviles?
c) ¿Cuál ha sido el aumento de líneas en la telefonía fija de principios de 1997 a finales de 2004?
¿Y en la móvil? ¿En cuál ha sido mayor el aumento?
Solución:
a) Año 1997. Fijo: 6500 líneas; móvil: 1500 líneas. Año 2002. Fijo: 8700 líneas; móvil: 7200 líneas.
Año 2004. Fijo: 8200 líneas; móvil: 11500 líneas.
b) Al comienzo de 2003.
c) El aumento de líneas activadas en la telefonía fija desde principio de 1997 hasta finales de 2004
es de 1700, y en la telefonía móvil, de 10000 líneas. El aumento ha sido mucho mayor en la
telefonía móvil.
8
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 7. Funciones y gráficas.
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
Figura 22.
Figura 23.
Figura 24.
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
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3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
Ejercicio 5.
Elvira está aprendiendo un juego de malabarismo y ha practicado unos días durante una hora. A
medida que adquiere destreza, consigue actuar durante más tiempo. Observa la gráfica y
responde:
Figura 25.
a) ¿Cuántos días ha estado practicando Elvira?
b) Según aumenta el número de días de práctica, ¿aumenta o disminuye el tiempo de
actuación?
c) ¿Cuánto aumenta el tiempo de actuación en los 10 primeros días? ¿Y en los 10 siguientes?
¿Qué ocurre en los 5 últimos?
d) El tiempo máximo de actuación se ha ido estabilizando en torno a un valor. ¿Qué valor es?
Solución:
a) 25 días.
b) Aumenta.
c) En los 10 primeros días, el tiempo de actuación aumenta medio minuto; en los 10 días siguientes,
aumenta 13,5 minutos, y en los últimos 5 días, aumenta otro medio minuto.
d) 15 minutos.
10
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 7. Funciones y gráficas.
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
Figura 26.
Figura 27.
Figura 28.
Figura 29.
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
Ejercicio 6.
La libra es una unidad de peso que equivale a 0,45 kg.
a) Completa la tabla siguiente en tu cuaderno:
x (LIBRAS) 0,5
y (KILOS)
1
1,5 2 3 4
x
0,45
11
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
b) Representa la función que convierte libras en kilogramos.
c) Obtén la expresión analítica que relaciona estas dos variables.
Solución:
a) En primer lugar, debemos tener claro que 1 libra = 0,45 Kilogramos. A partir de ahí, calcularemos
el resto de los valores. Utilizaremos una regla de 3 con sus correspondientes cálculos.
1) 0,5 libras.
1 libra
__ 0,45 kilos
0,5 libras
__ x kilos

0,5 * 0,45
= 0,225
x=
1

2) 1 libra.
1 libra
__ 0,45 kilos
1 libra
__ x kilos

1 * 0,45
= 0,45
x=
1

3) 1,5 libras.
1 libra
__ 0,45 kilos
1,5 libras
__ x kilos

1,5 * 0,45
= 0,675
x=
1

4) 2 libras.
1 libra
2 libras
__ 0,45 kilos
__ x kilos

2 * 0,45
= 0,9
x=
1

5) 3 libras.
1 libra
__ 0,45 kilos
3 libras
__ x kilos

3 * 0,45
= 1,35
x=
1

6) 4 libras.
1 libra
4 libras
12
__ 0,45 kilos
__ x kilos

4 * 0,45
= 1,8
x=
1

[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 7. Funciones y gráficas.
7) x libras.
1 libra
x libras
__ 0,45 kilos
__ y kilos

x * 0,45
= 0,45 x
y=
1

x (LIBRAS)
y (KILOS)
0,5
1
1,5
2
3
4
x
0,225 0,45 0.675 0,9 1,35 1,8 0,45x
b) Para representar la función deberemos dar valores, para lo que utilizaremos la tabla que hemos
rellenado en el apartado anterior.
x (LIBRAS)
y (KILOS)
0,5
1
1,5
2
3
4
0,225 0,45 0.675 0,9 1,35 1,8
Figura 30.
c) La expresión analítica de la conversión de libras a kilos la obtuvimos en el apartado a, cuando
calculamos el número de kilogramos para un número de libras x. Por lo tanto, la función de
conversión es:
y = 0,45 x
13
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
1. Apartado a. Para conocer el número de kilogramos correspondientes, debemos plantear una
multiplicación. Para insertar el símbolo de multiplicar, usamos el asterisco (*) y para el decimal, con el
punto. Una vez tengamos la operación planteada, pinchamos en el icono ‘=’ para conocer el resultado.
Figura 31.
2. Apartado a. Repetimos el proceso anterior de idéntica manera para todas las cantidades: planteamos
la operación y pinchamos ‘=’ para resolverla.
Figura 32.
3. Apartado b. Para representar esta función debemos seguir unos pasos muy concretos. El primero es
saber cómo plantear un punto, es decir, un par de coordenadas. Para ello, pinchamos en la pestaña
‘Geometría’, y después en el icono ‘Punto’. Entonces nos aparecerá el siguiente esquema, en el que
rellenaremos el hueco llamado x con la coordenada x correspondiente y lo mismo con el hueco llamado
y.
14
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 7. Funciones y gráficas.
Figura 33.
4. Apartado b. Para insertar una recta, dentro también de la pestaña ‘Geometría’, debemos pinchar en el
icono ‘Recta’. Después veremos que aparece el siguiente esquema, en el que donde vemos ‘punto’,
debemos insertar un punto de la manera que hemos visto en el paso anterior.
Figura 34.
5. Apartado b. Cuando insertemos el esquema del punto (cada uno correspondiente a una coordenada)
en cada uno de los dos huecos de la recta, obtendremos lo siguiente:
Figura 35.
6. Apartado b. Rellenamos los huecos con dos pares de coordenadas y obtenemos lo siguiente.
Figura 36.
15
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
7. Apartado b. El siguiente paso para representar la función es seleccionar lo que hemos escrito en el
paso anterior y después pinchar en el icono ‘Dibujar’. Después, cuando pinchemos en el icono ‘=’ para
ver la representación.
Figura 37.
Figura 38.
Figura 39.
8. Apartado c. Calcularemos la función planteando la recta (pinchando en el icono ‘Recta’ y rellenando
con dos de los puntos que tenemos pero en vez de realizar el paso número 7, simplemente pinchamos
en el icono ‘=’ para conocer el resultado.
16
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 7. Funciones y gráficas.
Figura 40.
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
Ejercicio 7.
Desde la concejalía de juventud del ayuntamiento de un pueblo se quiere promover el uso de la
bicicleta. Para ello, han decidido alquilarlas según las tarifas siguientes:
HORARIO:
DE 9 DE LA MAÑANA A 9 DE LA NOCHE
Las dos primeras horas ................ gratuito
3ª hora o fracción, y sucesivas.............. 1 €
El tiempo máximo diario es de 12 horas (desde las 9 de la mañana hasta las 9 de la noche).
Representa la gráfica de la función
Tiempo de uso de la bici-coste
Solución:
Daremos valores con una tabla que después representaremos (cada par de coordenadas será un punto) y
uniremos para formar nuestra línea. Asimismo, la tabla nos muestra el coste para diferentes tiempos de
uso de la bicicleta.
x (HORAS) 0 1 2 3 4 5 6 7 8
y (COSTE)
0 0 0 1 2 3 4 5 6
17
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
Figura 41.
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
Figura 42.
Figura 43.
18
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 7. Funciones y gráficas.
Figura 44.
Figura 45.
Figura 46.
19
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
Figura 47.
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
Ejercicio 8.
La dosis de un medicamento es de 0,25 g por cada kilo de peso del paciente, hasta un máximo de
15 g.
Solución:
a) ¿Cuántos gramos tiene que tomar un niño de 10 Kg? ¿Y otro de 30 Kg? ¿Y una persona de 70
Kg?
Como sabemos que por cada kilogramo de peso el paciente debe tomar 0,25 gramos de la
medicación, para saber el total de esta que toma, multiplicamos el peso por 0,25. De esta manera:
20
-
Para un peso de 10 kg: 10 ⋅ 0,25 = 2,5 gr.
-
Para un peso de 30 kg: 30 ⋅ 0,25 = 7,5 gr.
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 7. Funciones y gráficas.
-
Para un peso de 70 kg: 70 ⋅ 0,25 = 17,5 gr. En este caso, como la dosis resultante es mayor a la
máxima permitida, este paciente deberá tomar 15 gramos.
b) ¿A partir de qué peso se toma la dosis máxima?
Para conocer el peso que se corresponde con la dosis máxima, debemos dividir dicha dosis entre el
número de gramos de medicamento que corresponde a cada kilo de peso.
-
Peso máximo: 15 / 0,25 = 60kg.
c) Representa la función peso del paciente-dosis indicada.
Tenemos varias coordenadas, que usaremos para representar la función. Debemos tener en cuenta que
hay un máximo y un mínimo en el dominio; es decir, el valor mínimo de la medicación (x) debe ser 0
puesto que no puede ser negativo y el máximo, 15 porque es la mayor cantidad que se debe tomar.
Figura 48.
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
1. Apartado a. Para conocer el número de gramos correspondientes, debemos calcular una
multiplicación. Para insertar el símbolo de multiplicar, usamos el asterisco (*) y para el decimal, con el
punto. Una vez tengamos la operación planteada, pinchamos en el icono ‘=’ para conocer el resultado.
21
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
Figura 49.
2. Apartado a. Repetimos el proceso anterior de idéntica manera: planteamos la operación y pinchamos
‘=’ para resolverla.
Figura 50.
3. Apartado a. De nuevo repetimos el proceso, aunque cuando obtengamos el resultado veremos que es
mayor del permitido por la prescripción, como vemos en la anotación final.
Figura 51.
22
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 7. Funciones y gráficas.
4. Apartado b. Para obtener este resultado, debemos resolver una división, recordando que para insertar
un número decimal utilizamos el punto que encontramos en el teclado (.): para insertar la barra divisoria,
utilizaremos la que se encuentra en nuestro teclado, concretamente en la tecla correspondiente al
número 7 (/). Cuando lo tengamos planteado, pinchamos en el icono ‘=’ para conocer el resultado.
Figura 52.
5. Apartado c. Para representar esta función debemos seguir unos pasos muy concretos. El primero es
saber cómo plantear un punto, es decir, un par de coordenadas. Para ello, pinchamos en la pestaña
‘Geometría’, y después en el icono ‘Punto’. Entonces nos aparecerá el siguiente esquema, en el que
rellenaremos el hueco llamado x con la coordenada x correspondiente y lo mismo con el hueco llamado
y.
Figura 53.
6. Apartado c. Para insertar una recta, dentro también de la pestaña ‘Geometría’, debemos pinchar en el
icono ‘Recta’. Después veremos que aparece el siguiente esquema, en el que donde vemos ‘punto’,
debemos insertar un punto de la manera que hemos visto en el paso anterior.
Figura 54.
23
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
6. Apartado c. Cuando insertemos el esquema del punto (cada uno correspondiente a una coordenada)
en cada uno de los dos huecos de la recta, obtendremos lo siguiente:
Figura 55.
6. Apartado c. Rellenamos los huecos con los pares de coordenadas y obtenemos lo siguiente.
Figura 56.
6. Apartado c. Cuando pinchamos en el icono ‘=’ obtenemos la función de la recta que pasa por esos dos
puntos.
Figura 57.
6. Apartado c. Representaremos la función con una peculiaridad: sabemos que sólo tiene sentido entre
x=0 y x=15. El resto, es una constante, y lo hacemos de la misma manera. Por lo tanto, para
representarla, pinchamos en el icono ‘Dibujar’, dentro de la pestaña ‘Operaciones’, y dentro de los
paréntesis, escribimos la función, después una coma (,) y a continuación, separados por dos puntos, los
dos valores extremos de la función. Cuando ya esté planteado, pinchamos en el icono ‘=’ para ver la
representación.
24
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 7. Funciones y gráficas.
Figura 58.
Figura 59.
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
Ejercicio 9.
La tabla recoge la medida del perímetro del cráneo de un niño en los primeros meses de vida.
0
3
9 15 21 27 33
PERÍMETRO (cm) 34 40 44 46 47 48 49
TIEMPO (meses)
25
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
Solución:
a) Haz una gráfica relacionando estas dos variables. Elige una escala adecuada.
Figura 60.
b) ¿Qué tendencia se observa en el crecimiento del cráneo de un niño?
Podemos ver que en los primeros meses el aumento del perímetro craneal es grande mientras que con el
paso de los meses este aumento se sigue produciendo pero en menor proporción hasta que finalmente
se estanca con el aumento en sólo un centímetro cada vez. Por lo tanto, afirmamos que el perímetro va
aumentando cada vez a un menor ritmo hasta que se estabiliza.
c) ¿Cuánto crees que medirá el perímetro craneal de un niño de 3 años?
En primer lugar, debemos saber cuántos meses son tres años: 3 ⋅ 12 = 36 .meses
Ahora podemos ver que según la sucesión de valores de la tabla: en los meses anteriores al último
valor, 33, cada seis meses aumentaba el perímetro en 1 centímetro, por lo que a los tres meses (36
meses), el perímetro debe ser: 49,5 centímetros.
26
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 7. Funciones y gráficas.
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
Figura 61.
Figura 62.
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
Ejercicio 10.
Haz una tabla de valores en la que se relacionen la base y la altura de los rectángulos cuya área es
de 12 m2.
Solución:
a) Representa gráficamente esta función.
Daremos valores con una tabla que después representaremos (cada par de coordenadas será un punto) y
uniremos para formar nuestra línea. Asimismo, la tabla nos muestra la altura para diferentes bases de
rectángulos que tienen un área igual a 12 m2
x (HORAS)
1
2 3 4 6 12
y (COSTE)
12 6 4 3 2
1
27
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
Figura 63.
b) ¿Cuál de las tres expresiones siguientes corresponde a esta función?
Para averiguar la ecuación partiremos de la fórmula para calcular el área de un rectángulo. Asimismo,
llamaremos x a la base e y a la altura:
Área = base * .altura → 12 = x * y → y =
12
x
Por lo tanto, la segunda ecuación es la que se corresponde con la de la base y la altura de un área de
12 metros cuadrados.
y=
x
12
y=
12
x
y = 12 x
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
1. Para representar la función y =
12
, pinchamos en el icono ‘Dibujar’ que se encuentra en la pestaña
x
‘Geometría’ y escribimos entre los paréntesis la función que queremos dibujar. Cuando pinchemos en el
icono ‘=’ obtendremos la representación gráfica.
Figura 64.
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[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 7. Funciones y gráficas.
Figura 65.
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
29