Matemáticas Universitarias MATEMÁTICAS UNIVERSITARIAS Sesión No. 8 Nombre: Concepto de función, función lineal y su gráfica. Objetivo de la asignatura: En esta sesión el estudiante aplicará los métodos para la obtención de la función de una recta, así como los elementos que la integran y caracterizan. Contextualización En esta sesión aprenderás a interpretar el concepto de función, para que sirve trabajar con funciones, que datos maneja y cámo se le llama a cada uno de los datos que se manejan en ella. Además se definirá la función lineal en forma de expresión matemática y se aprenderá a usar su gráfica. http://www.colegioglenndoman.edu.co/aula%2 0virtual/lineales%208.gif 1 MATEMÁTICAS UNIVERSITARIAS Introducción al Tema ¿Qué es una función? ¿Para qué son utilizadas las funciones en matemáticas? Éstas y otras preguntas son las que principalmente nos hacemos cuando vamos a iniciar nuestro trabajo con las funciones. Una función se puede definir como una máquina que procesa datos de entrada arrojando así datos de salida o lo que conocemos como resultados. Por ejemplo: http://2.bp.blogspot.com/RCtDP7IcA2g/UNOSApGaO3I/AAAAAAAAAFA/K6oInv5CuuA/s1600/funcione s+matematics.png • Seno, coseno, tangente son funciones trigonométricas. • Sacar una raíz cuadrada o cubica es una forma de trabajar con una función matemática. 2 MATEMÁTICAS UNIVERSITARIAS Explicación Una función es una expresión algebraica representada por la letra “f”. Esta expresión está formada por términos numéricos y literales. La función se debe de expresar con la letra que va a ser la dominante para el proceso que se realice, por ejemplo: F(x) se lee “F de x” esto significa que x será la variable independiente, la cual a través de ella se realiza el proceso de la función. Otro ejemplo: F(x) = x2+4x+4 A esta función se le puede dar valores a la x, sustituyendo cada valor en la función y nos dará un resultado diferente por cada evaluación. Consideremos los valores de x = 1, 2, 3 sustituyendo en la función F (1) = (1)2 + 4(1) +4 = 1+4+4 = 9 Se realizó el proceso de elevar al cuadrado el primer término, luego se realizó la multiplicación del segundo término y por último se sumó el tercer término. De esta manera es como se evalúa una función para un valor de x, su variable. F (2) = (2)2 + 4(2) +4 = 4 +8+4 = 16 F (3) = (3)2 + 4(3) +4 = 9 +12+4 = 25 Función Lineal Una función f es lineal si y solo si f(x) puede ser escrita en la forma f(x)= mx + b, en donde a y b son constantes y a≠0. Suponga que f(x) = mx+b es una función lineal y que y = f(x). Entonces y=mx+b, la cual es una ecuación de recta con pendiente m y b es la intersección con el eje y. Así, la gráfica de una función lineal es una recta. Decimos que la función f(x)=mx+b tiene pendiente m. Ejemplo 1: Graficación de funciones lineales. 3 MATEMÁTICAS UNIVERSITARIAS a. Graficar f(x) = 2x – 1 Solución: Aquí f es una función lineal con pendiente m=2 de modo que su grafica es una recta. Como dos puntos determinan una recta, sólo necesitamos graficar dos puntos y después dibujar una recta que pase por ellos. x f(x) 0 -1 2 3 f(x) 4 3 2 1 f(x) 0 -1 0 2 -2 El dominio de una función lineal son todos los valores que se le pueden dar a x, estos valores son todos los números reales. El rango de una función lineal son todos los valores que se tienen para y=f(x) y estos son todos los números reales. Por lo tanto: Dominio = (−∞, ∞) Rango = (−∞, ∞) Ejemplo 2: Determinación de una función lineal. 4 MATEMÁTICAS UNIVERSITARIAS Suponer que f es una función lineal con pendiente a = 2 y f(4) = 8. Hallar f(x). Solución: Ya que f es lineal tiene la forma f(x) = mx + b. la pendiente está representada por a entonces a = 2 según los datos del problema. Por lo tanto f(x) = 2x + b Ahora determinaremos el valor de b. Como f(4) = 8 en la expresión de f reemplazaremos el valor de x = 4 y resolvemos para b f(4) = 2(4) + b 8=8+b 0=b De aquí que f(x) = 2x. Ejemplo 3: Si f(x) es una función lineal que pasa por los puntos (-2,6) y (1,-3), encontrar f(x). Solución: Como solamente tenemos dos puntos, encontraremos primeramente la pendiente a través de la siguiente expresión: 𝑦2 − 𝑦1 𝑚= 𝑥2 − 𝑥1 Por lo tanto, 𝑚 = −3−6 1−(−2) = −9 3 = −3 Podemos encontrar la ecuación de recta(función lineal) por medio de la forma punto-pendiente. y-y 1 = m(x-x 1 ) y-6 = (-3)[x-(-2)] y-6 = (-3)(x+2) y-6 = -3x-6 y = -3x – 6 +6 y = -3x. 5 MATEMÁTICAS UNIVERSITARIAS Conclusión Recordemos que una función es una correspondencia entre los elementos de un conjunto de salida, llamado Dominio, y los elementos de un conjunto de entrada, llamado Rango, de forma tal que a cada elemento del dominio le corresponde uno, y sólo uno, en el rango. La siguiente sesión aprenderemos el manejo de la función cuadrática y su gráfica. http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0416-02/caratula.gif 6 MATEMÁTICAS UNIVERSITARIAS Para aprender más En este apartado encontrarás más información acerca del tema para enriquecer tu aprendizaje. Puedes ampliar tu conocimiento visitando los siguientes sitios de Internet. • Bonilla, E. (2012). Función lineal. Consultado el 25 de abril de 2013: http://www.youtube.com/watch?v=zwKjcPpQT3o • Introducción a las funciones lineales. (2011). Consultado el 25 de abril de 2013: http://www.youtube.com/watch?v=X2CmsoMCsxU • Vitutor. (s.f.). Función lineal. Consultado el 25 de abril de 2013: http://brd.unid.edu.mx/funcion-lineal/ Es de gran utilidad visitar el apoyo correspondiente al tema, pues te permitirá desarrollar los ejercicios con más éxito. 7 MATEMÁTICAS UNIVERSITARIAS Actividad de Aprendizaje Con los conocimientos adquiridos en esta sesión acerca de la función lineal y su gráfica, los aplicarás para dar solución a cada uno de los problemas sobre ecuaciones lineales I.- Determina la pendiente y la intercepción con el eje vertical de la función lineal; bosquejar la gráfica. 1. f(x) = -4x. 2. f(x) = x + 1 3. ℎ(𝑞 ) = 7−𝑞 2 II.- Determinar f(x) cuándo f es una función lineal que tiene las propiedades dada. 4. pendiente = 4, f(2) = 8. 5. f(0) = 3, f(4) = -5 6. f(1) = 2, f(-2) = 8 1 1 7. pendiente = − , f (− )= 4 2 2 Sube tu trabajo a la plataforma. 8 MATEMÁTICAS UNIVERSITARIAS Bibliografía Haussler, E. (1997). Matemáticas para administración, economía, ciencias sociales y de la vida. Edo. México, México. Prentice Hall hispanoamericana, S.A. 9