Distribución binomial y normal

1º BCNySyT - 14. Distribuciones binomial y normal
Excel
PASO A PASO
1. Calcula los parámetros de la variable
aleatoria número de hijas y haz el diagrama de barras de frecuencias relativas.
Número de hijas: xi
Frecuencias absolutas: ni
0
5
1
13
2
7
Solución:
a) Abre Microsoft Excel, en la Hoja1
copia los datos iniciales que hay en la
tabla anterior. Tienes que combinar algunos rangos y reducir el ancho de las
columnas.
b) Suma las frecuencias absolutas ni
Cálculo de los parámetros
a) Media: escribe en la celda C4 la fórmula =B4/$B$7 y arrastra el Controlador de relleno de dicha celda hasta la
celda C6. En la celda C7 suma los datos
que hay encima, debes obtener 1. Completa la columna D. En la celda E9 debes obtener 1,08
b) Varianza: debes obtener: 0,47
c) Desviación típica: debes obtener: 0,49
Diagrama de barras
2. En una familia con dos hijos, estudia la
probabilidad de la variable aleatoria
número de hijas y haz el diagrama de
barras de frecuencias relativas.
0
1
2
Número de hijas: xi
0,25 0,50 0,25
f(xi) = pi
Solución:
a) Copia todos los datos de la Hoja1 en la
Hoja2
b) Modifica la Hoja2 para que esté adaptada a los nuevos datos. Elimina la columna 2 y escribe los datos de la columna pi de probabilidades. Automáticamente deben aparecer todos los resultados.
Cálculo de los parámetros
a) Media: 1,00
b) Varianza: 0,50
c) Desviación típica: 0,71
Diagrama de barras
Sólo tienes que cambiar el título superior y
el del eje Y
Cuando hayas terminado elige
Guardar
y guárdalo en tu carpeta con el nombre
Binomial y normal
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3. La probabilidad de que al lanzar una
chincheta quede con la punta hacia
arriba es de 1/3. Se lanzan 10 chinchetas.
• Calcula la probabilidad de que queden
exactamente 4 con la punta hacia arriba.
•
•
Calcula los parámetros.
Calcula la probabilidad de que queden a
lo sumo 4 con la punta hacia arriba.
Solución:
Aplicando la estrategia de resolución de
problemas se tiene:
a) x ≡ Número de chinchetas que quedan
con la punta hacia arriba.
b) B(10, 1/3)
c) P(x = 4)
Cálculo de la probabilidad
a) En la Hoja3 copia los datos iniciales
que hay en la tabla anterior.
b) En la celda D4, introduce la fórmula
=DISTR.BINOM(A3;B3;C3;D3). Debes obtener: 0,23
Cálculo de los parámetros
a) Media: En la celda D6, introduce la
fórmula =B3*C3. Debes obtener: 3,33
b) Varianza: En la celda D7, introduce la
fórmula =B3*C3*(1–C3). Debes obtener: 2,22
c) Desviación típica: debes obtener: 1,49
Cálculo de la probabilidad acumulada
a) Para calcular la probabilidad de que
queden a lo sumo 4 con la punta hacia
arriba, es:
P(x ≤ 4)
b) Es una probabilidad acumulada, se debe
poner en la celda D3 un 1 y debes obtener en la celda D4 el valor: 0,79
Guardar.
c) Elige
Solución:
a) Inserta una nueva hoja y muévela al
final.
b) En la Hoja4 copia los datos iniciales
que hay en la tabla anterior.
c) En la celda E3 suma las frecuencias
absolutas ni. Debes obtener 100
d) En la celda B4 introduce la fórmula
=B3/$E$3 y arrastra el Controlador
de relleno de dicha celda hasta la celda
D4. Debes obtener 0,82; 0,16 y 0,02
e) En la celda E6 introduce la fórmula
=SUMA(B5:D5). Debes obtener: 0,2
f) En la celda E7 introduce la fórmula
=E6/E3. Debes obtener: 0,002
g) En la celda B8 introduce la fórmula
=DISTR.BINOM(B2;$E$3;$E$7;0) y
arrastra el Controlador de relleno
de dicha celda hasta la celda D8. Debes
obtener: 0,8186; 0,1640 y 0,0163
h) Se observa que las frecuencias relativas
y las probabilidades son muy parecidas.
Por tanto, sí se ajusta.
Guardar.
i) Elige
5. Define un procedimiento para calcular
la probabilidad en una distribución N(0,
1). Calcula:
a) P(z < 1,21)
b) P(z > 1,21)
c) P(0,47 < z < 1,78)
Solución:
4. ¿Se ajusta el siguiente conjunto de datos a una distribución binomial?
Nº de piezas defectuosas
Nº de motores obtenidos
0
82
1
16
2
2
a) Inserta una nueva hoja y muévela al
final.
b) En la Hoja5 copia los datos iniciales
que hay en la tabla anterior.
c) En la celda B3 introduce la fórmula:
=DISTR.NORM.ESTAND(A3)
Debes obtener: 0,8869
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d) En la celda C3 introduce la fórmula:
=1–B3
Debes obtener: 0,1131
e) En la celda C6 introduce la fórmula:
=DISTR.NORM.ESTAND(B6)–
DISTR.NORM.ESTAND(A6)
Debes obtener: 0,2816
Guardar.
d) Elige
6. Define un procedimiento para calcular
el valor de k conociendo la probabilidad en una distribución N(0, 1).
Calcula:
Si P(z < k) = 0,8869 en una N(0, 1),
halla k
Solución:
a) En la Hoja6 copia los datos iniciales
que hay en la tabla anterior.
b) En la celda B3 introduce la fórmula:
=DISTR.NORM.ESTAND.INV(A3)
Debes obtener: 1,21
c) Haz clic en Guardar.
7. Define un procedimiento para calcular
la probabilidad en una distribución N(µ,
σ). Aplícalo al siguiente problema:
Se sabe que el peso de las personas mayores de 18 años de una ciudad se distribuye normalmente con una media de
72 kg y una desviación típica de 6 kg.
Calcula la probabilidad de que tomada
una persona al azar pese:
• Menos de 80 kg
• Pese más de 80 kg
• Pese entre 70 y 80 kg
Aplicando la estrategia de resolución de
problemas.
a) x ≡ Peso de las personas.
b) N(72, 6)
c) Se piden las probabilidades
• P(x < 80) = P(x ≤ 80)
• P(x > 80) = P(x ≥ 80)
• P(70 < x < 80) = P(70 ≤ x ≤ 80)
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Solución:
c) En la Hoja7 copia los datos iniciales
que hay en la tabla anterior.
d) En la celda E3 introduce la fórmula:
=DISTR.NORM(A3;B3;C3;D3)
Debes obtener: 0,9088
e) En la celda F3 introduce la fórmula:
=1–E3
Debes obtener: 0,0912
f) En la celda F6 introduce la fórmula:
=DISTR.NORM(B6;C6;D6;E6)–
DISTR.NORM(A6;C6;D6;E6)
Debes obtener: 0,5393
g) Haz clic en Guardar.
8. Define un procedimiento para calcular
el valor de k conociendo la probabilidad en una distribución N(µ, σ)
Calcula:
a) Si P(x < k) = 0,456 en una N(65, 5),
halla k
Solución:
d) En la Hoja8 copia los datos iniciales
que hay en la tabla anterior.
e) En la celda D3 introduce la fórmula:
=DISTR.NORM.INV(A7;B7;C7)
Debes obtener: 80
f) Haz clic en Guardar.
9. Haz un procedimiento para dibujar la
gráfica de cualquier distribución normal. Toma como primer modelo la distribución normal N(3; 1,2). A partir de
ella dibuja la N(0, 1)
Solución:
a) En la Hoja9 copia los datos de las filas
1, 2, 3 y 4
b) En la celda A5 escribe – 4 y en la celda
A6 escribe – 3,75, selecciona el rango
A5:A6 y arrastra el Controlador de
relleno hasta la celda A37, genera los
números del – 4 al 4 con un paso de
0,25
c) En la columna B tienes que obtener la
suma de la columna A más la media.
d) En la columna C tienes que obtener la
probabilidad correspondiente a los datos de la columna B
Representación gráfica
a) Haz la representación gráfica de los
datos correspondientes al rango
B5:C37, elige en tipo de gráfico Líneas
y en subtipo Línea. Presenta tendencias a lo largo del tiempo o entre categorías.
b) Escribe en la celda A3 un cero, y en la
celda A4 un uno, selecciona el rango
A3:A4 y arrastra el Controlador de
relleno hasta la celda A33, genera los
30 primeros números.
c) En la celda B3 introduce la fórmula:
=DISTR.BINOM($A3;B$2;0,5;0)
y arrastra el Controlador de relleno de
dicha celda hasta la celda B8
d) En la celda C3 introduce la fórmula:
=DISTR.BINOM($A3;C$2;0,5;0)
y arrastra el Controlador de relleno de
dicha celda hasta la celda C13
e) En la celda D3 introduce la fórmula:
=DISTR.BINOM($A3;D$2;0,5;0)
y arrastra el Controlador de relleno de
dicha celda hasta la celda D23
f) En la celda E3 introduce la fórmula:
=DISTR.BINOM($A3;E$2;0,5;0)
y arrastra el Controlador de relleno de
dicha celda hasta la celda D33
Representación gráfica
e) Haz la representación gráfica de los
datos correspondientes al rango
B3:E33, elige en tipo de gráfico Líneas
y en subtipo Líneas con marcadores
en cada valor de datos.
b) Mejora la presentación del gráfico.
c) Haz clic en Guardar.
d) Para dibujar la N(0, 1), introduce en la
celda de la media un 0 y en la celda de
la desviación típica un 1, automáticamente se obtiene la gráfica de la N(0, 1)
10. Dibuja las distribuciones binomiales:
B(5; 0,5), B(10; 0,5), B(20; 0,5),
B(30; 0,5)
Observa como se van pareciendo cada vez
más a la normal.
Solución:
f) Mejora la presentación del gráfico.
g) Haz clic en Guardar.
11. Define un procedimiento para hacer la
normalización y la tipificación. Como
ejemplo aplícalo al siguiente problema:
En el control de calidad de una fábrica
de CD vírgenes se ha obtenido que el 3
% son defectuosos. Si se compran 500
CD, qué probabilidad hay de que haya
20 o menos defectuosos.
a) x ≡ Nº de CD defectuosos.
b) B(500; 0,03)
c) P(x ≤ 20)
a) En la Hoja10 copia los datos de las
filas 1 y 2
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Solución:
a) En la Hoja11 copia los datos de las
filas 1, 2 y 3 y de la fila 4 el rango
A4:D4.
b) En la celda E4 introduce la fórmula:
=A4+0,5
c) En la celda F4 introduce la fórmula:
=B4*C4
d) En la celda G4 introduce la fórmula:
=RAIZ(B4*C4*(1–C4))
e) En la celda H4 introduce la fórmula:
=E4
f) En la celda I4 introduce la fórmula:
=(E4–4)/G4
g) En la celda D5 introduce la fórmula:
=DISTR.BINOM(A4;B4;C4;D4)
h) En la celda G5 introduce la fórmula:
=DISTR.NORM(E4;F4;G4;1)
i) En la celda I5 introduce la fórmula:
=DISTR.NORM.ESTAND(I4)
j) Haz clic en Guardar.
12. Define un procedimiento para hacer un
ajuste de un conjunto de datos obtenidos experimentalmente a una distribución normal. Como ejemplo aplícalo al
siguiente problema:
Los alumnos de un grupo de alumnos
de 1º de Bachillerato se han pesado y se
han obtenido los resultados de la tabla
siguiente. ¿Se ajusta este conjunto de
datos a una distribución normal?
Peso
xi
Nº alumnos
[55, 60] 57,5
1
[60, 65] 62,5
6
[65, 70] 67,5
11
[70, 75] 72,5
6
[75, 80] 77,5
1
Solución:
a) En la Hoja12 copia los datos de las
filas 1, 2 y 3, excepto el 25 de la celda
G3 que debes obtener sumando las fre-
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cuencias absolutas. Copia también los
textos de la columna A
b) En la fila 4 calcula las frecuencias relativas.
c) En la fila 5 calcula las marcas de clase,
en la celda B5 introduce la fórmula:
=B2+(C2–B2)/2
d) En el rango B6:F6 calcula los productos
indicados y en la celda G6 calcula su
suma.
e) En la celda G7 calcula la media.
f) En el rango B8:F8 calcula la operación
indicada y en la celda G8 calcula su
suma.
g) En la celda G9 calcula la varianza.
h) En la celda G10 calcula la desviación
típica.
i) En la fila 11 calcula los extremos de los
intervalos tipificados
j) En la fila 12 calcula las probabilidades
de los intervalos tipificados utilizando
la desviación normal estándar.
Como las frecuencias relativas y las probabilidades de cada intervalo son muy parecidas, se pude ajustar.
h) Haz clic en Guardar.
13. Genera la tabla de la N(0, 1)
Solución:
a) En la Hoja13, en la celda A1 escribe la
letra k
b) Escribe los datos de la celda A2 y A3,
selecciona el rango A2:A3 y y arrastra
el Controlador de relleno hasta la
celda A42
c) Escribe los datos de la celda B1 y C1,
selecciona el rango B1:C1 y arrastra el
Controlador de relleno hasta la celda K1
d) En la celda B2 introduce la fórmula:
=DISTR.NORM.ESTAND($A2+B$1)
e) Arrastra el Controlador de relleno
de la celda B2 hasta la celda K2
f) Teniendo seleccionado el rango anterior
Controlador de
B2:K2 arrastra el
relleno hasta la fila 42
ASÍ FUNCIONA
Funciones de estadística utilizadas
DISTR.BINOM: distribución binomial.
DISTR.NORM.ESTAND: distribución normal estándar, N(0, 1)
DISTR.NORM.ESTAND.INV: distribución normal estándar inversa.
DISTR.NORM: distribución normal, N(µ
µ, σ)
DISTR.NORM.INV: distribución normal estándar inversa.
PRACTICA
14. Utilizando la Hoja1, calcula las siguientes
probabilidades y los parámetros correspondientes:
a) En una B(20; 0,3), P(X = 10)
b) En una B(22; 0,6), P(X ≤ 9)
15. Utilizando la Hoja3 resuelve el siguiente problema:
Un test de inteligencia está compuesto de 80 preguntas, cada una de las cuales tiene cuatro respuestas de las que sólo una es correcta. Si se contesta aleatoriamente, halla la media, la varianza y
la desviación típica.
16. En un test de percepción realizado a 120 personas ese han obtenido los siguientes resultados sobre el número de fallos cometidos:
Nº de fallos
0
1
2
Nº de personas 90 25 5
¿Se ajustan los datos a una binomial?
17. Utilizando la Hoja5, calcula en una N(0, 1)
las siguientes probabilidades:
a) P(z ≤ 0,5)
b) P(z ≤ 1,72)
c) P(z ≥ 2,4)
d) P(z ≤ – 3,56)
18. Utilizando la Hoja5, calcula en una N(0, 1)
las siguientes probabilidades:
a) P(1,5≤ z ≤ 2)
b) P(– 2,3 ≤ z ≤ 3,7)
c) P(– 3,4 ≤ z ≤ – 1,8)
d) P(– 1,6 ≤ z ≤ 1,6)
19. Utilizando la Hoja6, calcula el valor de k en
los siguientes casos:
a) P(z ≤ k) = 0,9582
b) P(z ≥ k) = 0,7612
20. Utilizando la Hoja7, calcula en una N(20, 4)
las siguientes probabilidades:
a) P(x ≤ 25)
b) P(x ≥ 17)
c) P(23 ≤ x ≤ 27)
d) P(15 ≤ x ≤ 18)
21. Utilizando la Hoja8, calcula el valor de k en
los siguientes casos:
a) P(z ≤ k) = 0,7777 en una N(5, 2)
b) P(z ≥ k) = 0,1258 en una normal N(80, 6)
22. El peso de los recién nacidos sigue una distribución normal de media 3,5 kg y una desviación típica de 0,6 kg. Calcula la probabilidad
de que un recién nacido pese entre 2,7 kg y
4 kg
23. Se ha estudiado el número de días que 600
insectos viven en unas determinadas condiciones obteniéndose los siguientes resultados:
Nº días
0-5 5-10 10-15 15-20 20-25
Nº insectos 60 70
350
80
40
¿Se ajustan los datos a una distribución normal?
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