SELECCIONES ORDENADAS • Tenemos k objetos distintos para

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Victoria Zarzosa Rodríguez
SELECCIONES ORDENADAS
• Tenemos k objetos distintos para distribuir en n cajas
distintas con k  n
¿de cuántas formas distintas se pueden introducir los k objetos
en las n cajas, de manera que cada caja contenga como
máximo
á i
un objeto?
bj t ?
Elegimos qué cajas son las que van a contener algún objeto.
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• Sean
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O  o1 ,..., ok  y C  c1 ,..., c n  con k  n
¿Cuántas aplicaciones inyectivas distintas
f : O  C podemos definir?
Hay que elegir los elementos distintos entre sí,
f o1 ,..., f ok 
se eligen
li
contiene
k elementos
l
t distintos
di ti t de
d un conjunto
j t
n elementos.
C
que
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• Selecciones ordenadas de k elementos distintos escogidos
de un conjunto C = {c1, c2, …, cn} que contiene n elementos.
• Listas
Li t de
d k elementos
l
t distintos
di ti t
[ cr1 , cr2 , , crk ]
elegidos de un conjunto C = {c1, c2, …, cn} con n elementos.
El número total de aplicaciones inyectivas, selecciones
ordenadas o listas es
Vn , k
n!
 nn  1n  2 ...n  k  1 
n  k !
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Ejemplos
j p
1) ¿Cuántos números naturales mayores que 99 y menores que
1000 tienen las cifras distintas entre sí y distintas de cero?
2) ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse 7 personas en
una fila de 10 asientos numerados?
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PERMUTACIONES
C
Caso
particular
i l
de
d selecciones
l i
ordenadas
d d con k = n
• Sean
O  o1 ,..., on  y C  c1 ,..., c n 
¿Cuántas aplicaciones biyectivas distintas
f : O  C podemos definir?
Hay que elegir los elementos distintos entre sí,
f o1 ,..., f on 
se eligen ordenadamente los
conjunto C.
n
elementos
distintos del
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• Permutación es cada una de las diferentes selecciones
ordenadas de los n elementos distintos de un conjunto.
• Listas de los n elementos distintos [c1, c2, …, cn] de un
conjunto C ={c1, c2, …, cn} que tiene n elementos.
El número total de aplicaciones
p
biyectivas,
y
, ppermutaciones o
listas de n elementos es
Pn  Vn, n  n !
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Ejemplos
j p
1)) ¿¿De cuántas formas distintas ppueden sentarse 10 ppersonas en una
fila de 10 asientos numerados?
2) ¿De cuántas formas se pueden colocar 8 torres iguales en un
tablero de ajedrez de modo que no se ataquen?
3) ¿De cuántas formas distintas se pueden elegir n posiciones en
una cuadrícula de tamaño n × n de forma que no coincida la fila
ni la columna para ninguna de las n posiciones?
4) ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse 10 personas
alrededor de una mesa circular con 10 asientos?
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SELECCIONES ORDENADAS CON REPETICIÓN
• Tenemos k objetos distintos para distribuir en n cajas distintas
¿ cuántas formas se ppueden introducir los k objetos
¿de
j
en las n
cajas, teniendo en cuenta que cada caja puede contener los k
objetos?
Elegimos qué cajas son las que van a contener algún objeto.
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• Sean
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O  o1 ,..., ok  y C  c1 ,..., cn 
¿Cuántas aplicaciones distintas
f : O  C podemos
d
ddefinir?
fi i ?
H que elegir
Hay
l i llos k elementos
l
t
f o1 ,..., f ok 
d un conjunto
de
j
C que tiene
i
n elementos.
l
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• Selecciones ordenadas con repetición de k elementos elegidos
de un conjunto con n elementos, donde el mismo elemento se
puede elegir hasta k veces.
• Listas de k elementos, no distintos, [ c r1 , c r2 ,  , c rk ]
elegidos de un conjunto C = {c1, c2, …, cn} con n elementos.
El número total de aplicaciones,
aplicaciones selecciones ordenadas con
repetición o listas es
VRn, k  n k
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Ejemplos
1) ¿Cuántos números distintos de seis cifras existen formados sólo
por las cifras 1, 2, 3 ?
2)) Sean A = { a1, ...,, an } un alfabeto y k  
El conjunto de palabras de longitud k sobre el alfabeto A es
Ak = {ai1 ... aik / aij  A , 1  j  k }.
Entonces
card Ak = VRn, k  n k
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SELECCIONES NO ORDENADAS
• Tenemos k objetos idénticos para distribuir en n cajas
distintas con
k  n
¿de cuántas formas distintas se pueden introducir los k
objetos
bj t en las
l n cajas,
j
d manera que cada
de
d caja
j contenga
t
como máximo un objeto?
Elegimos cuántas cajas son las que van a contener algún
objeto
objeto.
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• Selecciones
S l i
no ordenadas
d d o Combinaciones
C bi i
d k elementos
de
l
t
escogidos de entre un conjunto que tiene n elementos.
• Subconjuntos { cr1 , cr2 , , crk } con k elementos que tiene
un conjunto C = {c1, c2, …, cn} de n elementos.
C n ,k 
Vn , k
Pk
n
n!

  
n  k ! k !  k 
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Ej
Ejemplos
l
1)) ¿¿Cuántos colores distintos se ppueden obtener al mezclar 3 botes
de pintura si disponemos de un total de 7 botes de colores
distintos?
2) ¿Cuántas manos distintas de póker se pueden obtener?
3) ¿Cuántos subconjuntos tiene un conjunto de n elementos?
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4) El sistema Braille (Louis Braille, 1809  1852) consiste en la
representación de caracteres mediante puntos en altorrelieve.
Las posiciones de los puntos se sitúan en dos columnas
verticales, de tres puntos cada una.
 
 
 
¿Cuántos caracteres son posibles?
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• Alfabeto Braille
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http://educ.queensu.ca/~fmc/may2004/braille.html
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Soluciones
7
1)  
 3
2)  52 
5
 
n
3)
n
n n
  2

k
k 0  
C 
n,k
k 0
6
4) k1 C6 , k
 6 6 6
     2     63
k 1 k
 
0
6
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Números combinatorios
Se llaman números combinatorios a las expresiones
n
n!
  
con k  n,  k , n    0
 k  n  k ! k !
Propiedades
1. Un conjunto de n elementos tiene el mismo número de
subconjuntos de k elementos que de n  k elementos.
n
 n 
n!
  

 
 k  n  k ! k !  n  k 
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2. Teorema del binomio de Newton ( Probado por Euler )
x  y 
n

n

k 0
 n  nk k
  x
y
k 
El número de selecciones no ordenadas de tamaño n
n
de dos símbolos x, y es  
k 
Se elige
el símbolo x  n  k veces
el símbolo y  k veces.
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Consecuencias
2  1  1 
n
n
n

k 0
0  1  1 
n
n

k 0
n
 n  nk k
  1 1  
k 0
k 
n
 
k 
n
 n  nk
k
  1 ( 1)   ( 1)k
k 0
k 
n
 
k 
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3. El número de subconjuntos de k elementos que tiene un
conjunto de n elementos es la suma del número de
subconjuntos de k elementos
a) que contienen a un elemento x fijo
b) que no contienen a un elemento x fijo
 n   n  1   n  1
   
  

 k   k  1  k 
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4. Identidad de Vandermonde, 1772
El número de formas diferentes de elegir k personas en un
conjunto formado por n hombres y m mujeres.
mujeres
 n  m   n  m   n  m 
 n  m 

       
      
 k   0  k   1  k  1
 k  0 
k  n , m, n  m
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