El significado de la función de onda

Sobre el significado de la función de onda
Introducción
El buen aprovechamiento de lo discutido sobre las ondas mecánicas y
electromagnéticas, es de particular importancia en este parte del curso. La insistencia,
acerca de la necesidad de entender muy bien los asuntos discutidos, se ve justificada
ahora. El contenido del curso, permite clasificarlo, por nivel de dificultad, dada la
secuencia, de lo concreto a lo abstracto en: las ondas mecánicas, las ondas
electromagnéticas, y las ondas de materia.
En las ondas mecánicas, la dificultad se presentó de una parte, en asimilar las
oscilaciones como las fuentes de las ondas, y de otra, la de acoplarlas como fuentes de
energía, con la forma de perturbación que adquiere el medio que le sirve para
propagarse. En las ondas electromagnéticas, la dificultad reside en la necesidad de
encontrar una justificación para ese algo que oscila, por analogía con las ondas
mecánicas; será la variación de los campos eléctrico y magnético, y de las fuentes, los
dipolos, con la respectiva superposición de los campos. En ambos casos, y aunque en
las ondas electromagnéticas, el nivel de abstracción sea mayor que en las mecánicas, lo
fundamental fue entender conceptos que describen una realidad tangible, con una
coherencia directa entre los descrito con lo observado. En las ondas de materia, con su
estructura interna, de la cual la ecuación de Schrödinger se convierte en su principal
postulado; se parece a un esquema de adivinación hasta hora eficiente; pues los
resultados de la adivinación incorporados a la ciencia y la tecnología han hecho que
todo funcione muy bien dentro de los límites de precisión que permite el principio de
incertidumbre.
La función de onda de la ecuación de Schrödinger
El carácter complejo de la ecuación, manifiesto por la presencia de la unidad imaginaria
i, y consecuentemente de la función de onda, Ψ, constituye como un semáforo para su
interpretación física. Hasta el presente, en la física, lo imaginario no tiene significado
alguno, pero no obstante, la presencia de la i, se convierte en algo saludable, pues
inicialmente nos impide, así sea a manera de comparación, atribuirle a ésta función de
onda una existencia física real, igual que las ondas mecánicas, como por ejemplo las
ondas en el agua, o las ondas sonoras. La función de onda de la ecuación de
Schrödinger, es un instrumento de cálculo, que hace parte del mismo postulado que
constituye la ecuación. No obstante, ésta función, es el único instrumento a través del
cual podemos saber todo lo que queramos sobre los sistemas a los cuales se aplique la
ecuación, y compatible con el principio de incertidumbre. En este estado de la
discusión, me parece conveniente recomendar a los interesados, entre los muchos libros
que sobre estos asuntos se han escrito, sobre todo en español, el libro de John Gribbin
“En busca del gato de Schrödinger”, de la Biblioteca Científica Salvat. No 20.
Para obtener la información que nos puede dar la función de onda, Ψ, necesitamos
establecer relaciones cuantitativas entre ella, y las variables dinámicas que describen a
su partícula asociada. Haciendo uso de lo discutido sobre las ondas, recordemos que la
intensidad de una onda es dada en términos del cuadrado de la amplitud, A2. Esta será
una forma que nos ayudará a interpretar, la información contenida en la función de
onda.
Recordando lo que discutimos cuando vimos los paquetes de ondas, la fig. 1, muestra
tres paquetes de ondas A, B, y C, con diferente longitud de onda X1 < X2 < X3. (Xn =
λ/2 de cada paquete). Sin pretender asociarle a una partícula una onda real como las que
se ilustran, y como siempre he enfatizado, las gráficas no demuestran nada, sólo sirven
para ilustrar alguna situación particular, en este caso nos puede servir para ayudarnos a
Figura 1
abstraer mejor la idea de onda asociada, como lo anote antes, y tratar de entender el
postulado de De Broglie, y el significado de la función de onda de la ecuación de
Schröinger. Como lo mostramos en clase, de las dos velocidades definidas para el caso
de la fig. 1, la velocidad de fase vf y la velocidad de grupo vg, la velocidad de la
partícula a la que se le podría asociar una onda similar, es la velocidad de grupo. Si nos
preguntamos ahora, si la partícula viaja con la velocidad del paquete, nos podríamos
preguntar, para los paquetes mostrados, ¿dónde esta la partícula?, o en otras palabras,
¿en qué valor de las coordenadas Xn, (n = 1, 2, 3) se encontrará la partícula? Para poder
responder a esa pregunta, o alguna similar, debe existir alguna relación entre una
medida de la intensidad de la función de onda ψ(x, t), (que es la única a la que podemos
recurrir para indagar sobre la partícula) en la región de coordenadas X en un tiempo t, y
la probabilidad por unidad de longitud, (o densidad de probabilidad), P(x, t), de
encontrar la partícula en esa región, y en ese instante de tiempo. Desde luego, que por el
carácter complejo (imaginario) de la función de onda, y lo indefinido de la posición de
la partícula; lo que podemos hacer, es sólo evaluar su probabilidad de ubicación; no
podemos igualar la función de onda compleja ψ(x, t), y la probabilidad P(x, t), ya que
ésta es una cantidad real. Tratando de buscar la debida consistencia entre todos los
resultados y situaciones que hemos venido discutiendo, una propuesta más surgió en
1926, por parte de Max Born; él postuló que: Si al tiempo t, se efectúa una medida
para ubicar la partícula asociada con la función de onda ψ(x, t), entonces la
probabilidad P(x, t)dx, de que el valor de la coordenada encontrado como resultado
de la medida, se encuentre entre x y x + dx es
P(x, t)dx = ψ*(x, t) ψ(x, t)dx
Siendo que ψ*(x, t), es el complejo conjugado de ψ(x, t).
Una forma más simple de la ecuación de Schrödinger
Teniendo en cuenta que la nueva física tiene su más alto contenido sustentado en la
abstracción, guiado por un aparato matemático particular, me parece oportuno que
tratemos hasta donde sea posible, aprovechar al máximo la información y discusión de
los tópicos discutidos a lo largo de este curso. Para el efecto, en razón a que muchos de
los problemas importantes que se discuten en base a la ecuación de Schrödinger,
involucran potenciales constantes, es conveniente familiarizarnos con esta ecuación,
pero en su forma independiente del tiempo, la cual se vuelve más fácil de manejar.
Ecuación de Schrödinger independiente del tiempo
−
h 2 ∂ 2 Ψ ( x, t )
∂Ψ ( x, t )
+ V o Ψ ( x , t ) = ih
2
2m ∂x
∂t
(1)
La ec. 1, es una ecuación diferencial en derivadas parciales, en las variables espaciales y
temporal, análoga en este sentido a la ecuación de onda que ya fue discutida en el curso.
Como se anotó en su momento sobre estas ecuaciones; una de las formas de solución es
la técnica de separación de variables, en la cual se propone una función que consiste en
el producto de funciones igual al número de variables de la ecuación a resolver; es decir
en este caso dos (caso de una sola coordenada espacial, x, y el tiempo t), así que la
función propuesta puede ser
Ψ(x, t) = ψ ( x)φ (t )
(2)
Para verificar esta forma de solución debemos reemplazarla en la ec. 1, para lo cual
procedemos así: inicialmente derivamos dos veces la ec. 2, con respecto a x, y una vez
con respecto a t
∂ 2 Ψ ( x, t ) d 2ψ ( x)
=
φ (t )
∂x 2
dx 2
(3)
y
∂Ψ ( x, t )
dφ (t )
= ψ ( x)
∂t
dt
Reemplazando las ecs. 2, 3 y 4 en ec. 1, tenemos
−
h 2 d 2ψ ( x)
dφ (t )
φ (t ) + Voψ ( x)φ (t ) = ihψ ( x)
2
2m dx
dt
(5)
Ahora, dividiendo la ec. 5, entre la ec. 2, tenemos
−
Factorizando
h 2 1 d 2ψ ( x)
1 dφ (t )
+ Vo = ih
2
2m ψ ( x) dx
φ (t ) dt
1
en el primer miembro de ec. 6, obtenemos
ψ ( x)
(6)
(4)
1
h 2 d 2ψ ( x)
1 dφ (t )
[−
+ Voψ ( x)] = ih
2
φ (t ) dt
ψ ( x) 2m dx
(7)
Como se puede ver, en la ec. 7, el primer miembro es una ecuación diferencial ordinaria
de segundo orden en x, y el segundo, una ecuación diferencial ordinaria de primer orden
en t. Por lo tanto, para separar las dos ecuaciones, estas deben ser igual a la misma
constante, digamos C, independiente de x y t. En tal forma la ec. 7, convierte en
h 2 d 2ψ ( x)
1
[−
+ Voψ ( x)] = C
ψ ( x) 2m dx 2
ih
1 dφ (t )
=C
φ (t ) dt
(8)
(9)
Reordenando la ec. 9, se tiene
dφ (t )
iC
= − φ (t )
dt
h
(10)
La ec. 10 tiene la misma forma de las ecuaciones armónicas discutidas al inicio del
curso, y su función solución es entonces
C
−i t
h
C
C
= Cos ( t ) − iSen( t )
(11)
h
h
Si comparamos la ec. 11 con forma de la solución armónica x(t) = A Cos ωt ± iSen ωt,
C
C
C
C
C
=
= ⇒ C = hf = E
tenemos que ω = , entonces 2πf =
⇒f=
2πh 2πh h
h
h
2π
φ (t ) = e
Por lo tanto φ (t ) = e
E
−i t
h
, y la función de onda solución adquiere la forma
Ψ ( x, t ) = ψ ( x )e
E
−i t
h
(12)
y la ec. 8, se puede reescribir como
−
h 2 d 2ψ ( x)
+ Voψ ( x) = Eψ ( x)
2m dx 2
(13)
La ec. 13, es la forma de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo, cuya
función solución es la ec. 12. La forma de la función ψ (x) de ésta ecuación, dependerá
de la forma del potencial, Vo, y dado que la energía esta cuantizada, los valores discretos
que adquiere la energía en cada potencial Vo, son sus valores característicos, y la
función ψ (x) , constituirán las funciones propias del mismo potencial.
En las siguientes clases, miraremos como funciona esta ecuación, para el caso de
algunos potenciales sencillos.