Práctica 6 (1) Demuestre que, si R es un anillo con elemento unitario, 1, y N es un ideal de R que contiene una unidad, entonces N = R. (2) Demuestre que un campo no contiene ideales propios no triviales. (3) Demuestre que si R es un anillo con elemento unitario, 1, y N es un ideal de R tal que, N ̸= R, entonces R/N es un anillo con elemento unitario. (4) Demuestre que si R, R′ y R′′ son anillos y si ϕ : R −→ R′ y ψ : R′ −→ R′′ son homomorfismos, entonces la función compuesta ψ ◦ ϕ : R −→ R′′ es un homomorfismo. (5) Sean R, R′ anillos y ϕ : R −→ R′ un homomorfismo tal que, ϕ(R) ̸= {0}. Demuestre que si R tiene elemento unitario 1R y R′ no tiene divisores de cero, entonces ϕ(1R ) es elemento unitario para R′ . (6) Sea ϕ : R −→ R′ un homomorfismo de anillos. Demuestre que si S es un subanillo de R entonces ϕ(S) es un subanillo de R′ . (7) Sean R y R′ anillos y ϕ un homomorfismo sobreyectivo de R en R′ . Demuestre que: (a) si I es un ideal de R, entonces ϕ(I) es un ideal de R′ . (b) si I ′ es un ideal de R′ , entonces ϕ−1 (I ′ ) es un ideal de R. (8) Demuestre que N es un ideal maximal en un anillo R si, y sólo si R/N es un anillo simple, esto es, no tiene ideales propios no triviales. (9) Sea ϕ un homomorfismo de un anillo R con elemento unitario 1R , sobre un anillo R′ . Sea u una unidad de R. Demuestre que ϕ(u) es una unidad en R′ si, y sólo si u ̸∈ Ker ϕ. (10) Sean R y R′ anillos y ϕ un homomorfismo de R sobre R′ . Demuestre que existe una correspondencia biyectiva entre el conjunto de los ideales de R′ y el conjunto de ideales de R que contienen a Ker ϕ. Esta correspondencia puede obtenerse asociando a cada ideal I ′ en R′ el ideal I en R definido por I = {x ∈ R : ϕ(x) ∈ I ′ }. Con I ası́ definido demuestre que, R/I ≃ R′ /I ′ . (11) Sea R un anillo conmutativo con elemento unitario, cuyos únicos ideales son {0} y el mismo R. Demuestre que R es un cuerpo. (12) Si R es un anillo conmutativo con elemento unitario y M es un ideal de R, demuestre que M es un ideal maximal de R si, y sólo si R/M es un cuerpo. 1