Tema 2 Las decisiones de los consumidores

U
PV
-E
H
U
Tema 2
Las decisiones de los consumidores
1
Tema 2: Las decisiones de los consumidores
2.1 Introducción
2.2 Las decisiones de consumo-ahorro (T = 2)
2.2.a Modelo general (sin patrimonio inicial y con patrimonio inicial)
2.2.b Modelo con restricciones financieras
2.3 Las decisiones de consumo y ocio en un contexto intertemporal (T = 2)
2.4 Efectos de distintas políticas impositivas
H
U
2.4.a Impuesto proporcional sobre el consumo
2.4.b Impuesto proporcional sobre la renta
2.5 Función de consumo agregado - La teoría del ciclo vital y de la renta
Referencias:
-E
permanente
Novales y Sebastián (2001), Vol. I, Capítulo 4.
PV
Gutiérrez (2000), Cap. 1.
U
Macroeconomía 6a edición, Dornbusch y Fischer (pags. 333-351)
2
2.1 INTRODUCCIÓN
•Algunas cuestiones acerca del comportamiento de las economías
domésticas:
1. Consumo y ahorro
2. Consumo y ocio (oferta de trabajo)
3. Diferentes bienes de consumo
5. Número de hijos, educación.
6. (...)
H
U
4. Decisión de cartera
•Consumo y renta: largo plazo vs. corto plazo
-E
•Oferta de trabajo, tipo de interés, salario, desempleo
•Impuestos y decisiones individuales
PV
2.2 LAS DECISIONES DE CONSUMO-AHORRO
2.2.a Modelo general (sin patrimonio inicial)
Supuestos:
U
Individuo que maximiza la utilidad del consumo a lo largo de los dos
periodos en los que vive: c1 (consumo del primer periodo), c2 (consumo del
segundo periodo)
Rentas de trabajo exógenas: y1 (renta de trabajo del primer período), y2
(renta de trabajo del segundo periodo)
Función de utilidad creciente y cóncava en el consumo de cada periodo
(y al menos dos veces diferenciable): U(c1 , c2 ), ∂U(c1 , c2 )/∂c1
∂U (c1 , c2 )/∂c2 > 0, ∂ 2 U(c1 , c2 )/∂c21 < 0, ∂ 2 U(c1 , c2 )/∂c22 < 0.
3
> 0,
Función de utilidad aditivamente separable en el tiempo: U(c1 , c2 ) =
u1 (c1 ) + u2 (c2 ).
Factor de descuento β ∈ (0, 1): U(c1 , c2 ) = u(c1 ) + βu(c2 ).
Interpretación del factor de descuento: β debe interpretarse como el grado
de paciencia del individuo para consumir en el futuro o en el presente; Si β se
acerca a la unidad, hablamos de un individuo paciente para dejar consumo
presente por consumo futuro, mientras que si β se acerca a cero, hablamos
H
U
de un individuo impaciente por consumir en el presente.
Función de utilidad logarítmica: U(c1 , c2 ) = ln c1 + β ln c2
Cada periodo puede, a su vez, representar varios años: joven y viejo
-E
Utilidad del consumo sólo: no herencias (legados), por tanto riqueza
financiera al final del periodo 2 nula.
No restricciones de crédito: además de ahorrar s en el primer período,
PV
también puede pedir prestado a un tipo de interés r (a cuenta de la renta
futura, del segundo periodo)
U
Formalmente,
Observaciones:
máx U (c1 , c2 ) = ln c1 + β ln c2

 c1 + s ≤ y1 ,
c2 ≤ (1 + r)s + y2 ,
s.a

c1 , c2 ≥ 0.
a)
∂U(c1 , c2 )
1
=
> 0 ⇒ c1 + s = y1 .
∂c1
c1
b)
∂U(c1 , c2 )
β
=
> 0 ⇒ c2 = (1 + r)s + y2 .
∂c2
c2
4
c)
¯
¯
∂U(c1 , c2 ) ¯¯
1 ¯¯
= ¯
= ∞ ⇒ c1 > 0.
¯
∂c1
c1 c1 =0
c1 =0
¯
¯
∂U(c1 , c2 ) ¯¯
β ¯¯
= ¯
= ∞ ⇒ c2 > 0.
¯
∂c2
c2 c2 =0
c2 =0
Luego,
H
U
máx U (c1 , c2 ) = ln c1 + β ln c2
½
c1 + s = y1 ,
s.a
c2 = (1 + r)s + y2 .
Más fácil: despejando s de la primera restricción y sustituyendo en la
segunda,
máx U (c1 , c2 ) = ln c1 + β ln c2
y2
c2
= c1 +
.
1+r
1+r
-E
s.a y1 +
Interpretación de la restricción: Valor presente descontado del consumo
PV
debe igualar en equilibrio el valor presente descontado de la renta.
Lagrangiano:
U
¸
·
c2
y2
− c1 −
.
L = ln c1 + β ln c2 + λ y1 +
1+r
1+r
Condiciones necesarias de primer orden:
1
∂L
=0⇔
= λ.
∂c1
c1
β
∂L
λ
.
=0⇔
=
∂c2
c2
1+r
∂L
y2
c2
= 0 ⇔ y1 +
= c1 +
.
∂λ
1+r
1+r
De las dos primeras ecuaciones,
1
1
= (1 + r)β . (ecuación de Euler)
c1
c2
5
c2
= 1 + r. (RMS = 1 + r)
βc1
Interpretación: La curva de indiferencia debe ser tangente en equilibrio a
la restricción presupuestaria (Igualdad de pendientes).
Consumo primer periodo:
Despejando c2
y sustituyendo en la restricción presupuestaria
H
U
intertemporal, resolvemos c1 :
1
c1 =
1+β
-E
Ahorro primer periodo:
µ
¶
y2
y1 +
.
1+r
y2
βy1
−
.
1 + β (1 + β)(1 + r)
PV
s = y1 − c1 =
Consumo segundo periodo:
β [(1 + r)y1 + y2 ]
.
1+β
U
c2 = (1 + r)s + y2 =
Observaciones:
a) Las conclusiones son particulares para este caso concreto: con
otras preferencias (otra función de utilidad), los resultados podrían ser
completamente distintos.
b) ¿Qué sucede con el consumo presente ante un aumento transitorio de
la renta (presente)?
1
∂c1
> 0.
=
∂y1
1+β
6
Interpretación: Un aumento transitorio de la renta (presente) aumenta el
consumo presente.
c) ¿Qué sucede con el consumo presente ante un aumento transitorio de
la renta (futura)?
∂c1
1
=
> 0.
∂y2
(1 + β)(1 + r)
Interpretación: Un aumento transitorio de la renta (futura) aumenta el
consumo presente, pero menos que si el aumento se diera en la renta presente.
H
U
d) Además, un cambio permanente en la renta (que sería un cambio en y1
e y2 conjuntamente) provoca un cambio en el consumo presente mayor que
si el cambio en renta fuera transitorio (y1 o y2 únicamente)
interés?
-E
e) ¿Qué sucede con el consumo presente ante un aumento en el tipo de
PV
∂c1
−y2
< 0. (sustitución intertemporal)
=
∂r
(1 + β)(1 + r)2
U
Gráficamente (Figura 4.1)
7
Ante un cambio en el tipo de interés r, el efecto total puede descomponerse
en la suma de tres efectos:
i) efecto sustitución: si r aumenta, el precio relativo de c2 con respecto
al precio de c1 disminuye [1/(1 + r) disminuye], con lo cual el consumidor
reducirá consumo presente c1 en favor de consumo futuro c2 . Sustituye más
consumo futuro c2 por menor consumo presente c1 : c1 se reduce.
ii) efecto renta ordinario: si r aumenta, el precio de c2 disminuye [1/(1+r)
H
U
disminuye] lo que permite al consumidor incrementar tanto el consumo del
segundo periodo c2 como el del primer periodo c1 (pues tanto c1 como c2 son
bienes normales): c1 aumenta.
iii) efecto renta dotación: si r aumenta, la suma del valor presente
-E
y2
disminuye, con lo cual el consumidor
descontado de todas sus rentas y1 + 1+r
reducirá el consumo presente c1 y el consumo futuro c2 (pues tanto c1 como
PV
c2 son bienes normales): c1 se reduce.
El resultado final dependerá de cuáles sean las preferencias (la función de
utilidad): en nuestro caso particular, los efectos i) y iii) dominan al efecto
U
ii).
8
• Modelo general con patrimonio inicial
Riqueza financiera inicial A0 (al inicio del periodo 1): el ahorro del primer
periodo es la renta (de capital rA0 y de trabajo y1 ) menos el consumo c1 ,
s = rA0 + y1 − c1 .
(1)
La riqueza al principio del periodo 2 A1 será la riqueza al principio del
periodo 1 A0 más el ahorro del periodo 1 s; equivalentemente, la variación
H
U
de la riqueza durante el periodo 1 A1 − A0 es igual al ahorro del periodo 1 s,
A1 = A0 + s ⇔ A1 − A0 = s.
(2)
Restricción presupuestaria del segundo periodo, igual: podrá consumir c2
-E
la renta de trabajo del periodo 2 y2 , más la renta de capital del periodo 2
rA1 , más la riqueza que tenía al inicio del periodo 2 A1 ,
PV
c2 = y2 + rA1 + A1 = y2 + (1 + r)A1 .
(3)
Despejando s de la primera ecuación, sustituyendo en la segunda,
U
despejando A1 y sustituyendo en la tercera:
A0 (1 + r) + y1 +
y2
c2
= c1 +
.
1+r
1+r
Interpretación: Valor presente descontado del consumo iguala al valor
presente descontado de la riqueza total del individuo (rentas más patrimonio).
Alternativamente,
A1 = (1 + r)A0 + y1 − c1 ,
A2 = (1 + r)A1 + y2 − c2 ,
A0 > 0, A2 = 0.
9
Sustituyendo A1 en la ecuación de A2 , e igualando A2 a 0, se vuelve a tener
A0 (1 + r) + y1 +
y2
c2
= c1 +
.
1+r
1+r
El problema
máx U (c1 , c2 ) = ln c1 + β ln c2
y2
c2
= c1 +
.
1+r
1+r
H
U
s.a A0 (1 + r) + y1 +
Lagrangiano:
·
¸
c2
y2
L = ln c1 + β ln c2 + λ A0 (1 + r) + y1 +
− c1 −
.
1+r
1+r
-E
Condiciones necesarias de primer orden:
PV
1
∂L
=0⇔
= λ.
∂c1
c1
β
∂L
λ
.
=0⇔
=
∂c2
c2
1+r
∂L
y2
c2
= 0 ⇔ A0 (1 + r) + y1 +
= c1 +
.
∂λ
1+r
1+r
(a)
(b)
(c)
U
De las dos primeras ecuaciones [a] y [b], dividiendo miembro a miembro:
1
1
= (1 + r)β . (ecuación de Euler)
c1
c2
Despejando c2 y sustituyendo en la [c], tenemos
·
¸
1
y2
c1 =
A0 (1 + r) + y1 +
.
1+β
1+r
10
Observaciones:
a) Las conclusiones son particulares para este caso concreto: con
otras preferencias (otra función de utilidad), los resultados podrían ser
completamente distintos.
b) Cambio transitorio de la renta (presente):
1
∂c1
=
> 0.
∂y1
1+β
H
U
c) Cambio transitorio de la renta (futura):
1
∂c1
> 0.
=
∂y2
(1 + β)(1 + r)
d) El efecto de un cambio permanente en la renta (aumento de y1 e y2
-E
conjuntamente) sería la suma de los dos efectos anteriores, y dado que ambos
son positivos, se observa que el efecto de un cambio permanente en la renta
PV
sobre el consumo presente es mayor que el cambio transitorio en la renta
(bien sea presente o futura).
U
e) Cambio en el patrimonio inicial A0 :
∂c1
1+r
=
> 0.
∂A0
1+β
f ) Cambio en el tipo de interés r:
y2
∂c1
A0
=
−
S 0.
∂r
1 + β (1 + β)(1 + r)2
f.1 ) Si A0 es suficientemente elevado, entonces el efecto renta ordinario
de un mayor tipo de interés (por el que c1 aumentaría) domina al efecto
sustitución y al efecto dotación (por los que c1 disminuiría), de modo que c1
aumenta.
11
f.2 ) Dicho de otro modo: Si A0 es suficientemente elevado, un incremento
en r puede hacer que el incremento en A0 (1+r) sea mayor que la disminución
en
y2
.
1+r
f.3 ) Si la riqueza financiera A0 es suficientemente elevada, y las rentas de
trabajo futuras y2 son suficientemente bajas, consumo y tipo de interés se
moverán en el mismo sentido.
6.4) En una economía desarrollada una elevación del tipo de interés
H
U
reducirá el consumo de los jóvenes (poca riqueza y altas rentas de trabajo
futuras), y elevará el consumo de los más viejos (mayor riqueza y bajas rentas
de trabajo futuras)
-E
Ahorro del primer periodo:
s = y1 + rA0 − c1 =
PV
·
¸
1
y2
A0 (1 + r) + y1 +
=
= y1 + rA0 −
1+β
1+r
y2
(1 − βr)A0
βy1
+
−
.
= −
1+β
1 + β (1 + β)(1 + r)
Observaciones:
U
Una vez más, las conclusiones son particulares para este caso concreto:
con otras preferencias (otra función de utilidad), los resultados podrían ser
completamente distintos.
(1 − βr)
∂s
=−
S 0.
∂A0
1+β
β
∂s
> 0.
=
∂y1
1+β
1
∂s
=−
< 0.
∂y2
(1 + β)(1 + r)
βA0
y2
∂s
=
+
> 0.
∂r
1 + β (1 + β)(1 + r)2
12
Consumo segundo periodo:
c2 = y2 + (1 + r)A1 = y2 + (1 + r)(A0 + s) =
·
¸
y2
β(1 + r)
A0 (1 + r) + y1 +
.
=
1+β
1+r
Observaciones:
a) Las conclusiones son particulares para este caso concreto: con
otras preferencias (otra función de utilidad), los resultados podrían ser
H
U
completamente distintos.
b) Cambio transitorio de la renta (presente):
β(1 + r)
∂c2
=
> 0.
∂y1
1+β
c) Cambio transitorio de la renta (futura):
-E
β
∂c2
> 0.
=
∂y2
1+β
d) Cambios permanentes en la renta (y1 e y2 conjuntamente) provocan
PV
mayor incremento en el consumo futuro que cambios transitorios (y1 o y2 )
e) Cambio en el patrimonio inicial A0 :
U
∂c2
β
> 0.
=
∂A0
1+β
f ) Cambio en el tipo de interés r:
βA0 2(1 + r)
βy1
∂c2
=
+
> 0.
∂r
1+β
1+β
Al igual que hemos hecho con el consumo del primer periodo, podríamos
descomponer el efecto de cambios en r sobre c2 como suma de efecto
sustitución, efecto renta ordinario y efecto renta dotación. Dadas las
preferencias que tenemos, el efecto neto resulta ser positivo: a mayor r,
mayor consumo en el segundo periodo.
13
2.2.b Modelo con restricciones financieras
¿Qué ocurre si los mercados financieros no son perfectos o,
equivalentemente, los individuos no pueden endeudarse con cargo a rentas
de trabajo futuras o, equivalentemente hay restricciones de crédito o,
formalmente, la riqueza financiera nunca puede ser negativa, A1 ≥ 0, o
equivalentemente A0 + s ≥ 0, o equivalentemente s ≥ −A0 ? En nuestro
caso, si volvemos a suponer que no hay riqueza financiera inicial [A0 ≡ 0]
El problema ahora es:
H
U
esto equivale a que el ahorro del primer periodo ha de ser no negativo: s ≥ 0.
-E
máx U (c1 , c2 ) = ln c1 + β ln c2

 c1 + s = y1 ,
c2 = (1 + r)s + y2 ,
s.a

s ≥ 0.
El problema anterior lo podemos resolver de dos maneras diferentes: la
PV
primera más intuitiva y más fácil, la segunda más rigurosa.
Primera forma:
El individuo se encuentra con una restricción que puede ser condicionante
U
en su decisión óptima o no. Esta manera de proceder se basa en lo siguiente.
Supongamos que la restricción no es vinculante: En ese caso, el individuo
resolvería el problema sin la tercera restricción s ≥ 0 (dado que no le vincula),
y en consecuencia, el resultado óptimo sería equivalente al descrito en el
modelo general. Una vez obtenido los valores óptimos de consumo y ahorro,
suponiendo que la restricción es no vinculante, se observa si dichos valores
cumplen la tercera restricción. Si la cumplen (esto es s ≥ 0), ya se han
obtenido los valores óptimos.
14
U
PV
-E
H
U
Gráfico: Figura 4.2.a
15
En este caso, la pendiente de la curva de indiferencia y la pendiente de la
recta presupuestaria coinciden
c2
= −(1 + r) ⇔
βc1
c2
⇔ RMS ≡
= 1 + r.
βc1
−
Si no la cumplen (esto es, s < 0), es necesario obtener el mejor second
best, que es aquél para el cual el ahorro es nulo: s = 0. Dado un ahorro
H
U
nulo, se obtienen los consumos presente y futuro. De la primera restricción
presupuestaria, c1 + s = y1 , se tiene que
c1 = y1 .
-E
Y de la segunda restricción presupuestaria, c2 = (1 + r)s + y2 , se tiene que
PV
c2 = y2 .
U
Gráfico: Figura 4.2.b
16
En este caso la pendiente de la curva de indiferencia y la pendiente de la
recta presupuestaria NO coinciden: es menor la de la curva de indiferencia
c2
< −(1 + r) ⇔
βc1
y2
⇔
> (1 + r) ⇔
βy1
−
c2
>1+r ⇔
βc1
y2
> β(1 + r).
y1
Por tanto, será más probable que la restricción de crédito será efectiva
(solución esquina), s = 0, cuanto menor sea y1 o cuanto mayor sea y2 o
H
U
cuanto menor sea β o cuanto menor sea r.
Segunda forma: Kuhn-Tucker
APENDICE:
Maximización
con
restricciones
-E
desigualdad (Kuhn-Tucker)
Condicionada
Suponed el problema
PV
máx f (x)
s. a x ≥ x̄.
U
f ( x)
x0
x
17
x
de
Lagrangiano:
L = f (x) + γ(x − x̄).
Condiciones necesarias de primer orden (y suficientes si L es cóncava en
x):
∂L
= 0 ⇔ f 0 (x) + γ = 0,
∂x
γ ≥ 0,
En suma,
H
U
∂L
≥ 0 ⇔ x − x̄ ≥ 0 ⇔ x ≥ x̄,
∂γ
∂L
γ = 0 ⇔ (x − x̄)γ = 0.
∂γ
-E
f 0 (x) + γ = 0,
PV
x ≥ x̄, γ ≥ 0, (x − x̄)γ = 0.
En el gráfico:
en x = x̄, f 0 (x) < 0, γ > 0, x = x̄, (x − x̄)γ = 0.
U
en x = x0 , f 0 (x) = 0, γ = 0, x > x̄, (x − x̄)γ = 0.
Fin del apéndice.
En nuestro caso:
Lagrangiano:
L = ln c1 + β ln c2 + λ(y1 − c1 − s) + µ[(1 + r)s + y2 − c2 ] + γs.
Condiciones necesarias de primer orden:
1
∂L
=0⇔
= λ,
∂c1
c1
18
(1)
β
∂L
=0⇔
= µ,
∂c2
c2
∂L
= 0 ⇔ y1 = c1 + s,
∂λ
∂L
= 0 ⇔ (1 + r)s + y2 = c2 ,
∂µ
∂L
= 0 ⇔ −λ + µ(1 + r) + γ = 0,
∂s
γ ≥ 0,
H
U
∂L
≥ 0 ⇔ s ≥ 0,
∂γ
∂L
γ = 0 ⇔ sγ = 0.
∂γ
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
a) Si el ahorro óptimo es positivo, s > 0 ⇔ c1 < y1 (solución interior),
-E
entonces de [8] se tiene que γ = 0. Sustituyendo γ = 0 en [5], se tiene
−λ + µ(1 + r) = 0.
PV
Sustituyendo λ de [1] y µ de [2], en la anterior ecuación, se tiene
−
1
β(1 + r)
β(1 + r)
1
+
=0 ⇔
=
.
c1
c2
c1
c2
U
Despejando s de [3] y de [4] e igualando, se tiene
y1 +
y2
c2
= c1 +
.
1+r
1+r
Las dos últimas ecuaciones ya las teníamos en el caso en el que no había
restricciones de crédito: de ahí resolvíamos c1 y c2 ,
µ
¶
1
y2
c1 =
y1 +
,
1+β
1+r
·
¸
β(1 + r)
y2
c2 =
y1 +
.
1+β
(1 + r)
19
El ahorro del primer periodo lo obtenemos sustituyendo c1 en la ecuación
[3]:
s=
y2
βy1
−
.
1 + β (1 + β)(1 + r)
U
PV
-E
H
U
Gráfico Figura 4.2.a
20
Solución interior: la pendiente de la curva de indiferencia y la pendiente
de la recta presupuestaria coinciden:
c2
= −(1 + r) ⇔
βc1
c2
⇔ RMS ≡
= 1 + r.
βc1
−
b) Alternativamente, si el ahorro óptimo es nulo s = 0 ⇔ c1 = y1 (solución
H
U
esquina), entonces de la ecuación [3] se tiene
c1 = y1 ,
y de la ecuación [4] se tiene
-E
c2 = y2 .
De la ecuaciones [5], [1] y [2], y dadas las soluciones para c1 y c2 se tiene
PV
γ = λ − µ(1 + r) =
=
β(1 + r)
1
=
−
c1
c2
1
β(1 + r)
> 0.
−
y1
y2
Será más probable que la restricción de crédito será efectiva (solución
U
esquina), γ > 0 y s = 0, cuanto menor sea y1 o cuanto mayor sea y2 o cuanto
menor sea β o cuanto menor sea r.
21
U
PV
-E
H
U
Gráfico. Figura 4.2.b.
22
Solución esquina: la pendiente de la curva de indiferencia y la pendiente de
la recta presupuestaria NO coinciden: es menor la de la curva de indiferencia
c2
c2
< −(1 + r) ⇔
> (1 + r) ⇔
βc1
βc1
y2
y2
⇔
> (1 + r) ⇔
> β(1 + r).
βy1
y1
−
Como decíamos, será más probable que la restricción de crédito será
efectiva (solución esquina), γ > 0 y s = 0, cuanto menor sea y1 o cuanto
H
U
mayor sea y2 o cuanto menor sea β o cuanto menor sea r.
c) ¿Cómo elegimos entre los dos candidatos (solución interior y solución
esquina) a máximo? Evaluando la función de utilidad en ambos, y escogiendo
U
PV
y1 , y2 , r y β)
-E
aquél que dé un mayor nivel de utilidad. (Necesitamos valores numéricos para
23
2.3 LAS DECISIONES DE CONSUMO Y OCIO EN UN
CONTEXTO INTERTEMPORAL
Hasta ahora las rentas de trabajo y1 e y2 , exógenas.
Ahora la renta de trabajo del primer periodo es, en parte, endógena
(depende de cuánto trabaje): en el primer periodo hay una elección renta
- ocio (si decide consumir más ocio, trabajará menos y obtendrá una menor
renta n1 w, donde n1 es el tiempo dedicado al trabajo y w el salario por unidad
H
U
de tiempo); además recibe una renta exógena y1 . En el segundo periodo
no trabaja. Y la renta del segundo periodo es sólo exógena y2 (pensión de
jubilación, por ejemplo, si suponemos que NO depende de las cotizaciones a
la Seguridad Social durante su vida activa): todo el tiempo lo destina a ocio
-E
y, por tanto, nada a trabajar.
Suponemos mercados perfectos de capitales: el individuo puede tanto
PV
ahorrar como pedir prestado a un tipo de interés r. Denotamos el ahorro
del primer periodo como s.
Suponemos además que el consumidor tiene definidas preferencias sobre
el consumo de bienes en los dos periodos c1 y c2 , y sobre el consumo de
U
ocio en los dos periodos: el consumo de ocio en el primer periodo es 24 − n1
(la dotación total de tiempo menos el tiempo dedicado a trabajar), y el
consumo de ocio en el segundo periodo es 24, toda la dotación de tiempo.
En particular, suponemos que las preferencias pueden ser representadas por
la siguiente función de utilidad
Û(c1 , 24 − n1 , c2 ) = c1 (24 − n1 )γ (c2 24γ )β ⇔
⇔ U(c1 , 24 − n1 , c2 ) = ln c1 + γ ln(24 − n1 ) + β ln c2 .
24
Restricción presupuestaria para el primer periodo: si no hay riqueza inicial
A0 ,
c1 + s = y1 + n1 w.
(con igualdad)
Restricción presupuestaria del segundo periodo:
c2 = (1 + r)s + y2 .
H
U
(con igualdad)
Si no existen restricciones sobre el crédito, entonces no hay restricciones
sobre s, luego si (por ejemplo) despejamos s de la primera ecuación
-E
y lo sustituimos en la segunda ecuación, podemos usar la restricción
presupuestaria intertemporal
c2
y2
= n1 w + y1 +
.
1+r
1+r
PV
c1 +
Denotando el valor presente descontado de la renta exógena como
U
V P RY ≡ y1 +
y2
,
1+r
entonces la restricción presupuestaria intertemporal nos queda como
c1 +
c2
= n1 w + V P RY.
1+r
Formalmente, el problema lo podemos expresar como
máx U(c1 , 24 − n1 , c2 ) = ln c1 + γ ln(24 − n1 ) + β ln c2

c2
= n1 w + V P RY,
 c1 + 1+r
s.a
n ≥ 0,
 1
n1 ≤ 24.
25
Observación: No imponemos condiciones de no negatividad sobre los
consumos (c1 ≥ 0, c2 ≥ 0): no hace falta.
El lagrangiano:
L = ln c1 + γ ln(24 − n1 ) + β ln c2 +
·
¸
c2
+
λ1 n1 w + V P RY − c1 −
1+r
+λ2 n1 + λ3 (24 − n1 ).
H
U
Las condiciones necesarias de primer orden son:
(1)
β
∂L
λ1
,
=0⇔
=
∂c2
c2
1+r
(2)
-E
1
∂L
=0⇔
= λ1 ,
∂c1
c1
PV
∂L
c2
,
= 0 ⇔ n1 w + V P RY = c1 +
∂λ1
1+r
∂L
−γ
=0⇔
+ λ1 w + λ2 − λ3 = 0,
∂n1
24 − n1
U
λ2 ≥ 0,
∂L
≥ 0 ⇔ n1 ≥ 0,
∂λ2
∂L
λ2 = 0 ⇔ n1 λ2 = 0,
∂λ2
λ3 ≥ 0,
∂L
≥ 0 ⇔ 24 − n1 ≥ 0 ⇔ n1 ≤ 24,
∂λ3
∂L
λ3 = 0 ⇔ (24 − n1 )λ3 = 0.
∂λ3
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
Suponiendo, por simplicidad, que la solución para la n1 óptima es interior,
esto es, 0 < n1 < 24, entonces de [7] se tiene que λ2 = 0, y de [10] se tiene
que λ3 = 0.
26
Sustituyendo λ2 y λ3 en [4], se tiene
−γ
+ λ1 w = 0.
24 − n1
(11)
Si de [1] despejamos λ1 y sustituimos en [11], obteniendo
γ
w
= .
24 − n1
c1
(12)
Interpretación:
H
U
Elección óptima entre ocio y consumo en el primer periodo.
Primer miembro: Representa la utilidad marginal del ocio (en cuánto se
incrementa la utilidad del ocio por consumir una unidad adicional de ocio.
-E
Segundo miembro: Representa cuánto se reduce la utilidad del consumo
por consumir una unidad adicional de ocio: se pierde un salario w, esto es,
se pierden w unidades de consumo, y por cada unidad de consumo perdida
1
,
c1
luego la utilidad del consumo perdido
PV
se pierde una utilidad
w
c1
ha de ser
igual a la utilidad del ocio ganada. Alternativamente, la relación marginal
de sustitución entre consumo hoy y ocio hoy ha de ser igual al cociente de
U
precios entre el ocio w y el consumo (uno)
γc1
= w.
24 − n1
De [1] y [2] se tiene
β(1 + r)
1
=
.
c1
c2
(13)
Interpretación:
Elección óptima entre consumo hoy y consumo mañana (ahorro).
Primer miembro: Representa la pérdida de utilidad por consumir hoy una
unidad menos (la utilidad marginal de c1 ).
27
Segundo miembro: Representa la ganancia de utilidad: por cada unidad
no consumida hoy, mañana se puede consumir 1 + r unidades, cada una de
las cuales supone un incremento de utilidad
1
c2
(la utilidad marginal de c2 ).
Pero esta ganancia se experimenta mañana, y la decisión de consumir c1 o
ahorrar s se toma hoy: hay que valorar esa ganancia de utilidad de mañana
hoy, hay que descontarla; por eso la multiplicamos por β. Alternativamente
H
U
c2
= 1 + r,
c1 β
donde el primer miembro representa la relación marginal de sustitución entre
consumo presente y consumo futuro, y el segundo miembro representa el
cociente de precios entre el precio del consumo presente (coste de oportunidad
De [3] se tiene
-E
1 + r) y el precio del consumo futuro (uno).
c2
.
1+r
(14)
PV
n1 w + V P RY = c1 +
Interpretación:Restricción Presupuestaria Intertemporal.
Tenemos 3 ecuaciones: [12], [13] y [14] y 3 incógnitas: c1 , c2 y n1 .
U
Consumo en el primer periodo, c1 :
De [12] despejamos n1
24w − γc1
.
w
(15)
c2 = β(1 + r)c1 .
(16)
n1 =
De [13] despejamos c2
Sustituyendo n1 de [15] y c2 de [16], respectivamente, en [14], y operando,
se tiene
c1 =
24w + V P RY
.
1+β+γ
28
(17)
Interpretación:
a) Las conclusiones son particulares para este caso concreto: con
otras preferencias (otra función de utilidad), los resultados podrían ser
completamente distintos.
b) El numerador es la suma de la renta salarial máxima 24w más el
valor presente descontado de la renta exógena V P RY . El consumo en el
primer período es una función lineal de la renta Y ≡ 24w + V P RY , con una
0<
H
U
propensión media y marginal igual a
1
∂c1
=
< 1.
∂Y
1+β+γ
c) El consumo c1 es tanto mayor cuanto mayor sea la secuencia de la
-E
renta exógena y1 e y2 , no sólo de la renta corriente y1 , sino también de la
renta futura descontada y2 /(1 + r).
∂c1
1
=
< 1.
∂V P RY
1+β+γ
PV
0<
d) El consumo c1 es tanto mayor cuanto mayor sea el salario.
U
24
∂c1
=
> 0.
∂w
1+β+γ
Un aumento del salario w tiene dos efectos sobre la oferta de trabajo (lo
veremos):
Efecto sustitución: el ocio se encarece, con lo cual el trabajador debería
consumir menos ocio y trabajar más: n1 debe aumentar.
Efecto renta: si w aumenta, puede permitirse consumir más ocio y ofrecer
menos trabajo (dadas las preferencias representadas por esta función de
utilidad el ocio es un bien normal: por eso sabemos que el efecto renta de un
aumento en w dará lugar a una disminución en n1 .
29
El efecto neto es que si w aumenta, n1 también aumenta (lo veremos
después). En consecuencia, si w aumenta, entonces wn1 también, y dado que
(según esta función de utilidad) c1 (c2 también) es un bien normal, a mayor
w, mayor wn1 , mayor renta de trabajo, mayor c1 .
24
∂c1
=
> 0.
∂w
1+β+γ
e) El consumo c1 es tanto menor cuanto mayor sea el tipo de interés real.
H
U
∂c1 ∂V P RY
−y2
∂c1
=
=
< 0.
∂r
∂V P RY
∂r
(1 + β + γ)(1 + r)2
Ante un cambio en el tipo de interés r, el efecto total puede descomponerse
en la suma de tres efectos:
-E
i) efecto sustitución: si r aumenta, el precio relativo de c2 con respecto
al precio de c1 disminuye [1/(1 + r) disminuye], con lo cual el consumidor
PV
reducirá consumo presente c1 en favor de consumo futuro c2 . Sustituye más
consumo futuro c2 por menor consumo presente c1 : c1 se reduce.
ii) efecto renta ordinario: si r aumenta, el precio de c2 disminuye [1/(1+r)
disminuye] lo que permite al consumidor incrementar tanto el consumo del
U
segundo periodo c2 como el del primer periodo c1 (pues tanto c1 como c2 son
bienes normales): c1 aumenta.
iii) efecto renta dotación: si r aumenta, la suma del valor presente
y2
disminuye, con lo cual el consumidor
descontado de todas sus rentas y1 + 1+r
reducirá el consumo presente c1 y el consumo futuro c2 (pues tanto c1 como
c2 son bienes normales): c1 se reduce.
El resultado final dependerá de cuáles sean las preferencias (la función de
utilidad): en nuestro caso particular, los efectos i) y iii) dominan al efecto ii).
30
Nótese que si y2 = 0 (no renta en el segundo periodo), entonces ∂c1 /∂r = 0,
c1 no dependería de r, los tres efectos se compensarían.
Oferta de trabajo en el primer periodo, n1 :
Sustituyendo c1 de [17] en [12] y operando, se tiene
n1 =
γ V P RY
24(1 + β)
−
.
1 + β + γ w (1 + β + γ)
(18)
0 < n1 < 24).
Interpretación:
H
U
(Recuérdese que estamos suponiendo una solución interior para n1 , esto es,
a) n1 disminuye al aumentar el valor presente de la secuencia de renta
-E
exógena a lo largo de la vida del consumidor V P RY . Con las preferencias
que la función de utilidad U (c1 , 24 − n1 , c2 ) = ln c1 + γ ln(24 − n1 ) + β ln c2
representa, el ocio es un bien normal: cuanto mayor es la renta exógena,
PV
mayor es el consumo de ocio y menor, por tanto, la oferta de trabajo:
∂n1
−γ
=
< 0.
∂V P RY
w(1 + β + γ)
U
Consecuentemente, un incremento en cualquiera de y1 o de y2 también
producirá reducciones en la oferta de trabajo.
b) n1 aumenta con el salario real w. Ya hemos visto que un incremento
en w da lugar a dos efectos de signo contrapuesto (el efecto renta y el efecto
sustitución). El efecto neto no es ambiguo: domina el efecto sustitución.
γ V P RY
∂n1
= 2
> 0.
∂w
w (1 + β + γ)
c) n1 aumenta con el tipo de interés real r. Si aumenta el tipo de interés
real, entonces disminuye el valor presente descontado de la secuencia de renta
31
exógena, y1 + y2 /(1 + r). Dado que el ocio es normal, disminuye la demanda
de ocio o, equivalentemente, aumenta la oferta de trabajo.
∂V P RY
y2
∂n1
∂n1
γ
=
×
=
×
> 0.
∂r
∂V P RY
∂r
w(1 + β + γ) (1 + r)2
Ahorro en el primer periodo:
Sustituyendo c1 de [17] y n1 de [18] en la restricción presupuestaria del
primer periodo y operando, se tiene
⇒s=
H
U
s = y1 + n1 w − c1 ⇒
(1 + γ)y2
24wβ
βy1
−
+
.
1 + β + γ (1 + r)(1 + β + γ) 1 + β + γ
Interpretación:
(19)
(20)
-E
a) s aumenta con la renta exógena del periodo 1 y1 . Ante un aumento
en la renta corriente exógena, el ahorro tiende a aumentar pues el ahorro
es renta menos consumo. Pero el consumo corriente también aumenta en
PV
parte (∂c1 /∂y1 > 0), y las rentas de trabajo también disminuyen en parte
(∂(wn1 )/∂y1 < 0). A pesar de estos dos últimos efectos negativos, el ahorro
s aumenta.
U
Por ejemplo, de [19] tendríamos
∂s
∂n1 ∂c1
β
> 0.
=1+w
=
−
∂y1
∂y1
∂y1
1+β+γ
(verificar). Más fácil, de [20] tendríamos
∂s
β
> 0.
=
∂y1
1+β+γ
b) s disminuye con la renta exógena del periodo 2: aumenta el consumo c1
(∂c1 /∂y2 > 0) y además disminuye la renta de trabajo wn1 (∂(wn1 )/∂y2 < 0).
1+γ
∂s
< 0.
=−
∂y2
(1 + r)(1 + β + γ)
32
c) s aumenta con el tipo de interés real r:
∂s
(1 + γ)y2
=
> 0.
∂r
(1 + r)2 (1 + β + γ)
Nótese, cómo, en efecto si y2 = 0, entonces ∂s/∂r = 0.
Ante un cambio en el tipo de interés r, el efecto total puede descomponerse
en la suma de tres efectos:
i) efecto sustitución: si r aumenta, el precio relativo de c2 con respecto
H
U
al precio de c1 disminuye [1/(1 + r) disminuye], con lo cual el consumidor
reducirá consumo presente c1 en favor de consumo futuro c2 . Sustituye más
consumo futuro c2 por menor consumo presente c1 : c1 se reduce.
ii) efecto renta ordinario: si r aumenta, el precio de c2 disminuye [1/(1+r)
-E
disminuye] lo que permite al consumidor incrementar tanto el consumo del
segundo periodo c2 como el del primer periodo c1 (pues tanto c1 como c2 son
PV
bienes normales): c1 aumenta.
iii) efecto renta dotación: si r aumenta, la suma del valor presente
y2
disminuye, con lo cual el consumidor
descontado de todas sus rentas y1 + 1+r
reducirá el consumo presente c1 y el consumo futuro c2 (pues tanto c1 como
U
c2 son bienes normales): c1 se reduce.
El resultado final dependerá de cuáles sean las preferencias (la función de
utilidad): en nuestro caso particular, los efectos i) y iii) dominan al efecto
ii).
Nótese que si no hubiese renta exógena en el segundo periodo y2 , entonces
c1 NO dependería de del tipo de interés: los tres efectos que acabamos de ver
se cancelarían.
33
Consumo en el segundo periodo.
De la ecuación de Euler teníamos c2 = β(1 + r)c1 : sustituyendo c1 de [17]
y operando, se tiene
c2 = β(1 + r)c1 =
¸
24w + V P RY
=
= β(1 + r)
1+β+γ
β(1 + r)
β(1 + r)24w
+
V P RY =
=
1+β+γ
1+β+γ
β(1 + r)24w β [(1 + r)y1 + y2 ]
=
+
.
1+β+γ
1+β+γ
H
U
·
Interpretación:
a) c2 aumenta con el salario w: al aumentar w también aumenta n1
-E
(predomina el efecto sustitución), luego también aumenta la renta salarial
wn1 : dado que el consumo del segundo periodo es un bien normal, es lógico
que c2 aumente.
PV
∂c2
β(1 + r)24
=
> 0.
∂w
1+β+γ
b) c2 aumenta con el tipo de interés real r: ya hemos justificado por qué
U
ante aumentos en el tipo de interés real r el ahorro del primer periodo s es
mayor, luego mayores serán los recursos disponibles en el segundo periodo.
[Recuérdese: c2 = (1 + r)s + y2 ].
β24w
βy1
∂c2
=
+
>0
∂r
1+β+γ 1+β+γ
c) c2 aumenta al crecer la renta real de ambos periodos: mayor será V P RY
y, dado que c2 , es normal, mayor será c2 . La propensión marginal a consumir
34
renta exógena NO es igual a la del primer periodo:
β(1 + r)24w β [(1 + r)y1 + y2 ]
+
=
1+β+γ
1+β+γ
·
¸
y2
β(1 + r)24w
β(1 + r)
=
+
y1 +
=
1+β+γ
1+β+γ
(1 + r)
β(1 + r)
β(1 + r)24w
+
V P RY =
=
1+β+γ
1+β+γ
β(1 + r)(24w + V P RY )
=
.
1+β+γ
c2 =
H
U
Por tanto, denotando Y ≡ 24w + V P RY , la propensión marginal a
consumir renta exógena en el segundo periodo es igual a
∂c2
β(1 + r)
=
> 0.
∂Y
1+β+γ
U
PV
-E
P MC ≡
35
2.4 EFECTOS DE DISTINTAS POLÍTICAS IMPOSITIVAS
Queremos ver cómo afectan diferentes tipos de impuestos al
comportamiento de los individuos (consumidores y oferentes de trabajo).
Dos impuestos que generan un mismo nivel de recaudación no tienen por
qué tener los mismos efectos sobre el comportamiento individual.
Veremos dos formas alternativas de obtener la misma recaudación por
consumidor
H
U
a) Impuesto sobre el consumo del primer periodo, c1 .
b) Impuesto sobre la renta total (exógena más salarial) del primer periodo,
y1 + n1 w.
Por simplicidad: no impuestos en el segundo periodo.
-E
Modelo impositivo neutral: si y sólo si permite alcanzar un óptimo de
Pareto, si y sólo si no implica efecto sustitución, sólo renta (por tanto, sí
PV
afecta a las decisiones individuales). Por ejemplo: impuesto de suma fija.
2.4.a Impuesto proporcional sobre el consumo
U
Suponemos un impuesto proporcional sobre c1 a un tipo impositivo τ .
El problema del consumidor:
Maximizar la siguiente función de utilidad con respecto a c1 , s, n1 y
c2 .
ln c1 + γ ln(24 − n1 ) + β ln c2
sujeto a la restricción presupuestaria para el primer periodo: (no
hay riqueza inicial A0 )
(1 + τ )c1 + s = y1 + n1 w.
36
(con igualdad)
sujeto a la restricción presupuestaria del segundo periodo:
c2 = (1 + r)s + y2 .
(con igualdad)
- Si no existen restricciones sobre el crédito, equivalentemente A1 S 0,
equivalentemente A0 + s S 0, equivalentemente s S −A0 ≡ 0, esto es, no hay
H
U
restricciones sobre s (s S 0), luego podemos usar la restricción presupuestaria
intertemporal [despejando s de la primera restricción, sustituyendo en la
segunda restricción y operando]
c2
y2
= n1 w + y1 +
.
1+r
1+r
-E
(1 + τ )c1 +
- Denotando el valor presente descontado de la renta exógena como
PV
V P RY ≡ y1 +
y2
,
1+r
entonces la restricción presupuestaria intertemporal nos queda como
U
(1 + τ )c1 +
c2
= n1 w + V P RY.
1+r
Formalmente, el problema lo podemos expresar como
máx U(c1 , 24 − n1 , c2 ) = ln c1 + γ ln(24 − n1 ) + β ln c2
s. a (1 + τ )c1 +
c2
= n1 w + V P RY.
1+r
Observaciones:
i) No imponemos condiciones de no negatividad sobre los consumos
(c1 ≥ 0, c2 ≥ 0.
37
ii) También, suponemos solución interior para n1 , esto es, 0 < n1 < 24).
El lagrangiano:
L = ln c1 + γ ln(24 − n1 ) + β ln c2 +
·
¸
c2
+λ n1 w + V P RY − (1 + τ )c1 −
.
1+r
Las condiciones necesarias de primer orden son:
H
U
1
∂L
=0⇔
= λ(1 + τ ),
∂c1
c1
∂L
β
λ
,
=0⇔
=
∂c2
c2
1+r
-E
∂L
c2
= 0 ⇔ n1 w + V P RY = (1 + τ )c1 +
,
∂λ
1+r
∂L
−γ
=0⇔
+ λw = 0.
∂n1
24 − n1
(1)
(2)
(3)
(4)
De [1] y [2] tenemos
PV
c2
= (1 + r)(1 + τ ).
βc1
(5)
El impuesto τ altera la condición de igualdad entre la RMS entre c1 y c2 (el
U
primer miembro), y el precio relativo entre c1 y c2 .
De [1] y [4] tenemos
(1 + τ )
24 − n1
.
=
γc1
w
(6)
El impuesto τ altera la condición de igualdad entre la RMS entre c1 y n1 (el
primer miembro), y el precio relativo entre c1 y n1 .
Consumo en el primer periodo:
Despejamos c2 de [5] y n1 de [6], y sustituimos en [3], y resolvemos c1 :
c1 =
24w + V P RY
.
(1 + τ )(1 + β + γ)
38
(7)
Consumo en el segundo periodo:
Sustituyendo c1 de [7] en [5], se tiene
c2 =
(1 + r)β (24w + V P RY )
.
(1 + β + γ)
(8)
Recuérdese que estamos suponiendo unas determinadas preferencias.
El impuesto sobre el consumo c1 no afecta al consumo del segundo periodo
c2 :
H
U
∂c2
= 0.
∂τ
Sin embargo, el impuesto sobre el consumo c1 sí afecta (hace disminuir)
el nivel de consumo del primer periodo c1 :
-E
∂c1
−(24w + V P RY )
=
< 0.
∂τ
(1 + τ )2 (1 + β + γ)
Nótese que el gasto en consumo en el primer periodo NO depende del
PV
impuesto τ :
gasto en c1 ≡ c1 (1 + τ ) =
∂c1 (1 + τ )
= 0.
∂τ
U
⇒
24w + V P RY
(no depende de τ ) ⇒
1+β+γ
La reducción es proporcional al impuesto. Por ejemplo, eliminando un
impuesto del 10 % (τ = 0, 10), c1 aumenta en un 10 %: pasa de c1 (τ = 0,1) =
24w+V P RY
1,1(1+β+γ)
a c1 (τ = 0) =
24w+V P RY
1+β+γ
.
Propensión marginal a consumir de la renta total en el periodo 1:
1
.
(1 + τ )(1 + β + γ)
Propensión marginal a consumir de la renta disponible en el periodo 1:
1
.
1+β+γ
39
Oferta de trabajo n1 :
Sustituyendo c1 de [7] en [6] y operando
n1 =
24(1 + β)
γ V P RY
−
.
1 + β + γ w (1 + β + γ)
En este caso el impuesto sobre el consumo τ NO afecta a la oferta de trabajo
n1 .
Ahorro en el primer periodo s:
del segundo periodo
H
U
Una vez que tenemos c2 en [8] sustituimos en la restricción presupuestaria
y2
c2
c2 − y2
=
−
1+r
1+r 1+r
·
¸
(1 + r)β
y2
1
(24w + V P RY ) −
=
s=
1+r 1+β+γ
1+r
y2
β
(24w + V P RY ) −
=
1+β+γ
1+r
PV
=
-E
s=
β24w
βV P RY
y2
+
−
=
1+β+γ 1+β+γ 1+r
µ
¶
β24w
β
y2
y2
=
+
y1 +
−
1+β+γ 1+β+γ
1+r
1+r
=
β
β24w
1+γ
y1 −
y2 +
.
1+β+γ
(1 + r)(1 + β + γ)
1+β+γ
U
s=
El mismo s que teníamos cuando no había impuesto. A la vista de los
anteriores resultados, ¿por qué será un resultado esperado?
2.4.b Impuesto proporcional sobre la renta
Supongamos un impuesto proporcional sobre la renta del primer periodo
y1 + n1 w con un tipo impositivo α.
40
- La función de utilidad a maximizar es la misma que antes
ln c1 + γ ln(24 − n1 ) + β ln c2 .
- La restricción presupuestaria del primer periodo es igual a (sigue sin
haber riqueza inicial A0 )
c1 + s = (1 − α)(y1 + n1 w).
H
U
(con igualdad)
- La restricción presupuestaria del segundo periodo:
c2 = (1 + r)s + y2 .
-E
(con igualdad) Igual que antes (sin impuesto α).
- Si no existen restricciones sobre el crédito, entonces no hay restricciones
PV
sobre s (s S 0), luego podemos usar la restricción presupuestaria
intertemporal
c1 +
c2
y2
= (1 − α)(y1 + n1 w) +
.
1+r
1+r
U
Formalmente, el problema lo podemos expresar como
máx U(c1 , 24 − n1 , c2 ) = ln c1 + γ ln(24 − n1 ) + β ln c2
s. a c1 +
c2
y2
= (1 − α)(y1 + n1 w) +
.
1+r
1+r
Observaciones:
i) No imponemos condiciones de no negatividad sobre los consumos
(c1 ≥ 0, c2 ≥ 0: no hace falta.
ii) Además, suponemos solución interior para n1 , esto es, 0 < n1 < 24).
41
El lagrangiano:
L = ln c1 + γ ln(24 − n1 ) + β ln c2 +
¸
·
c2
y2
− c1 −
.
+λ (1 − α)(y1 + n1 w) +
1+r
1+r
Las condiciones necesarias de primer orden son:
1
∂L
=0⇔
= λ,
∂c1
c1
H
U
β
∂L
λ
,
=0⇔
=
∂c2
c2
1+r
∂L
y2
c2
= 0 ⇔ (1 − α)(y1 + n1 w) +
= c1 +
,
∂λ
1+r
1+r
−γ
∂L
=0⇔
+ λ(1 − α)w = 0.
∂n1
24 − n1
-E
De [1] y de [2] se tiene
c2
= 1 + r,
βc1
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
PV
luego la igualdad de RMS entre consumo presente y futuro y el precio relativo
del consumo presente (en términos de consumo futuro) NO resulta afectada
por el impuesto.
U
De [1] y [4] se tiene que
(24 − n1 )
1
,
=
γc1
(1 − α)w
(6)
luego la igualdad de RMS entre consumo presente y ocio y el precio del
consumo presente en relación al precio del ocio (el salario neto, coste de
oportunidad) SÍ resulta afectada por el impuesto.
Consumo en el primer periodo:
Despejamos c2 de [5] y n1 de [6], y sustituimos en [3], y resolvemos c1 :
·
¸
24(1 − α)w
y2
1
+
(1 − α)y1 +
,
(7)
c1 =
1+β+γ
1+β+γ
1+r
42
que (obviamente) es menor que el nivel de c1 SIN impuesto sobre la renta.
·
¸
24w
y2
1
+
y1 +
.
c1 =
1+β+γ 1+β+γ
1+r
Consumo en el segundo periodo:
Sustituyendo c1 de [7] en [5], se tiene
·
¸
(1 + r)β24(1 − α)w
y2
(1 + r)β
c2 =
+
(1 − α)y1 +
,
1+β+γ
1+β+γ
1+r
(8)
H
U
que (obviamente) es menor que el nivel de c2 sin impuesto sobre la renta
·
¸
(1 + r)β
(1 + r)β24w
y2
+
y1 +
.
c2 =
1+β+γ
1+β+γ
1+r
-E
Oferta de trabajo n1 :
Sustituyendo c1 de [7] en [6]
(9)
PV
·
¸
γ
24(1 + β)
y2
−
y1 +
,
n1 =
1 + β + γ w(1 + β + γ)
(1 − α)(1 + r)
que es menor que el nivel de n1 sin impuestos
U
·
¸
γ
24(1 + β)
y2
n1 =
−
y1 +
.
1 + β + γ w(1 + β + γ)
1+r
Observaciones:
Nótese que si no hubiera renta exógena en el segundo periodo, y2 = 0,
entonces la oferta de trabajo n1 NO dependería del impuesto α.
43
Ahorro en el primer periodo s:
Sustituyendo c2 de [8] en la restricción presupuestaria del segundo periodo
y2
c2 − y2
c2
=
−
=
1+r
1+r 1+r ·
¸
y2
y2
β
β24(1 − α)w
+
(1 − α)y1 +
−
=
=
1+β+γ
1+β+γ
1+r
1+r
y2
βy2
β24(1 − α)w β(1 − α)y1
+
+
−
=
=
1+β+γ
1+β+γ
(1 + r)(1 + β + γ) 1 + r
(1 + γ)
β24(1 − α)w β(1 − α)y1
y2
=
+
−
,
1+β+γ
1+β+γ
(1 + β + γ) (1 + r)
esto es
s=
H
U
s =
(1 + γ)y2
β24(1 − α)w β(1 − α)y1
+
−
,
1+β+γ
1+β+γ
(1 + β + γ)(1 + r)
que es menor que el ahorro s cuando no había impuestos:
(1 + γ)
β24w
βy1
y2
+
−
.
1 + β + γ 1 + β + γ (1 + β + γ) (1 + r)
Observaciones:
-E
s=
PV
a) La de siempre: caso particular.
b) Un impuesto sobre el consumo del primer periodo afecta sólo al
consumo del primer periodo: no afecta al ahorro del primer periodo, no afecta
U
a la oferta de trabajo del primer periodo, no afecta al consumo del segundo
periodo.
c) Un impuesto sobre la renta de trabajo afecta a la oferta de trabajo, y
también al consumo de ambos periodos y al ahorro del primer periodo. Por
tanto también distorsiona el proceso de acumulación de capital.
d) ¿El impuesto sobre la renta es más distorsionador que el impuesto
sobre el consumo? ¿Se puede contar el número de distorsiones? ¡No!
e) Si el gobierno gasta la recaudación del impuesto sobre el consumo
entonces compensa exactamente la reducción en el gasto privado como
44
consecuencia del impuesto. En equilibrio para el mercado de bienes se tiene
que la producción agregada Y ha de ser igual al gasto agregado C +I +G (que
en una economía cerrada y con sector público es igual a la suma de consumo
C más inversión I más gasto público G): Y = C + I + G. En este caso,
dado el supuesto de presupuesto equilibrado, el gasto público G es igual a la
recaudación impositiva que, dado que se trata de un impuesto proporcional
sobre el consumo será τ C, luego
H
U
Y = C + I + G = C + I + τ C = (1 + τ )C + I,
y hemos visto que el gasto en consumo (1 + τ )C no depende del impuesto τ :
si τ ↑, entonces C ↓ de suerte que (1 + τ )C permanece constante.
-E
f ) El impuesto sobre la renta: i) disminuye la oferta agregada: reduce la
oferta de empleo n1 y reduce el ahorro con lo cual se reducen los recursos
PV
para financiar la inversión, reduciendo el capital físico instalado y la oferta
agregada. ii) aumenta la demanda agregada si gasta toda la recaudación: el
incremento en G es mayor que la disminución en C, pues al establecer un
impuesto sobre la renta, se reduce la renta disponible: el consumo se reduce
U
pero en menor cuantía que la recaudación impositiva pues el ahorro privado
también disminuye.
g) La reducción en el ahorro privado como consecuencia del impuesto
sobre la renta puede no ser en exceso preocupante si la recaudación se
destina a financiar inversión publica: se reduce el peso del sector privado
y se incrementa el peso del sector público en la economía. Pero si se destina
a gasto consuntivo, entonces sí resulta preocupante el efecto sobre el ahorro
de la imposición sobre la renta.
45
h) En cualquier caso, persiste el efecto distorsionador sobre la oferta de
trabajo.
∂c2
β(1 + r)
=
> 0.
∂Y
1+β+γ
U
PV
-E
H
U
P MC ≡
46
2.5 FUNCIÓN DE CONSUMO AGREGADO - TEORÍA DE LA
RENTA PERMANENTE-CICLO VITAL
El análisis moderno del consumo y el ahorro fue iniciado por John
Maynard Keynes, quien especificó una función de consumo que relacionaba
consumo actual con ingreso actual. Más concretamente, en 1936 Keynes (“La
Teoría General”) introdujo la función de consumo (“propensión a consumo”)
postulando una relación entre consumo agregado C y renta Y : en particular,
características básicas:
H
U
renta disponible (renta menos impuestos más transferencias) corriente. Dos
i) Cuando varía la renta agregada, el consumo agregado varía con el
mismo signo y en menor cuantía:
∆C
< 1 ⇔ 0 < C 0 (Y ) < 1,
∆Y
-E
0<
PV
es decir, la propensión marginal al consumo (con respecto a la renta
disponible corriente) C 0 (Y ) es positiva y menor que la unidad; y
ii) La propensión marginal al consumo es decreciente (o constante) con
la renta, C 00 (Y ) ≤ 0.
U
Caso particular: C 00 (Y ) = 0, función de consumo lineal,
C(Y ) = a + bY , a > 0, 0 < b < 1.
En este caso, la propensión marginal al consumo P MaC es constante, b,
pendiente de la recta, y la propensión media al consumo P MeC es decreciente
con la renta (la pendiente del rayo vector que une el origen de coordenadas
con la función C), y la P MaC es menor que la P MeC:
P MaC = b <
a
+ b = P MeC.
Y
47
Sin embargo, este importante avance en el análisis económico fue
posteriormente desplazado por el enfoque intertemporal del consumo y del
ahorro, enfoque en el que el consumo no depende sólo del ingreso corriente,
como en el modelo Keynesiano, sino también del ingreso futuro esperado y
de la tasa de interés esperada. Este es el enfoque que hemos estudiado hasta
ahora en este curso, donde la elección del consumidor se ve restringida por
su restricción intertemporal.
y del ahorro. Estas teorías son:
H
U
En este último apartado vamos a ver dos teorías modernas del consumo
i) la Teoría de la Renta Permanente, desarrollada por Milton Friedman
-E
(Chicago, Nobel en 1976) y
ii) la Teoría del Ciclo Vital (Modigliani, MIT, Nobel en 1985).
PV
Ambas teorías se basan en el enfoque intertemporal, y fundamentan su
análisis en el comportamiento microeconómico de los agentes. Las dos teorías
tienen implicaciones parecidas, en el sentido de que ambas predicen que los
individuos prefieren un consumo estable a lo largo de su vida, lo que implica
U
que el consumo no depende solamente de la renta corriente, sino de una
“renta media” que el individuo espera obtener a lo largo de su vida.
Vamos a exponer las ideas fundamentales de estas dos teorías. Sin
embargo, dado que toda teoría debe ser capaz de explicar los hechos
observados, es preciso mencionar previamente 4 regularidades empíricas sobre
la Propensión Media y Marginal a Consumir que, dado que se cumplen, los
modelos teóricos deben reproducir y explicar. Son las siguientes:
1. En datos de sección cruzada la proporción de renta que se ahorra
48
aumenta con la renta: la propensión media al consumo P MeC está
inversamente relacionada con la renta Y (P MeC decreciente), y la
propensión marginal al consumo P MaC es menor que la propensión
media. Una relación lineal como la anterior (con ordenada positiva)
sería consistente con esta regularidad empírica.
2. En datos de series temporales, y en el corto plazo (a lo largo del ciclo
económico), se repite la misma observación: a corto plazo (a lo largo
H
U
del ciclo económico) se observa una relación inversa entre P MeC e
Y (P MeC decreciente), y que la P MaC es menor que la P MeC. De
nuevo, una relación lineal como la anterior sería consistente con estas
-E
observaciones.
3. En datos de series temporales, y en el largo plazo, el cociente C/Y
PV
permanece estable (constante): a largo plazo, la renta Y tiende a crecer
y, sin embargo, la P MeC tiende a permanecer constante, no disminuye
con la renta. Una relación lineal como la anterior cuya ordenada en el
U
origen fuera igual a 0 sería consistente con estas observaciones.
4. Se observa un desplazamiento hacia arriba de la función de consumo
con respecto a la renta como consecuencia de acumulación de activos a
lo largo del tiempo.
49
2.5.1. Teoría de la renta permanente (Milton Friedman)
Definición:
La teoría del consumo basada en la renta permanente sostiene que el
consumo no está relacionado con la renta obtenida cada año (corriente), sino
con una estimación a más largo plazo de la renta, lo que Milton Friedman,
que C = cYp
H
U
llama Renta Permanente. Una versión sencilla de este modelo propondría
Ejemplo: Si una persona obtiene todos sus ingresos una sola vez por
semana, por ejemplo los viernes, no debemos esperar que consuma todo y
-E
sólo los viernes. Los individuos prefieren tener un flujo uniforme de consumo
a la abundancia en un período y escasez en otros.
PV
¿Qué es la renta permanente?
De acuerdo con el modelo de renta permanente, el consumo responde no
U
a la renta corriente, sino a la renta permanente (Yp ), que se define como una
especie de promedio entre el ingreso presente y el futuro. Más concretamente,
definimos la renta permanente como la tasa constante de consumo que podría
mantener una persona durante el resto de su vida, dado el nivel actual de
riqueza y la renta que percibe actualmente y que percibirá en el futuro.
Si suponemos, por simplicidad, que el nivel de riqueza inicial de
un individuo es cero, matemáticamente, si la restricción presupuestaria
intertemporal de la familia es: C1 + C2 /(1 + r) = Y1 + Y2 /(1 + r), para
encontrar la renta permanente, dada la definición arriba descrita, podemos
50
buscar un valor de consumo tal que la familia podría consumir lo mismo
en cada período, una vez que se cumple la restricción intertemporal. Por lo
tanto, en un contexto de dos períodos, Yp + Yp /(1 + r) = Y1 + Y2 /(1 + r). De
aquí obtenemos:
Yp =
(1 + r)
Y2
[Y1 +
]
(2 + r)
(1 + r)
H
U
Se observa en consecuencia que la renta permanente es una combinación
entre la renta presente y futura (nótese que si la tasa de interés fuera cero,
la renta permanente sería un promedio exacto de la renta presente y futura).
En consecuencia, si el consumo depende no de la renta corriente sino de la
-E
renta permanente: es necesario tener en cuenta no sólo la renta presente sino
también la futura. Algunos aspectos interesantes:
PV
1. Supongamos que el individuo recibe en un momento determinado
un shock (negativo) de renta. Si el individuo considera que este shock es
temporal, su consumo (que bajo esta teoría depende de la renta permanente)
U
se verá afectado poco ya que sólo la renta presente ha variado. Sin embargo,
si el individuo considera este shock como permanente, el consumo se verá
reducido en mayor medida, ya que tanto la renta presente como la futura
decrecen.
2. Hemos dicho que el consumo depende de la renta permanente, y en
consecuencia, de la renta presente y futura. Sin embargo, normalmente los
individuos no conocen con certeza su renta futura. Dada esta incertidumbre,
un supuesto sencillo consiste en suponer que la renta permanente (esperada)
51
es igual a la renta del período anterior más una parte de la variación que ha
experimentado desde el año pasado hasta éste:
Ypet = Yt−1 + θ(Yt − Yt−1 ) = θYt + (1 − θ)Yt−1 , 0 < θ < 1.
Se observa, en consecuencia, que la renta permanente es una media
ponderada de la renta del período actual y del pasado. Hay algunos casos
H
U
especiales interesantes:
i) Por ejemplo, si Yt = Yt−1 , la renta permanente es igual a la renta
obtenida este año y el año pasado. En consecuencia, una persona que siempre
ganara la misma renta esperaría ganarla también en el futuro: Ypet = Yt .
-E
ii) Si la renta aumenta este año con relación al año pasado, la renta
permanente aumenta en una cuantía menor que la renta de cada año.
Esto se debe a que el individuo no sabe si este aumento de la renta es
PV
transitorio o permanente. Al no saberlo, conjetura que sólo una parte de
dicho aumento este año se mantendrá el año próximo. Tomando incrementos
U
en Ypet = θYt + (1 − θ)Yt−1 ,
∆Ypet = θ∆Yt < ∆Yt
Nota: Una estimación de la renta permanente que se base únicamente
en la renta presente y pasada supone una simplificación excesiva. Además,
supone utilizar el supuesto de expectativas adaptativas: para predecir la
renta futura los individuos únicamente miran a la renta en el pasado. Más
recientemente, este tipo de expectativas han sido sustituidas por el enfoque
de expectativas racionales: para predecir la renta futura los individuos no
52
sólo miran a la renta en el pasado sino que utilizan toda la información
disponible de manera eficiente. Este enfoque hace hincapié en que no existe
ninguna teoría sencilla que nos diga cómo se forman o debe formarse las
expectativas sin ver cómo varía la renta en la práctica. Individuos cuya renta
sea normalmente muy estable intuirán que un cambio de renta actual es
más permanente que para otros individuos con rentas muy variables. En
consecuencia, cada individuo otorgará valores de θ diferentes dependiendo
H
U
de su situación particular.
Utilizando la ecuación anterior, podemos reformular la sencilla relación
-E
Ct = cYpet como:
Ct = cθYt + c(1 − θ)Yt−1
PV
Se observa que la propensión marginal a consumir a partir de la renta
corriente es cθ, que es claramente inferior a la propensión media a consumir
a largo plazo, que es c. La teoría de la renta permanente, en consecuencia,
implica que la Propensión marginal a consumir a corto plazo es menor a la
U
propensión marginal a consumir a largo plazo, lo cual coincide con una de las
regularidades empíricas observadas tanto al utilizar series temporales como
datos de sección cruzada.
¿Cómo justificar esta implicación empírica desde esta teoría? Un aumento
de la renta corriente es un shock transitorio de la renta, ante el cual, el
individuo ajusta su consumo sólo parcialmente. Sin embargo, si este shock se
convierte en permanente, que sucede ante variaciones de renta a largo plazo,
el individuo ajustará su consumo en mucha mayor medida.
53
U
PV
-E
H
U
Gráficamente: Figura 11-3 Dornbusch y Fischer. (pág. 350).
54
Algunas implicaciones interesantes de la teoría de la renta permanente:
- Las funciones de consumo a corto plazo tienen una propensión marginal
0
a consumir de cθ. Cuando aumenta el nivel de renta de Y0 a Y , el consumo
0
sólo aumenta a corto plazo a E . Pero si este aumento se convierte en
permanente, y en consecuencia, en el siguiente período la renta se mantiene
0
en Y , la función de consumo a corto plazo se desplaza en sentido ascendente
y el consumo aumenta al punto E 00 , ya que los consumidores se dan cuenta
H
U
de que su renta permanente ha cambiado.
- Hemos visto anteriormente que una persona cuya renta sea inestable
tiene un valor de θ bajo relativamente a otra con niveles estables de renta.
Esto significa en la ecuación anterior que la propensión marginal de consumo
-E
a corto plazo para personas de renta inestable, cθ, sería pequeña (pendiente
de la recta de consumo a corto plazo pequeña), relativamente a personas con
U
PV
niveles de renta estables, y en consecuencia, con valores de θ elevados.
55
2.5.2. Teoría del Ciclo Vital (Modigliani)
El modelo del ciclo vital, como el de la renta permanente, se construye
sobre la idea de que el consumo en un período particular depende de las
expectativas sobre la renta futura, y no sólo de la renta corriente. La
contribución distintiva de este modelo se encuentra en que predice que
la renta de los individuos a lo largo de la vida tiende a variar de un
modo sistemático, y en consecuencia, el comportamiento personal respecto
H
U
al ahorro queda determinado en forma crucial por la etapa que la persona
esté atravesando en su ciclo de vida.
En concreto, esta teoría propone que cuando una persona es joven, sus
rentas son bajas y con frecuencia adquiere deudas (desahorra) porque sabe
-E
que, más tarde en su vida, sus rentas aumentarán. Durante sus años de
trabajo sus rentas crecen hasta alcanzar un punto máximo en la época de
PV
su edad madura, con lo que paga la deuda contraída antes, y por tanto,
comienza a ahorrar para sus años de jubilación. Cuando llega el momento
de la jubilación, el ingreso del trabajo cae a cero y la persona consume sus
U
recursos acumulados.
56
-E
H
U
Gráficamente: Figura 11-2 Dornbusch y Fischer (pág. 337)
PV
Veamos cómo el individuo planifica el consumo en el contexto de esta
figura: Según este gráfico, el individuo espera vivir V T años, trabajar y
percibir anualmente una renta Y L durante V A años y permanecer jubilado
U
(V T − V A) años. El año 1 de esta persona es el primer año de trabajo (por
simplicidad, supondremos que no hay incertidumbre sobre el número de años
que el individuo espera vivir ni sobre la duración de la vida laboral, que los
ahorros no rinden intereses, que los precios se mantienen constantes, y que
la riqueza inicial de este individuo es cero).
Preguntas:
1. ¿Cuáles son las posibilidades de consumo del individuo a lo largo de su
vida?
57
Si va a trabajar durante V A años, el individuo obtendrá de rentas del
trabajo (V A × Y L). Éste es por tanto, el máximo que el individuo puede
consumir durante su vida. Si además tuviera una riqueza inicial W R, el
máximo consumo que este individuo podría efectuar a partir de hoy, momento
T , sería,
H
U
C × (V T − T ) = W R + (V A − T ) × Y L.
2. ¿Cómo decidirá distribuir su consumo a lo largo de su vida?
SI SUPONEMOS QUE EL INDIVIDUO PREFIERE UN FLUJO DE
CONSUMO UNIFORME, en este caso querrá consumir cada año la misma
-E
cantidad.
PV
C = aW R + cY L
donde c =
V A−T
,a
V T −T
=
1
,
V T −T
son las propensiones marginales a consumir
a partir del trabajo y de la riqueza, respectivamente.
U
Algunos aspectos interesantes:
- El valor de c depende claramente de en qué situación se encuentre el
individuo con respecto a su ciclo de vida, ya que depende del número de años
durante los cuales todavía percibirá una renta, así como del número de años
durante los cuales se reparten los ingresos.
- El valor de a también varía a medida que un individuo envejece. En
concreto, a medida que una persona se acerca al final de su vida, mayor será
la propensión marginal a consumir a partir de su riqueza.
58
En consecuencia, la función de consumo de un individuo
puede
representarse mediante una línea recta cuya ordenada en el origen viene
determinada por aW R y la pendiente por c. A medida que los individuos
envejecen, sus funciones de consumo se desplazan según varíen a y W R. En
el agregado de todos los individuos de la economía, en la medida en que
la riqueza acumulada vaya aumentando, esperaremos la función de consumo
agregado se desplace hacia arriba. Tendremos, por tanto, a corto plazo que
H
U
la propensión marginal a consumir es menor que la propensión media y que
la propensión media es decreciente, y que a largo plazo propensión media y
marginal son iguales y constantes.
U
PV
-E
Gráficamente (gráfico parecido a la figura 4.8 Novales, pág. 211).
59
¿Y el ahorro?
Claramente, dado que la renta a lo largo de la vida de los individuos no
es constante pero el consumo sí, es el ahorro el que varía a lo largo de la vida
de los individuos. Estos ahorran en los períodos de renta alta y desahorran
durante los períodos de renta baja (como muestra la figura de arriba).
Uno de los problemas empíricos que muestra este modelo es que mientras
predice que los individuos desahorran en su etapa final, no parece que esto es
H
U
cierto desde el punto de vista empírico. La razón parece ser que este modelo
exige que el individuo consuma finalmente todos sus ingresos. Sin embargo,
muchos individuos dejan herencias a sus descendientes, y en consecuencia,
no se gastan lo acumulado. Este aspecto de las herencias no es compatible
-E
con la teoría de ciclo vital que hemos presentado.
PV
Observaciones Finales:
Para concluir, dos observaciones:
a) La hipótesis del ciclo vital y de la renta permanente:
U
Merece la pena volver a considerar brevemente la relación entre las
hipótesis de ciclo vital y de renta permanente. Las dos comparten la misma
idea de que el consumo está relacionado con alguna variable que mide la renta
a largo plazo. La hipótesis de ciclo vital presta más atención a los motivos por
los que se ahorra que la hipótesis de la renta permanente y esgrime razones
convincentes para incluir la riqueza y la renta en la función de consumo.
En cambio, la hipótesis de la renta permanente presta más atención que la
hipótesis de la teoría del ciclo vital al modo en que los individuos forman sus
expectativas sobre su renta futura.
60
Las teorías modernas de la función de consumo combinan el énfasis del
enfoque de la renta permanente en las expectativas con el énfasis del enfoque
del ciclo vital en la riqueza y en las variables demográficas. Una versión
simplificada de una función de consumo moderna sería la siguiente:
Ct = aW Rt + bθY Dt + b(1 − θ)Y Dt−1
H
U
donde Y D representa la renta laboral disponible.
En la práctica, se ha llegado a una síntesis de ambas teorías y son muchos
los libros y artículos que no distinguen entre una teoría y otra, refiriéndose
(sin más) a la teoría del ciclo vital - renta permanente en donde el problema
-E
planteado para un individuo en el periodo t, en el caso más sencillo, es del
tipo
PV
máx Et
" i=T
X
{ct+i }
s. a At +
i=T
X
i=0
#
β i u(ct+i )
i=0
X ct+i
yt+i
=
(1 + r)i
(1 + r)i
i=0
i=T
U
b) El consumo y el ahorro agregados a partir de estas teorías modernas
del consumo
Las teorías modernas de consumo esbozadas en los apartados previos
son teorías microeconómicas sobre los patrones de consumo y ahorro de una
persona a lo largo de su vida. Pero, ¿qué relación guarda con el consumo
agregado, que es, después de todo, la razón por la que nos interesa el consumo
desde el punto de vista macroeconómico?
61
Supongamos una economía en la que la población y el PNB se
mantuvieran constantes a lo largo del tiempo. Cada miembro de esa
economía tendría el ciclo vital de ahorro y desahorro representado como
en la figura arriba dibujada. Sin embargo, la economía en su conjunto no
ahorraría. En cualquier momento del tiempo, el ahorro de las personas
que trabajan sería exactamente igual al desahorro de las jubiladas.
Sin embargo, si la población estuviera creciendo, habría más jóvenes
H
U
ahorrando que si se mantuviera constante, por lo que en total el ahorro
sería mayor que el desahorro y habría ahorro neto en la economía.
CONCLUSIÓN: El consumo AGREGADO y en consecuencia el ahorro
-E
agregados dependen de la distribución de la población por EDADES.
Sin embargo, la variable EDAD no es la única que afecta de manera
PV
importante al consumo AGREGADO de una economía. Dado que
variables como la riqueza individual, las preferencias intertemporales
del consumo, y las rentas de trabajo son variables que afectan de modo
importante a la decisión de consumo de los individuos, el consumo
U
AGREGADO de una economía depende de cómo sean las preferencias
de los individuos sobre el consumo, cómo esté distribuida la riqueza,
así como de cómo sean las rentas de trabajo de los individuos de esa
economía. La agregación de las rentas, las preferencias, la riqueza, etc.,
sin embargo, no es una cosa trivial.
62