1 INTRODUCCIÓN DE UN NUEVO SISTEMA DE CALCULO DESIMETRICO PAPA FOTONES DE ALTA ENERGIA. INDICE I. Glosario 3 II. Introducción 5 III. Teoría 15 A. Conceptos generales 15 1. Concepto de dosis 15 2. Definición de un haz de fotones 16 3. Interacción de la radiación indirectamente ionizante con la materia 17 4. Interacción de las partículas cargadas con la materia. 18 5. Formas de medir la dosis producida por un haz de fotones 23 6. Utilización de la radiación en la terapia radiante 25 B. Métodos manuales o semiempíricos de cálculo 27 1. Porcentaje de dosis en profundidad (PDD): 29 2. Factor de salida de campo (output factor). 34 3. Formalismo de cálculo de dosis en eje central. 37 4. Conceptos de campo equivalente 39 C. Nuevo método de cálculo 41 1. Desarrollo introductorio 41 2. Definición de función de campo circular 42 3. Obtención de output factor generalizado (OFg) de campo circular 45 4. Cálculo de PDD para campos rectangulares. 48 IV. Materiales y mediciones 49 A. Materiales usados 49 B. Disposición 50 C. Método 50 V. Resultados 52 2 A. Obtención de los datos de entrada 52 B. Cálculo de los OFg de campo circular 55 C. Cálculo de OFg para distintos tamaños de campo 56 D. Cálculo de PDD para diferentes tamaños de campos rectangulares 58 E. Comparación con métodos alternativos 65 VI. Discusiones 68 VII. Conclusiones 70 VIII. Apéndice 72 A. Código Visual Basic para el cálculo del OFg para campo rectangular 72 B. Código Visual Basic para llevar a cabo el cálculo de OFg de campo circular 74 IX. Referencias bibliográficas 75 3 I. GLOSARIO A/P Area sobre perímetro cm Centímetro 59 Isótopo de Cobalto 59 60 Co Isótopo de Cobalto 60 d Profundidad Dd Dosis a profundidad d DFS Distancia Fuente Superficie dmax Profundidad de dosis máxima ADN Acido Desoxirribonucleico Dref Dosis a profundidad de referencia Drel Dosis relativa a una profundidad de referencia en eje central fc Factor de salida de campo circular fcx Factor de salida de campo circular correspondiente a sistema de colimación x fcy Factor de salida de campo circular correspondiente a sistema de colimación y Ψ Fluencia de fotones primarios Ψrel Razón entre la fluencia de fotones primarios para un tamaño de campo dado y Co la fluencia de fotones primarios para el tamaño de campo de referencia. J Joules KeV Kilo electrón Volt Kg Kilogramo Linac Acelerador Lineal Lmax Apertura máxima del campo Lmin Apertura mínima del campo MC Monte Carlo MeV Mega electrón Volt MV Mega Volt OF Factor de salida de campo (Output factor) OFg Factor de salida de campo generalizado 4 Pb Plomo PDD Porcentaje de Dosis en Profundidad PET Tomografía por Emisión de Positrones RMN Resonancia Magnética Nuclear R Rango del electrón SAR Scatter Air Ratio Sc Factor de dispersión en el cabezal Sp Factor de dispersión en el fantoma TAC Tomografía Axial Computada TAR Razón Tejido Aire (Tissue Air Ratio) TPR Razón Fantoma Tejido (Tissue Phantom Ratio) UM Unidades Monitoras W Tungsteno wc Tamaño de campo definido por colimadores secundarios a una distancia de la fuente de 100 cm wp Tamaño de campo proyectado en la superficie del fantoma Z Número Atómico 5 II. INTRODUCCIÓN En una reciente publicación de la IAEA [ 1] se analizó como el aumento de la esperanza de vida debido a la eliminación de enfermedades que causan una muerte temprana, hace que la incidencia del cáncer aumente. Esto último ha hecho que el cáncer, como enfermedad potencialmente curable, tenga una repercusión social y económica universalmente aceptada. La radioterapia, como herramienta para tratarlo, se utiliza desde principios del siglo veinte, y ha evolucionado con los avances científicos de la física y de la oncología. Actualmente es una de las modalidades más efectivas de tratamiento para el cáncer, junto con la cirugía y la quimioterapia. El fin de los tratamientos curativos que utilizan radiaciones es impartir la mayor cantidad de dosis en el tumor evitando causar daños inaceptables en los tejidos sanos que lo rodean. Además la radiación se utiliza a menudo como tratamiento paliativo de enfermedades malignas brindando al paciente una mejor calidad de vida. La radioterapia lleva a cabo su objetivo mediante el uso de radiaciones ionizantes. Las radiaciones pueden ser directa e indirectamente ionizantes. El ICRU [ 2] las define como: Radiaciones directamente ionizantes. Son partículas cargadas aceleradas, que ceden su energía directamente en la materia, por medio de diversas interaciones coulombianas a lo largo de su camino. Radiaciones indirectamente ionizante. Son fotones de rayos γ o X, o neutrones (partículas sin cargas), los cuales al atravesar la materia transfieren su energía a partículas cargadas de la misma, en un número relativamente pequeño de interacciones. Luego las partículas cargadas resultantes ceden su energía a la materia. Dado que las células contienen más de un 70% de agua, la mayor parte de la energía depositada en ellas produce radicales libres los cuales se combinan para formar el peróxido de hidrógeno (H2O2), que es el agente oxidante considerado como el mayor responsable en el daño inducido al ADN. El resultado neto de la interacción de la radiación ionizante con 6 el substrato biológico puede reflejarse en alteraciones de las células y función tisular, las cuales pueden evidenciarse horas, días, semanas o aún años más tarde. La radioterapia aprovecha los efectos mencionados de las radiaciones ionizantes para destruir células tumorales y así alcanzar su fin. Existen fundamentalmente dos modalidades de tratamiento radioterápico que se clasifican según la distancia en que esté la fuente de irradiación al área a tratar Braquiterapia. En este caso la fuente de irradiación está cerca o en el área a tratar. La radiación se administra por medio de la colocación de pequeñas fuentes de material radiactivo en forma de agujas, tubos, alambres o semillas dentro o próximo al volumen de interés. Como material radiactivo se utiliza Iridio 192, Iodo 125, Paladio 103, Cesio 137, entre otros. Se utilizan en forma de colocación intersticial (agujas en el seno de los tejidos) o intracavitaria (tubos ginecológicos intravaginales e intrauterinos). Aunque esta modalidad de tratamiento es muy utilizada en radioterapia, no se desarrollará en este trabajo. Teleterapia. La fuente de irradiación está a cierta distancia del paciente en equipos de grandes dimensiones, como son las unidades de Cobalto 60 (Co60) y acelerador lineal (Linac). El tipo de radiación puede ser rayos Gamma, rayos X, y electrones, aunque existen unidades que pueden generar otro tipo de partículas tales como neutrones, protones, etc. Para este tipo de tratamiento, que es el más común, los pacientes generalmente acuden diariamente en forma ambulatoria por un período total variable, dependiendo del caso que se esté tratando. El nuevo método de cálculo desarrollado en este trabajo se aplica a esta modalidad. El tratamiento como ya se mencionó, además de curar o controlar la enfermedad, debe minimizar los daños en los tejidos normales que rodean el tumor. Diversos estudios han demostrado que la respuesta de los tejidos neoplásicos y los sanos es altamente variable. Más aún, para algunos tejidos la respuesta de los mismos presenta comportamientos pronunciados, es decir, para pequeñas variaciones de la dosis la respuesta del tejido es muy variable [ 3]. Esto último ha hecho que a lo largo de los años la radioterapia haya puesto especial hincapié en tratar de mejorar la calidad global del tratamiento. Para ello han sido reconocidas una serie de etapas que conducen a que el tratamiento sea exitoso. Estas son llevadas a cabo por un cuerpo interdisciplinario de profesionales altamente entrenados formado por médicos oncólogos radioterapeutas, 7 físicos en radioterapia, dosimetristas, técnicos en radioterapia y enfermeros. Las etapas que se han definido para tratamiento [ 1] son: Evaluación clínica del paciente. Esta incluye un completo examen físico y análisis de la información diagnóstica disponible (tomografía axial computada (TAC), rayos X, ecografías, resonancia magnética nuclear (RMN), centellografía, tomografía por emisión de positrones (PET), histopatologías, etc.). El objetivo de ésta es conocer las características biológicas y patológicas del tumor. Decisión terapéutica. Esta incluye la determinación del objetivo de la terapia (curación o paliación), evaluación de los métodos terapéuticos alternativos y elección de la modalidad terapéutica a ser aplicada en el paciente. Esta puede ser teleterapia o braquiterapia. Se determina el plan de tratamiento a seguir, el cual incluye la dosis total a entregar, el fraccionamiento (dosis por sesión, periodicidad y duración del tratamiento) y tipo de radiación (energía del haz de irradiación). Localización del volumen blanco. Una vez llevada a cabo la elección de la modalidad de tratamiento radioterápico a llevar a cabo, se localiza el tumor y sus extensiones en relación a los tejidos sanos que los rodean, para de esta forma localizar fácilmente en la planificación el volumen blanco. Esto se logra por medio de exámenes físicos y diagnósticos por imágenes (TAC, PET; RMN, Ecografía, etc). Planificación del tratamiento. En el caso de teleterapia involucra diversos pasos, el primero de ellos es la simulación y/o localización. Esta se lleva a cabo en un equipo de radiodiagnóstico (simulador) capaz de reproducir la unidad de tratamiento (bomba de Co60 o Linac) en términos de sus propiedades geométricas, mecánicas y ópticas. En algunos casos las placas simuladas están siendo reemplazadas por imágenes tomográficas en procesos llamados “simulación virtual”. Esto tiene como principal ventaja la posibilidad de poder definir el volumen blanco en tres dimensiones. También en algunos casos se usa RMN, PET, TAC o algún otro estudio de diagnóstico por imágenes. La TAC también se utiliza como mapa de densidad electrónica para realizar cálculos dosimétrico. El proceso de simulación permite localizar el tumor y las estructuras sanas que rodean al mismo y con esta información posicionar correctamente al paciente en el tratamiento. En esta parte de la planificación se define el volumen blanco el cual tiene en cuenta el volumen de tumor demostrado, otros tejidos donde se presume la existencia de tumor y los tejidos sanos (sobre todo si éstos pertenecen a órganos de riesgo) que rodean al 8 tumor. De acuerdo al ICRU [ 4] los volúmenes de interés en la planificación de tratamiento son definidos como sigue y se ilustran en la Fig. 1. • Volumen Tumoral Grueso (GTV): es todo lo que se conoce como enfermedad visible macroscópicamente e incluye a los nódulos linfáticos patológicos. Cuando el GTV es determinado es importante usar una ventana tomográfica para tener una aproximación de la dimensión máxima del tumor y que es considerada la enfermedad potencial macroscópica. • Volumen Tumoral Clínico: abarca la región del GTV más las regiones que albergan enfermedad microscópicamente potenciales. • Volumen tumoral de planificación (PTV): provee un margen que rodea el CTV para contemplar variaciones en el posicionamiento y otros movimientos anatómicos durante el tratamiento tales como la respiración. El PTV no contempla los haces de la máquina de tratamiento. • Volumen de tratamiento (VT): Es el volumen que recibe la dosis prescrita. En general este volumen incluye al PTV. Volumen Irradiado Volumen deTratamiento Volumen Tumoral de Planificación Volumen Tumoral Clínico Volumen Tumoral Grueso Fig. 1. Ilustración esquemática de los diferentes volúmenes de interés en la planificación, tal como han sido definidos por ICRU. 9 • Volumen irradiado: es aquel volumen que rodea al VT y que recibe más del 20 % de la dosis prescrita. Debe ser reportado en la planilla física para una evaluación de los órganos de riesgo. Debido a que la mayoría de las veces el tumor está ubicado a gran profundidad, al penetrar el haz de radiación interactúa con los tejidos sanos que rodean al tumor. Es por ello que en estos casos hace falta combinar campos de irradiación, de forma tal que la totalidad de la dosis a depositar se concentre en el volumen blanco, y no tanto en los tejidos sanos. Para decidir la técnica de campos múltiples a usar, debe tenerse en cuenta la profundidad del tumor, la tolerancia de los tejidos sanos a ser irradiados y la energía de los fotones con que se irradia. De esta forma la simulación define los campos de entrada de la radiación, su tamaño y dirección. Con la dosis prescrita en el PTV y órganos de riesgo, el físico en radioterapia y el dosimetrista realizan la segunda etapa de la planificación. En ésta se calcula la distribución de dosis y se determina la relación dosis/tiempo/volumen. La precisión de este cálculo depende de los datos ingresados a la máquina, aproximaciones hechas en los algoritmos de cálculo, datos del paciente que incluyen inhomogeneidades, y la precisión con la cual los parámetros de la máquina de tratamiento tales como simetría y planicidad son mantenidos realizando dosimetrías periódicas. En la última parte de la planificación se calcula el tiempo necesario de cada aplicación (en UM) para satisfacer la dosis prescripta. Los cálculos de distribución de dosis requerida para cada paciente son llevados a cabo por medio de algoritmos de cálculo complejos. Estos algoritmos pueden ser fórmulas empíricas o directamente simulaciones aplicando el método de Monte Carlo (MC), a ser desarrollados más abajo. Finalizando la etapa de planificación se simula nuevamente. Se definen las entradas de los campos de irradiación dibujando o tatuando sobre el paciente referencias cutáneas necesarias para la reproducibilidad diaria del tratamiento. El posicionamiento debe ser reproducido durante todo el tratamiento, para lo cual a veces hace falta el uso de accesorios de fijación (máscaras, sacos de vacío, etc.). También debido a que los campos generados por la máquina de tratamiento son generalmente rectangulares, éstos deben conformarse; es decir, darle una forma al campo de irradiación para que el mismo reproduzca en cierta medida la proyección del volumen blanco. Esto se logra utilizando metales pesados, tales como plomo u otras aleaciones similares, moldeados (que conforman al campo) colocados a la salida del haz de irradiación. 10 Tratamiento: el tratamiento se lleva a cabo por los técnicos radiólogos bajo la supervisión de los médicos y físicos. Por medio de placas radiográficas verificadoras se corrobora el correcto posicionamiento del paciente. El médico evalúa al paciente durante el curso de la terapia para asegurar la respuesta del tumor y la tolerancia al tratamiento. También se llevan a cabo controles dosimétricos para asegurar la calidad de la radiación aplicada en el tratamiento. Debido al efecto letal de las radiaciones en las células de los tejidos expuestos, es importante el conocimiento fehaciente de la dosis recibida en los distintos volúmenes de interés. Por ello es que el cálculo dosimétrico requiere de un alto grado de exactitud para que sea clínicamente aceptable. Esto le ha dado al cálculo de dosis una importancia significativa dentro de la planificación de tratamiento radiante externo. La dosis es la energía impartida por unidad de masa por radiación ionizante. En el caso de radioterapia externa con fotones de alta energía la dosis total recibida está compuesta por dos componentes: Componente primaria. Incluye a todos los fotones provenientes directamente de la fuente más los fotones que surgen de dispersiones en algún punto entre el cabezal del equipo y el fantoma (incluye a todas las componentes del cabezal y el aire). Componente secundaria. Incluye los fotones que surgen de dispersiones en el fantoma. Un paso esencial en el sistema de cálculo de dosis es conocer el comportamiento de la dosis con las variables energía del haz, profundidad, tamaño del campo, distancia de la fuente, sistema de colimación del haz y forma y composición del fantoma o paciente. Esto es indispensable para calcular la distribución de dosis, y con ella la dosis que recibe un punto cualquiera del volumen irradiado. Existen diversos métodos para calcular la distribución de dosis. Entre ellos están los métodos que resuelven la ecuación de transporte de Boltzmann a partir de primeros principios, tales como el método de Monte Carlo (MC)[ 5- 9] u otros métodos derivados tales como el de “pencil beam” [ 5, 10] que utiliza soluciones parciales del método de MC. De todos modos, los métodos más utilizados en la actualidad son los llamados semiempíricos. 11 La dosis impartida no debe diferir en más de un 3 o 4% respecto de la dosis prescrita [ 11]. Bajo estas consideraciones la complejidad de los sistemas de planificación ha ido evolucionando considerablemente. Los primeros planificadores comerciales hacían uso exclusivo de bases de datos almacenadas y sencillas fórmulas empíricas [ 12], mientras que los planificadores más modernos hacen uso de convolución de soluciones parciales obtenidas por el método de MC [ 10]. Por otro lado están surgiendo argumentos para proponer el método de MC como herramienta primaria en el cálculo dosimétrico y/o control de calidad de los sistemas de planificación [ 5]. El MC es un método estadístico que sirve para resolver la ecuación de transporte de Boltzmann. Los métodos determinísticos resuelven la ecuación de transporte considerando las propiedades promedio de las partículas. En cambio el MC no resuelve ninguna ecuación explícita sino que simula cada partícula en forma individual, siguiendo sus trayectorias y las de sus progenitoras. Cada partícula es seguida desde su nacimiento hasta su desaparición. La desaparición está asociada a la absorción, la fuga del sistema en estudio, o a un estado energético por debajo de una energía de corte predeterminada. Durante la simulación las trayectorias de las partículas están gobernadas por las leyes físicas relativas a la interacción de la radiación con la materia. Cada interacción se denomina evento y cada evento está asociado a una probabilidad de ocurrencia. Dicha probabilidad se calcula utilizando números aleatorios y las funciones de distribución de probabilidad que describen los distintos tipos de interacción. Cuando el número de partículas simuladas es suficientemente grande se puede obtener la dosis absorbida en un dado elemento de masa sumando todas las deposiciones energéticas ocurridas en el mismo. El tiempo requerido para llevar a cabo el cálculo de distribución de dosis es elevado respecto a la cantidad que deben llevarse a cabo para satisfacer la demanda diaria de un centro de radioterapia. Esto sumado a su alto costo, hace que el método de MC sea impráctico y sólo se utilice mayoritariamente en centros de investigación. Como se mencionó, los métodos anteriores son inviables en los cálculos diarios dosimétricos, por lo que en la planificación se utilizan algoritmos de fórmulas empíricas para el cálculo de distribución de dosis. Como el cálculo para cada paciente es distinto es necesario por un método alternativo corroborar y garantizar que las UM prescritas sean las correctas. Para ello se utilizan los métodos alternativos de cálculo. Los métodos manuales de cálculos dosimétricos (semiempíricos) utilizan mayoritariamente datos experimentales. Los mismos proporcionan casi toda la información dosimétrica necesaria para poder calcular la distribución espacial de dosis que genera un 12 equipo de irradiación en un medio homogéneo. Estos datos son medidos por medio de dosímetros automáticos (escáners dosimétricos 3D) en un fantoma. Los datos son cargados en los sistemas de cálculo, que por medio de algoritmos los relacionan utilizando funciones semiempíricas tales como TAR (tissue air ratio), TPR (tissue phantom ratio), PDD (percent dose depth) y OF (output factor)[ 13- 16]. De esta forma se puede encontrar la distribución de dosis en cualquier parte del fantoma o paciente, relacionando estas funciones con el rendimiento del equipo medido en condiciones de referencia (dosis absoluta). Las condiciones de referencia se toman según criterios recomendados, por medio de dosimetrías absolutas [ 16]. Los métodos manuales de cálculo pueden en algunos casos poseer errores de hasta un 5 % [ 11], pero el reducido costo computacional (pueden ser ejecutados en una computadora personal) ha hecho que en la actualidad sean los métodos más utilizados. Debido a la dispersión de radiación en el fantoma y en el equipo (aire, cabezal, etc.), los métodos de cálculos manuales no solo dependen de la energía y la profundidad, sino del tamaño y forma del campo de irradiación. Para conseguir tabulaciones compactas de datos se estandariza la forma de los campos (campos circulares y/o cuadrados). Esto, sumado al hecho que en los tratamientos de radioterapia los campos a irradiar no son generalmente estándares, sino rectangulares o conformados, se ha buscado a lo largo de los años la forma de calcular distribuciones de dosis para campos rectangulares recurriendo a tablas de equivalencias. Es aquí donde nace el concepto de equivalencia entre campos o simplemente campo equivalente. Existen distintos métodos para encontrar campos equivalentes, los más utilizados están descriptos en el British Journal of Radiology (BJR) [ 14]. Las tablas del BJR asocian cualquier campo rectangular a su correspondiente campo cuadrado equivalente. El campo cuadrado equivalente se define como aquel campo de dimensiones estándar que tiene la misma contribución de fotones dispersados en fantoma o función de dispersión (en un punto en eje central) que el campo no estándar a irradiar [ 14]. Para obtener la función de dispersión se utiliza el método de integración de Clarkson [ 15, 17], que consiste en dividir el campo a irradiar en sectores angulares, cada uno de los cuales tiene asociada una función de dispersión de campo circular de acuerdo al radio de cada sector. Estos sectores son luego integrados para obtener la función de dispersión, la cual se corresponde con su equivalente estándar. La función de campo circular que utiliza el BJR es el SAR (scatter air ratio) [ 18]. Esta es una función semiempírica que contempla la componente de dosis secundaria. El uso de los cuadrados equivalentes del BJR es 13 aceptado ya que se ha demostrado su validez experimentalmente, pero no se ha justificado el por qué de su validez en términos teóricos [ 26]. Otro método para encontrar campos equivalentes mucho más simple es la regla del “área sobre el perímetro”. Según ICRU [ 11] esta regla, debida a Sterling (1964), corresponde a decir que el campo cuadrado equivalente es el cuadrado cuyo cociente entre su área y perímetro es el mismo que aquel del campo rectangular. Aunque esta regla no se basa en propiedades de la radiación, los resultados son aceptables y cercanos a los de la tabla de cuadrados equivalentes del BJR. Esta regla falla al tratar de predecir campos más largos que 20 (cm) y para relación de elongación y/x (x e y son los lados del campo rectangular), mayores que cuatro [ 19, 20]. Como mencionamos anteriormente tanto el método del BJR como el de “área sobre perímetro” hacen separación de radiación primaria y secundaria para calcular la equivalencia [ 13, 15]. A pesar de que los métodos son de remarcable exactitud, la validez de separar ambos tipos de radiaciones ha sido cuestionada [ 21]. Consideraciones del transporte de electrones secundarios bajo condiciones donde no haya equilibrio electrónico conducen a diferentes conclusiones [ 22, 23]. Por ejemplo, una situación sin equilibrio puede ocurrir cuando se consideran regiones cercanas a los bordes de campo definidos por los bloques, en el caso de campos conformados. Por otro lado los dosímetros usados en radioterapia no distinguen componentes primarios de secundarios. Actualmente para encontrar distribuciones de dosis sin separación de radiaciones primaria de secundaria debe apuntarse a métodos de cálculo basados en MC, los cuales como ya se mencionó, son muy costosos. Es aquí donde surge la necesidad de desarrollar métodos de cálculo que no separen radiación primaria de secundaria y que a su vez sean accesibles y simples de implementar. El método de cálculo desarrollado es similar al ya existente en la literatura pero con la introducción de nuevas funciones empíricas cuya obtención requiere únicamente mediciones en fantoma (no se separan las componentes del haz) [ 24]. Además la formulación propuesta es consistente y es justificada con las definiciones que surgen de primeros principios [ 25]. Recientemente se demostró la factibilidad de aplicar el método de Clarkson a funciones de campo circulares que expresen datos de dosis total en profundidad (sin separar contribución primaria de secundaria) [ 24]. Bajo esta premisa se desarrolla el nuevo método de cálculo. 14 Este trabajo utiliza funciones semiempíricas como el PDD y el factor de salida de campo (OF), y métodos de cálculo como el de Clarkson [ 17 ]. Además utilizando la inversa de la ecuación de integración por sectores (de origen reciente) se pueden encontrar funciones de campo circular basándose en datos medidos para campos rectangulares de variación unidimensional. Midiendo PDD y OF unidimensionales se pueden encontrar el factor de salida generalizado para diferentes profundidades (OFg) (función semiempírica integrable), estas mediciones sólo se realizan en una ocasión (es decir variando la apertura de los colimadores en su dimensión x o en y) debido a las propiedades cancelatorias del “efecto del intercambio de los colimadores” (desarrollado en la teoría) [ 13]. Una vez obtenidos los OFg se calcula aplicando la inversa de la ecuación de integración por sectores las funciones de campo circular. Estos a diferencia de la función de dispersión usada en el BJR, tienen asociadas tanto las componentes primarias y secundarias de la radiación ya que se obtienen en base a datos medidos en el fantoma. Además estas funciones contienen toda la información relacionada al cabezal, el aire y el medio dispersor (fantoma) y como consecuencia no es necesario describir la geometría del cabezal en el formalismo desarrollado. Finalmente con las funciones de campo circular y utilizando el método de Clarkson es posible encontrar los OFg para cualquier campo rectangular (aunque en principio también se podría calcular para cualquier geometría de campo). Relacionando el OFg para una profundidad cualquiera con el OFg para una profundidad de referencia se calcula en base a la definición de OFg los PDD de campos rectangulares del equipo en cuestión. Con estos PDD es posible llevar a cabo cálculos manuales de distribución de dosis correspondientes a la etapa de planificación del tratamiento. Aunque limitamos este método de cálculo al estudio en eje central, crea una línea de trabajo novedosa que no hace separación de radiación primaria y secundaria. Futuros trabajos pueden ampliar la aplicación de este método, hasta el punto que no se precise de los conceptos de cuadrados equivalentes y las tablas del BJR. 15 III. TEORÍA A. Conceptos generales La radioterapia requiere del conocimiento de la interacción de la radiación con los tejidos para poder así cuantificar la magnitud de los efectos biológicos. El conocimiento de los mecanismos de interacción permite además diseñar estrategias para optimizar el uso de la radiación. La magnitud de los efectos biológicos está relacionada a la dosis impartida en los tejidos. Las estrategias de irradiación están relacionadas a las propiedades de la radiación, a las formas de irradiación y al tipo de patologías a tratar. En este apartado se explicarán los conceptos de dosis impartida, las propiedades de la radiación y las formas de irradiación (haces y manera de generarlos). Dentro del proceso de planificación de tratamientos radiantes se encuentra la etapa de cálculos dosimétricos. La ejecución de dicha etapa permite conocer la distribución de dosis en los volúmenes de interés. Como se mencionó en la introducción, existen diversos métodos de cálculo dosimétricos. En este capítulo se describirán los métodos semiempíricos más utilizados y se detallarán los fundamentos de la metodología de cálculo alternativa propuesta en este trabajo. 1. Concepto de dosis Dosis Absorbida: La dosis absorbida es relevante a todo tipo de irradiación ya sea directa o indirectamente ionizante [ 2]. Definición: La dosis absorbida D puede ser definida en términos de cantidades estocásticas relacionadas con la energía impartida ε [ 2]. La energía impartida por radiación ionizante en un elemento de materia de masa m con un volumen finito V se define como ε = (Ren)s - (Rsal)s + (Ren)c - (Rsal)c + ∑Q 16 ( 1) donde, (Ren)s es la energía radiante de la partícula sin carga que entran en el volumen V. (Rsal)s es la energía radiante de todas las partículas sin carga que abandonan el volumen V. (Ren)c es la energía radiante de las partículas cargadas que entran en el volumen V. (Rsal)c es la energía radiante de las partículas cargadas que abandonan el volumen V. 0 ∑Q energía neta derivada de las transiciones masa-energía en el volumen V. de esta manera ahora se puede definir la dosis en algún punto P en el volumen V como: D= dε dm ( 2) cuya unidad es el Gray, que equivale a 1J donde ε ahora es el valor esperado de energía Kg impartida en un volumen finito durante un intervalo de tiempo, dε es la energía para un volumen infinitésimo dV y dm es la masa correspondiente a ese diferencial de volumen [ 2]. De aquí en más a la magnitud dosis absorbida se la referirá simplemente como dosis. 2. Definición de un haz de fotones Existen dos tipos de descripción de la radiación electromagnética a saber [ 13]: Modelo ondulatorio. Las radiaciones electromagnéticas constituyen un modo de propagación de energía para fenómenos tales como ondas de radio, ondas de calor, ondas de luz, rayos ultravioleta, rayos X o rayos γ. Una onda electromagnética puede ser representada por su variación espacio-temporal de las intensidades de un campo eléctrico y magnético, ambos de carácter vectorial y ortogonales uno respecto del otro en cualquier instante. La energía se propaga en el vacío a la velocidad de la luz en dirección ortogonal a los vectores de intensidad de las ondas eléctricas y magnéticas. 17 Modelo cuántico. Para explicar el resultado de ciertos experimentos que involucran la interacción de la radiación con la materia tales como el efecto fotoeléctrico y la dispersión Compton, se puede considerar la radiación electromagnética como partículas en lugar de ondas. La cantidad de energía transportada por un paquete de energía, o fotón, depende de la frecuencia de radiación. Esta descripción es la más utilizada para describir los procesos de interacción de la radiación con la materia para energías de uso clínico. 3. Interacción de la radiación indirectamente ionizante con la materia Cuando un haz de fotones (cuyas energías corresponden a haces de uso clínico) atraviesa un medio, se llevan a cabo diversas interacciones entre éstos y la materia. En estas interacciones se produce transferencia de energía. Dicha transferencia puede producir eyección de electrones de los átomos del medio absorbente, exitación y producción de electrones y positrones. Las partículas cargadas puestas en movimiento pueden producir a su vez ionizaciones, exitaciones y radiaciones electromagnéticas en su camino. En particular, los positrones pueden también ionizar y/o aniquilarse. De esta forma las partículas cargadas van transfiriendo su energía al medio a lo largo de su trayectoria, lo cual deviene en dosis absorbida en el volumen irradiado. El conocimiento de esta cantidad es de importancia primaria en radioterapia, ya que de ella dependen los efectos biológicos de las radiaciones. La distribución de dosis está relacionada con los distintos procesos por medio de los cuales es absorbida la energía en el medio. En el rango de energías de uso clínico (KeVs-MeVs) existen fundamentalmente cuatro procesos de interacción de los fotones con la materia [ 13, 15] que son desarrollados a continuación. En la Fig. 3 se ilustran los mismos, siguiendo la trayectoria del fotón desde que incide en el fantoma hasta que deposita toda o gran parte de su energía. Dispersión coherente. Consiste en la interacción de una onda electromagnética y un electrón. El electrón oscilante reirradia la energía a la misma frecuencia que la onda electromagnética incidente. De esta manera la onda emergente tiene la misma longitud de onda que el haz incidente. Como consecuencia el medio no absorbe energía. Este proceso ocurre para materiales de número atómico (Z) alto y energía de fotones baja. Efecto fotoeléctrico. Es un fenómeno en el cual un fotón interactúa con un átomo y eyecta uno de los electrones orbitales del mismo. En este proceso, toda la energía del fotón incidente es transferida. La energía cinética del electrón eyectado (llamado fotoelectrón) es igual a Ei –Eb, donde Eb es la energía de ligadura del electrón y Ei la energía del fotón 18 incidente. Este proceso se ve favorecido por el aumento de Z y con la disminución de la energía del fotón incidente Efecto Compton. En este caso el fotón interactúa con un electrón libre o ligado. En esta interacción, el electrón recibe algo de la energía del fotón y es eyectado en un cierto ángulo, mientras que el fotón es dispersado en otra dirección. La probabilidad de ocurrencia de este proceso disminuye con la energía. Producción de pares. En este caso el fotón interactúa con el campo electromagnético del núcleo y cede toda su energía en el proceso creando un par electrón - positrón. Ya que la energía másica en reposo del electrón es equivalente a 0,51 MeV, se requiere de una energía mínima de 1,02 MeV (umbral) para crear el par de cargas. Este proceso se ve favorecido por el aumento de la energía del fotón incidente (a partir del umbral) y de Z. En el rango de energías que se utilizan para tratamientos radiantes, de los cuatro procesos mencionados el que más probabilidad de ocurrencia tiene es el efecto Compton por lo que es el proceso que generalmente más se hace alusión en la bibliografía relacionada a la física en radioterapia. 4. Interacción de las partículas cargadas con la materia. Las partículas cargadas transfieren su energía de una manera diferente a las de radiaciones sin carga (fotones). Las partículas cargadas tienen campos eléctricos culómbicos e interactúan con los electrones o el núcleo de los átomos que se encuentren en sus trayectorias. Las partículas cargadas son responsables directas de la deposición de energía en el medio (dosis). A continuación se analizan los tipos de interacción y parámetros asociados a la trayectoria de dichas partículas, como rango y equilibrio electrónico. Las interacciones se pueden caracterizar según el tamaño relativo entre el parámetro de impacto (b) y el radio atómico (a) [ 2] como se ilustra en la Fig. 2. Las siguientes tres interacciones son las más comunes en radiaciones de uso clínico. Colisiones suaves (b>>a). Cuando una partícula cargada pasa a una distancia considerable del átomo, la fuerza coulombiana del campo de ésta, afecta a la totalidad del átomo excitándolo a un nivel más alto de energía y con menor probabilidad se produce ionización por la eyección de un electrón de las capas de valencia. Colisiones duras o Knock on (b ∼ a). Cuando el parámetro de impacto es del orden de las dimensiones atómicas es muy probable que la partícula incidente interactúe con un 19 electrón atómico, eyectándolo con una energía cinética considerable, el cual es llamado rayo delta (δ). Este último tiene la suficiente energía para producir otras interacciones. A pesar de que el número de sucesos es menor comparado con las colisiones suaves, las pérdidas de energía de las partículas incidentes en ambos procesos son similares. Fig. 2. Diagrama esquemático del parámetro de impacto b vs. el radio atómico a. Interacción de la fuerza coulombiana con el campo externo del núcleo (b<<a). Cuando el parámetro de impacto es mucho más pequeño que el radio atómico las fuerzas coulombianas interactúan principalmente con el núcleo. En la mayoría de las interacciones las partículas cargadas incidentes son dispersadas elásticamente sin emisión de rayos X o exitando el núcleo, sufriendo deflección. En el 2 o 3% de los casos restante en que las partículas pasan cerca del núcleo, ocurren interacciones inelásticas las cuales emiten un fotón de rayos X (radiación de frenado). Las partículas cargadas no sólo son deflectada sino que entregan gran parte de su energía cinética en el proceso de frenado. La sección eficaz por átomo es proporcional a Z 2 y aumenta con la energía incidente. La trayectoria de las partículas cargadas en un medio es finita y depende de la energía inicial, de la composición del medio y del tipo de partícula. En particular, los electrones (y positrones), por presentar baja masa describen una trayectoria tortuosa, 20 alcanzando el reposo luego de recorrer un camino dado. Si se proyecta la distancia recorrida en la dirección de incidencia se obtiene el rango proyectado que es el valor esperado de la máxima profundidad de penetración. En la Fig. 4 [ 15] se ilustra lo mencionado donde las flechas representan las trayectorias e interacción casi continua de los electrones en la materia. La fluencia de electrones y por lo tanto la dosis, se incrementa con la profundidad hasta alcanzar un máximo a la profundidad dmax, la cual define la zona de “buildup”. A partir de este punto, si se asume que no existe atenuación, la cantidad de electrones frenados es prácticamente la misma que la puesta en movimiento en un volumen Efecto Compton Efecto Fotoeléctrico hν hν hν Producción de Pares e+ hν2 e- e- e- Interacción de los electrones con la materia Electrón Delta e- Fotón Bremsstrahlung e- Electrón frenado hν1 e- e- eeee- hν2 Rango del Electrón (R) Fig. 3. Ilustración de las distintas interacciones de fotones y electrones dentro de un fantoma. 21 definido lográndose el llamado equilibrio electrónico. Como se ve en la parte superior de la Fig. 4a el equilibrio electrónico comienza en el cuadro D donde los electrones generados en el cuadro A alcanzan el rango máximo R. Esto hace que en la zona de equilibrio electrónico la dosis sea constante con la profundidad. Sin embargo la fluencia de fotones decrece continuamente con la profundidad (por la atenuación del medio) y como resultado la producción de electrones también disminuye. Como se ve en la Fig. 4b el resultado neto de este fenómeno es que más allá de dmax la dosis disminuye. En esta región se está en presencia del llamado equilibrio electrónico transiente. 22 Fig. 4. Gráfica que muestra esquemáticamente porque la dosis absorbida incrementa con la profundidad y cómo se logra el equilibrio electrónico luego de superar la zona de “buildup”. Los fotones provenientes de la fuente producen una cascada de interacciones en los elementos del cabezal, el aire y el fantoma antes de que su energía sea absorbida en forma de dosis. Las interacciones producidas en los elementos del cabezal y el aire generan fotones dispersados y partículas cargadas, estas últimas contaminan el haz de fotones y contribuyen a la dosis en la zona del “buildup”. Este efecto se lo conoce como contaminación electrónica. 23 5. Formas de medir la dosis producida por un haz de fotones Cuando un haz de fotones interactúa con la materia (mediante los procesos descriptos en la sección III.A.3) imparte energía cinética a las partículas cargadas aparte de exitar y/o ionizar los átomos que son centros de interacción. Debido a que las partículas cargadas interactúan de forma casi continua, la cantidad de ionizaciones y exitaciones que estos producen es considerablemente mayor a la que los fotones producen en sí. El balance de energía que resulta de la ecuación ( 1) deviene en un incremento de temperatura que es proporcional a la energía impartida ε y está asociada a la capacidad calorífica del medio. De este concepto surgen los métodos calorimétricos. Estos métodos son los más exactos y son los que utilizan los laboratorios primarios de calibración dosimética [ 2]. Estos métodos son muy costosos y requieren de configuraciones experimentales muy complejas. Por ésto para uso clínico se utilizan métodos indirectos de medición de dosis tales como densitometría de films, termoluminiscencia, semiconducción, ionometría, etc [ 2]. De éstos, los más precisos son los métodos ionométricos, y por otro lado los más usados. Para llevar a cabo las mediciones de los datos necesarios para hacer cálculos dosimétricos, se utiliza el método ionométrico que requiere básicamente de una cámara de ionización y un electrómetro. Una cámara de ionización consiste esencialmente de dos electrodos colectores separados por un medio que puede conducir si se lo ioniza, como por ejemplo el aire. Los electrodos son polarizados por una tensión continua típicamente 300 Volts. El número de cargas colectadas es proporcional al número de electrones liberados por la radiación ionizante, que a su vez es proporcional a la energía absorbida en el volumen activo de la cámara. La eficiencia del dosímetro es función de variables tales como la temperatura y presión a la que se encuentre el aire que contiene. Si éstas están asociadas a las condiciones ambientales se dice que la cámara de ionización es abierta. Existen distintos tipos de cámaras de ionización [ 2] de las cuales la de interés en este trabajo es de “tipo dedal”, que fue utilizada para realizar mediciones. El principio de funcionamiento de la “cámara dedal” [ 13] es ilustrado en la Fig. 5. En la Fig. 5A se muestra una esfera de aire con una cavidad también de aire en su interior. Si se asume que la esfera es irradiada uniformemente con un haz de fotones y además la distancia entre la capa de aire y la cavidad interna es igual al rango máximo de electrones en aire, se puede asumir que la cantidad de electrones que entran en la cavidad es igual al número de electrones que la abandonan (equilibrio electrónico). Se asume también que es posible medir la cantidad de partículas cargadas producidas dentro de la cavidad debidas a electrones generados en el volumen de aire que rodea dicha cavidad. Con esta medición y 24 conociendo el volumen de la cavidad es posible obtener toda la información necesaria para llevar a cabo los métodos de cálculo semiempíricos (desarrollados en la sección III.B). Si la capa de aire de la Fig. 5A es compactada a una pared sólida como se ve en la Fig. 5B, se tiene una cámara dedal. Aunque la pared sea sólida es equivalente al aire, es decir que los fotones interactúan de la misma forma en ambas capas. Ya que la densidad de la pared aire-equivalente es mucho mayor que la del aire, el espesor requerido para conseguir equilibrio electrónico es menor. La Fig. 5C muestra una cámara típica de dedal, llamada así por su forma. La superficie interna de la misma está recubierta de un material conductor Fig. 5 Diagrama esquemático que ilustra la naturaleza de la cámara de ionización. A, Capa de aire junto a la cavidad de aire. B, Pared sólida de aire-equivalente con la cavidad de aire. C, Cámara de ionización “tipo dedal”. que forma uno de los electrodos. El otro es una varilla de grafito o aluminio sostenida en el centro del dedal pero aislada del mismo. Se aplica entre los electrodos un voltaje adecuado para que puedan colectar los iones. El electrómetro es el dispositivo que suministra el voltaje a la cámara de ionización para colectar la carga producida. Las mismas son medidas en unidades de coulombs y leídas en el display (analógico o digital). Debido a las pequeñas corrientes proporcionadas por la cámara de ionización, se lo puede pensar como un voltímetro de muy alta impedancia. Existen distintos diseños con mayor o menor sensibilidad y consecuentemente 25 precisión. La mayoría, sin embargo, utilizan amplificadores operacionales, por su alta impedancia de entrada [ 2], lo cual los hace compatibles con casi cualquier tipo de cámara de ionización. El método ionómetrico se puede utilizar para realizar dosimetrías absolutas y relativas. La dosimetría absoluta permite conocer la dosis absorbida en un medio sometido a radiaciones. Utilizando una cámara de ionización se puede relacionar la dosis absorbida en un punto en un medio, en ausencia de la cámara, con la carga colectada. Dicha relación depende del medio irradiado, del tipo de radiación, de la geometría de la irradiación, de los materiales de la cámara, etc. Dichos procedimientos están descriptos en [ 13, 15] y no son objeto de estudio en el presente trabajo. La dosimetría relativa cuantifica los cambios relativos de dosis por cambios de configuración del sistema que se estudie. En el caso de irradiación con fotones, en condiciones de equilibrio electrónico y asumiendo que no cambia la eficiencia del instrumento, la relación de dosis producida al irradiar dos configuraciones es el cociente de lecturas del instrumento (electrómetro). Esto es debido a que para fotones los factores que llevan los valores de las lecturas a valores de dosis son los mismos tanto para numerador como para el denominador, por lo que se cancelan. 6. Utilización de la radiación en la terapia radiante Las aplicaciones de radioterapia normalmente están dadas por una combinación de haces de fotones (o campos de fotones) de alta energía dirigidos desde distintas direcciones al área a irradiar. Estos son aplicados tanto con máquinas de Co60 como con aceleradores lineales, dependiendo de la elección de energía a aplicar para cada tratamiento. La máquina de irradiación consta de diversas partes [ 13, 15], de las cuales se hará hincapié sólo en aquellas necesarias para el mejor entendimiento de esta tesis. En general una máquina de irradiación está compuesta por la unidad de mando y el dispositivo de irradiación propiamente dicho. Este último está compuesto por el gantry (el cual monta al cabezal) y la camilla. El movimiento rotacional del gantry, junto a los movimientos de la camilla, tiene la función de hacer pasar el haz de irradiación por el volumen a tratar, según las especificaciones de la planificación. El cabezal consiste de una gruesa capa de material de blindaje de alto peso atómico (Pb, W, o una aleación de ambos), y según se ve en la Fig. 6. Este contiene la fuente, el filtro aplanador, las cámaras de monitoreo, los colimadores primarios (fijos) y secundarios (móviles), y el sistema de luz localizadora de campo. 26 Fig. 6. Diagrama esquemático del cabezal de una máquina de irradiación. La fuente puede ser de rayos X, electrones, o de rayos γ. Esta última es una fuente isotópica de Co60 producida al irradiar Co59 con neutrones en un reactor. La fuente o pastilla es doblemente encapsulada de forma tal de evitar cualquier fuga del material radiactivo. Las máquinas isotópicas contienen la pastilla en un blindaje que asegure niveles de exposición aceptables y es puesta en posición de irradiación a la hora de irradiar al paciente. En el caso de un acelerador lineal la fuente de rayos X es más compleja. Posee un dispositivo que usa ondas electromagnéticas de alta frecuencia para acelerar partículas cargadas (en este caso electrones) a altas energías a lo largo de la estructura aceleradora. 27 El haz de electrones de alta energía puede, a su vez, ser usado para tratamiento superficial de tumores (los cuales no son parte del estudio de esta tesis), o bien bombardear el blanco (generalmente W) y así producir los rayos X usados para tratamiento de lesiones profundas. Los colimadores primarios son los encargados de eliminar la mayor cantidad de radiación que emite la fuente en direcciones distintas a la del haz clínico. El filtro aplanador cumple la función de atenuar el haz en la parte central y en menor medida en la periferia, de forma tal que la intensidad del haz en el sentido transversal sea uniforme. Las cámaras monitoras, que por lo general constan de diversas cámaras de ionización, tienen la función de verificar la fluencia de fotones. Los colimadores secundarios al ser móviles definen el tamaño de campo (expresado como la apertura del colimador del eje x por la apertura del colimador del eje y). Los colimadores son pares opuestos de bloques de Pb o W, los cuales proveen una apertura rectangular desde un tamaño mínimo (típicamente 3 x 3 cm2) hasta un tamaño máximo (típicamente 40 x 40 cm2). Los sistemas de colimación que varían el tamaño de campo para cada eje (x e y) se encuentran a distintas distancias de la fuente. B. Métodos manuales o semiempíricos de cálculo La distribución de dosis en un fantoma o paciente generalmente se obtiene sumando las contribuciones de cada haz de irradiación. De esta manera el cálculo dosimétrico se limita a predecir la dosis producida por un haz en ciertas condiciones dadas. Dichas condiciones están relacionadas a las variables del equipo de irradiación en sí, a la geometría y composición del medio a irradiar, y a las variables que resultan de la combinación paciente-equipo. Dentro de las variables inherentes al equipo está el potencial de aceleración (como energía nominal)∗, los materiales y geometría del cabezal y demás elementos del hardware. En cuanto al medio a irradiar éste puede tener cualquier forma y además presentar composición variable (medio heterogéneo). De acuerdo a como se disponga el paciente o fantoma en el equipo resultarán variables tales como distancia ∗ El potencial de aceleración para haces de fotones de alta energía está relacionado a la diferencia de potencial asociada a la energía cinética de los electrones acelerados y en unidades de mega voltios (MV). 28 fuente superficie (DFS) a lo largo del eje de simetría del haz, tamaño y forma de campo en superficie y orientación del medio respecto del haz. Como se mencionó anteriormente, la dosis es función de diversas variables tales como la profundidad del punto de medición, la distancia que hay entre la superficie a irradiar y la fuente, la energía con la cual se irradia, etc. Para hacer una radioterapia exitosa, es necesario un alto grado de exactitud en la entrega de dosis al paciente. Existen diversos pasos involucrados en la determinación exacta de la dosis entregada. El cálculo de la dosis en un punto específico del paciente es uno de estos pasos. Tal cálculo es llevado a cabo con algoritmos computacionales de planificación de tratamiento o con procedimientos manuales denominados así en la jerga. Nótese que el término cálculo manual es usado aquí para el tipo de cálculo que se lleva a cabo manualmente, con una calculadora de bolsillo o también ejecutando programas de cálculos en una PC. Existen dos fuertes argumentos que fundamentan la idea de tener métodos válidos para desarrollar cálculos manuales de dosis en un punto específico [ 16]. • El hecho de que generalmente cada clínica necesita tratar un gran número de pacientes con tratamientos paliativos, para los cuales una rápida admisión, dosis relativamente bajas y una rápida preparación del tratamiento (llevada a cabo con métodos manuales) es más importante que invertir mucho tiempo en la preparación de un tratamiento más complejo (el cual se lleva a cabo con los planificadores). • Desde el punto de vista de garantía de calidad es esencial una segunda forma de cálculo del tiempo de tratamiento o UM (unidades monitoras) para cada haz individual. Esta segunda forma usa cálculos manuales para chequear los resultados de los planificadores. A continuación se detallan algunos de los formalismos de cálculos manuales que serán útiles para la comprensión del método a desarrollar. Dichos formalismos están relacionados al cálculo dosimétrico para condiciones fácilmente reproducibles por mediciones. Estas condiciones generalmente se establecen en medios homogéneos, en eje central de haz y a DFS típicas de tratamiento. En estos métodos se definen diversas funciones o cantidades que generalmente se obtienen a partir de datos medidos. 29 1. Porcentaje de dosis en profundidad (PDD): Es una cantidad que expresa el porcentaje de dosis absorbida a cualquier profundidad (d) respecto a la dosis absorbida a una profundidad de referencia (dref) a lo largo del eje central del haz, en un medio homogéneo (generalmente agua) [ 13, 15]. Se puede expresar como: PDD(d, wp, DFS, E ) = 100 ⋅ Dd Dref ( 3) donde Dd es la dosis a profundidad d para un tamaño de campo proyectado en la superficie del fantoma (wp) y Dref es la dosis a una profundidad de referencia conveniente y el mismo tamaño de campo en superficie, para una calidad del haz dada. Las variables en juego son la profundidad (d), el tamaño del campo, la distancia entre la fuente la superficie a irradiar (DFS) y la energía del haz a irradiar o calidad del haz (E). El comportamiento del PDD depende de las siguientes variables: Calidad del haz y profundidad. Cuando un fotón de alta energía penetra el paciente o el fantoma, son eyectados electrones de alta energía cinética tanto desde la superficie como las capas subyacentes. Cada uno de estos electrones termina de depositar toda su energía mediante los procesos descriptos en la sección III.A.3 a una distancia significativa de su origen. Debido a lo mencionado la fluencia de electrones y por lo tanto la dosis generalmente aumentan hasta alcanzar dicha distancia (dmax) la cual se conoce como zona de “buildup” (descripta en la sección III.A.4). A partir de esta profundidad la fluencia empieza a disminuir por el frenado de los electrones generados en la superficie y la atenuación del haz de fotones por lo que la dosis también disminuye. Analizando la ecuación ( 3) y teniendo en cuenta que la dosis a partir de la zona de “buildup” disminuye, se puede concluir que el PDD también disminuirá con la profundidad, tal como se puede apreciar en la Fig. 7 [ 13]. 30 Fig. 7. Gráfica de los PDD en función de la profundidad para las distintas calidades de haz y campo de 10 x 10 cm2. El espesor de la zona de “buildup” aumenta a medida que los fotones son de mayor energía (por el consecuente mayor poder de penetración), con lo que dmax aumentará. Esto hace que a medida que la energía aumenta (manteniendo las otras variables constantes), el PDD también lo haga. La Fig. 7 muestra como para haces de menor energía las curvas de PDD caen más rápidamente que las de alta energía, a medida que aumenta la profundidad. Tamaño de campo. A medida que el área del campo aumenta, la dosis a una dada profundidad también lo hace. Esto se debe al incremento en la radiación dispersada en el medio por el incremento del volumen irradiado. El PDD aumenta primero rápidamente y luego más lentamente a medida que el tamaño del campo se incrementa. La variación del PDD con el área depende también de la calidad del haz. Como muestra la Fig. 9 [ 15] a medida que la energía aumenta, las curvas de PDDs para los distintos campos tienden a aproximarse unas con otras. Esto se debe a que la dispersión ocurre hacia adelante, en menor proporción en sentido lateral y aún menor hacia atrás a medida que la energía aumenta. La Fig. 8 [ 15] ilustra esta distribución angular de los fotones dispersados en función de la energía. Dichas distribuciones se obtienen a partir de las secciones eficaces de dispersión Compton calculada con la ecuación de Klein-Nishina [ 15]. 31 Fig. 8. Diagrama polar mostrando la distribución angular de la radiación dispersa para tres calidades de energías diferentes, calculada con la fórmula de Klein-Nishina. La equis sobre la recta indica que el haz de fotones corresponde a radiación X. En general la variable tamaño de campo se define en la superficie del fantoma o paciente. Una particularidad que tiene esta función es que dada una forma de campo proyectada sobre la superficie, no depende de la distancia del sistema de colimación a la fuente; ésto es, un dado campo definido por los colimadores secundarios define un PDD similar al obtenido conformando el campo con bloques accesorios. Distancia fuente superficie (DFS). Supongamos un haz de irradiación tal como se esquematiza en la Fig. 10 [ 15]. Sea S1 una fuente de irradiación puntual, DFS la distancia fuente superficie, P y Q dos puntos sobre el eje central del haz separados a una distancia d. Si se colima el haz de forma tal de generar un campo de área Ap en un plano ortogonal al eje del haz y que contenga al punto P, se observa, por similitud de triángulos, que en un 32 Fig. 9. Gráfica de PDD en función de la calidad de radiación para distintos tamaños de campo. La unidad en la que se expresan los tamaños de campo es cm2. plano paralelo que contiene el punto Q el área de campo es DFS + d Aq = Ap ⋅ DFS 2 ( 4) Si se desprecia la atenuación en el medio toda la radiación que pasa por el área Ap debe pasar por el área Aq, por consiguiente, la intensidad del haz, ésto es, partículas por unidad de área que pasan por el punto Q es DFS Iq = Ip ⋅ DFS + d 2 ( 5) donde Iq e Ip representan la intensidad de haz en el punto Q y P, respectivamente. La ecuación ( 5) representa la ley del cuadrado de la distancia. Si el haz es atenuado con un coeficiente lineal µ y se combinan estos dos efectos sin tener en cuenta los efectos en la zona de “buildup” y dispersión en fantoma, se obtiene: 33 2 Iq DFS − µd = 100 ⋅ ⋅e Ip DFS + d ( 6) Si se asume que la dosis en un punto es proporcional a la intensidad del haz, se observa en la ecuación ( 6) que el PDD aumenta con la DFS. Fig. 10. Diagrama que ilustra la dependencia del porcentaje dosis profundidad para diferentes distancias fuente superficie. La función PDD se determina experimentalmente para cada máquina de irradiación. Si bien esta función ha sido históricamente definida con profundidad de normalización correspondiente a la del máximo de dosis, dmax [ 13], los procedimientos modernos recomiendan una profundidad de normalización de 10 cm [ 16]. A esta profundidad se la denomina profundidad de referencia y es la que se usa en este trabajo. Esto soluciona el inconveniente que origina el cambio de dmax con el tamaño de campo. 34 Conocida la dosis en un punto con profundidad dref es posible predecirla a otra profundidad con la aplicación de la función PDD para las condiciones distancia fuente superficie, energía, tamaño y forma de campo dadas. 2. Factor de salida de campo (output factor). El establecimiento de la dosis absorbida en la profundidad de referencia exige el conocimiento de su dependencia con las variables tamaño de campo, forma de campo, distancia fuente superficie, medio irradiado, constitución del cabezal del equipo de irradiación y energía del haz. Respecto de esta última, para haces polienergéticos se asocia el espectro de energía con parámetros específicos tales como el megavoltaje asociado y/o el índice de calidad. Un índice de calidad útil es el cociente de las funciones PDD evaluadas a 20 y 10 cm de profundidad respectivamente, para campo cuadrado de 10 cm de lado y DFS=100 cm. La función que describe el comportamiento de la dosis en la profundidad de referencia y en función de las variables mencionadas se denomina “factor de salida de campo”, también conocida como “output factor” [ 14, 16]. En lo que sigue a esta función se la representará por “OF”. Generalmente esta función se obtiene experimentalmente de forma directa o indirecta. La mayoría de los métodos de cálculo exigen medirla a una DFS específica, para cada energía de haz por lo que estas variables se consideran fijas en su formulación. La Fig. 11 ilustra una curva de OF para una energía de 6 MV y una DFS de 100 cm. Para definir la función OF se analizarán en detalle las componentes del haz. La dosis en un punto del medio puede ser analizada en términos de las componentes de radiación primaria y secundaria para haces de alta energía (Co60, 4, 6, 10 MV, etc.). La componente primaria está asociada a la dosis producida directamente por fotones provenientes del blanco y aquellos dispersado por cualquier objeto interpuesto entre el blanco de rayos X y el medio (fantoma), tales como el filtro aplanador, cámaras monitoras, aire y los colimadores (primarios, secundarios y terciarios). La componente secundaria está asociada a la dosis que producen los fotones dispersados en el fantoma. La función OF se define como [13, 16] OF [wc, wp ] = D[wc, wp ] D[10,10] ( 7) 35 donde wc representa el tamaño y forma de campo definido por los colimadores secundarios (generalmente campos rectangulares) a una distancia de 100 cm desde la fuente y wp representa el tamaño y forma del campo generado por los mismos colimadores o por un sistema accesorio de colimación (bloques) evaluado en la superficie del fantoma o en isocentro. D(wc,wp) representa la dosis en la profundidad de referencia y en eje central para los tamaños de campos wc y wp, y D(10,10) la misma dosis pero para campo de referencia cuadrado y de 10 x 10 cm2 cada uno. Si se escoge una DFS de trabajo de 100 cm, tal como se hace en este trabajo, wc y wp se evalúan sobre un mismo plano. Diversos trabajos demuestran que la función OF es separable en sus dos variables de campo [ 13, 16]. De esta forma se puede poner: OF (wc, wp ) = Sc(wc ) ⋅ Sp(wp ) ( 8) donde Sc está relacionado a la contribución de dosis por radiación primaria y Sp a la contribución por radiación secundaria o dispersa en el fantoma. Factor de dispersión del cabezal (Sc). Este factor cuantifica la fluencia en aire (radiación primaria) con el cambio de apertura de los colimadores (tamaño de campo). A medida que el tamaño del campo se incrementa, la salida (flujo de fotones) del haz en general aumenta por aumentar la contribución de fotones dispersados en el cabezal, los cuales se suman al haz de fotones que provienen directamente de la fuente. El Sc se define como el cociente entre la dosis en un punto dado para un tamaño de campo y aquella en el mismo punto pero para un campo de referencia (10 x 10 cm2), ambas medidas en aire y en condiciones de equilibrio electrónico. En general esta función se mide a una distancia fuente-cámara de 100 cm. El equilibrio electrónico se puede lograr utilizando capas de “buildup” o minifantomas localizando la cámara de ionización a una profundidad de 10 cm y coaxial al haz. El minifantoma es un fantoma de dimensiones reducidas colocado coaxialmente al eje central del haz de irradiación y su objetivo es proporcionar el equilibrio electrónico necesario para medir la fluencia primaria de fotones además de eliminar la contaminación electrónica. La función Sc se ve afectada por las componentes del cabezal a saber [ 5]: Dispersión de fotones en el filtro aplanador. Este es el que genera la mayor dispersión en el cabezal, produciendo un aumento del OF a medida que el tamaño del 36 campo aumenta. El filtro aplanador se encuentra por encima de los colimadores secundarios. Al abrirse éstos, aumenta la superficie de filtro aplanador vista desde abajo, por lo que aumenta la cantidad de radiación dispersa que llega al fantoma o paciente. Intercambio de los colimadores: La mayoría de los aceleradores tienen dos pares de colimadores secundarios que constituyen los sistemas de colimación x e y. Por encontrarse éstos sistemas a distinta distancia relativa de la fuente, coliman la radiación dispersa generada en el cabezal de manera diferente, dando lugar a un efecto denominado de intercambio de colimadores. Consecuentemente, la salida de un campo rectangular depende de qué sistema de colimación genera cada par de lados. Error en la lectura de las cámaras monitoras. Producido por retrodispersión generada principalmente en los colimadores secundarios contribuyendo a incrementar la lectura en la cámara y por consecuencia disminuyendo el OF. Otros accesorios como cuñas, bandejas y filtros también contribuyen a aumentar la dispersión en el cabezal del equipo y a aumentar de esta forma el OF. Factor de dispersión en el fantoma (Sp). Este tiene en cuenta los cambios en la radiación dispersada en el medio (radiación secundaria), a una profundidad dada, originados en el fantoma como consecuencia de las variaciones en el tamaño de campo. Fig. 11. Gráfica de Output Factor en función del tamaño del campo. En este caso la energía es de 6 MV y la DFS=100 cm. 37 El Sp puede ser definido como el cociente entre la razón de dosis (fantoma-aire) para un tamaño de campo dado, y la razón de dosis (fantoma-aire) para un campo de referencia (10 x 10 cm2), ambas medidas a una misma profundidad. Una forma práctica para obtener el Sp es determinada por la siguiente ecuación Sp ( wp ) = OF (wc, wp ) Sc(wc ) ( 9) El OF es afectado principalmente por el tamaño de campo. El incremento del OF con el tamaño de campo, como se observa en la Fig. 11 es debido al aumento de las componentes secundarias. Para campos grandes, estos incrementos son menos pronunciados, disminuyendo la pendiente de la curva de OF. 3. Formalismo de cálculo de dosis en eje central. Dentro de los métodos manuales más conocidos están el formalismo isocéntrico y el formalismo DFS fijo. El formalismo isocéntrico tuvo su origen con los tratamientos rotatorios [ 15]. Esto dió origen a la función TAR [ 13- 15] que tiene la propiedad de no depender de la DFS. Funciones derivadas o semejantes lo son el TPR, el TMR, PSF, etc. [ 13, 14] que tampoco dependen de la DFS. Esta propiedad aparenta ser un beneficio en favor de este formalismo. El formalismo asociado a una DFS fija utiliza funciones tales como el PDD en la que la dependencia con esta distancia es explícita. La ventaja de este formalismo respecto del anterior estriba en la forma en que se miden los datos aunque desde el punto de vista físico no hay una diferencia fundamental de éstos [ 27]. Además un artículo de la NSC [ 16] recomienda que los datos relevantes para los cálculos sean obtenidos de mediciones de PDD en fantoma de agua. De esta forma los datos de dosis en profundidad pueden ser medidos de una manera más directa y fácil que los de funciones como TPR, TAR, TMR, etc. debido a que en estas últimas los niveles de agua deben ser cambiados continuamente. En la práctica a menudo los datos de TPR son derivados de los PDD medidos [ 14]. El formalismo de cálculo manual de dosis en eje central más actual es[ 27]: D D = Dref ⋅ ⋅ ψ rel ψ rel ( 10) 38 donde Dref es la dosis absoluta medida en condiciones de referencia, la cual está en función del rendimiento del equipo, donde éste es la tasa de dosis producida en condiciones de referencia. De acuerdo a la mayoría de los protocolos dosimétricos para haces de megavoltaje [ 16] la profundidad de referencia es tomada a 10 cm, el campo de referencia es de 10 x 10 cm2 en la superficie del fantoma la cual está posicionada a una distancia de la fuente (DFS)de 100 cm. Ψrel es la razón entre la fluencia de fotones primarios para wc y la fluencia de fotones primarios para el campo de referencia. [D/Ψ]rel está relacionado a la dosis en eje central a cualquier profundidad y DFS respecto a la fluencia primaria relativa, expresado como el cociente Drel/Ψrel. La dosis relativa Drel a una profundidad de referencia en eje central, es la dosis (D) para wp, en este punto respecto a la dosis de referencia (ambas medidas en fantoma); ésto es Drel = D / Dref. La fluencia relativa de fotones primarios (Ψrel) en algún punto en el eje del campo es la fluencia de fotones primarios (Ψ ) para wc, en ese punto respecto a la fluencia (Ψref) en un punto de referencia (ambas obtenidas en aire); ésto es Ψrel =Ψ/Ψref. En base a lo definido y los conceptos vistos en la sección III.B.2 se puede apreciar que Ψrel está asociada al Sc, mientras que [D/Ψ]rel está asociada a la cantidad Sp y el PDD. Para condiciones de referencia y una energía dada fija se tiene que la ecuación ( 10) es [ 27] D(wp, d ) = D (wp ref , d ref ) ⋅ Sc(wc ) ⋅ Sp(wp ) ⋅ PDD(d , wp, DFS ref ) ( 11) donde los tres primeros términos del lado derecho de la ecuación gobiernan la dosis en la profundidad de referencia. De esta manera la ecuación anterior es un caso particular de la ecuación ( 10). Este formalismo permite calcular, conociendo el rendimiento de la máquina de irradiación (dosis absoluta en condiciones de referencia), la dosis para un tamaño de campo cuadrado deseado wp para cualquier profundidad, utilizando las tablas de PDD para estos campos. Debido a que la cantidad de tamaños de campos posibles en radioterapia es demasiado grande, para llevar a cabo tabulaciones compactas los mismos son estandarizados a la forma de campos circulares o cuadrados, aunque por practicidad se usan estos últimos (excepto en el caso de radiación de baja energía). 39 En radioterapia los campos a irradiar muy rara vez son cuadrados, sino que en la mayoría de los casos son rectangulares (siempre y cuando no se usen bloques de protección). Esto llevó a desarrollar a lo largo de los años una línea de trabajo que busque asociar de alguna forma un campo rectangular a algún campo estándar (tabulado) y de esta forma recurrir a las tablas para llevar a cabo el método de cálculo de dosis. Es aquí donde surge el concepto de campo equivalente. 4. Conceptos de campo equivalente Distintas definiciones se le han adjudicado al campo equivalente, una de ellas lo define como aquel campo estándar (circular o cuadrado) que posee la misma distribución de dosis en profundidad (PDD) en eje central que la producida por un campo no estándar (rectangular) [ 14]. Las bases que sustentan este concepto asumen (a primera aproximación) que es posible asociar con cualquier campo rectangular un predeterminado campo cuadrado equivalente, independientemente de la calidad de la radiación, la profundidad o la DFS (siempre que éstos se encuentren dentro del rango de uso clínico). Esta última característica hace posible que valores de dosis en profundidad para un campo rectangular puedan ser obtenidos usando una misma tabla de campos equivalentes. La tabla ha demostrado poseer una precisión tal que los errores que pueden producirse por su uso pueden considerarse aceptables, aunque falla cuando se la emplea en condiciones de energías, profundidades o relaciones de elongación (Lado mayor/Lado menor) extremas. De todas formas los errores producidos en dichos casos están comprendidos entre el 1 y el 2 %. [ 14]. Estas características han hecho que el uso de la tabla de campos equivalentes se generalice como método de cálculo de dosis para campos rectangulares (cuando no son conformados los campos con plomos de protección). El método del campo equivalente está basado fundamentalmente en el método de integración por sectores (también llamado método de Clarkson [ 17]). Este método consiste en dividir el campo en una serie de sectores angulares. Cada sector se asocia a una función de campo circular (en general funciones que describen el comportamiento de la dosis con la radiación dispersa), la cual varía con el radio del sector. La contribución de cada sector luego es sumada y de esta forma se obtiene la contribución de dispersión media para el campo no estándar. Así se puede, por medio de este método obtener la dosis dispersa en profundidad para cualquier geometría de campo, asociarla a la de un campo estándar y hacer la tabla de campos equivalentes. 40 La función de campo circular que utiliza el BJR es el SAR (scatter air ratio) [ 13, 14] el cual tiene en cuenta la variación de la radiación secundaria con el cambio de tamaño y forma de campo. Aunque las curvas de SAR varían con la calidad de la radiación y la profundidad, los cuadrados equivalentes generados por las mismas son iguales a primera aproximación, es por ello que utiliza una sola función (Co60 a una profundidad de 10 cm) para calcular la tabla de cuadrados equivalentes [ 14]. Otro método para encontrar campos equivalentes mucho más simple es la regla del “área sobre el perímetro”. Según ICRU [ 11] esta regla se basa en asumir que el campo cuadrado equivalente es el cuadrado cuyo cociente entre su área y perímetro es el mismo que aquel del campo rectangular. Aunque esta regla no tiene fundamentos físicos que expliquen su comportamiento, una reciente publicación en la cual se hace un análisis matemático de la misma concluye que la regla funciona como una aproximación de primer orden [ 20]. Los resultados obtenidos de esta “regla de dedo pulgar” son aceptables y cercanos a los de la tabla de cuadrados equivalentes BJR, aunque falla al tratar de predecir campos de elongación mayor a 20 cm y para relación de elongación mayor que cuatro. En un reciente trabajo [ 16] se hace uso del formalismo desarrollado en la sección III.B.3 para calcular tablas de cuadrado equivalente similares a las del BJR. En este caso la función de campo circular es el Sp, el cual se tabula para distintas energías y se calculan tablas de cuadrado equivalentes para las energías de uso más común en radioterapia. Como se puede apreciar de la ecuación ( 11) este procedimiento hace separación de componentes primarias de secundarias del haz (al no incluir el Sc en los cálculos). Además debido a que las tablas de cuadrados equivalentes asocian PDD estándares con rectangulares, y dado que el PDD resulta de un cociente entre dosis, este trabajo cuestiona si un campo equivalente obtenido usando el Sp es válido para su aplicación en el PDD. Tanto las tablas de campos equivalentes del BJR como las del formalismo descripto en la sección III.B.3 son desarrolladas sobre la base de funciones de campo circular que separan las componentes del haz de irradiación. Los fundamentos por los cuales se separa radiación primaria de secundaria, fueron perdiendo peso a lo largo de los años y actualmente la separación de estas componentes es cuestionada [ 21]. Consideraciones de transporte de electrones secundario bajo condiciones donde no haya equilibrio electrónico conducen a diferentes conclusiones[ 22, 23]. Por ejemplo, una situación sin equilibrio puede ocurrir cuando se consideran regiones cercanas a los extremos de los bloques. Además los dosímetros utilizados en radioterapia no distinguen la radiación primaria de la secundaria. Una opción para calcular distribuciones de dosis sin hacer separación de 41 componentes es aquella que utiliza soluciones parciales del método de MC, lo cual como ya se menciona en la Introducción es impráctico por su alto costo. Es por ello que se apela en este trabajo a generar algoritmos capaces de calcular campos irregulares utilizando solamente datos medidos en el fantoma. Recientemente se demostró la factibilidad de aplicar el método de Clarkson a funciones de campo circulares que expresen datos de dosis en profundidad total (sin separar contribución primaria de secundaria) [ 24]. Bajo esta premisa se desarrolla el nuevo método de cálculo. C. Nuevo método de cálculo Los problemas de separar las componentes del haz crearon la necesidad de formalismos alternativos. En los últimos años se han hecho una serie de trabajos [ 24] que son la base para el desarrollo de esta nueva línea de trabajo, que no utiliza los conceptos de separación de radiación primaria y secundaria. Este método usa funciones semiempíricas como PDD y OF, y el método de Clarkson, todos ellos son usados en cálculos manuales de rutina. Además se utilizan nuevas funciones como el factor de salida de campo generalizado (OFg) y el método de la inversa de la ecuación de integración por sectores [ 24]. 1. Desarrollo introductorio En base a los conceptos vistos en la sección B.3, la dosis para un tamaño de campo x × y definido en superficie es D( x, y, d ) = D (xref , yref , d ref )⋅ OF ( x, y ) ⋅ PDD( x, y, d ) ( 12) donde d es la profundidad evaluada en centro de campo y D(xref, yref, dref) es la dosis en condiciones de referencia. Debe notarse que las funciones Sc y Sp no aparecen explícitamente, sino que son reemplazadas por la función OF que contiene toda la información referida a las componentes del haz de irradiación. Las variables energía y DFS han sido omitidas por ser fijas en este problema. Nótese que la profundidad de referencia para el PDD es la misma que para el OF y D(xref, yref, dref). A partir de la ecuación ( 12) se define una función que describe el comportamiento de la dosis con la variación del tamaño de campo y la profundidad, la cual se la define en 42 este trabajo como OF generalizado para cualquier profundidad o simplemente OF generalizado (OFg): OFg (x, y, d ) = D ( x, y , d ) = OF (x, y ) ⋅ PDD(x, y, d ) D (xref , yref , d ref ) ( 13) Si se dispone del OFg para todas las profundidades, tamaños y formas de campo rectangulares se puede calcular la distribución de dosis en profundidad (PDD) para cualquier campo rectangular a partir de la ecuación ( 13), ésto es: PDD(x, y, d ) = OFg (x, y, d ) OFg (x, y, d ref ) ( 14) Medir el OFg para todo tamaño de campo rectangular y profundidad es, de acuerdo a la ecuación ( 13), equivalente a disponer de la función PDD para todo tamaño de campo. En general, en la rutina clínica, la función PDD se mide para campos cuadrados y mediante la aplicación de los conceptos de campos equivalentes se extiende para campos rectangulares cualesquiera. Como se dijo en la sección III.B.4, este método implica suponer la separación de las componentes del haz. Se propone en este trabajo un método alternativo que permita calcular el OFg a partir de métodos que requieran menor o igual tiempo de medición que los métodos clásicos y sin separar radiación primaria y secundaria. Recientemente se ha demostrado que es posible calcular el OF aplicando el método de Clarkson y utilizando funciones de campo circular asociadas al factor de salida de la máquina de irradiación evitando separar la componente primaria de la secundaria. Por otro lado como se verá en la sección III.C.2, el problema de la geometría de campo se reduce de dos a una variable. 2. Definición de función de campo circular Se supone una máquina de irradiación hipotética (ver Fig. 12) con simetría de revolución en las estructuras del cabezal. Para mayor simplicidad el sistema de colimación secundario es único y capaz de generar campos circulares de cualquier radio. Esto es, no hay un sistema de colimación distal y otro proximal. 43 F ue nte de r ayo s X C olim ado re s P rim arios Filtr o apl anado r C á m ar as m o ni tor as C olim ado re s Se c undari os Fo to ne s dispe rs ado s e n las c á m aras m o nito ras Fo to ne s dispe rs ado s e n e l filtro aplana do r Fo to ne s dispe rs ado s e n los c olim ado res s ec undario s Fo to ne s pro ve nie ntes direc tam e nte de la fue nte Supe r ficie del fanto m a R adi o de c am po F anto m a Fo to ne s dispe rs ado s e n e l fanto m a D e te ctor Fig. 12. Diagrama esquemático de la máquina de irradiación hipotética. Las estructuras del cabezal no están a escala pero la disposición relativa es la de un acelerador lineal real. Se puede apreciar cómo la lectura registrada por el detector, la cual está asociada al factor de salida de campo, es debido a la contribución de fotones provenientes de la fuente, dispersados en el cabezal y dispersados en el fantoma. Si se coloca un detector para medir la radiación en eje central producida por la máquina de irradiación a una profundidad dada en el fantoma y a una DFS fija dada, la radiación sensada es producida por fotones provenientes directamente de la fuente, dispersados en las estructuras del cabezal y en el fantoma. Las mediciones para detectar cambios de radios de campo están asociadas al factor de salida OF el cual puede ser descripto por una función de campo circular que varía con el radio de campo, profundidad, energía de irradiación y DFS. En este trabajo se realiza un estudio de las variables tamaño y forma de campo y profundidad por lo que las variables DFS y energía son consideradas fijas y por lo tanto no son denotadas. 44 Sea fc(r,d) un OFg correspondiente a un campo circular de radio r definido en superficie y generado por un sólo sistema de colimación secundaria y evaluado a profundidad d. Esta función de campo circular se puede poner como fc(r , d ) = Dc (r , d ) D (xref , yref , d ref ) ( 15) donde Dc(r,d) es la dosis a la profundidad d y correspondiente a un campo circular de radio r definido en superficie y D(xref, yref, dref) sigue siendo la dosis en condiciones de referencia. Se puede ver de la ecuación ( 15) que fc (en base a la definición de OFg) es un OFg para campo circular pero para conservar la notación de la literatura se lo refiere en este trabajo como función de campo circular. Conocidas las funciones de campo circular es posible calcular el OFg para cualquier geometría de campo aplicando el método de Clarkson, de la siguiente manera OFg ( x, y, d ) = 2 π ∫ tan −1 ( y / x ) 0 fc( x 2 , d ) dθ + 2 cos θ π ∫ tan −1 ( x / y ) 0 fc( y , d ) dθ 2 cos θ ( 16) Esta ecuación es similar a la introducida por Sanz et al [ 24, 25], pero en este trabajo se le ha incorporado la variable profundidad d. Se ve en esta ecuación que sólo se integra un cuadrante por razones de simetría, donde el primer término del lado derecho de la ecuación corresponde al sector x, y el segundo término al sector y. Los conceptos de función de campo circular y el método de integración por sectores han sido extensivamente usado pero sólo para funciones que representan la dispersión en el fantoma. En este trabajo dichos conceptos son generalizados para incluir las contribuciones para radiación primaria conjuntas a las contribuciones por radiación secundaria, pero sin separar estos componentes. La Fig. 13 representa esquemáticamente el cuadrante a integrar por el método de Clarkson. Esta figura representa el cabezal de la máquina de irradiación real visto desde el detector. 45 Fig. 13. Representación esquemática del cuadrante integrado por el método de Clarkson, con la descripción de las variables utilizadas en la integración de los sectores. La vista abierta está asociada a la fuente, los colimadores primarios, el filtro aplanador, y las cámaras monitoras. 3. Obtención de output factor generalizado (OFg) de campo circular Debido a que las máquinas de irradiación de uso clínico no generan campos circulares, fc debe ser calculada de manera indirecta. En una reciente publicación se demuestra que es posible invertir la ecuación de integración por sectores para obtener funciones de campo circular a partir de mediciones de OFg correspondientes a campos rectangulares con una de sus dimensiones elongadas al máximo y la otra variable. Dado que para este tipo de campo una sola de sus dimensiones cambia para adquirir datos, llamamos al OF asociado OFg unidimensional y al campo rectangular que lo genera, campo unidimensional. Está demostrado también que la solución de dicha ecuación existe y es única [ 24]. Se plantea a continuación un método de inversión similar al mencionado 46 para obtener la función de OFg de campo circular. Para ello se idea un campo rectangular unidimensional esquematizado a continuación: Fig. 14. Esquema del campo unidimensional, con los campos circulares utilizados para la descripción del mismo. Lmax / 2 está asociada a la dimensión de máxima elongación de campo, mientras que x / 2 está asociada a la dimensión de elongación variable. donde el círculo corresponde a la función de campo circular y el resto del campo (parte sombreada) es descripto por una función que llamamos complemento. La suma de ambas funciones es el OFg para campo unidimensional (OFg unidimensional): x OFg (x, Lmax , d ) = fc , d + Comp (x, Lmax , d ) 2 ( 17) nótese que la variable de campo y ha sido elongada al máximo. 47 Para la resolución numérica de la ecuación ( 17) se propone el siguiente esquema numérico iterativo implícito: x fc , d = OFg (x, Lmax , d ) − Comp (x, Lmax , d )( N ) 2 ( N +1) ( 18) donde N indica el orden de iteración. Nótese que Comp depende de fc y de ahí que el esquema iterativo sea implícito. La iteración puede comenzar con cualquier función de campo circular utilizada como semilla, de esta manera la ecuación ( 18) puede ponerse, x x = OFg ( x, Lmax , d ) − OFg ( x, Lmax , d )( N ) − fc , d fc , d 2 ( N +1) 2 ( N ) ( 19) donde OFg( x, Lmax, d)(N) es calculado aplicando el método de Clarkson que utiliza las funciones de campo circular fc(N) que corresponde al orden de iteración N. En el caso de N=1 esta función es la función semilla propuesta. La convergencia del método iterativo generalmente es rápida independientemente de la función semilla utilizada. Por otra parte el número de iteraciones, es decir el criterio de terminación del algoritmo de iteración está dado por la siguiente ecuación asociada al error relativo (ε) de la siguiente forma x x fc , d − fc , d 2 ( N +1) 2 ( N ) ≤ε x fc , d 2 ( N ) ( 20) Dado que x varía hasta Lmax y que el rango de fc está condicionado por el anterior y considerando que el cálculo de OFg unidimensional en el corchete de la ecuación ( 19) requiere el uso de radios asociados mayores que Lmax / 2, se propone que la función de campo circular sea lineal a partir de r = Lmax / 2. 48 4. Cálculo de PDD para campos rectangulares. Con las funciones de campo circular calculadas según se explicó anteriormente, se puede calcular el PDD para campos rectangulares aplicando la ecuación ( 14), ésto es: x 2 2 tan −1 ( y / x ) fc( , d ) dθ + π ∫ 0 π 2 cos θ PDD( x, y, d ) = −1 tan y x ( / ) x 2 2 fc( , d ref ) dθ + π ∫ 0 2 cos θ π ∫ ∫ tan −1 ( x / y ) 0 tan −1 ( x / y ) 0 y , d ) dθ 2 cos θ y fc( , d ref ) dθ 2 cos θ fc( ( 21) Debido a que el cabezal de la máquina de irradiación real posee dos sistemas secundarios de colimación caracterizados por la distancia de cada uno de ellos a la fuente (ver descripción de la máquina de irradiación), las funciones de campo circular calculadas con OFg (x, Lmax, d) será distinta a la calculada con OFg (Lmax,y, d) debido al efecto de intercambio de los colimadores (ver sección III.B.2). Trabajos anteriores [ 13, 15] establecen que el PDD de un campo rectangular es simétrico respecto de su variable de campo, es decir PDD (x, y, d) es igual a PDD (y, x, d) dentro de los límites de apreciación experimental. De esta manera si el cálculo de PDD se lleva a cabo en base a fc calculadas con OFg (x, Lmax , d) o OFg (Lmax,y, d) los PDDs serán los mismos, lo cual se muestra en el capítulo de los resultados. 49 IV. MATERIALES Y MEDICIONES A. Materiales usados A continuación se detalla el instrumental que se utilizó para llevar a cabo las mediciones que sirvieron como datos de entrada para el método de cálculo y las mediciones que se usaron como control de los resultados obtenidos de dicho método. Se explicarán las características técnicas de cada dispositivo y el criterio utilizado para la elección de cada uno de ellos. Como fuente de haz de fotones se utilizó un acelerador lineal (Linac) marca General Electric, modelo Saturne 41. Posee un máximo potencial nominal de 15 MV y es del tipo bimodal, es decir generador de haces de fotones o electrones. Los colimadores secundarios del Linac tienen la capacidad de reproducir campos de tamaños que van desde un mínimo de 2 x 2 cm2 hasta un máximo de 40 x 40 cm2, todos definidos en isocentro (a 100 cm de la fuente). La energía nominal del haz de fotones usado fue de 6 MV; se optó esta energía ya que es la menor energía de fotones disponible en este equipo y por lo tanto mayor la contribución al OF por dispersión en el fantoma. El método elegido para llevar a cabo la medición de los datos fue el ionométrico (desarrollado en la sección III.A.5), debido a que además de ser preciso es el más usado en dosimetría clínica. Para la medición del PDD se utilizaron dos cámaras de ionización iguales, una para sensar los datos de entrada, dentro del fantoma, y la otra para referencia, en el aire, para corregir fluctuaciones temporales del Linac. Las cámaras fueron del “tipo dedal” y abiertas, de marca PTW nro. 233643, de volumen activo de 0,125 cm3 y de material de paredes de Poli-Metil-Meta-Acrilato. Para integrar las corrientes producidas por las cámaras de ionización se utilizó, en el caso del OF, un electrómetro marca Keithley 35617 EBS, quien a su vez proporciona la tensión de polarización de la cámara del fantoma (300 V). Por otro lado para la medición de PDD se utilizó un electrómetro marca Multidata incorporado a una PC, la cual posee un software capaz de procesar rápidamente los datos medidos. Se escogió este electrómetro por ser de dos canales y pertenecer por otro lado al soft del sistema de adquisición de datos. El fantoma utilizado fue un recipiente de acrílico lleno de agua (se utilizó agua porque su coeficiente de atenuación es similar al de los tejidos humanos), cuyas dimensiones fueron de 50 cm de largo, 50 cm de ancho y 50 cm de alto. El fantoma posee un sistema de posicionamiento automático en tres dimensiones de la cámara de ionización. 50 De esta forma fue factible llevar a cabo el barrido en profundidad necesario para medir PDD. B. Disposición En este apartado se explica cómo se ubicaron espacialmente los distintos materiales utilizados para llevar a cabo las mediciones. De la correcta disposición de los materiales depende la exactitud de los datos medidos. La superficie del fantoma se dispuso a una distancia fija de 100 cm de la fuente para todas las mediciones debido a que con este formalismo los datos son obtenidos de una forma más directa comparado con otros formalismos como el isocéntrico. La profundidad de referencia fue de 10 cm, eligiendo esta profundidad para evitar la contaminación electrónica producida en el cabezal del equipo y el aire, y además alcanzar el equilibrio electrónico (ver sección III.A.4). Se colocó una cámara de ionización en aire y otra en fantoma para corregir fluctuaciones temporales y atmosféricas. Se niveló el fantoma para asegurar que el barrido vertical de la cámara no tenga variaciones ni corrimientos respecto al eje del haz. Se verificó además el correcto barrido horizontal respecto a los ejes de campo y que el haz incida perpendicularmente a la superficie del fantoma. Para la medición del OF se posicionó la cámara a 10 cm de profundidad y se fue variando la apertura de los colimadores con cada disparo, mientras que para la medición de PDD la cámara era movida paso a paso por el sistema de dosimetría del fantoma desde la superficie hasta 30 cm de profundidad para una misma apertura de los colimadores. C. Método El método utilizó como dato de entrada el OF y el PDD para campos unidimensionales en base a los cuales se obtuvo el OF generalizado de campo unidimensional, este último fue utilizado para calcular el OF generalizado de campo circular. Una vez obtenido éste, aplicando el método de Clarkson se calculó la distribución relativa de dosis en profundidad para cualquier forma y tamaño de campo. El procedimiento que se llevó a cabo para medir los datos de entrada es detallado a continuación. Primero se realizó un disparo de diez minutos con fotones de 6 MV para el calentamiento y estabilización del acelerador lineal. Una vez que el equipo estuvo en 51 condiciones de irradiar se realizaron disparos de prueba para analizar la precisión de la medición del OF y el PDD. Para la medición del PDD se realizaron cinco disparos de prueba para un mismo campo cuadrado y la reproducibilidad resultante de la comparación entre ellos fue del 0,4%. Cabe aclarar que esta afirmación es válida para datos medidos fuera de la zona de “buildup”. Como se explica más adelante, la reproducibilidad en la zona de “buildup” no fue mayor al 10 % debido al alto gradiente de dosis en esa zona. La medición de PDD constó de dos partes, por un lado se midieron los PDD de campo unidimensional utilizados como dato de entrada del método de cálculo y por otro lado se midieron PDD de campos cuadrados y rectangulares para validar el PDD calculado. Para la medición de PDD de campo unidimensional se procedió variando primero la apertura del colimador x de 4 a 10 cm, 10 a 20 cm y 20 a 40 cm en pasos de 1, 2 y 4 cm respectivamente y luego se repitió este procedimiento variando la apertura del colimador y. La medición de cada campo unidimensional se llevó a cabo por medio del sistema de dosimetría automático desde la superficie del mismo hasta los 4 cm de profundidad con un paso de 0.2 cm, y desde los 4 cm hasta los 30 cm de profundidad con pasos de 2 cm. El PDD de control se midió para campo cuadrado de 4 x 4, 7 x 7, 10 x 10, 20 x 20 y 40 x 40 cm2 y campos rectangulares combinando los lados de campo para 4, 7, 10, 20 y 40 cm. La medición de los campos se llevó a cabo barriendo las mismas profundidades que en el caso del PDD unidimensional. Se tuvo en cuenta la repetitividad del posicionamiento de los motores paso a paso del sistema de dosimetría que según las especificaciones del instrumento es de ± 0,05 cm. Esto produce una incerteza en la medición por posicionamiento proporcional al gradiente de PDD. Es por ello que este error se tuvo en cuenta en la zona de “buildup” donde el gradiente es elevado alcanzando en los casos más desfavorables un error de ± 10 %. Para la medición del OF se realizaron cinco disparos para un mismo campo cuadrado a una profundidad de 10 cm y se pudo ver que la reproducibilidad fue de ± 0,3%. El tamaño de los campos unidimensionales medidos fue el mismo que para el caso de PDD unidimensional. Todos los datos medidos de PDD y OF fueron almacenados en tablas de Excel para facilitar su posterior manipulación y procesado. 52 V. RESULTADOS A. Obtención de los datos de entrada Para llevar cabo los cálculos fue necesaria la medición de OF y PDD para campos unidimensionales para ser usados como datos de entrada. Las condiciones bajo las cuales se llevaron a cabo estas mediciones se detallaron en la sección IV. Respecto al PDD de campo unidimensional se puede ver en la Fig. 15 que los perfiles de las curvas se comportan de acuerdo a lo descripto en la teoría de PDD (ver sección III.B.1) en lo referido a su dependencia con el tamaño o área de campo. Fig. 15. PDD medido para una energía de 6 MV y una DFS de 100 cm. Los cuadrados son valores de PDD medidos para un tamaño de campo de 40 x 4 cm2 y los círculos corresponden a valores de PDD medidos para un tamaño de campo de 40 x 40 cm2. En esta figura se puede observar cómo la pendiente de la curva de PDD disminuye con el aumento de tamaño de campo, ésto se debe a que el mismo produce un incremento en la contribución de fotones dispersados en fantoma y por lo tanto más alcance en profundidad. Por otro lado, como ya se mencionó en la sección III.B.1, el PDD es una función que a primera aproximación es independiente de la distancia entre el sistema de colimación y la fuente, es decir no tiene en cuenta el efecto de intercambio de los 53 colimadores. Esta propiedad se ve en la Fig. 16 en la cual se compararon dos curvas de PDD medidas para campo unidimensional. La máxima diferencia en este caso es del 3,9 % y se produce a una profundidad de 0,2 cm, es decir en la zona de “buildup”, mientras que la máxima diferencia en la región de equilibrio electrónico transiente es del 1 %. Fig. 16. PDD medido para una energía de 6 MV y una DFS de 100 cm. Los círculos oscuros están asociados a un campo definido por el sistema de colimación y, mientras que los círculos vacíos están asociados a un campo definido por el sistema de colimación x. Lmax corresponde a un lado de 40 cm mientras que x e y corresponden a un lado de 4 cm. Se puede apreciar en las curvas que el PDD (x, Lmax , d) es prácticamente igual a PDD (Lmax, y, d) si el valor de x es igual a y. Como se mencionó anteriormente, la diferencia más acentuada se puede apreciar en la zona de “buildup” y si bien esta diferencia es notable puede ser atribuida a electrones contaminantes (ver sección III.A.4) e incertezas propias del posicionamiento de la cámara de ionización (ver sección IV.C). Luego se analizó el comportamiento de las curvas de OF de campos unidimensionales. Observando la Fig. 17 se puede apreciar que el OF aumenta con el tamaño de campo tal como lo predice la teoría del mismo (ver sección III.B.2). También se puede ver que la diferencia entre la curva de OF (x, Lmax) y la curva de OF (Lmax , y) se debe al efecto de intercambio de los colimadores. 54 Fig. 17. OF medidos para una energía de 6 MV y una DFS de 100 cm y profundidad de 10 cm. Los círculos están asociados a un campo definido por es sistema de colimación y, mientras que los triángulos están asociados a un campo definido por sistema de colimación x. Lmax corresponde a un lado de 40 cm. Fig. 18. Curva de OFg (y, Lmax, d) para una profundidad de 10 cm formada al ajustar los datos medidos al polinomio de quinto orden. Los círculos corresponden a datos de OFg medido, mientras que la línea representa el polinomio elegido para llevar a cabo el ajuste. Luego de analizar el comportamiento de PDD y OF medidos se procedió al cálculo de OF generalizado para campos unidimensionales. Este se obtiene multiplicando el OF y el PDD para un campo dado de acuerdo a la ecuación ( 13). Los datos de OFg de campos 55 unidimensionales fueron ajustados utilizando polinomios de quinto orden, con el objetivo de disponer de datos para cualquier tamaño de campo unidimensional y así facilitar el manipuleo de datos de entrada. La Fig. 18 muestra un ejemplo de ajuste como el mencionado. B. Cálculo de los OFg de campo circular De acuerdo a los conceptos descriptos en la sección III.C.3, el OF de campo circular puede ser calculado por medio de un algoritmo iterativo que utiliza como dato de entrada OF generalizados unidimensionales medidos. La aplicación de dicho método necesita de una función semilla para empezar la iteración, para lo cual se utilizó una función de campo circular cualquiera. La ejecución del algoritmo iterativo requirió de un programa de cálculo para su aplicación, el cual se elaboró en Visual Basic y se ejecutó como una macro desde Excel. El código del programa de cálculo es detallado en la sección VIII.B. Respecto a la convergencia del método, fueron necesarias quince iteraciones en la mayoría de los casos para cumplir con el criterio de terminación. Este último está asociado al error relativo entre valores iterados, tal como lo muestra la ecuación ( 20), y fue establecido en ε = 10-4. Se vió además que introduciendo como semilla cualquier función de campo circular la convergencia se alcanzaba rápidamente. Antes de continuar cabe aclarar que por conveniencia el OFg de campo circular calculado utilizando como dato de entrada OFg (x, Lmax , d) se lo refiere a partir de aquí como fcx, mientras que para el caso de OFg correspondiente al sistema de colimación y se lo refiere como fcy. Se analizó el comportamiento de los OFg de campo circular respecto al sistema de colimación utilizado para obtenerlo. Para ello se compararon los fcx con los fcy para todas las profundidades. Los resultados de los OFg de campos circulares para profundidad de 10 cm se muestran en la Fig. 19. Los datos de entrada para el cálculo de este ejemplo corresponden a los representados en la Fig. 17. Similares resultados fueron obtenidos a otras profundidades. Las diferencias entre las curvas de las fcx e fcy apreciadas en la Fig. 19 se debieron al efecto de intercambio de los colimadores x e y y responden cualitativamente a las diferencias observadas en los respectivos OFg unidimensionales. Los valores de fc con radio mayor a Lmax / 2 fueron extrapolados linealmente. 56 Fig. 19. OFg de campo circular para una profundidad de 10 cm. La línea llena está asociada a un campo definido por el sistema de colimación y, mientras que la línea de puntos está asociada a un campo definido por el sistema de colimación x. C. Cálculo de OFg para distintos tamaños de campo El OFg para campos rectangulares fue calculado integrando los OFg de campo circular por medio de la ecuación ( 16). Se compararon distintos OFg de campo unidimensional calculados utilizando fcx y fcy, y se pudo ver como la dependencia de los OFg de campos circulares con el sistema de colimación usado es reflejada en las funciones comparadas. La Fig. 20 muestra un ejemplo de este análisis para dos OFg de campo unidimensional calculados para una profundidad de 20 cm, en la figura se puede apreciar el efecto de intercambio de los colimadores. Por otro lado se analizó el comportamiento de las curvas de OFg unidimensional con la profundidad, las cuales se normalizaron a un campo unidimensional de 10 x 40 cm2 para una mejor visualización. Se puede ver en la Fig. 21 que a medida que la profundidad se incrementa la pendiente de las curvas aumenta, con lo que se deduce que a mayor profundidad el OFg es más sensible al aumento de tamaño del campo debido a que hay más contribución de radiación secundaria. Esta función contiene toda la información de dispersión en el cabezal, aire y fantoma, como se explica en el método descripto en la sección III.C.2, haciendo innecesarios los métodos que involucran la medición en aire. De esta manera se calcularon los OFg para cualquier geometría de campo rectangular y cualquier profundidad. 57 Al igual que los cálculos anteriores, éstos se hicieron en un programa diseñado en Visual Basic y ejecutado como macro desde Excel. Los códigos y operaciones de dicho programa se detallan en la sección VIII.A. Fig. 20. Ilustra el OFg unidimensional para el colimador x e y para una profundidad de 20 cm. La línea con círculos oscuros está asociada a un campo definido por el sistema de colimación x, mientras que la línea con círculos vacío está asociada a un campo definido por el sistema de colimación y. Fig. 21. Ilustra el OFg unidimensional para distintas profundidades y normalizados a un campo de 10 x 40 cm2. La unidad de las profundidades expresadas en la gráfica es cm. 58 D. Cálculo de PDD para diferentes tamaños de campos rectangulares En este apartado se muestran y analizan los resultados de interés que fueron adquiridos de la implementación del método de cálculo. Se utilizaron para el análisis datos de PDD calculados y datos de PDD de control (medidos) de campos rectangulares y cuadrados, los que son detallados en la sección IV.C. Los datos de OF generalizado calculados fueron utilizados para calcular el PDD por medio de la ecuación ( 14), para luego ser tabulados y analizados con el fin de evaluar la exactitud del PDD calculado, y con ello el método de cálculo. Se compararon las tablas de PDDx y PDDy (calculados con fcx y fcy respectivamente) con la tabla de PDD de control. El campo que produjo la máxima diferencia para cada caso es mostrado en la Tabla 1. Se puede apreciar en dicha tabla los valores de PDD calculados, PDD de control y la diferencia relativa porcentual entre cada uno de ellos para el tamaño de campo que produjo la máxima diferencia. Esta última fue del 8,4 % en el caso de la comparación de PDDx con el PDD de control y del 3,9 % para PDDy con PDD de control. Estos valores están resaltados en la Tabla 1. Se puede ver además que la máxima diferencia en todos los casos ocurre en la zona de “buildup” (definida entre la superficie y una profundidad de 1,4 cm) y más específicamente a una profundidad de 0,2 cm. Una causa importante por la que la máxima diferencia ocurra en esta profundidad podría ser la contaminación electrónica, la cual, como fue demostrada en recientes trabajos, genera una considerable contribución (20 % en los peores casos) en las lecturas medidas en la zona de “buildup” [ 16]. Las curvas que describen el comportamiento del PDDx y el PDDy, cuyos valores están en la Tabla 1, son comparadas con la curva de PDD de control en la Fig. 22 y Fig. 23. Para poder notar mejor las diferencias entre datos medidos y datos calculados sólo se graficó la curva para profundidades correspondientes a la zona de “buildup”. Como se puede apreciar en las Fig. 22 y Fig. 23, la zona de “buildup” posee un alto gradiente de PDD. Esto hizo que en esta zona el error por posicionamiento (asociado a la reproducibilidad del posicionamiento del sistema de dosimetría automático) sea importante y como consecuencia deba ser tenido en cuenta. Del análisis de todas las curvas se pudo estimar que en esta zona el error producido por incerteza propias de posicionamiento de la cámara en el peor de los casos fue de ± 10 %, lo que es compatible con las diferencias en la zona de “buildup” entre los datos calculados y de control [8,4 %]. En las Fig. 24 y Fig. 25 se muestran las curvas de PDD medido ± el error cometido por incertezas propias del posicionamiento de la cámara comparadas con el PDD calculado que más diferencia 59 produjera en la zona de “buildup”. Este error se puede calcular considerando el producto de la derivada del PDD con la incerteza de posicionamiento que es ± 0,05 cm. Fig. 22. Los valores de PDD graficados corresponden a un campo de 7 x 4 cm2, los valores con los que se han hecho las curvas se encuentran en la Tabla 1. El PDD ha sido calculado utilizando fcx. La línea con círculos está asociada a valores calculados, mientras que los rombos están asociados a los valores medidos. Fig. 23. Los valores de PDD graficados corresponden a un campo de 4 x 40 cm2, los valores con los que se han hecho las curvas se encuentran en la Tabla 1. El PDD ha sido calculado utilizando fcy. La línea con círculos está asociada a valores calculados, mientras que los rombos están asociados a los valores medidos. 60 Profundidad Máxima (cm) diferencia [%] 0,0 3,4 0,2 8,4 0,4 4,4 0,6 3,0 0,8 1,4 1,0 0,8 1,2 0,7 1,4 0,6 1,6 0,6 1,8 0,5 2,0 0,7 2,2 0,8 2,4 0,9 2,6 0,6 2,8 0,5 3,0 0,5 3,2 0,7 3,4 0,4 3,6 0,5 3,8 0,6 4,0 0,6 6,0 0,6 8,0 0,6 10,0 0,0 12,0 0,7 14,0 0,8 16,0 0,9 18,0 1,1 20,0 0,8 22,0 1,0 24,0 0,6 26,0 1,2 28,0 0,9 30,0 0,8 PDDx PDD med PDD cal 7x4 7x4 0,703 0,800 1,127 1,337 1,445 1,505 1,542 1,558 1,561 1,556 1,541 1,526 1,516 1,505 1,488 1,476 1,460 1,449 1,428 1,409 1,400 1,254 1,121 1,000 0,889 0,789 0,700 0,625 0,558 0,497 0,443 0,395 0,353 0,317 0,716 0,867 1,171 1,361 1,460 1,516 1,550 1,564 1,564 1,559 1,549 1,538 1,527 1,511 1,492 1,475 1,458 1,444 1,428 1,417 1,400 1,256 1,121 1,000 0,891 0,790 0,700 0,621 0,555 0,495 0,442 0,393 0,352 0,318 Diferencia [%] 1,9 8,4 3,9 1,8 1,0 0,7 0,5 0,3 0,2 0,2 0,5 0,8 0,7 0,4 0,3 0,1 0,1 0,3 0,0 0,6 0,0 0,2 0,0 0,0 0,2 0,2 0,1 0,5 0,5 0,5 0,1 0,4 0,2 0,1 Máxima diferencia [%] 2,0 3,9 3,0 1,6 1,1 0,8 0,6 0,8 0,9 0,8 0,7 0,8 0,8 1,1 0,7 0,7 0,4 0,3 0,9 0,9 0,5 0,9 0,6 0,0 0,7 0,5 0,6 0,8 0,5 0,5 0,6 0,7 1,0 0,5 PDDy PDD med PDD cal 4x40 4x40 0,755 0,897 1,179 1,363 1,450 1,493 1,524 1,534 1,535 1,530 1,523 1,510 1,498 1,483 1,464 1,450 1,434 1,421 1,407 1,397 1,381 1,246 1,117 1,000 0,897 0,802 0,715 0,638 0,571 0,512 0,460 0,414 0,371 0,334 Diferencia [%] 0,739 0,862 1,144 1,344 1,440 1,492 1,518 1,535 1,534 1,524 1,512 1,505 1,492 1,481 1,462 1,447 1,434 1,422 1,412 1,396 1,379 1,243 1,118 1,000 0,891 0,801 0,715 0,639 0,571 0,512 0,460 0,411 0,369 0,333 2,0 3,9 3,0 1,4 0,7 0,1 0,4 0,0 0,1 0,4 0,7 0,3 0,4 0,2 0,2 0,2 0,0 0,1 0,3 0,0 0,2 0,3 0,1 0,0 0,7 0,1 0,0 0,2 0,0 0,1 0,1 0,7 0,5 0,3 Tabla 1. Los valores de PDD corresponden a una energía de 6 MV y una DFS de 100 cm, además los mismos han sido divididos en cien por simplicidad. Los PDD que se encuentran en la tabla corresponden a aquellos campos que produjeron mayor diferencia porcentual relativa en la comparación, la cual también es tabulada. La unidad en la cual se expresan los tamaños de campo es cm2. PDD cal es el PDD calculado por nuestro método y PDD med es el PDD medido o de control. La segunda y la sexta columnas muestran la máxima diferencia que existe entre el PDD medido y el calculado para todos los campos y barriendo todas las profundidades. La región sombreada representa la zona de “buildup” y la no-sombreada es la zona de equilibrio electrónico transiente. 61 Nótese a partir de las Fig. 24 y Fig. 25 que las mayores diferencias corresponden a la zona de mayor derivada. Fig. 24. Los valores de PDD calculado y medidos son los mismos que los de la Fig. 22. Los cuadrados y los triángulos están asociados al PDD medido con error de posicionamiento (ver sección IV.C). Fig. 25. Los valores de PDD calculado y medidos son los mismos que los de la Fig. 23. Los cuadrados y los triángulos están asociados al PDD medido con error de posicionamiento (ver sección IV.C). 62 En las Fig. 24 y Fig. 25 puede observarse que la curva de PDD calculado está prácticamente envuelta por las curvas que describen el PDD medido±el error por incertezas del posicionamiento. Esto último sumado a los errores asociados a la contaminación electrónica justifican en cierta medida que el modelo sea capaz de predecir PDD en la zona de “buildup” con un cierto grado de aceptación. Luego de analizar la respuesta del método de cálculo en la zona de “buildup”, se hizo lo mismo para la zona de equilibrio electrónico transiente (ver sección III.A.4). De las comparaciones entre PDDx, PDDy con los PDD de control correspondientes para profundidades mayores a 1,4 cm se ve que para ambos casos la máxima diferencia fue del 1,1 %. Si bien la literatura afirma que la contaminación electrónica en el caso de fotones de 6 MV no tiene efecto a partir de 3 cm de profundidad, se puede ver que la diferencia máxima no varía si el análisis se hace a partir de esta última profundidad. Esto se debe a que luego de la zona de “buildup” la contribución por electrones contaminantes no es importante. Las curvas que describen el comportamiento del PDDx y el PDDy, cuyos valores están en la Tabla 1, fueron comparadas con la curva de PDD de control tal como lo muestran las Fig. 26 y Fig. 27. En estas gráficas se puede apreciar como los datos de PDD calculado se corresponden en casi todos los puntos con los datos de PDD medido. Como se puede observar en las Fig. 26 y Fig. 27 el gradiente de las curvas de PDD es bajo comparado con el correspondiente a la zona de “buildup” y como consecuencia el error por posicionamiento también lo es. A pesar de esto último, dicho error debió ser analizado ya que la exactitud con la que predice PDD el método de cálculo en esta zona es alta. Luego de estudiar todas las curvas de PDD, se determinó que el máximo error producido por mal posicionamiento de la cámara fue de 0,4 %, esta pequeña diferencia hace que una gráfica donde se compare la curva de PDD calculado con la curva de PDD±error por posicionamiento no sea significativa (a diferencia de la zona de “buildup”) y es por ello que la misma no es mostrada. Por otra parte además de considerarse el error por posicionamiento en la zona de equilibrio electrónico transiente, debe considerarse lo dicho en la sección IV.C respecto a la reproducibilidad. Como ya se expuso existe una dispersión entre lectura y lectura la cual fue calculada antes de comenzar la medición de PDD y OF, la misma fue de 0,4 % y 0,3 % respectivamente. A todos estos errores intrínsecos de medición (error por posicionamiento y dispersión entre lecturas) debe agregarse el error del método numérico, es decir la consistencia numérica del método de cálculo que es de 0,2% [ 25]. Si bien los errores mencionados no pueden ser sumados directamente, su contribución total justifica el error del método de cálculo, con lo que se 63 prueba su consistencia. Por ello se puede afirmar que el método calcula PDD para campos rectangulares con un alto grado de precisión en la zona de equilibrio transiente. Fig. 26. Los valores de PDD graficados corresponden a un campo de 7 x 4cm2, estos valores se encuentran en la Tabla 1. El PDD ha sido calculado utilizando fcx. La línea con círculos oscuros está asociada a valores calculados, mientras que los círculos vacíos están asociados a los valores medidos. Fig. 27. Los valores de PDD graficados corresponden a un campo de 4 x 40 cm2, estos valores se encuentran en la Tabla 1. El PDD ha sido calculado utilizando fcy. La línea con círculos oscuros está asociada a valores calculados, mientras que los círculos vacíos están asociados a los valores medidos. 64 Habiendo comprobado experimentalmente la consistencia del método de cálculo, se procedió a analizar el comportamiento del PDD calculado respecto al OFg de campo circular utilizado (fcx o fcy). Como ya fue visto en la sección III.B.1 el PDD es una función que tiene la propiedad de no depender de la distancia entre el sistema de colimación y la fuente, es decir que es independiente del efecto de intercambio de los colimadores. Esta aseveración fue luego comprobada experimentalmente en la sección V.A, donde se compararon dos PDD medidos de igual campo pero definidos por distintos sistemas de colimación. En la Fig. 28 se compararon dos curvas de PDD para el mismo campo pero utilizando distintos OFg de campo circular (fcx y fcy) y se pudo apreciar que ambas curvas son coincidentes por lo que se demuestra lo dicho respecto a las características del PDD calculado. Las diferencias se observan en la zona de “buildup” donde como ya se mencionó los errores son en gran parte debidos a la contaminación electrónica y errores intrínsecos de la medición. La máxima diferencia en esta zona es del 4,3 % y se produce a una profundidad de 0,2 cm y la máxima diferencia en la región de equilibrio electrónico transiente es del 0,6 %. Fig. 28. Comparación de dos PDD calculados utilizando distintas OFg de campo circular. Los rombos están asociados a campos definidos por el sistema de colimación y, mientras que los cuadrados están asociados a campos definidos por el sistema de colimación x. 65 E. Comparación con métodos alternativos Como se mostró en la sección anterior nuestro método de cálculo es una potente herramienta para determinar el PDD para cualquier geometría de campo rectangular y profundidad, en especial en la zona de equilibrio electrónico transiente. Otros métodos como la tabla del BJR y la regla del área sobre el perímetro (A/P) fueron concebidos para calcular el PDD para diferentes tamaños de campo sólo en la zona de equilibrio electrónico transiente. Los parámetros elegidos para la función SAR que ocupa la tabla del BJR, fueron estimados para haces de fotones de Co60 (1,25 MeV) y una profundidad fija de 10 cm. La regla del A/P en un principio también se creo para energías de Co60 generalizándose posteriormente su uso para otros rangos de energía. Para comprobar la efectividad de estos métodos en aceleradores lineales con haces de fotones de energías superior a Co60 es necesario realizar mediciones de control para todos los tamaños y geometrías de campo y profundidades, lo que es poco práctico. Considerando que el método desarrollado en este trabajo tiene una capacidad predictiva con errores menores al 1% y además utiliza un número menor de mediciones en fantoma (lo cual insume menor tiempo de adquisición), es que nuestro método se utilizó para validar otros métodos de uso diario en la práctica clínica como son la tabla de cuadrados equivalentes del BJR y la regla del A/P. La validación consistió en calcular con nuestro método el PDD para campos cuadrados equivalentes obtenidos aplicando la tabla del BJR o la regla del A/P a campos rectangulares de interés. Como mencionamos anteriormente la tabla del BJR y la regla del A/P no predicen con exactitud los valores de PDD para profundidades en la zona de “buildup”, por ello sólo se comparó con profundidades mayores a esta zona. Al realizar las comparaciones entre los valores de PDD de campos rectangulares y los valores de PDD de los campos cuadrados equivalentes obtenidos de la tabla del BJR o la regla del A/P, se vió que las diferencias entre ellos se acentúan al tratar de predecir campos rectangulares cuya relación de elongación Lado mayor/Lado menor sea igual o mayor que cuatro y más aún para profundidades superiores a 20 cm. En la Tabla 2 se puede observar que las diferencias para estos casos alcanzan hasta un 2,1% para la tabla del BJR lo cual es acorde a lo publicado en el suplemento 25º del BJR, y del 1,4 % para la regla de A/P semejante a resultados de una publicación reciente [ 20]. También se puede observar en la Fig. 29 como se separan las curvas de PDD a medida que incrementa la profundidad dando como resultado las mismas conclusiones obtenidas anteriormente. 66 Profundidad (cm) 1,6 1,8 2 2,2 2,4 2,6 2,8 3 3,2 3,4 3,6 3,8 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 4x20 BJR 0,1 0,1 0,3 0,0 0,3 0,3 0,1 0,1 0,0 0,0 0,3 0,3 0,2 0,4 0,3 0,0 0,1 0,5 0,4 0,1 0,2 0,7 1,0 0,8 0,8 0,8 A/P 0,1 0,1 0,3 0,0 0,2 0,2 0,0 0,1 0,1 0,1 0,2 0,3 0,1 0,4 0,3 0,0 0,1 0,5 0,4 0,2 0,3 0,7 1,0 0,8 0,8 0,8 BJR 0,1 0,2 0,4 0,1 0,3 0,4 0,1 0,2 0,1 0,1 0,3 0,3 0,1 0,4 0,2 0,0 0,2 0,7 0,7 0,5 0,7 1,2 1,7 1,5 1,5 1,7 Error Relativo (%) 4x40 7x40 A/P BJR A/P 0,4 0,0 0,8 0,1 0,1 0,7 0,1 0,1 0,7 0,4 0,1 0,9 0,6 0,1 0,8 0,7 0,1 0,8 0,3 0,1 0,6 0,1 0,2 0,5 0,1 0,2 0,5 0,2 0,0 0,7 0,6 0,2 0,8 0,6 0,2 0,7 0,4 0,0 0,5 0,3 0,2 0,3 0,1 0,0 0,4 0,0 0,0 0,0 0,3 0,1 0,3 0,6 0,4 0,1 0,5 0,6 0,0 0,3 0,8 0,2 0,4 0,9 0,2 0,9 0,2 1,2 0,4 1,4 1,5 0,4 1,2 1,6 0,5 1,1 1,7 0,9 1,3 2,1 10x40 BJR 0,2 0,1 0,0 0,1 0,1 0,0 0,2 0,2 0,3 0,1 0,0 0,1 0,2 0,0 0,2 0,0 0,0 0,2 0,5 0,9 1,1 1,0 1,3 1,5 1,6 2,1 A/P 0,6 0,6 0,8 0,9 0,7 0,8 0,6 0,5 0,4 0,6 0,5 0,5 0,3 0,5 0,6 0,0 0,2 0,3 0,1 0,2 0,1 0,2 0,0 0,1 0,0 0,3 Tabla 2. Los valores tabulados corresponden a los errores relativos producidos entre PDD calculados para campos rectangulares, comparados con PDD calculados para campos cuadrados equivalentes a dichos campos rectangulares. Los campos cuadrados equivalentes surgieron de la tabla del BJR y de la regla A/P. La unidad en que están expresados los valores de tamaño de campo es cm2. 67 Fig. 29. La línea con triángulos representa al PDD calculado para un campo rectangular de 10 x 40 cm2, la línea con cuadrados representa al PDD calculado para el campo cuadrado de 14,1 x 14,1 cm2 (equivalente al campo rectangular de 10 x 40 cm2 y obtenido de la tabla del BJR) y la línea con rombos representa al PDD calculado para el campo cuadrado 16 x 16 cm2 (equivalente al campo rectangular de 10 x 40 cm2 y calculado con la regla A/P). 68 VI. DISCUSIONES Un nuevo método de cálculo de PDD para campos rectangulares fue desarrollado en este trabajo. Este método se caracteriza por utilizar como datos de entrada PDD y OF de campos unidimensionales (campos rectangulares con una de sus dimensiones elongadas al máximo y la otra variable). Es decir que todas las mediciones fueron hechas en fantoma lo cual ya representa una ventaja debido a las complicaciones que trae asociada la medición en aire para fotones de alta energía. Las herramientas que utiliza este método son la inversa de la ecuación de integración por sectores y el método de Clarkson aplicado a factores de salida de campo circular (fc). Este último método fue recientemente validado por primeros principios [ 25]. El método de inversa de la ecuación de integración por sectores lleva a cabo el cálculo por medio de un algoritmo iterativo que utiliza como datos de entrada las mediciones (OFg) y como función semilla cualquier función de campo circular. Se encontró que el algoritmo de iteración tiene una rápida convergencia independientemente de la función semilla utilizada. El orden de iteración para el criterio elegido generalmente es menor a 15, por lo que al ser ejecutado dicho algoritmo en una PC el tiempo de cálculo de las funciones de campo circular es de unos pocos minutos. Una vez conseguido las fc, éstas fueron integradas por el método de Clarkson para el cálculo de los OFg de campos rectangulares. Con éstos y aplicando la ecuación ( 14) se obtuvo el PDD para cualquier campo rectangular. El programa de cálculo de OFg que lleva a cabo la integración de los sectores asociados a las fc tiene como variables los lados de campo, la profundidad y el número de sectores angulares. Se encontró que para más de 100 sectores angulares los resultados prácticamente no varían, por lo que se eligió esta cifra para ejecutar el programa de cálculo de OFg. Ello hizo que el cálculo del PDD para cada campo sea aproximadamente de unos pocos segundos. Para analizar la exactitud del PDD calculado, los resultados fueron comparados con datos de PDD de control (medidos). Se pudo apreciar en la zona de “buildup” que si bien la máxima diferencia entre los datos calculados y los datos medidos es de 8,4 %, los errores intrínsecos de la medición fueron altos ya que sólo el error por posicionamiento alcanza en algunos casos el 10 % en esta zona. Si además se tiene en cuenta la contaminación electrónica que en esta zona es alta se podría pensar que la diferencia entre los cálculos y las mediciones en la zona de “buildup” es debida en gran parte a factores ajenos al método de cálculo. Respecto a la zona de equilibrio transiente las diferencias 69 apreciadas entre los datos de PDD calculado y los datos de PDD de control fueron menores al 1,1 %. Si sólo analizáramos este resultado como error intrínseco del método, su uso ya estaría justificado. Pero además debe tenerse en cuenta que los errores intrínsecos de la medición fueron del orden del 1 %. Es decir que si la medición hubiera sido llevada a cabo con una mayor precisión, las diferencias entre los datos medidos y los calculados serían aun menores. Para evaluar la independencia del PDD calculado respecto al sistema de colimación (distal o proximal) utilizado, se compararon datos de PDD calculado en base a fcx con los de datos de PDD calculado en base a fcy. Los resultados de dicha comparación mostraron que las diferencias no son significativas por lo que el PDD puede ser calculado con cualquiera de las dos funciones (fcx o fcy). Finalmente los resultados favorables obtenidos de la evaluación del método de cálculo fundamentan empíricamente su consistencia para predecir PDDs de campos rectangulares. Debido a esto último el método puede ser utilizado para analizar el comportamiento en el acelerador lineal Saturne 41 (el mismo que se utilizó en la medición) de otros métodos alternativos que predicen PDD de campos rectangulares tales como la tabla del BJR y de la regla A/P. Los métodos alternativos son muy utilizados en la práctica clínica rutinaria ya que han demostrado una precisión aceptable aunque, a diferencia de nuestro método, no han sido validados por primeros principios [ 26]. Los resultados de la evaluación de los métodos alternativos muestran que debe ponerse especial atención cuando se trata de predecir PDD de campos rectangulares para profundidades mayores a 20 cm. Para estos casos el error producido por la tabla del BJR fue del 2 % y del 1,4 % para el caso de la regla A/P, estos valores son cuestionables si se pretende llevar a cabo cálculos dosimétricos bajo las condiciones de garantía de calidad que exigen los protocolos de radioterapia moderna. 70 VII. CONCLUSIONES Como se vió en los resultados y se discutió anteriormente este nuevo método de cálculo predice valores de PDD con errores menores al 1 % en la zona de equilibrio electrónico transiente. En la zona de “buildup” las diferencias aisladas encontradas pueden ser justificadas por errores de incertezas propias del posicionamiento de la cámara al realizar las mediciones en esta zona. El hecho de realizar las mediciones para una sola dimensión ya sea x o y, debido a que la función PDD cancela el efecto de intercambio de los colimadores, facilita el trabajo de obtención de datos de entrada. Considerando la precisión del método y practicidad con que se obtienen los datos de entrada, éste puede ser utilizado en el cálculo de PDD para diferentes tamaños y formas de campo. También puede ser utilizado, como se vió en la sección V.E, para validar métodos alternativos tales como la tabla del BJR y la regla del área sobre perímetro. El formalismo desarrollado en este trabajo introduce un nuevo concepto que evita separar radiación primaria de la secundaria para calcular PDD para cualquier campo rectangular, incorporando en esta función toda la información necesaria de dispersión en el cabezal y en el fantoma. Este concepto no ha sido utilizado hasta el momento por otros formalismos, lo que hace que el método sea innovador en el área de la física médica. Estos resultados alentadores abren las puertas a una nueva línea de trabajo no explorada hasta el momento, en la cual quedan puntos a desarrollar tales como: • Generalizar el método para todas las DFS de uso clínico. • Estudiar el método para cualquier geometría de campo irregular generadas por bloques o colimadores multihoja. • Analizar la aplicabilidad de puntos fuera de eje central • Optimizar el programa de cálculo ya sea mejorándolo en el mismo Visual Basic o en otro lenguaje. • Creación de una interface entre el fantoma Multidata y una PC • Debido a que en la actualidad existen planificadores para el cálculo de distribución de dosis con un alto grado de precisión (pencil beam [ 1] y MC), es necesario la utilización de algoritmos sencillos que validen los cálculos de los planificadores. Este método puede ser usado para tales fines generalizando el cálculo de PDD para todas las DFS. • Otra alternativa para este nuevo método de cálculo es elaborar tablas de cuadrados equivalentes de la misma forma en que lo hace la tabla del BJR con la función SAR 71 pero con la innovación de no separar radiación primaria de secundaria y además para distintas profundidades. 72 VIII. APÉNDICE A. Código Visual Basic para el cálculo del OFg para campo rectangular 'Cálculo del output factor generalizado en base a fc Function of(xc, yc, indice, ndisc) 'Indice es la profundidad y 'ndisc el nro de sectores angulares fcof = Range("comienzo:final") 'Localiza la tabla de OFg de 'campo circular. ang1 = Atn(yc / xc) 'ang1 es el ángulo del límite superior 'del sector x. ang2 = 3.141592 / 2 dtita1 = ang1 / ndisc 'diferencial tita del sector x en 'ecuación 14. dtita2 = (ang2 - ang1) / ndisc 'diferencial tita del sector y en la 'ecuación 14. 'integración del primer sector (x) sum1 = 0 inicial = inter(xc / 2, indice, fcof) / 2 'Calcula la contribución del 'primer sector angular de la int final = inter(xc / 2 / Cos(ang1), indice, fcof) / 2 'Calcula la contribución del 'último sector angular de la integración. For i = 1 To (ndisc - 1) 'Lleva a cabo la suma del resto de tita1 = dtita1 * i 'los sectores angulares. r = xc / 2 / Cos(tita1) sum1 = sum1 + inter(r, indice, fcof) Next i sum1 = sum1 + inicial + final 'Suma la contribución de todos los 'sectores angulares ya calculados. sum1 = sum1 * dtita1 'integración del segundo sector (y) sum2 = 0 inicial = inter(yc / 2 / Sin(ang1), indice, fcof) / 2 final = inter(yc / 2, indice, fcof) / 2 For i = 1 To (ndisc - 1) tita2 = tita1 + dtita2 * i r = yc / 2 / Sin(tita2) sum2 = sum2 + inter(r, indice, fcof) 73 Next i sum2 = sum2 + inicial + final sum2 = sum2 * dtita2 of = (sum1 + sum2) * 2 / 3.141592 'of es el OFg calculado End Function '************ Función de interpolación ************* ' u_f valor de entrada a interpolar en las filas (radios) ' c valor de entrada a interpolar en las columnas (profundidades) ' TDE Tabla de OFg de campo circular Dim TDE As Range Function inter(u_f, c, TDE) n = 2 m = 2 'Inicializa la celda para comenzar la 'interpolación bidimensional. ' Selección de la profundidad a usar If c < TDE(1, n) Then inter = "Fuera de Rango" Exit Function End If Do While c > TDE(1, n) n = n + 1 If IsEmpty(TDE(1, n)) Then inter = "Fuera de Rango" Exit Function End If Loop 'Selección del radio a usar If u_f < TDE(m, 1) Then inter = "Fuera de Rango" Exit Function End If Do While u_f > TDE(m, 1) m = m + 1 If IsEmpty(TDE(m, 1)) Then inter = "Fuera de Rango" Exit Function End If Loop 'Selección de los valores de interpolación ia1 = TDE(m - 1, n - 1) 'ia e ib corresponden a los valores de OFg 74 ia2 = TDE(m - 1, n) ib1 = TDE(m, n - 1) ib2 = TDE(m, n) 'de campo circular a interpolar. dc = TDE(1, n) - TDE(1, n - 1) df = TDE(m, 1) - TDE(m - 1, 1) ddc = c - TDE(1, n - 1) ddf = u_f - TDE(m - 1, 1) 'delta profundidad. 'delta radio. 'delta profund con valor de entrada. 'delta radio con valor de entrada. 'Interpolación uno = ia1 + ddc * (ia2 - ia1) / dc dos = ib1 + ddc * (ib2 - ib1) / dc inter = uno + ddf * (dos - uno) / df 'delta OFg de camp circ para radio 'menor a integrar. 'delta OFg de camp circ para radio 'mayor a integrar 'valor de OFg de camp circ a 'integrar por Clarkson End Function B. Código Visual Basic para llevar a cabo el cálculo de OFg de campo circular Sub Macro1() ' ' Macro1 ' Macro utilizada para ejecutar el algoritmo iterativo ' ' Range("F4:F40").Select Selection.Copy Range("D4").Select Selection.PasteSpecial Paste:=xlValues, Operation:=xlNone, SkipBlanks:= _ False, Transpose:=False Range("E4").Select Application.CutCopyMode = False ActiveCell.FormulaR1C1 = "=of(RC[-4],40,150)" Range("E4").Select Selection.AutoFill Destination:=Range("E4:E40"), Type:=xlFillDefault Range("E4:E40").Select ActiveWindow.LargeScroll Down:=-2 Range("G3").Select End Sub 75 IX. 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