Materia Introducción a la Informática Unidad 1 Sistema de

Materia
Introducción a la Informática
Unidad 1
Sistema de Numeración
Ejercitación
Prof. Alejandro Bompensieri
Introducción a la Informática - CPU
Ejercitación Sistemas de Numeración
1. Pasar a base 10 los siguientes números escritos en la base que se indican:
a) A1B32(16 b) 652(8
c) 134(5 d) 2112(3 e) 1242(6
f) 10001110(2
2. Pasar a la base que se pide los siguientes números decimales
a) 264 a 2
b) 289 a 7 c) 175 a 4 d) 645 a 5 e) 322 a 2 f) 468 a 3 g) 124 a 6
3. Pasar a bases 8 y 2 los siguientes números en hexadecimal
a) BB34 b) 1BA23 c) 3124 d) 35649 e) 5F13 f) 1124 g) A1BC5 h) 259A
4. Pasar de base hexadecimal a 8 los siguientes números binarios
a) A4352 b) 12B56 c)44681 d) 1B1C2 e) 6589 f) 22451 g) F4A3
5. Realizar las conversiones entre bases que se piden
a) 32568(H a 8 b) 574(6 a 7 c) 5542(7 a 2 d) 2654(8 a H e) 111 (3 a 4
f) 2431(5 a H
6. Pasar a binario los siguientes números escritos en las bases que se indican:
a) 56,34(10 b) FA21,22C(16 c) 110,101(8 d) 25,32(10 e) A12,B32(16 f) 101,001(8
g) 12,23(10 h) 134,A22(16
i) 21,12(8
7. Escribir los siguientes números decimales en F=8,2, con bit de signo:
a) –53
b) –89
c)-16
8. Los siguientes números están escritos en F=6,2, con bit de signo. Indicar qué números
decimales representan y cuáles son los números máximo y mínimo en este formato:
a) 010011
b) 11011
c) 100111
d) 010110
e) 011001}
9. Realizar la siguiente operación en F=8, 2, con bit de signo: -89-53
10. Realizar las siguientes sumas en hexadecimal
A223
+ 124
BC212
+ 22A5
4568
+ A3B2
11. Realizar las siguientes multiplicaciones en hexadecimal
1A23
x A4
2965
x 1B
35B2
x 24
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Materia: Introducción a la Informática
Unidad 1: Sistema de Numeración
Prof. Alejandro Bompensieri
SISTEMA DE NUMERACIÓN
EVOLUCIÓN
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Sistema egipcio
Sistema babilónico
Sistema romano inicial
Sistema maya
Sistema chino
Sistema indio
Sistema árabe
Sistema español inicial
Sistema italiano
Sistema actual
Int. a la Informática CPU
2
PROPÓSITO
• Intentar conservar los datos numéricos en
forma de escritura
– Grecia (inicialmente)
– Roma (posteriormente)
– Sistema indoarábigo
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3
Int. a la Informática CPU
4
DEFINICIÓN
• Un sistema de numeración es el conjunto
de símbolos y reglas que se utilizan para
la representación de datos numéricos o
cantidades.
• Se caracteriza por su base
• Sistema posicional
Int. a la Informática CPU
5
SISTEMA DECIMAL
• Proviene del sistema numérico
indoarábigo.
• Sistema posicional
– Conjunto de símbolos cuyo significado o valor
depende de su posición relativa al punto
decimal.
• Base 10
Cifras o dígitos
0
Int. a la Informática CPU
1
2
3
4
5
6
7
8
9
6
Teorema Fundamental de la
Numeración (TFN)
n
NºI ==-m Σ (dígito)i * (base)i
•
•
•
•
•
base: 10
i : posición respecto a la coma
m : número de dígitos a la derecha de la coma
n : número de dígitos a la izquierda de la coma menos 1
dígito : Cada uno de los que componen el número
Int. a la Informática CPU
7
Ejemplos
• 2006(10= 2 * 103 + 0 * 102 + 0 * 101 + 6 * 100
• 4.25 (10= 4 * 100 + 2 * 10-1 + 5 * 10-2
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8
Teorema Fundamental de la
Numeración
Relaciona una cantidad expresada en
cualquier sistema de numeración con la
misma cantidad expresada en el sistema
decimal.
… + X2 * B2 + X1 * B1 + X0 * B0 + X-1 *B-1 + X-2 * B-2 …
base
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Dígito de la
cantidad
Posición del dígito
con respecto a la
coma decimal
9
EJEMPLO
• 201.1(3 = 2 * 32 + 0 * 31 + 1 * 30 + 1 * 3-1
18
+
0
+
1
+
0.333
RESULTADO = 19.333 (10
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10
EJERCICIOS
• 516 (7=
• 0.111(2=
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11
SISTEMA BINARIO
• Es el sistema utilizado internamente en los
circuitos digitales que configuran al
hardware
• Base 2
• Posibles representaciones
• 0-1
Int. a la Informática CPU
12
Binary digit
bit
Ejemplo
110011100000111100011110001111000011111
Int. a la Informática CPU
13
MÚLTIPLOS DEL BIT
•
•
•
•
•
•
Nibble: conjunto de 4 bits (1010)
Byte: conjunto de 8 bits (10101110)
Kilobyte: conjunto de 1024 bytes (1024 * 8 bits)
Megabyte: conjunto de 1024 Kb (10242 * 8 bits)
Gigabyte: conjunto de 1024 Mb (10243 * 8 bits)
Terabyte: conjunto de 1024 Gb (10244 * 8 bits)
1024= es el múltiplo de 2 más próximo a 1000.
Int. a la Informática CPU
210=1024
14
TABLA DE EQUIVALENCIAS
•
•
•
•
•
•
1 nibble = 4 bits.
1 byte = 2 nibbles = 8 bits.
1 kilobyte = 1024 bytes = 1024 * 8 bits.
1 megabyte = 10242 Kb = 10242 * 8 bits.
1 gigabyte = 1024 Mb = 10243 * 8 bits.
1 terabyte = 1024 Gb = 10244 * 8 bits.
Byte = es la unidad básica de medida de la información
Int. a la Informática CPU
15
Ejemplos
¿Qué nro. Decimal representa el binario 1001.1? (utilizar TFN)
1001.1(2 = 1 * 23 + 0 * 22 + 0 * 21 + 1 * 20 + 1 * 2-1
8
+ 0
+
0
+
2
+ 0.5 = 9.5 (10
Suponiendo una capacidad de 8 MB. ¿Cómo puedo expresar
su equivalente en bytes? ¿y en bits?
Capacidad = 8 * 10242 = 8.388.608 bytes = 67.108.864 bits
Capacidad = 8.388.608 bytes * 8 = 67.108.864 bits
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16
Ejercicios
Transformar los siguientes números binarios
a números decimales:
10010001(2
11111111(2
010011(2
010110 (2
011001(2
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17
SUMA BINARIA
• Semejante a sumar en el sistema decimal
• Se manejan sólo 2 dígitos (0 y 1)
• Si el resultado excede de los símbolos
utilizados, se agrega el exceso o acarreo
Tabla de sumar en el sistema binario
Tabla del 0
Tabla del 1
0+0=0
1+0=1
0+1=1
1 + 1 =10
(0 con acarreo 1)
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18
Ejemplos
Sumar los números binarios 100100 (36) y 10010 (18)
1 0 0 1 0 0 ............................ 36
+
+
1 0 0 1 0 ............................ 18
1 1 0 1 1 0 ............................ 54
Sumar los números binarios 11001 (25) y 10011 (19)
1
1 1
Acarreos
1 1 0 0 1 ............................... 25
+
+
1 0 0 1 1 ............................... 19
1 0 1 1 0 0 ............................... 44
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19
Ejercicios
Sumar los siguientes números binarios
•
•
•
•
101110 (46) + 1110 (14)
10101101 (173) + 100010111 (279)
10.1 (2.5) + 11.01 (3.25)
1101 (13) + 1110 (14) + 1100(12)
Int. a la Informática CPU
20
RESTA BINARIA
• Similar a restar en el sistema decimal
• Si el sustraendo excede al minuendo, se sustrae una
unidad del dígito más a la izquierda (si existe y vale 1)
• Este último se convierte en 0 y la unidad extraída
equivale a 1 * 2 en el minuendo de resta parcial que se
está realizando.
Tabla de restar en el sistema binario
Tabla del 0
Tabla del 1
0-0=0
1-0=1
0 - 1 = no cabe
1+1=0
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21
Ejemplos
Restar los números binarios 111111 (63) y 101010 (42)
1 1 1 1 1 1 ............................ 63
1 0 1 0 1 0 ............................ 42
0 1 0 1 0 1 ............................ 21
Restar los números binarios 111100 (60) y 101010 (42)
0 2
-
1 1 1 1 0 0 ............................... 60
1 0 1 0 1 0 ............................... 42
0 1 0 0 1 0 ............................... 18
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22
Ejercicios
Restar los siguientes números binarios
• 11101 (29) - 111 (7)
• 110100101 (421) - 11101000 (232)
• 11.01 (3.25) - 10.1 (2.5)
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23
MULTIPLICACIÓN BINARIA
• Similar a la multiplicación en el sistema decimal
• Salvo la suma final que se realiza en binario
Tabla de multiplicar en el sistema binario
Tabla del 0
Tabla del 1
0*0=0
1*0=0
0*1=0
1*1=1
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24
Ejemplo
Multiplicar los números binarios 110101 (53) y 1101 (13)
1 1 0 1 0 1............................ 53
*
*
0 0 1 1 0 1............................ 13
110101
+
000000
110101
110101
1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 ............................. 689
Int. a la Informática CPU
25
Ejercicios
Multiplicar los siguientes números
binarios
• 11010 (26) por 101010 (42)
• 111111 (63) por 101010 (42)
Int. a la Informática CPU
26
DIVISIÓN BINARIA
• Similar a la división en el sistema decimal
• Salvo que las multiplicaciones y las restas se
hacen en binario.
Int. a la Informática CPU
27
Ejemplo
Dividir los números binarios 100010 (34) y 110 (6)
110101
110
110
1 0 1............cociente (5)
1010
110
1 0 0 .....................................resto (4)
Int. a la Informática CPU
28
Ejercicios
Dividir los siguientes números binarios
y comprobar el resultado
• 10000000010 (1026) y 11 (3)
• 10001000100 (1092) y 101010 (42)
Int. a la Informática CPU
29
SISTEMA OCTAL
• Sistema posicional
• Base 8
• Aritmética similar a la de los sistemas
decimal y binario
• Posibles representaciones
• 01234567
Int. a la Informática CPU
30
Ejemplo
¿Qué número decimal representa el número octal 4701?
Resolver utilizando TFN
4701(8 = 4 * 83 + 7 * 82 + 0 * 81 + 1 * 80
= 2048 + 448
+
0
+
1
= 2497 (10
Int. a la Informática CPU
31
SISTEMA HEXADECIMAL
• Sistema posicional
• Base 16
• Aritmética similar a la de los sistemas
decimal, binario y octal
• Posibles representaciones
• 0123456789ABCDEF
Int. a la Informática CPU
32
SISTEMA HEXADECIMAL
• Se asignan los siguientes valores absolutos
(decimales) a los símbolos A, B, C, D, E, F
Int. a la Informática CPU
Símbolo
Valor absoluto
A
B
C
D
E
F
10
11
12
13
14
15
33
Ejemplo
¿Qué número decimal representa el número hexadecimal
2CA?
Resolver utilizando TFN
2CA(16 = 2 * 162 + C * 161 + A * 160
= 512 + 12 * 161 + 10 * 160
= 512 + 192 + 10
= 714 (10
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34
CONVERSIONES ENTRE LOS
SISTEMAS DE NUMERACIÓN
Es la transformación de una determinada
cantidad expresada en uno de los
sistemas de numeración vistos, a su
representación equivalente en otro de los
sistemas de numeración vistos.
Int. a la Informática CPU
35
CONVERSIONES
•
•
•
•
•
•
Decimal a binario
Binario a decimal
Decimal a octal
Octal a decimal
Decimal a hexadecimal
Hexadecimal a decimal
Int. a la Informática CPU
•
•
•
•
•
•
Hexadecimal a binario
Binario a hexadecimal
Octal a binario
Binario a octal
Octal a hexadecimal
Hexadecimal a octal
36
Conversión decimal a binario
Ejemplo: Convertir el decimal 10 a binario.
10
2
0
5
2
1
2
2
0
1
10(10 = 1010(2
Es el método que se utiliza para convertir números enteros decimales a su
respectivo número entero en binario. Se trata de dividir sucesivamente el
número decimal y los sucesivos cocientes entre 2, hasta que el cociente en
una de las divisiones tome el valor 0. La unión de todos los restos
obtenidos, escritos en orden inverso, nos proporciona el número inicial
expresado en binario.
Int. a la Informática CPU
37
Conversión binario a decimal
Ejemplo: Convertir el binario 101011 a decimal.
101011(2 = 1 * 20 + 1 * 21 + 0 * 22 + 1 * 23 + 0 * 24 + 1 *25
= 1
+
2
+ 0
+
8
+ 0
+
32
= 43(10
Es el método que aplica directamente el teorema fundamental de la
numeración (TFN).
Int. a la Informática CPU
38
Conversión hexadecimal a
binario
Ejemplo: Convertir el hexadecimal 2BC a binario.
2
B
C
0010
1011
1100
Luego: 2BC(16 = 1010111100(2
Para convertir un número hexadecimal a binario se sustituye cada dígito
hexadecimal por su representación binaria con cuatro dígitos. (ver tabla).
Int. a la Informática CPU
39
Conversión binario a
hexadecimal
Ejemplo: Convertir el binario 100101100 a hexadecimal.
0001
0010
1100
1
2
C
Luego: 100101100(2 = 12C(16
Se debe realizar el proceso inverso al anterior. Se agrupan los dígitos
binarios de 4 en 4 a partir del punto decimal hacia la izquierda y hacia la
derecha, sustituyendo cada cuarteto por su correspondiente dígito
hexadecimal.
Int. a la Informática CPU
40
Ejercicios
•
•
•
•
•
•
•
15(10 a binario
1994(10 a binario
1101(2 a decimal
10101100(2 a decimal
11111001010(2 a decimal
7BA3(16 a binario
1100101001000(2 a hexadecimal
Int. a la Informática CPU
41
Representación de números
enteros
Las computadoras digitales utilizan 4 métodos
para la representación interna de números
enteros (positivos y negativos)
• Módulo y signo (MS)
• Complemento a 1 (C-1)
• Complemento a 2 (C-2)
• Exceso a 2n-1
Int. a la Informática CPU
42
Módulo y signo (MS)
En este sistema, el bit que está situado
más a la izquierda representa el signo, y
su valor será 0 para el signo + y 1 para el
signo -.
El resto de bits (n-1) representan el
módulo del número.
Int. a la Informática CPU
43
Módulo y signo (MS)
Ejemplo: queremos representar los números 10 y –10. Disponemos de 8 bits,
es decir, n = 8
Número 10
0
0001010
Signo +
Módulo
1
0001010
luego
Int. a la Informática CPU
Signo -
Módulo
44
Módulo y signo (MS)
• La ventaja de este sistema es poseer un
rango simétrico (igual número de positivos
y negativos).
• La desventaja es que posee dos
representaciones para el número cero.
Para n = 8 bits
– 0 0 0 0 0 0 0 0 (+0)
– 1 0 0 0 0 0 0 0 (-0)
Int. a la Informática CPU
45
Complemento a 1 (C-1)
En este sistema, también el bit que está situado
más a la izquierda representa el signo, y su
valor será 0 para el signo + y 1 para el signo -.
El resto de bits (n-1) representan el módulo del
número.
El negativo de un número positivo se obtiene
complementando todos sus dígitos (cambiar
ceros por unos y viceversa) incluido el bit de
signo.
Int. a la Informática CPU
46
Complemento a 1 (C-1)
Ejemplo: queremos representar los números 10 y –10. Disponemos de 8 bits,
es decir, n = 8
Número 10
0
0001010
Signo +
Módulo
1
1110101
Complemento del
positivo
Int. a la Informática CPU
Signo -
Módulo
47
Complemento a 1 (C-1)
• La ventaja de este sistema es poseer un
rango simétrico (igual número de positivos
y negativos).
• La desventaja es que posee dos
representaciones para el número cero.
Para n = 8 bits
– 0 0 0 0 0 0 0 0 (+0)
– 1 1 1 1 1 1 1 1 (-0)
Int. a la Informática CPU
48
Complemento a 2 (C-2)
En este sistema, también el bit que está situado
más a la izquierda representa el signo, y su
valor será 0 para el signo + y 1 para el signo -.
El resto de bits (n-1) representan el módulo del
número, igual que MS y C-1.
El negativo de un número se obtiene en dos
pasos.
1) Complemento a 1
2) Al resultado obtenido se le suma 1 en
binario, despreciando el último acarreo si existe.
Int. a la Informática CPU
49
Complemento a 2 (C-2)
Ejemplo: queremos representar los números 10 y –10. Disponemos de 8 bits,
es decir, n = 8
1º paso: Complemento
Número 10
del positivo C-1
1
1110101
0
0001010
Signo +
Módulo
Signo 2º paso: Sumar 1 en
binario
Módulo
1
+
1
1
Int. a la Informática CPU
1110101
1110110
50
Complemento a 2 (C-2)
• La ventaja de este sistema es poseer una
única representación para el número cero.
• El último acarreo se desprecia, por lo
tanto, el 0 y el –0 tienen la misma
representación en C-2.
Int. a la Informática CPU
51
Exceso a 2n-1
En este método la representación no
utiliza ningún bit para el signo, con lo cual
todos los bits representan un módulo o
valor. Este valor se corresponde con el
número representado más el exceso, que
para n bits viene dado por 2n-1.
Int. a la Informática CPU
52
Materia
Introducción a la Informática
Unidad 1
Tablas de Valores de Verdad
Prof. Alejandro Bompensieri
Introducción a la Informática - CPU
Tablas de Valores de
Verdad
NEGACION (NOT)
NAND
P
V
F
P
V
V
F
F
P´
F
V
Q
V
F
V
F
PÇQ
F
V
V
V
CONJUNCION (AND)
P
V
V
F
F
Q
V
F
V
F
P^Q
V
F
F
F
NOR
P
V
V
F
F
Q
V
F
V
F
PÈQ
F
F
F
V
DISYUNCIÓN (OR)
P
V
V
F
F
Q
V
F
V
F
P∨Q
V
V
V
F
CONDICIONAL
P
V
V
F
F
Q
V
F
V
F
PÆQ
V
F
V
V
BICONDICIONAL (XNOR)
P
V
V
F
F
Q
V
F
V
F
P↔Q
V
F
F
V
DISYUNCION EXCLUSIVA (XOR)
P
V
V
F
F
Q
V
F
V
F
P⊕Q
F
V
V
F
Página 2 de 2
Introducción a la Informática - CPU
16
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
0
0
1
2
3
4
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8
9
A
B
C
D
E
F
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1
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3
4
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A
B
C
D
E
F
#
2 3 4 5
2 3 4 5
3 4 5 6
4 5 6 7
5 6 7 8
6 7 8 9
7 8 9 A
8 9 A B
9 A B C
A B C D
B C D E
C D E F
D E F 10
E F 10 11
F 10 11 12
10 11 12 13
11 12 13 14
6
6
7
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9
A
B
C
D
E
F
10
11
12
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14
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7
7
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9
A
B
C
D
E
F
10
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12
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14
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8
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A
B
C
D
E
F
10
11
12
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14
15
16
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9
9
A
B
C
D
E
F
10
11
12
13
14
15
16
17
18
A B
A B
B C
C D
D E
E
F
F 10
10 11
11 12
12 13
13 14
14 15
15 16
16 17
17 18
18 19
19 1A
C
C
D
E
F
10
11
12
13
14
15
16
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