Transformadores de Corriente para Inversores

274
IEEE LATIN AMERICA TRANSACTIONS, VOL. 3, NO. 3, JULY 2005
Transformadores de Corriente para Inversores
H. E. Tacca, Member IEEE
Resumen - Se presenta un método de proyecto de
transformadores de corriente para aplicaciones con
inversores de frecuencia variable. Se estudian los casos de
proyecto utilizando núcleos toroidales y de tipo E-I
comparando ambas alternativas.
Palabras clave - Transformadores de corriente, inversores,
variadores de velocidad, electrónica de potencia.
Abstract - A design method for low frequency current
transformers for inverter and motor drive applications is
presented. Toroidal and E-I cores based design alternatives
are studied and compared.
Keywords - Current transformers, inverters, motor drives,
power electronics.
I. INTRODUCCIÓN
H
AY
varias
alternativas
tecnológicas
para
aplicaciones de inversores donde sea necesario
detectar la corriente en una o más fases [1], con
propósitos de realimentación, medición o para operar
sistemas de protección.
Se puede utilizar un resistor sensor, luego amplificar
la señal y acoplarla mediante un amplificador de
aislamiento [1][2][3]. El método brinda buena precisión
en la amplitud de la corriente detectada y no tiene límite
inferior de frecuencia de trabajo. El límite superior
depende de las especificaciones del amplificador de
aislamiento y generalmente resulta determinado por el
desfasaje introducido por este amplificador en altas
frecuencias.
Las desventajas de este método son el costo de los
amplificadores de aislamiento y la introducción de un
error de fase que en aplicaciones en frecuencias de 200 y
400 Hz puede llegar a una decena de grados. Si la
intención fuese emplear la señal en cálculos de potencia,
el error introducido puede anular las ventajas obtenidas
en cuanto a la precisión en la amplitud.
Si se necesita acoplar las componentes armónicas, el
desfase introducido en altas frecuencias puede resultar
inaceptable.
Otra desventaja es que se requieren fuentes flotantes
para los amplificadores de aislamiento (normalmente
una fuente doble adicional por cada fase cuya corriente
se desee medir). Las fuentes deben poseer blindaje
electroestático y electromagnético (lo que complica el
proyecto de la fuente de alimentación).
Otra alternativa es emplear dispositivos de efecto
Hall, o sensores magneto-resistivos. El costo es bajo,
pero hay problemas de linealidad y de sensibilidad. El
sistema es conveniente para detectar corrientes elevadas
con baja precisión, por ejemplo para funciones de
protección [4]. Cuando las corrientes a medir no son
elevadas, los campos magnéticos son débiles y es difícil
proteger la medición de las interferencias causadas por
campos
parásitos
habitualmente
presentes
en
aplicaciones de potencia. En estos casos las medidas
preventivas necesarias, blindajes magnéticos, jaulas y
filtros, suelen anular las ventajas de costo citadas.
Otra posibilidad es digitalizar la señal tomada sobre
la resistencia de detección y transmitir luego la
información
mediante
una
interconexión
con
optoacopladores de alta velocidad [2].
Hay diversas variantes: Se puede convertir de
tensión a frecuencia, utilizar modulación de ancho de
pulso o utilizar conversores A/D de salida serie.
La primera variante es de bajo costo pero introduce
un gran retardo de fase y no deja pasar señales de alterna
sin introducir un desequilibrio (offset) que debe luego
ser compensado.
La segunda variante es circuitalmente compleja y
está sujeta a corrimientos por envejecimiento de los
componentes. (En verdad sería la versión discreta de un
amplificador de aislamiento).
La tercera variante requiere generalmente tres
tensiones flotantes por cada corriente de fase a detectar
(la fuente doble analógica y la fuente digital para el
A/D). Además, si la interfaz serie no es de alta velocidad
el error de fase puede ser inadmisible. Que la
interconexión sea rápida implica la necesidad de
optoacopladores rápidos, que deberán tener pantalla
electrostática para evitar el acoplamiento de ruido de la
sección de potencia a la sección de control.
Otra posibilidad es utilizar circuitos integrados
específicos [5] que incorporan algún tipo de
interconexión aislada (analógica o digital) junto con los
amplificadores de señal. El costo es moderado y el
espacio ocupado en el circuito impreso es reducido. Las
desventajas son el error de fase introducido operando a
frecuencias de 200 o 400 Hz y el requerimiento de
fuentes auxiliares flotantes (que como en los casos
anteriores deben tener pantallas electrostáticas
individuales y una pantalla electromagnética).
Una limitación importante de esta opción es que no
hay circuitos integrados de este tipo disponibles para
aplicaciones de alta tensión (solamente hasta 600 V).
Esto hace que la clásica alternativa de emplear
transformadores de medida de corriente siga vigente
[8][9][10]. La detección de corriente mediante
transformadores no requiere fuentes auxiliares. Los
circuitos amplificadores necesarios son simples y de
bajo costo. Las pantallas necesarias son fáciles de
introducir pues van en núcleos individuales. Es
relativamente fácil acoplar señales con diferencias de
tensiones elevadas.
La confiabilidad de un transformador es muy
elevada.
Las desventajas de esta alternativa son el peso y
volumen de los transformadores y la limitación de
operar en frecuencias bajas, derivada de la imposibilidad
de acoplar corriente continua.
En aquellos casos en donde deba detectarse corriente
continua el método no será aplicable, pero un proyecto
TACCA : CURRENT TRANSFORMERS FOR INVERTERS
275
cuidadoso de los transformadores permitirá medir con
errores aceptables aún en frecuencias de unos pocos Hz.
Asimismo, es posible compensar digitalmente [16] los
errores de medida cometidos, lo que puede extender el
rango útil de medición a frecuencias por debajo del Hz.
Esto permite utilizar transformadores de corriente en
muchas aplicaciones de inversores destinados a
variadores de velocidad para máquinas de corriente
alterna [18]. Además, el peso de los transformadores de
medida resulta menos significativo a medida que la
potencia del sistema aumenta, pues el tamaño de ellos
no crece en la misma proporción que el de las máquinas
y los elementos de manejo de potencia.
II. CIRCUITO DE ENTRADA
Habitualmente, un transformador de corriente se
emplea conectando un circuito amperimétrico en su
secundario. Este circuito puede ser un amperímetro, el
circuito de corriente de un watímetro o bien una
resistencia de detección (burden) sobre la cual se
desarrolla una tensión que resulta proporcional a la
corriente que se quiere observar o medir.
En el caso ideal, esta carga debiera ser nula, pero ello
no solamente no es posible en el caso de un amperímetro
real sino que tampoco podría ser nula la resistencia de
detección para tener una señal de tensión en la salida
[8][10].
Es conveniente que la tensión en el transformador
sea lo más baja posible para que el error debido a la
corriente de vacío sea lo menor posible para un
determinado núcleo magnético.
Como en el caso de la aplicación a inversores, la
señal proporcional a la corriente se deberá amplificar
para aplicarla al circuito de adquisición de datos [1][2].
Es preferible utilizar un amplificador de transresistencia
(también denominado convertidor de corriente a tensión)
de modo tal de obtener una señal proporcional a la
corriente sin necesidad de tener una tensión significativa
sobre el secundario del transformador [17].
En la Fig. 1 se muestra el circuito equivalente del
transformador de corriente [9] y el esquema de principio
de la etapa de entrada convertidora de corriente a
tensión.
La impedancia formada por la asociación en serie
de L f P y R P no tiene influencia sobre la medición,
Asumiendo una ganancia muy grande del
amplificador operacional, la impedancia de entrada del
convertidor de corriente a tensión puede, en primera
instancia, despreciarse (luego, de ser significativo, puede
tomarse en cuenta que la tensión de entrada al
amplificador será del orden de 2 mV).
Los diodos en antiparalelo a la entrada son de
protección y no conducen durante la operación normal.
En caso de falla de la fuente auxiliar evitan que el
secundario del transformador de corriente quede en
circuito abierto. También conducen en caso de
sobrecarga de corriente primaria, protegiendo al circuito
de entrada convertidor de corriente a tensión.
Como el transformador opera con muy baja densidad
de flujo, se puede despreciar la corriente de pérdidas
en RFe respecto de la corriente de magnetización i M .
El error mayor se tendrá a la frecuencia más baja de
operación, con lo cual puede despreciarse la caída de
tensión en L fS . El circuito equivalente se reduce al de
la Fig. 2, donde la tensión secundaria (en el
transformador ideal) en valor instantáneo será i S RS y
para onda senoidal: V S = I S R S .
III. CÁLCULO DE LA CLASE DEL TRANSFORMADOR
Para la máxima corriente a la mínima frecuencia, el
error determinará la clase del transformador, que de
acuerdo con la figura 2 será:
⎡
⎤
2
2
I 2S + I M
− IS
⎛ IM ⎞
⎢
⎟
⎜
− 1⎥
Clase = 100
≅ 100
1+ ⎜
⎢
⎥
2
I S ⎟⎠
⎝
I S2 + I M
⎢⎣
⎥⎦
(1)
de donde se obtiene:
Clase ⎞
⎛
⎜1 +
⎟
100 ⎠
⎝
⇒
2
⎛I
= 1 + ⎜⎜ M
⎝ IS
⎞
⎟
⎟
⎠
2
Clase ⎛ Clase ⎞
1+2
+⎜
⎟
100
⎝ 100 ⎠
2
⎛I
= 1 + ⎜⎜ M
⎝ IS
despreciando (Clase 100 )2 se obtiene:
IM
2
=
IS
10
Clase
RP
iM
iP
nP
Lf S
RS
nS
RC
iS
-
LM
R Fe
2
(2)
pues la corriente primaria está impuesta por el circuito
externo.
Lf P
⎞
⎟
⎟
⎠
+
Fig. 1: Circuito equivalente T del transformador de corriente con la etapa de entrada.
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IEEE LATIN AMERICA TRANSACTIONS, VOL. 3, NO. 3, JULY 2005
iP
nP
nS
iM
iS
LM
RS
y sustituyendo 4 en 5, se obtiene:
le
RS = ρ Cu
nS 2
FbS S VS
Por otra parte, la inductancia de magnetización
referida al secundario es:
LM S = μ
Fig. 2: Circuito equivalente simplificado del transformador de
corriente.
De acuerdo con el circuito equivalente planteado, se
deberá reservar la mayor parte de la ventana para alojar
el bobinado secundario, con el fin de reducir lo máximo
posible la resistencia R S , responsable junto con
LM
S
del error de medición. Para ello, es también
conveniente alojar el bobinado secundario en la parte
interna (próxima al núcleo) para reducir la longitud de la
espira media eléctrica secundaria, lo que contribuye
adicionalmente a reducir R S . Esto además deja al
bobinado primario ubicado en la superficie externa,
facilitando la disipación del calor, que es mayor en el
primario pues éste se aloja en un área de ventana lo
menor posible de acuerdo con el límite admisible de
densidad de corriente.
El área de ventana primaria será:
S Cu P
1 I Pef
= nP
(3)
S VP = n P
FbP
FbP σ P
donde,
nP
: número de espiras primarias
SCu P
: sección del conductor primario
FbP
: factor de llenado de la ventana primaria
I Pef
: valor eficaz de la corriente primaria
σ
: densidad de corriente primaria.
P
Siendo el área de ventana secundaria SVS , la
sección del conductor secundario será:
SCu S = FbS nS SVS
(4)
(
(6).
)
siendo,
μo :
o
μ r (S Fe l Fe ) n S 2
(7)
permeabilidad del vacío
( μ o = 4 π 10−7 H/m )
μr
l Fe
:
permeabilidad relativa a la densidad de flujo
:
de trabajo (normalmente resulta un valor muy
próximo a la permeabilidad inicial)
longitud del camino magnético del núcleo
S Fe :
sección efectiva del núcleo magnético (en
núcleos laminados es menor que la sección
geométrica) siendo S Fe = FC S FeG , donde
FC es el factor de llenado de la sección del
núcleo y S FeG es la sección geométrica
equivalente del núcleo (cuando la sección no
es uniforme, la sección geométrica mínima no
es igual a la máxima y la sección geométrica
equivalente debe calcularse basándose en las
dimensiones geométricas del núcleo).
Con la inductancia de magnetización secundaria se
puede calcular la máxima corriente de magnetización
referida al secundario, que para onda senoidal resulta en
valores eficaces:
RS
IM =
IS
(8)
2 π f min L M S
siendo f min la mínima frecuencia a la que se utilizará
el transformador. Sustituyendo 6, 7 y 8 en 2 se tiene:
ρ Cu l e l Fe
2
Clase =
(9).
10
2 π f min μ o μ r S Fe FbS S VS
conductor
Una vez adoptado el núcleo, la ec. 3 permite calcular
el área de ventana primaria, con lo cual puede obtenerse
el área de la ventana secundaria y luego, con los datos
geométricos del núcleo y la permeabilidad del material,
de la ec. 9 puede despejarse la clase en función de la
frecuencia mínima de operación.
Normalmente, los transformadores de corriente se
fabrican con núcleos toroidales o bien, para simplificar
la fabricación y bajar costos, con núcleos tipo E o E-I .
(usualmente cobre) a la temperatura de trabajo y leS es
IV. SELECCIÓN DE LA RELACIÓN DE TRANSFORMACIÓN
donde,
nS
FbS
: número de espiras secundarias
: factor de llenado de la ventana secundaria.
En consecuencia, la resistencia del bobinado
secundario será:
R S = ρ Cu leS n S S Cu S
donde
ρ
Cu es
la
resistividad
del
material
la longitud de la espira eléctrica media secundaria.
Normalmente, por las razones antes expuestas
será SVP << SVS y resultará l eS ≅ le , siendo l e la
longitud de la espira eléctrica media.
En consecuencia, la resistencia
secundario queda:
le
RS = ρ Cu
nS
S Cu S
del
bobinado
(5)
Podría pensarse que conviene una reducida cantidad
de espiras secundarias para reducir la inductancia de
fugas que incrementa el error pues hay en ella una caída
de tensión que provoca el aumento de la corriente de
magnetización. Esto llevaría a tener que agregar una
etapa de amplificación de mayor corriente al
amplificador de transresistencia lo que podría originar
problemas de alinealidad [17]. Sin embargo, esto no es
TACCA : CURRENT TRANSFORMERS FOR INVERTERS
277
necesario, ya que tanto las inductancias de
magnetización como de fugas y la resistencia serie son
proporcionales al cuadrado del número de espiras [13]
según:
L f S = K f nS 2
(10)
LM S = A L n S 2
(11)
RS = A R n S 2
(12)
IM =
De la Fig. 3 se deduce que el valor de la sección
geométrica del núcleo es:
⎛ d − di ⎞
S FeG = h ⎜⎜ e
(17)
⎟⎟
2
⎝
⎠
donde,
h
Kf
, AL , AR son constantes (con las
unidades respectivas) que dependen de la geometría del
núcleo, con lo cual la corriente de magnetización para
onda senoidal resulta (en valor eficaz):
donde
de donde puede definirse el factor de partición de la
(16).
ventana secundaria como, FPS = SVS SV
IS
(ω L f )2 + R S 2
S
(13).
ω LMS
Sustituyendo 10, 11 y 12 en 13 resulta:
(
)
ω K f 2 + A R2
IM
=
(14).
IS
ω AL
Considerando las expresiones 2 y 14 se deduce que
la clase no dependerá de n S , con lo cual la relación de
transformación puede adoptarse de modo tal que la
corriente secundaria resultante pueda ser manejada por
el amplificador operacional de entrada sin necesidad de
etapa adicional de potencia.
V. TRANSFORMADORES DE CORRIENTE CON
NÚCLEOS TOROIDALES
En el caso de núcleos toroidales debe reservarse
espacio para que, al bobinar, la lanzadera que lleva el
alambre pueda pasar por el centro del núcleo. Para esto
se aconseja [6] dejar libre un área central determinada
por la mitad del diámetro interno del toroide (Fig. 3).
Con este criterio, el área de ventana disponible para los
bobinados resulta:
3
2
2
SV =
π d i ≅ 0 ,6 d i
(15)
16
d
e
: altura del toroide
d e : diámetro externo
d i : diámetro interno
y considerando el factor de llenado de la sección del
núcleo se obtiene:
⎞
⎛d
1
FC h d i ⎜⎜ e − 1 ⎟⎟
(18).
2
⎠
⎝ di
Por otra parte, la espira eléctrica media resulta:
d
⎛π
h ⎞
⎟
(19).
l e = d i ⎜⎜ − 1 + e + 2
⎟
4
d
d
i
i ⎠
⎝
Para las dimensiones típicas puede asumirse que la
longitud del camino magnético es aproximadamente:
S Fe =
1
(d i + d e ) = π d i ⎛⎜⎜ 1 + d e ⎞⎟⎟
(20).
2
2
d1 ⎠
⎝
Sustituyendo las ecs. 15, 16, 18, 19 y 20 en la ec. 9
l Fe ≅
y reemplazando
μ o = 4π 10 −7 H/m puede obtenerse
una expresión para el diámetro interno necesario:
d i = 2165 ,44
⎛ de
⎞
⎜
+1 ⎟
⎡⎛ π
⎤
d ⎞d
⎜ d
⎟
ρCu ⎢⎜⎜ − 1 + e ⎟⎟ i + 2 ⎥⎜ i
⎟
d
4
d
h
i ⎠
⎣⎢⎝
⎦⎥⎜ e − 1 ⎟
⎜ d
⎟
⎝ i
⎠
Clase f min μ r FbS F pS FC
(21).
sección del
núcleo
SFe
área de
ventana
SV
h
di
4
d
i
di
4
Fig. 3: Núcleo toroidal. Dimensiones características.
a
di
4
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Sustituyendo ρCu = 0, 02 × 10 −6 Ùm en la 21 y
expresando el diámetro en mm, resulta:
di
[mm]
= 9, 684
⎛
⎜
⎡⎛ π
⎤⎜
de ⎞ di
⎟
⎜
+ 2⎥
⎢⎜ − 1 +
⎜
d i ⎟⎠ h
⎣⎢⎝ 4
⎦⎥⎜
⎜
⎝
μ
⎛
r ⎞
⎟F
Clase f min ⎜
⎜ 1000 ⎟ bS
⎠
⎝
de
⎞
+1⎟
di
⎟
⎟
de
− 1 ⎟⎟
di
⎠
F pS FC
(22).
de
≅ 1,6 ,
di
Para los valores típicos
h ≅ de − di
y FC = 0, 95 la ec. 22 da:
42 ,93
di
=
[mm]
⎛ μr
Clase f min ⎜⎜
⎝ 1000
, que para
⎞
⎟ Fb F p
S
⎟ S
⎠
efectos prácticos puede aproximarse por:
43
di
=
(23).
[mm]
⎛ μr ⎞
⎟ Fb F p
Clase f min ⎜⎜
S
⎟ S
⎝ 1000 ⎠
Habitualmente resulta FPS ≥ 0,9 , por lo que puede
tomarse 0,9 como valor de proyecto y el valor típico del
factor de llenado de la ventana es FbS = 0,33 con lo
cual, la ec. 23 da aproximadamente:
80
(24).
di
=
[mm]
⎛ μr ⎞
⎟
Clase f min ⎜
⎜ 1000 ⎟
⎠
⎝
Una vez adoptado el núcleo es preciso verificar que
la densidad de flujo sea inferior al valor máximo
especificado. Para ello, se utilizará la expresión derivada
de la aplicación de la ley de Faraday en el circuito
secundario [9]:
V S ef = I S ef RS = 4 f fV Bm f min S Fe n S
(25)
donde,
V S ef :
I Sef
tensión
eficaz
sobre
el
secundario
del
transformador ideal
: corriente eficaz secundaria
f fV : factor de forma de la tensión (1,11 para onda
senoidal , 1 para onda cuadrada y 1 D para
onda rectangular, siendo D el factor de servicio
o “duty-cycle” tal que 0 ≤ D ≤ 1 ).
Bm : inducción máxima (T).
Sustituyendo las ecs. 6 y 16 en la
considerando I S ef n S = I Pef n P se obtiene:
Bm =
I Pef n P ρCu l e
4 f fV f min FbS F pS S V S Fe
25
y
(26)
y reemplazando en la 26 las expresiones 15, 18 , 19 y el
valor de la resistividad del conductor, se obtiene para h y
d i en mm:
Bm =
I Pef n P
16 ,67
⋅
f fV f min Fb S F p S FC
⎛
⎞
h[mm] ⎜ d i
⎟
⎝ [mm] ⎠
π
d
h
−1 + e + 2
4
di
di
(27).
de
−1
di
Para los valores típicos antes citados:
I Pef n P
425
(28).
Bm =
3 f
fV f min
⎛
⎞
⎜ d i [mm] ⎟
⎝
⎠
Cuando se trabaja con materiales de muy alta
permeabilidad (por ejemplo, permalloy o mumetal, con
permeabilidades relativas mayores de 50.000) [12][14],
la selección del núcleo basada en la expresión 24 da
tamaños muy pequeños que pueden no satisfacer la
especificación de inducción máxima. En estos casos, es
conveniente seleccionar el tamaño del núcleo utilizando
primero la ec. 28 y luego verificar el cumplimiento de la
especificación de clase mediante la ec. 24.
Nótese que contrariamente a lo que podría esperarse,
dar más espiras al bobinado primario no reduce la
inducción máxima, sino que la incrementa en forma
proporcional. Esto se debe a que la inducción baja
proporcionalmente con el número de espiras, pero crece
con la tensión y ésta crece con la resistencia parásita del
bobinado que a su vez aumenta con el cuadrado del
número de espiras. En consecuencia, solamente debería
adoptarse un número de espiras primarias distinto de la
unidad, cuando se deseen relaciones de transformación
fraccionarias.
Sin embargo, tener inducción muy baja implicará
operar con permeabilidades muy próximas a la
permeabilidad inicial, que en muchos materiales puede
ser muy pequeña. Esto conduciría a sobredimensionar el
transformador. Para evitarlo se adoptará una inducción
mínima tal que la permeabilidad resulte aceptable.
Habitualmente, con una inducción mínima de 0,05 T
ya se tienen permeabilidades aceptables para la gran
mayoría de los materiales utilizados en transformadores
de intensidad. Con las ecs. 26, 27 o 28 puede verificarse
que resulte B m ≥ Bm min y, si así no fuere, deberá
2
incrementarse el número de espiras primarias,
despejándolo de esas mismas ecuaciones imponiendo en
ellas B m = Bm min .
VI. TRANSFORMADORES DE CORRIENTE CON NÚCLEOS
TIPO E
En este caso [6][7], de la Fig. 4 se deduce:
⎡ ⎛
B ⎞ π⎤
l e = ⎢ 2⎜1 + ⎟ + ⎥ A
A⎠ 2⎦
⎣ ⎝
(29)
l Fe = 6 A
(30)
S Fe = FC A B
(31).
TACCA : CURRENT TRANSFORMERS FOR INVERTERS
279
Sustituyendo las ecs. 29, 30 y 31 en la 9, se obtiene:
S VS =
B⎞ π
⎛
2 ⎜1 + ⎟ +
A⎠ 2
⎝
6 ,752
B
f min μ o μ r FC FbS Clase
A
(32).
El área total de ventana se obtiene sumando las ecs.
3 y 32, pero normalmente resulta SVP << SVS y puede
ρ Cu
aplicarse la definición 16 para obtener la sección de
ventana necesaria utilizando F pS . Reemplazando el
valor de μo , la resistividad del cobre y expresando la
sección en cm2 , se obtiene:
S
=
V[cm 2 ]
1,1
⎛ μr
f min ⎜
⎜ 1000
⎝
⎞
⎟ FC F p Fb
S
S
⎟
⎠
0,3 para alambres trenzados
0,34 para alambres redondos
0,6 para hoja de cobre
0,9 para barra única de cobre aislada.
Cabe destacar, que si no se verificase la suposición
hecha (tener factor de llenado de ventana secundaria
mayor que 0,9) el proyecto puede alternativamente
hacerse utilizando la ecuación 32 para calcular el área de
ventana secundaria. Luego se calculará el área de
ventana primaria en base a la corriente primaria y la
densidad de corriente máxima admisible. La suma de
ambas áreas da el área de ventana total necesaria para
seleccionar el núcleo.
A/2
B⎞ π
⎛
2 ⎜1 + ⎟ +
A⎠ 2
⎝
B
A
Clase
1,5 A
(33).
Sustituyendo F p S = 0,9 , FC = 0, 95 y
FbS = 0,33 en la ec. 33, se obtiene:
S
=
V[cm 2 ]
3,9
A
= 22
V[cm 2 ]
S V = (3 4 ) A 2 , de donde puede
desperdicio es,
despejarse el ancho de la rama central A .
Una vez adoptado el núcleo, con la ec. 26 puede
verificarse que la inducción máxima no supere el valor
especificado.
Para el caso de laminaciones normalizadas, con
sección cuadrada y los valores típicos antes
mencionados, la ec. 26 queda:
I Pef n P
132
(36).
Bm =
3 f
fV f min
⎛
⎞
⎜ A [mm] ⎟
⎝
⎠
Además, debe verificarse la suposición hecha para el
factor de partición de la ventana secundaria, lo que
puede hacerse mediante la expresión:
n P I Pef
(37)
F pS = 1 −
100 FbP σ P
SV
⎡
⎤
⎡
⎤
2
2
⎢ A mm ⎥
⎢ cm ⎥
⎢⎣
⎥⎦
⎢⎣
⎥⎦
donde, Fb P es el factor de llenado de la ventana
primaria, que típicamente puede variar entre 0,3 y 0,9
siendo:
A/2
A/2
sección del núcleo
(en la rama central)
⎛ μr ⎞
⎟
f min ⎜
⎜ 1000 ⎟
⎠
⎝
Para núcleos con sección cuadrada la ec. 34 queda:
⎛ μr ⎞
⎟ Clase
f min ⎜
(35).
⎜ 1000 ⎟
⎝
⎠
Con la ecuación 35 puede seleccionarse fácilmente el
núcleo, pues en laminaciones normalizadas sin
S
B
B⎞ π
⎛
2 ⎜1 + ⎟ +
A⎠ 2
⎝
(34).
B
A
Clase
A/2
leS
(secundario)
leP
(primario)
B
A/2
A
Fig. 4: Núcleo tip o E-I con laminación normalizada sin desperdicio.
Dimensiones características.
En el caso de núcleos no normalizados, puede
hacerse una primera selección utilizando la ec. 35 para
luego, con las dimensiones del núcleo adoptado y la
permeabilidad del material, verificar la clase y la
inducción máxima con las ecs. 3, 9 y 26.
VII. EFECTOS DEL ENTREHIERRO
En el caso de núcleos laminados abiertos se tiene un
entrehierro parásito (o accidental) que reduce
apreciablemente
la
permeabilidad
efectiva.
La
permeabilidad relativa efectiva considerando la acción
280
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del entrehierro es [13]:
l
⎞
⎛
μre = μr ⎜⎜1 + a μr ⎟⎟
l
Fe
⎠
⎝
donde,
la
: entrehierro parásito
l Fe
(38)
: longitud del camino magnético
μr
: permeabilidad relativa del material a la
inducción de trabajo.
Normalmente resulta: 0 ,0001 ≤ l a l Fe ≤ 0 ,0002 y
se adoptará l a l Fe = 0 ,0002 como valor de peor caso
para el proyecto.
Para laminaciones con aleaciones de hierro-silicio
con grano orientado la permeabilidad relativa inicial está
habitualmente comprendida entre 1.000 y 1.500 [12] lo
que en base a la ec. 38 da una permeabilidad relativa
efectiva inicial comprendida entre 800 y 1200.
Para una inducción de 0,05 T la permeabilidad
relativa se incrementa a valores comprendidos entre
10.000 y 12.000, lo que considerando el entrehierro
parásito adoptado da valores de permeabilidad efectiva
comprendidos entre 3.300 y 3.500.
En laminaciones grandes con una fabricación
cuidadosa es posible lograr entrehierros normalizados de
0,0001 con lo que se logran permeabilidades efectivas
mayores que 5000 a 0,05 T. Con núcleos bobinados y
cortados (toroides cortados, núcleos C o núcleos doble
E) pueden obtenerse entrehierros aún menores, cuando
la superficie del corte ha sido bien pulida.
Las ecs. 24 y 35 permiten comparar los volúmenes y
áreas de montaje requeridas por transformadores con
núcleos toroidales vs. transformadores con laminaciones
E-I (asumiendo las dimensiones típicas antes adoptadas,
igual permeabilidad del material e idéntica clase
especificada a igual frecuencia mínima).
Con estas suposiciones se obtiene una relación
volumétrica:
V EI V Tor = 2,532 (μr μre ) 3 2
(39)
donde, V EI es el volumen del núcleo con laminaciones
E-I y V Tor es el volumen con núcleo toroidal.
Sustituyendo la ec. 38 en la 39 se tiene:
V EI V Tor = 2,532 [1 + μr (l a l Fe ) ]3 2
(40)
Para el caso de núcleos de permalloy con
permeabilidad de 50.000 y l a l Fe = 0,00005 (núcleos
C o toroidales cortados) la ec. 40 da V EI V Tor = 16 ,6 .
O sea, que la diferencia de tamaño entre el
transformador toroidal y su equivalente en núcleo
abierto resulta muy importante.
En el caso de núcleos de aleaciones de hierro-silicio
con grano orientado, para permeabilidad de 10.000 y
l a l Fe = 0,0001 se obtiene: V EI V Tor = 7 ,16 . Es
decir que la importancia de utilizar un núcleo toroidal es
menor.
Si la comparación se hace entre núcleos toroidales y
núcleos C, la ventaja del núcleo toroidal sin cortes
μr = 10000
y
resulta aún menor. Suponiendo
l a l Fe = 0,00005 , resulta V EI V Tor = 4, 65 .
Respecto de las áreas requeridas para montaje en
tableros se comparará el núcleo toroidal montado
horizontalmente (el transformador sobre su parte plana)
con el núcleo laminado E-I montado con la rama central
erguida verticalmente. A partir de las ec. 24 y 35 es fácil
demostrar que:
S M EI
l ⎞
⎛
⎛ μ ⎞
(41).
= 1,02 ⎜⎜ r ⎟⎟ = 1, 02 ⎜⎜1 + μr a ⎟⎟
μ
S M Tor
l
Fe ⎠
⎝
⎝ re ⎠
Nuevamente, para materiales de alta permeabilidad
la diferencia es muy significativa.
Para aleaciones de hierro-silicio con grano orientado,
para el peor caso adoptado para el proyecto
( l a l Fe = 0 ,0002 ) se obtiene SM EI SM Tor ≅ 3 .
Comparando el caso de núcleos toroidales sin cortes
con núcleos cortados realizados con hierro silicio de
grano orientado, la relación de áreas es 1,5.
VIII. M EDICIÓN DE LOS PARÁMETROS DEL M ODELO
Una vez construido el prototipo, la inductancia de
magnetización puede medirse realizando el ensayo en
vacío en forma similar a lo usual con transformadores de
potencia [9][15].
La inductancia equivalente total de fugas puede
determinarse mediante el ensayo de cortocircuito, pero a
diferencia de lo que ocurre con transformadores de
potencia, la inductancia total de fugas (referida a un
mismo bobinado) no se distribuye por partes iguales
entre primario y secundario debido a que las áreas de
ocupación de ventana son muy disímiles entre ambos
bobinados.
Asumiendo que los bobinados se encuentran apilados
uno sobre el otro, un criterio mejor [13] para distribuir la
inductancia de fugas sería:
SVS SVP ≅ (nP nS ) 2 L fS L f P
donde,
(42)
L f P es la inductancia de fugas del primario
referida al primario y L fS es la inductancia de fugas
del secundario referida al secundario.
Para determinar con mayor precisión la inductancia
de fugas secundaria es preciso incluir un bobinado
explorador, como se indica en la Fig. 5. De acuerdo al
modelo, ese bobinado permite medir la tensión sobre la
inductancia de magnetización y en consecuencia
determinar el módulo de la impedancia serie secundaria.
Dado que la resistencia secundaria puede medirse
fácilmente, esto permite despejar el valor de la
inductancia de fugas como:
2
⎛ nS V X ⎞
⎟ − RS 2
⎜
(43)
2 π f ⎜⎝ n X I S ⎟⎠
siendo, f la frecuencia de la red a la que se realizó el
ensayo con corriente primaria nominal.
Para aplicaciones de baja frecuencia el error introducido
por las inductancias de fuga es por lo menos de un orden de
magnitud menor que el debido a la inductancia de
magnetización [15]. No obstante, puede tener alguna
influencia en el desfase introducido en alguna componente
armónica de elevado orden, alterando el cómputo de la
potencia de esa componente armónica [18].
L fS =
1
TACCA : CURRENT TRANSFORMERS FOR INVERTERS
281
que la corriente secundaria de cresta entrante al
convertidor de corriente a tensión no exceda de 25 mA,
lo cual llevó a adoptar una relación de transformación de
900:1 .
Se especificó obtener clase 1 con una frecuencia
mínima de 1,5 Hz y una inducción máxima admisible de
0,5 T con material de grano orientado.
Para una inducción mínima de 0,05 T con
IX. EJEMPLOS DE PROYECTO
Se seleccionarán núcleos para realizar un
transformador de corriente de 5 A, para onda senoidal,
con clase 1 a una frecuencia mínima de 1 Hz y una
corriente de salida secundaria para el amplificador
convertidor de corriente a tensión de 20 mA. Esto
permite utilizar una única espira primaria con una
relación de transformación de 250 : 1.
μr = 3.000 de la ec. 35 se obtiene S V = 4 ,89 cm 2 , lo
A. Proyecto con núcleo toroidal de permalloy
que implica adoptar una laminación No 112 con
A = 28,6 mm o bien una laminación No 111 con
A = 25,4 mm y un apilado mayor que el correspondiente
a sección cuadrada.
Se optó por esta última alternativa ya que la sección
de ventana requerida está más próxima a la propia de la
laminación 111 que a la de la 112, y se adoptó B = 36
mm.
El primario se realizó con hoja de cobre de 0,2 mm x
32 mm, lo que dejó prácticamente la totalidad de la
ventana disponible para alojar el bobinado secundario de
900 espiras, que resultó de alambre de 0,40 mm de
diámetro.
De la ec. 29 la longitud media de la espira eléctrica
resulta 162,7 mm y asumiendo FC = 0,95 se obtiene de
Se utilizará una aleación con μr = 50 .000 en un
entorno de inducción máxima de 0,4 T. Con estos
valores la ec. 24 da d i = 11,3 mm y se adopta un núcleo
comercial con d i = 13,2 mm , d e = 24,9 mm y h = 9,8
mm .
Con estos valores puede hacerse la aproximación de
utilizar la ec. 28 que da B m = 0 ,83 T . Se excedió el
límite de inducción máxima previamente especificado,
por lo que se despejará el diámetro interno necesario de
la ec. 28, obteniéndose d i = 18,55 mm. Suponiendo el
primario
realizado
como
barra
pasante
se
Adoptando
un
núcleo
con
tiene F pS = 1 .
d i = 16,2 mm , d e = 24,9 mm y h = 9,8 mm se obtiene de
la ec. 27 una inducción máxima B m = 0,344 T .
El volumen de material magnético del núcleo
utilizado es 2,752 cm3 .
El diámetro externo incluyendo el bobinado será:
d Bext = d e + 0,5 d i = 33 mm .
El área ocupada montado en un tablero sería 8,55
cm2 .
la ec. 31: S Fe = 8 ,687 cm 2 . Con estos valores, de la
ec. 26 se obtiene B m = 0, 0522 T , lo que verifica la
especificación máxima. En caso de sobrecarga en
corriente, la tensión secundaria enclavada por los diodos
de
protección
puede
alcanzar
como
máximo
VS max = 0, 7 V . La forma de onda se asemejará mucho
a una onda cuadrada. En tal caso, la inducción máxima
sería:
V S max
= 0,15 T
Bm =
4 n S f min S Fe
es decir, que se verifica que los diodos de protección
evitan la saturación del núcleo del transformador.
B. Ejemplo experimental con laminación tipo E
normalizada
Proyecto:
Se realizó el proyecto de un transformador para una
corriente primaria senoidal de 15 A rms, estableciendo
Lf S
RS
Lf P
RP
i P = Inom
iS
iM
nS
LM
A
R Fe
nP
RX
nX
iX = 0
Lf X
VX
Fig. 5: Circuito de ensayo para la determinación de la inductancia secundaria de fugas.
282
IEEE LATIN AMERICA TRANSACTIONS, VOL. 3, NO. 3, JULY 2005
La máxima corriente secundaria
I S ef = (n P n S )I Pef = 16 ,667 mA .
eficaz
es:
De la ec. 5 resulta R S = 23 ,3 Ω con lo cual la
tensión máxima eficaz secundaria sobre la inductancia
de magnetización resulta: VS ef = I S ef R S = 0 ,3883 V .
De la ec. 7 resulta,
LM S = 17, 4 H , con lo cual, de
la ec. 8 : I M = 2,36781 mA .
Finalmente, con la ec. 1 se calcula la clase, que
resulta 0,994.
Mediciones:
Construido el transformador se midió Rs = 18,6 Ω .
Aplicando tensión sobre el bobinado secundario y
midiendo la corriente a su través, se determinó
LM S en función de la corriente de magnetización a 50
Hz (despreciando la inductancia secundaria de fugas),
obteniéndose la curva 1 de la Fig. 6.
Para determinar la inductancia y la corriente de
magnetización a 1,5 Hz se trazó la curva 2, según la
expresión:
LM S = (1 2 π f ) I S nom R S I M
(44)
donde,
I M : corriente de magnetización
f
: frecuencia a la que se desea conocer la
inductancia y la corriente de magnetización (en este
caso 1,5 Hz)
I S nom : corriente secundaria nominal,
I S nom = (n P nS ) I Pnom , siendo I Pnom el valor
cuadrada o bien, una laminación 75 con sección
rectangular de 19 x 26 mm2 . Con esta última selección
la clase a 1,5 Hz resulta 0,75 (ec.34).
Nótese que para una frecuencia de 0,5 Hz la clase
obtenida es aproximadamente 1. Esto se debe a que la
suposición de permeabilidad 3.000 resultó muy
conservadora respecto del material con que finalmente
se fabricó el transformador.
LMs
[H]
1
30
29,7
20
2
10
1
0
1,11
2
3
IM
[mA]
Fig. 6: Determinación de la inductancia y la corriente de
magnetización en condiciones nominales a frecuencia mínima, (1)
curva experimental, (2) ecuación fasorial.
CLASE
1
nominal de la corriente primaria.
La intersección de ambas curvas da la solución del
sistema de ecuaciones, determinando la corriente y la
inductancia de magnetización para corriente nominal a
la frecuencia mínima adoptada. Para este caso se obtuvo
LM S = 29,7 H y I M = 1,11 mA .
Siendo la corriente nominal primaria 15 A y la
relación de transformación 1 : 900 , la corriente
secundaria nominal es 16,67 mA. Con este valor y el
de I M antes calculado, de la ec. 2 se despeja la clase,
que resulta 0,222.
Repitiendo
el
procedimiento
para
distintas
frecuencias puede trazarse una curva de clase en función
de la frecuencia mínima de operación (Fig. 7).
De la ec. 7 se despeja la permeabilidad efectiva que
para la frecuencia mínima especificada (1,5 Hz) resulta
5.119. Con este valor se obtiene la inducción a partir de
la ley de Ampère:
n
Bm = μo μr S 2 I M , resultando B m = 0,174 T .
l Fe
Para esta inducción la permeabilidad del material
está aproximadamente entre 15.000 y 20.000 lo que de
la ec. 38 da l a l Fe ≅ 0, 00014 , valor inferior al tomado
como de peor caso al realizar el proyecto.
Con el valor de la permeabilidad medido podría
ahora corregirse el proyecto adoptando un núcleo un
poco más pequeño. De la ec. 35 se concluye que podría
utilizarse un núcleo con laminación 77 y sección
0,5
0
1
2
3
Hz
Fig. 7: Clase del transformador de corriente de 15 A en función de la
frecuencia mínima de operación.
X. CONCLUSIONES
Cuando se desee operar a frecuencias muy bajas es
conveniente utilizar núcleos toroidales con materiales de
muy alta permeabilidad.
Contrariamente a lo que habitualmente se encuentra
en la industria, no aparecen grandes ventajas en utilizar
transformadores toroidales con aleaciones de hierrosilicio, cuando estos estén destinados a ser montados en
tableros operando siempre a la frecuencia de la red.
En estos casos, la ventaja en peso de la construcción
TACCA : CURRENT TRANSFORMERS FOR INVERTERS
con núcleo toroidal solamente es realmente significativa
a frecuencias muy bajas (del orden del Hz) y se tiene en
cambio mayores dificultades constructivas tanto para la
ejecución de los bobinados, como para la ubicación de
las pantallas.
El uso de núcleos laminados de tipo E-I introduce un
entrehierro parásito (o accidental) que puede estimarse
del orden de 0,025 mm. Por lo tanto, el entrehierro
normalizado respecto de la longitud del camino
magnético estará habitualmente comprendido entre
0,0001 y 0,0003 que son valores usuales en los
transformadores con entrehierro intencional destinado a
reducir la magnetización residual. Si bien este
entrehierro reducirá la clase en bajas frecuencias
respecto de un transformador equivalente con núcleo
toroidal,
aparecen
algunas
ventajas
[19]:
El
comportamiento dinámico frente a transitorios mejora, la
distorsión de la corriente secundaria es menor (lo que
mejora la medición de las potencias armónicas), en caso
de falla la corriente de saturación es mayor y por último,
en el caso en que asimetrías de la modulación PWM
generen corriente continua superpuesta, el entrehierro
ayudará a prevenir la saturación o el funcionamiento en
la región no lineal de la curva B-H propia del núcleo.
Por estas razones, el uso de laminaciones tipo E-I no
debe descartarse al evalu ar las alternativas de realización
de un transformador de corriente para uso industrial,
sobre todo en sistemas inversores monofásicos donde
puede haber asimetrías que introduzcan una componente
continua.
Utilizando material con grano orientado, con un
corte de la laminación bueno, sin rugosidades ni rebabas
y apilando las chapas una por una, se puede obtener
permeabilidades mayores que 5.000. En estos casos, aún
cuando el transformador resulta apreciablemente más
pesado que su equivalente toroidal, el área ocupada
montado en un tablero no es significativamente mayor.
Cuando los transformadores estén destinados a medir
frecuencias bajas, es muy importante utilizar una etapa
de entrada con amplificador de transresistencia. Esto
hace que el transformador opere con la tensión
secundaria mínima posible y reduce su tamaño.
Con esta clase de etapa de entrada, el tamaño del
núcleo queda fundamentalmente determinado por la
clase y la frecuencia mínima, y dentro de grandes
márgenes no depende de la corriente primaria.
La clase tampoco depende de la relación de
transformación, no siendo posible mejorarla reduciendo
el número de espiras del secundario, por lo que adoptar
corrientes grandes de entrada al amplificador de
transresistencia no aporta mayores ventajas (y puede
desmejorar la linealidad).
Contrariamente a lo habitual en transformadores de
potencia, la ventana no debe equipartirse entre los
bobinados primario y secundario. Solamente, para
transformadores destinados a sistemas de protección,
con clases muy bajas y operando con inducciones altas,
resulta significativa el área de ventana primaria con
respecto de la secundaria. En tales casos, el proyecto
puede hacerse con las ecs. 3 y 32, como se explicó en la
sección VI.
Las inductancias de fuga son muy difíciles de
283
estimar, pero no se distribuyen en partes iguales si el
transformador de corriente fue bien proyectado. La más
importante es la secundaria y si se quiere medirla con
precisión debe preverse la fabricación de un bobinado
auxiliar (explorador).
XI. REFERENCIAS
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Hernán Emilio Tacca nació en 1954 en Santa
Fe (Argentina). En 1981 se graduó de Ingeniero
Electromecánico orientación Electrónica en la
Universidad de Buenos Aires. En 1988 realizó
la maestría (D.E.A.) en la Universidad de
Ciencias y Tecnologías de Lille (Francia) donde
presentó en 1993 su tesis doctoral. Realizó un
segundo doctorado en ingeniería en la
Universidad de Buenos Aires en 1998. Fue
investigador visitante (A.T.E.R.) en la Universidad de Lille en 1992 y
en la Escuela de Ingeniería Thayer (Dartmouth College -E. U.) donde
realizó estudios postdoctorales en 2001.
Actualmente, es profesor asociado en el Departamento de Electrónica
de la Facultad de Ingeniería de la Universidad de Buenos Aires, donde
dirige el Laboratorio de Control de Accionamientos , Tracción y
Potencia . Sus principales áreas de interés son electrónica de potencia,
instrumentación electrónica para ingeniería eléctrica y los sistemas de
alimentación de emergencia.