Variables Aleatorias Variables Aleatorias Variables Aleatorias

Variables Aleatorias
Variables Aleatorias
Objetivos del tema:
1 Concepto de variable aleatoria
Al final del tema el alumno será capaz de:
2 Variables aleatorias discretas y continuas
Comprender el concepto de variable aleatorias
Función de probabilidad
Función de distribución
Función de densidad
Calcular probabilidades a partir de la función de densidad, función de
probabilidad o función de distribución
Calcular esperanzas y varianzas de variables aleatorias
3 Medidas características de una variable aleatoria
Obtener la función de densidad o probabilidad y las medidas
características de una variable aleatoria transformada
Esperanza, varianza, percentiles
Medidas de forma
4 Transformaciones de variables aleatorias
1
Estadística, Profesora: María Durbán
2
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Variables Aleatorias
1 Concepto de variable aleatoria
En ocasiones, describir todos los posibles resultados de un experimento
aleatorio no es suficiente
Conceptode
devariable
variablealeatoria
aleatoria
11Concepto
2 Variables aleatorias discretas y continuas
Lanzar una moneda 3 veces: {(CCC), (CCX), …}
Lanzar un dado dos veces: {(1,1), (1,2), (1,3), …}
Función de probabilidad
Función de distribución
Función de densidad
A veces es útil asociar un número a cada resultado del experimento
Definir una variable
3 Medidas características de una variable aleatoria
No conocemos el resultado del experimento antes de realizarlo
No conocemos el valor que va a tomar la variable antes del experimento
Esperanza, varianza, percentiles
Medidas de forma
4 Transformaciones de variables aleatorias
3
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4
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1 Concepto de variable aleatoria
1 Concepto de variable aleatoria
Una variable aleatoria es una función que asocia un
número real a cada elemento del espacio muestral
En ocasiones, describir todos los posibles resultados de un experimento
aleatorio no es suficiente
Lanzar una moneda 3 veces: {(CCC), (XCX), …}
Lanzar un dado dos veces: {(1,1), (1,2), (1,3), …}
Las variables aleatorias se representan por letras mayúsculas,
normalmente empezando por el final del alfabeto: X,Y, Z, etc.
A veces es útil asociar un número a cada resultado del experimento.
X = Número de caras en el primer lanzamiento X[(CCC)]=1, X[(XCX)]=0, …
No conocemos el resultado del experimento antes de realizarlo
Y = Suma de las puntuaciones
Y[(1,1)]=2, Y[(1,2)]=3, …
Los posibles valores que puede tomar la variable se representan
por letras minúsculas,
No conocemos el valor que va a tomar la variable antes del experimento
x=1 es un posible valor de X
y=3.2 es un posible valor de Y
z=-7.3 es posible valor de Z
5
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6
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1 Concepto de variable aleatoria
1 Concepto de variable aleatoria
si
Ejemplos
E
X(si) = b; si ∈ E
sk
Número de unidades defectuosas en una muestra aleatoria de 5
unidades
X(sk) = a
Número de defectos superficiales en un cm2 de cierto material
a
RX
b
Tiempo de duración de una bombilla
• El espacio RX es el conjunto de TODOS los posible valores de X(s).
Resistencia a la compresión de un material de construcción
• A cada posible suceso de E le corresponde un valor en RX
• En cierto sentido podemos considerar Rx como otro espacio muestral
7
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8
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Variables Aleatorias
1 Concepto de variable aleatoria
si
E
X(si) = b; si ∈ E
sk
1 Concepto de variable aleatoria
X(sk) = a
22 Variables
Variables aleatorias
aleatorias discretas
discretas yy continuas
continuas
RX
a
Función de probabilidad
Función de distribución
Función de densidad
b
Si sobre los elementos de E existe una distribución de probabilidad, esta
se transmite a los valores que toma la variable X. Es decir, toda v.a. conserva
la estructura probabilística del experimento aleatorio que describe:
3 Medidas características de una variable aleatoria
Esperanza, varianza, percentiles
Medidas de forma
Pr( X = x) = Pr( s ∈ E : X ( s ) = x)
4 Transformaciones de variables aleatorias
9
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10
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2Variables aleatorias discretas y continuas
2Variables aleatorias discretas y continuas
Ejemplos
Ejemplosde
devariables
variablesaleatorias
aleatoriasdiscretas
discretas
El rango de una variable aleatoria es el conjunto de
valores que puede tomar la variable.
Número
Númerode
dedefectos
defectosen
enlalasuperficie
superficiede
deun
uncristal
cristal
Atendiendo al rango las variables se pueden clasificar como:
Proporción
Proporciónde
depiezas
piezasdefectuosas
defectuosasen
enuna
unamuestra
muestrade
de1000
1000
Número
Númerode
debits
bitstransmitidos
transmitidosque
quese
sereciben
recibencorrectamente
correctamente
Variables
Variablesaleatorias
aleatoriasdiscretas:
discretas:Aquellas
Aquellasen
enlas
lasque
queelelrango
rangoes
esfinito
finitooo
infinito
numerable
infinito numerable
Ejemplos
Ejemplosde
devariables
variablesaleatorias
aleatoriascontinuas
continuas
Variables
Variablesaleatorias
aleatoriascontinuas:
continuas:Aquellas
Aquellasen
enlas
lasque
queelelrango
rangoes
esun
unintervalo
intervalo
de
números
reales
de números reales
Frecuentemente
cuentan el
número de veces
que ocurre algo
Corriente
Corrienteeléctrica
eléctrica
Longitud
Longitud
Frecuentemente miden una
magnitud
Temperatura
Temperatura
11
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Peso
Peso
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12
2Variables aleatorias discretas
2Variables aleatorias discretas
Los valores de una variable aleatoria cambian de un experimento a
otro al cambiar los resultados del experimento
Las propiedades de la función de probabilidad se deducen de forma
inmediata de los axiomas de la probabilidad:
Una v.a. está definida por
1.
3.
Los valores que toma.
La probabilidad de tomar cada uno de esos valores .
0≤P(A) ≤1 2. P(E)=1
P(AUB)=P(A)+P(B) si A∩B=Ø
0 ≤ p ( xi ) ≤ 1
p(xi)
n
∑ p( x ) = 1
i =1
i
a < b < c → A = {a ≤ X ≤ b} B = {b < X ≤ c}
Pr(a ≤ X ≤ c) = Pr(a ≤ X ≤ b) + Pr(b < X ≤ c)
Es una función que indica la probabilidad de cada
posible valor
x
p ( xi ) = P( X = xi )
x1
x2
x3
x4
x5
x6
xn
13
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14
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2Variables aleatorias discretas
2Variables aleatorias discretas
Experimento: Lanzar 2 Monedas.
X=Número de cruces.
Experimento: Lanzar 2 Monedas.
X=Número de cruces.
0
E
CC
XC
CX
1/
4
XX
X
1/
2
Pr
C
C
C
X
1
RX
0
1
X
C
X
X
2
15
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X
P(X=x)
0
1/4
1
1/2
2
1/4
16
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2Variables aleatorias discretas
2Variables aleatorias discretas
Experimento: Lanzar 2 Monedas.
X=Número de caras.
p(x)
x=0
x=1
x=2
En ocasiones nos puede interesar la probabilidad de que una
variable tome un valor menor o igual que una cantidad
X
P(X=x)
0
1/4
1
1/2
2
1/4
F ( x0 ) = P ( X ≤ x0 )
F (−∞) = 0
F (+∞) = 1
si X toma valores x1 ≤ x 2 ≤ K ≤ x n :
F ( x1 ) = P( X ≤ x1 ) = p ( x1 )
F ( x2 ) = P( X ≤ x2 ) = p ( x1 ) + p( x2 )
M
X
F ( xn ) = P( X ≤ xn ) = ∑ i =1 p ( xi ) = 1
n
17
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18
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2Variables aleatorias discretas
2Variables aleatorias discretas
Experimento: Lanzar 2 Monedas.
X=Número de caras.
p(x)
x=0
x=1
x=2
Experimento: Lanzar 2 Monedas.
X=Número de caras.
X
P(X=x)
0
1/4
1
1/2
2
1/4
F(x)
X
1
0.75
0.5
0.25
X
x=0
x=1
x=2
19
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F(x)
0
1/4
1
3/4
2
1
X
20
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2Variables aleatorias continuas
2Variables aleatorias continuas
Cuando una variable es continua, no tiene sentido hacer la suma:
La función de densidad describe la distribución de probabilidad de
una variable continua. Es una función continua que verifica:
∞
∑ p( x ) = 1
i
i =1
f ( x) ≥ 0
ya que el conjunto de valores que toma la variable es no numerable
Lo natural es generalizar
∑→ ∫
∫
+∞
−∞
Introducimos un nuevo concepto que sustituye en variables continuas al
de función de probabilidad en variables discretas
f ( x) dx = 1
b
P(a ≤ X ≤ b) = ∫ f ( x) dx
a
21
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22
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2Variables aleatorias continuas
2Variables aleatorias continuas
La función de densidad describe la distribución de probabilidad de
una variable continua. Es una función que verifica:
a
P( X = a) = ∫ f ( x) dx = 0
a
f ( x) ≥ 0
∫
+∞
−∞
P ( a ≤ X ≤ b) = P ( a < X ≤ b)
= P ( a ≤ X < b)
f ( x) dx = 1
b
P(a ≤ X ≤ b) = ∫ f ( x) dx
a
a
= P ( a < X < b)
b
Área por debajo de
ese trozo de curva
23
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a
24
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2Variables aleatorias continuas
0.4
0.5
Si medimos una variable continua y representamos los datos en un
histograma:
x2
0.3
fX (x | β )
0.0
La forma de la
curva dependerá
de uno o más
parámetros
0.1
0.2
La función de
densidad no tiene
por qué ser
simétrica, ni estar
definida para toda la
recta real
2Variables aleatorias continuas
0
5
10
15
20
25
30
Si hacemos las clases cada vez más pequeñas:
y
25
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26
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2Variables aleatorias continuas
2Variables aleatorias continuas
El polígono de frecuencias tenderá a un curva:
f ( x)
27
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28
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2Variables aleatorias continuas
2Variables aleatorias continuas
Ejemplo
Ejemplo
La función de densidad para el tiempo de uso de un tipo de
máquinas durante un año (en horas x100):
¿Cuál es la probabilidad de que una máquina elegida al azar
haya funcionado durante menos de 320 horas?
f(x)
 0.4
0 < x < 2.5
 2.5 x,

0.4
x, 2.5 ≤ x < 5
f ( x ) = 0.8 −
2.5

else
en
otro caso
0,

f(x)
P ( X < 3.2) =
0.4
2 .5
0.4
3 .2
0.4 

 0 .4 
x dx + ∫  0.8 −
x dx
= ∫
2.5 
2 .5 
0
2.5
= 0.74
2.5
5
x
2.5
29
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5
3.2
x
30
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2Variables aleatorias continuas
2Variables aleatorias continuas
Al igual que en el caso de variables discretas, podemos describir la
distribución de una variable aleatoria continua mediante la Función de
Distribución:
F ( x) = P( X ≤ x) = ∫
x
−∞
f (u ) du
Al igual que en el caso de variables discretas, podemos describir la
distribución de una variable aleatoria continua mediante la Función de
Distribución:
F ( x) = P( X ≤ x) = ∫
−∞ < x < ∞
x
−∞
f (u ) du
−∞ < x < ∞
En el caso discreto la diferencia entre dos valores consecutivos de F(x)
proporcionan la función de probabilidad. En el caso de variables
continuas, habrá que derivar F(x) para obtener la función de densidad
f(x)
P( X ≤ x)
f ( x) =
x
31
dF ( x)
dx
A partir de la función de densidad f(x) podremos calcular probabilidades
asociadas a la v.a. X.
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32
2Variables aleatorias continuas
2Variables aleatorias continuas
La función de distribución verifica las siguientes propiedades:
La función de distribución verifica las siguientes propiedades:
a < b ⇒ F (a ) ≤ F (b) Es no decreciente
F (−∞) = 0 F (+∞) = 1 Es continua
Definimos los sucesos disjuntos:
a < b ⇒ F (a ) ≤ F (b)
Es no decreciente
F (−∞) = 0 F (+∞) = 1 Es continua
Primer axioma de la
probabilidad
F (−∞) = Pr( X ≤ −∞) = ∫
−∞
−∞
{ X ≤ a} {a < X ≤ b} → { X ≤ a} ∪ {a < X ≤ b} = { X ≤ b}
F (+∞) = Pr( X ≤ +∞) = ∫
+∞
−∞
F (b ) = Pr ( X ≤ b ) = Pr ( X ≤ a ) + Pr (a < X ≤ b ) = F (a ) + Pr (a < X ≤ b ) ≥ F (a )
f ( x)dx = 0
f ( x)dx = 1
≥0
Tercer axioma de la probabilidad
33
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34
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2Variables aleatorias continuas
2Variables aleatorias continuas
Ejemplo
Ejemplo
 0.4
 2.5 x, 0 < x < 2.5

0.4

f ( x) = 0.8 −
x, 2.5 ≤ x < 5
2.5

0, en otro caso


La función de densidad para el tiempo de uso de un tipo de
máquinas durante un año (en horas x100):
f(x)
 0.4
0 < x < 2.5
 2.5 x,

0.4
x, 2.5 ≤ x < 5
f ( x ) = 0.8 −
2.5

else
en
otro caso
0,

0.4
Pr(0 < X < 2.5)
2.5
5
x
35
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Pr(2.5 ≤ X < x)
 x 0.4
0 < x < 2.5
u du
 ∫0
 2.5
x
0.4
 2.5 0.4
u du, 2.5 ≤ x < 5
F ( x) =  ∫
u du + ∫ 0.8 −
0 2.5
2.5
2.5



x≥5
Pr( X ≤ 5)
1
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36
2Variables aleatorias continuas
2Variables aleatorias continuas
Ejemplo
Ejemplo
Ejemplo
P(x<3.2)
P(x<3.2)
x=3.2

0.08 x 2
0 < x < 2.5

2
F ( x) = -1 + 0.8 x - 0.08 x 2.5 ≤ x < 5


x≥5
1
37
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38
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Variables Aleatorias
3 Medidas características de una v.a.
Medidas de Centralización
1 Concepto de variable aleatoria
En el caso de una muestra de datos la media muestral:
2 Variables aleatorias discretas y continuas
x=
Función de probabilidad
Función de distribución
Función de densidad
1
1
1
x1 + x2 + K + xn a cada valor se le asigna un peso 1/n
n
n
n
La media µ o Esperanza de una v.a. utiliza la probabilidad como peso:
33Medidas
Medidascaracterísticas
característicasde
deuna
unavariable
variablealeatoria
aleatoria
µ = E [ X ] = ∑ xi p( xi )
Esperanza, varianza, percentiles
Medidas de forma
+∞
µ = E [ X ] = ∫ x f ( x) dx
−∞
4 Transformaciones de variables aleatorias
39
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v.a. discreta
i
v.a. continua
40
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3 Medidas características de una v.a.
2 Variables aleatorias continuas
Medidas de Centralización
Ejemplo
 0.4
 2.5 x, 0 < x < 2.5

0.4

f ( x) = 0.8 −
x, 2.5 ≤ x < 5
2.5

0, en otro caso


Intuitivamente: Mediana = valor que divide a la probabilidad total en dos
partes iguales
P ( X ≤ m) = 0.5
F (m) ≥ 0.5
0.5
¿Cuál es el tiempo medio de funcionamiento de las máquinas?
E[X ] = ∫
0.5
+∞
−∞
41
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xf ( x)dx = ∫
0
5
0.4 2
0.4 2
x dx + ∫ 0.8 x −
x dx
2.5
2.5
2.5
= 2.5
42
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2 Variables aleatorias continuas
3 Medidas características de una v.a.
Medidas de posición
Ejemplo
2.5
Si queremos saber el tiempo de funcionamiento tal que el 50% de
las máquinas tiene una duración menor o igual a ese
El percentil p de una variable aleatoria es el valor xp que verifica:
F (m) = 0.5
0.08 x 2

F ( x) = -1 + 0.8 x - 0.08 x 2
1

0 < x < 2.5
2.5 ≤ x < 5
x≥5
p( X < x p ) ≤ p y p( X ≤ x p ) ≥ p
v.a. discretas
F (xp ) = p
v.a. continuas
Un caso particular son los cuartiles que dividen a la distribución en 4
partes iguales
Q1 = p0.25
0.08 x 2 = 0.5 → m = 2.5
-1 + 0.8 x - 0.08 x 2 = 0.5 → m = 2.5
Q2 = p0.5 = Mediana
Q3 = p0.75
43
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Estadística, Profesora: María Durbán
44
3 Medidas características de una v.a.
3 Medidas características de una v.a.
Ejemplo
Ejemplo
Una empresa está interesada en fabricar un nuevo tipo de destornillador
eléctrico. Se sabe que la distribución de probabilidad del número de
vueltas para ajustar tornillos de 10cm es la siguiente:
Una empresa está interesada en fabricar un nuevo tipo de destornillador
eléctrico. Se sabe que la distribución de probabilidad del número de
vueltas para ajustar tornillos de 10cm es la siguiente:
x
p(x)
x
p(x)
F(x)
11
0.03
11
0.03
0.03
12
0.03
12
0.03
0.06
13
0.03
13
0.03
0.09
14
0.06
14
0.06
0.15
15
0.26
15
0.26
0.41
16
0.09
16
0.09
0.5
17
0.12
17
0.12
0.62
18
0.21
18
0.21
0.83
19
0.14
19
0.14
0.97
20
0.03
20
0.03
1
45
Estadística, Profesora: María Durbán
p( X < x p ) ≤ 0.7 y p( X ≤ x p ) ≥ 0.7
46
Estadística, Profesora: María Durbán
3 Medidas características de una v.a.
3 Medidas características de una v.a.
Medidas de dispersión
Medidas de dispersión
2
Var [ X ] = E ( X − E [ X ]) 


2
Var [ X ] = E ( X − E [ X ]) 


En el caso de una muestra de datos la varianza muestral es una medida
de la dispersión o variabilidad de los datos:
1
1
1
s2 = (x1 −x)2 + (x2 −x)2 +K+ (xn −x)2
n
n
n
σ = Var [ X ] = ∑ ( xi − µ ) p( xi )
2
= E  X 2  + ( E [ X ]) − 2 E [ X ] E [ X ]
2
v.a. discreta
= E  X 2  − ( E [ X ])
i
+∞
σ 2 = Var [ X ] = ∫ ( x − µ ) 2 f ( x) dx
Estadística, Profesora: María Durbán −∞
v.a. continua
2
2
2
E ( X − E [ X ])  = E  X 2 + ( E [ X ]) − 2 XE [ X ]




La Varianza de una v.a. utiliza la probabilidad como peso:
2
Var [ X ] = E  X 2  − ( E [ X ])
47
2
E [ X ] es una constante,
no depende de X
La esperanza es un operador lineal
48
Estadística, Profesora: María Durbán
3 Medidas características de una v.a.
3 Medidas características de una v.a.
Desigualdad de Tchebychev
Desigualdad de Tchebychev
Si X es una variable aleatoria con:
E[X ] = µ
Var [ X ] = σ 2
al menos 75%
Se puede demostrar que gran parte de la distribución está situada en un
intervalo centrado en µ y que tiene amplitud varias veces σ . En concreto:
Pr ( µ − kσ ≤ X ≤ µ + kσ ) ≥ 1 −
∀k > 0
1
k2
Es decir, la probabilidad de realizar una observación de una variable y que
esté en ese intervalo es mayor o igual que 1-1/k2
µ-3σ
50
5-28
3 Medidas características de una v.a.
Medidas de forma
[ ]
mk = E X k
[
µ+2σ
µ+3σ
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3 Medidas características de una v.a.
µk = E (X − µ )
µ
al menos 89%
49
Estadística, Profesora: María Durbán
µ-2σ
k
]
Medidas de forma
[ ]
Momento de orden k respecto al origen.
mk = E X k
Momento de orden k respecto a la media.
µk = E (X − µ )
[
k
]
Momento de orden k respecto al origen.
Momento de orden k respecto a la media.
m1 = E [ X ]
µ1 = 0 µ2 = σ 2 = m2 − m12
CA =
CA =
µ3
σ3
µ3
σ3
51
Estadística, Profesora: María Durbán
CAp =
µ4
µ
o 44 − 3
4
σ
σ
52
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Variables Aleatorias
4 Transformaciones de variables aleatorias
En algunas situaciones necesitamos conocer la distribución de
probabilidad de una función o transformación de una variable aleatoria
1 Concepto de variable aleatoria
2 Variables aleatorias discretas y continuas
Ejemplos
Función de probabilidad
Función de distribución
Función de densidad
Cambiar las unidades
Utilizar la escala logarítmica
11
XX
Esperanza, varianza, percentiles
Medidas de forma
|X |
X
e
53
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X2
Y = g( X )
log X
4 Transformaciones
variables
aleatorias
4 Transformaciones
dede
variables
aleatorias
X
54
Estadística, Profesora: María Durbán
4 Transformaciones de variables aleatorias
4 Transformaciones de variables aleatorias
Ejemplo
Sea X una v.a. cualquiera. Si realizamos el cambio de variable Y=h(X),
tenemos una nueva v.a. :
Una empresa está interesada en fabricar un nuevo tipo de destornillador
eléctrico. Se sabe que la distribución de probabilidad del número de
vueltas para ajustar tornillos de 10cm es la siguiente:
Función de distribución de Y
Y = h( X )
FY ( y ) = Pr(Y ≤ y ) = Pr(h( X ) ≤ y ) = Pr( x ∈ A)
A = { x, h( x) ≤ y}
55
Estadística, Profesora: María Durbán
aX + b
sin
sinXX
3 Medidas características de una variable aleatoria
x
p(x)
F(x)
11
0.03
0.03
12
0.03
0.06
13
0.03
0.09
14
0.06
0.15
15
0.26
0.41
16
0.09
0.5
17
0.12
0.62
18
0.21
0.83
19
0.14
0.97
20
0.03
1
Estadística, Profesora: María Durbán
¿ Pr( X 2 ≤ 144)?
Pr( X 2 ≤ 144) = Pr( x ∈ A)
Pr ( X ≤ 12 ) = 0.06
{
A = x, x ≤ 144
}
A = { x, x 2 ≤ 144}
56
4 Transformaciones de variables aleatorias
4 Transformaciones de variables aleatorias
Función de densidad
Y = h( X )
Si X es una v.a. continua e Y=h(X),
En general:
Si
h es continua y monótona creciente:
fY ( y ) = f X ( x )
FY ( y ) = Pr(h( X ) ≤ y ) = Pr( X ≤ h −1 ( y )) = FX ( h −1 ( y ))
Si
dx
dy
x
 ∂FX ( x) dx
dx dy
∂FY ( y ) ∂Fx (h ( y )) 
=
=
fY ( y ) =
∂y
∂y
 ∂ (1 − FX ( x)) dx

dx
dy
h es continua y monótona decreciente:
−1
−1
−1
FY ( y ) = Pr( h( X ) ≤ y ) = Pr( X ≥ h ( y )) = 1 − FX ( h ( y ))
creciente
decreciente
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4 Transformaciones de variables aleatorias
4 Transformaciones de variables aleatorias
Ejemplo
Si X es una v.a. continua e Y=h(X), donde h es una función derivable
e inyectiva,
fY ( y ) = f X ( x )
La velocidad de una partícula de gas es una v.a. V con función de densidad
dx
dy
fV (v) =
Para v.a. discretas:
pY ( y ) = Pr(Y = y ) =
0
La energía cinética de la partícula es
función de densidad de W?
∑
h ( xi ) = y
en el resto
W = mV 2 / 2 . ¿Cuál es la
Pr( X = xi )
59
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(b 2 / 2)v 2 e − bv v > 0
60
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4 Transformaciones de variables aleatorias
4 Transformaciones de variables aleatorias
Ejemplo
Ejemplo
La velocidad de una partícula de gas es una v.a. V con función de densidad
fV (v) =
La velocidad de una partícula de gas es una v.a. V con función de densidad
(b 2 / 2)v 2 e − bv v > 0
0
fV (v) =
en el resto
(b 2 / 2)v 2 e − bv v > 0
0
en el resto
W = mV 2 / 2 → v = 2 w / m v = − 2w / m
dv
1
=
dw
2mw
fV (h −1 ( w)) = (b 2 / 2)
(
)e
2
2w / m
fW ( w) =
−b 2 w / m
(b 2 / 2m) 2w / m e − b
0
2w/ m
w>0
en el resto
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4 Transformaciones de variables aleatorias
4 Transformaciones de variables aleatorias
Esperanza
+∞
E [ h( X ) ] =
Y = h( X )
∫
∑
−∞
Esperanza
+∞
h( x) f X ( x)dx
xi , h ( xi ) = y
E [ h( X ) ] =
h( xi ) p( X = xi )
∫
∑
−∞
h( x) f X ( x)dx
xi , h ( xi ) = y
creciente
h( xi ) p( X = xi )
Transformaciones lineales
E [ y] = ∫
+∞
−∞
yf y ( y )dy = ∫
+∞
−∞
dx
h( x) f X ( x) dy
dy
Y = a + bX
E [Y ] = a + bE [ X ]
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Var [Y ] = b 2Var [ X ]
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