14.Átomos en campos em externos.

14-1
Mecánica Cuántica Avanzada — Carlos Pena
14. Átomos en campos e.m. externos.
[Ynd. 18.3-4]
Átomo de hidrógeno en B = cte.: efecto Zeeman
Hamiltoniano
Supongamos un átomo de hidrógeno en un campo magnético externo constante.
Elegiremos el sistema de coordenadas z k B. Los potenciales en que se mueve el
electrón (carga q = −e, e > 0) son
ϕ=−
e2
,
r
A=
1
B × r,
2
(14.1)
donde para el potencial vector hemos elegido el gauge simétrico. El hamiltoniano
del sistema es (spin total s = 1/2)
Ĥ =
1 e 2 e2 2µ
−
Ŝ · B .
p̂ + A −
2m
c
r
~
Usando L̂ = r̂ × p̂ y la definición del magnetón de Bohr µ = µB =
10−20 erg/G es trivial llegar a
(14.2)
e~
2mc
' 0.927 ×
1 2 e2 µB
e2
p̂ −
+
(L̂ + 2Ŝ) · B +
(B × r̂)2 ,
2m
r
~
8mc2
(14.3)
1 2 e2
µB B
e2 B 2 2
p̂ −
+
(L̂z + 2Ŝz ) +
(x̂ + ŷ 2 ) .
2
2m
r
~
8mc
|
{z
} |
{z
} |
{z
}
(14.4)
Ĥ =
o, con B k z,
Ĥ =
ĤCoul
ĤB
ĤB2
Término ĤB
Estudiemos primero el efecto del término ĤB , ignorando la presencia de ĤB2 (lo
justificaremos luego). La ventaja es que el problema se simplifica considerablemente:
[ĤCoul , L̂z ] = [ĤCoul , Ŝz ] = 0 ⇒ ĤCoul , ĤB simultáneamente diagonalizables.
(14.5)
Dado que las autofunciones ψnllz sz del átomo de hidrógeno (donde lz , sz son los
números cuánticos de tercera componente de momento angular orbital y de spin,
respectivamente) son de hecho autoestados de L̂z y Ŝz , se sigue que las mismas
14-2
Mecánica Cuántica Avanzada — Carlos Pena
siguen siendo autofunciones estacionarias de HCoul + ĤB . Lo único que cambia es el
espectro: los niveles de energı́a están desplazados de manera fácil de calcular,
µB B
(HCoul + ĤB )ψnllz sz = En +
(~lz + 2~sz ) ψnllz sz
~
(14.6)
⇒ Enlz sz = En + µB B(lz + 2sz ) .
n=3
n=2
n=1
Por lo tanto, el campo magnético
rompe la degeneración de los niveles del átomo de hidrógeno, desdo(. . .)
blando (efecto Zeeman) el nivel fundamental en dos, y el nivel n ≥ 2
} µB B
en 2n + 1 subniveles (es fácil comprobarlo explı́citamente combinando los
lz = +1, sz =↑
lz = 0, sz =↑ / lz =números
+2, sz =↓ cuánticos involucrados), con
lz = ±1, sz =↓↑
dados por µB B. Nótese
lz = 0, sz =↓ / lz =espaciados
−2, sz =↑
lz = −1, sz =↓
que la degeneración de los niveles no
está completamente rota. Es fácil
ver que el desdoblamiento es muy
pequeño comparado con |En0 − En |,
a menos que el campo magnético sea
sz =↑
extraordinariamente intenso: basta
comparar µB B con la energı́a tı́pica
sz =↓
de un nivel del átomo de H
µB B
B
'
.
13.6 eV
2.3 × 109 G
(14.7)
Esto da una estimación de cómo depende de B el impacto de este término en el valor
de los niveles de energı́a. Para tener una medida de comparación, se puede observar
que la intensidad del campo magnético en el reactor experimental de fusión nuclear
ITER es de 1.3 × 105 G — cuatro órdenes de magnitud por debajo de lo que se
necesita para conseguir un efecto de orden 1. Los campos más fuertes conseguidos
en laboratorio son del orden de 106 G, y el campo de una estrella de neutrones (!)
es del orden de 1010 G.
Término ĤB2
Superficialmente, ĤB2 es un término de tipo potencial de oscilador armónico, dada la
dependencia en (x2 +y 2 ). Si se determina la frecuencia correspondiente, igualando el
eB
coeficiente a 21 mω 2 , se obtiene ω = 2mc
= ωB /2 = µB B/~. Por lo tanto, podrı́amos
esperar que el desplazamiento de energı́as asociado a este término fuera del orden
14-3
Mecánica Cuántica Avanzada — Carlos Pena
de ~ωB /2 = µB B — i.e. similar al producido por ĤB . Esto implicarı́a que no
es correcto despreciarlo, como hemos hecho en el análisis anterior, y estarı́amos
obligados a resolver un problema complejo (porque [ĤB2 , ĤCoul ] 6= 0).
Por otra parte, sigue siendo válida la observación de que para campos magnéticos
tı́picos de laboratorio el valor de µB B, y por lo tanto el desplazamiento de los niveles
de energı́a, es muy pequeño, lo que nos autoriza a tratar ĤB2 en teorı́a de perturbaciones. A primer orden las correcciones estarán dadas por elementos de matriz de
ĤB2 entre autoestados del átomo de H; su cálculo es engorroso pero conceptualmente
trivial. Por ejemplo, para el estado fundamental se obtiene
∆E1 =
e2 B 2
e2 B 2 2
2
2
h000s
|(x̂
+
ŷ
)|000s
i
=
2a ,
z
z
8mc2
8mc2 B
(14.8)
y por lo tanto
∆E1
1
=
|E1 |
2
µB B
E1
2
,
(14.9)
i.e. el efecto no es lineal en µB B, como pensábamos, sino cuadrático. Por lo tanto,
el efecto de ĤB2 en realidad está suprimido respecto al de ĤB , y está justificado
despreciarlo en primera aproximación.
Una manera intuitiva de entender el origen de esta fuerte supresión (y por qué el
argumento basado en la forma de oscilador armónico es erróneo) consiste en observar
que el valor esperado de (x̂2 + ŷ 2 ) entre autoestados del átomo de hidrógeno siempre
será del orden de a2B . Entonces
hĤB2 i
e2 B 2 a2B
µB B µ B B
∼
∝
,
2
|En |
mc |En |
|En | α2 mc2
(14.10)
2
e
1
donde α = ~c
' 137
es la constante de estructura fina. Dado que |En | y mc2 son
constantes del sistema de partida, este argumento hace esperar que el efecto sea
siempre del orden de (µB B/En )2 , como nos enseña el cálculo perturbativo (n.b.
α2 mc2 ∼ 27 eV ∼ |En |). Comprobamos la enseñanza de que los argumentos
heurı́sticos pueden ser engañosos.
Átomo de hidrógeno en E = cte.: efecto Stark
Hamiltoniano y estimación de magnitud
Si, además de un campo magnético constante, colocamos el átomo de H en un campo
eléctrico externo constante, el hamiltoniano completo será
Ĥ =
1 2 e2
µB
e2
p̂ −
+
(L̂ + 2Ŝ) · B +
(B × r̂)2 + e| E
{z· r̂} ,
2
2m
r
~
8mc
|
{z
} |
{z
} |
{z
}
Ĥ
ĤCoul
ĤB
ĤB2
E
(14.11)
14-4
Mecánica Cuántica Avanzada — Carlos Pena
donde e E · r es la energı́a potencial del electrón (carga −e) inmerso en E. Dado que
[ĤCoul , ĤE ] 6= 0, en general no es fácil tratar el efecto debido a E de manera exacta.
Por otra parte, podemos tratar de estimar si proporciona correcciones grandes, comparando la magnitud esperada de las mismas con las autoenergı́as del átomo de H
y con la magnitud del efecto Zeeman apenas estudiado.
Si tratamos el efecto de ĤE a primer orden en teorı́a de perturbaciones, el efecto
será
∆En ∼ hnllz sz |ĤE |nllz sz i = eE · hnllz sz |r̂|nllz sz i .
Por otra parte, se sabe hrinllz sz =
radio de Bohr, se obtiene1
aB
2
2 [3n
(14.12)
− l(l + 1)] ∼ aB , y, usando el valor del
∆En
∼ 10−7 × E (statV/cm) .
|En |
(14.13)
Por lo tanto, para que el efecto sea no perturbativo (i.e. O(1)) el campo eléctrico
tendrı́a que ser del orden de 107 G (obvio: ¡es el orden de ma el campo generado
por el núcleo!). Si, por otra parte, comparamos este efecto con el de un B = cte.,
que sabemos ∼ µB B, obtenemos
∆EE
E (statV/cm)
∼ 102 ×
.
∆EB
B (G)
(14.14)
Nótese que en unidades SI los campos eléctricos que hacen que el efecto sea O(1)
corresponden a ∼ 104 V/m, que no es un valor terriblemente alto. Concluimos que
el tratamiento perturbativo del efecto no será una aproximación particularmente
buena para campos moderadamente intensos.
Ionización del átomo
Es fácil comprender que el átomo de H en un campo eléctrico externo es esencialmente inestable. Para ello basta escribir la energı́a potencial del sistema con B = 0,
tomando e.g. z k E,
V (r) = −
1
e2
+ eEz .
r
(14.15)
Recuérdese que en unidades gaussianas E y B tienen las mismas dimensiones, pero es estándar
llamar Gauss (G) la unidad de campo magnético y statV/cm la de campo eléctrico.
Mecánica Cuántica Avanzada — Carlos Pena
14-5
Si dibujamos este potencial a lo largo
de x = y = 0 es evidente que ∀ E 6=
V (z)
E �= 0
0 la distorsión del potencial coulombiano dará lugar a una barrera finita,
z
que hace posible que cualquier estado
ligado escape del pozo de potencial
E=0
del átomo por efecto túnel: simplemente, estamos viendo que el campo
estado ligado
externo ionizará el átomo (de hecho,
dado que lo suponemos extendido a
todo el espacio tendrá siempre suficiente energı́a para hacerlo). Por otra
parte, es razonable esperar que para valores del campo mucho menores que el generado por el proprio núcleo la vida media asociada al proceso de tuneleo sea muy
grande, y el sistema sea de facto estable (ejercicio).
Concluimos que fuera del régimen de campos pequeños, que podemos tratar
perturbativamente, la dinámica del sistema es incompatible con el tratamiento en
términos de estados ligados. Por lo tanto, nos limitaremos a estudiar en detalle el
caso E .
Desplazamiento de los niveles energı́a para campos débiles (efecto Stark)
Consideremos Ĥ = ĤCoul + ĤE con z k E → ĤE = eEz. Dado que los niveles
del átomo de H son degenerados, para calcular los desplazamientos de energı́a será
necesario obtener los elementos de matriz (omitimos los números cuánticos de spin,
que no tienen ningún papel ya que la interacción es independiente del spin)
0
Clllz lz0 := hnllz |ĤE |nl0 lz0 i .
(14.16)
La conservación de la paridad implica inmediatamente que los elementos de matriz
diagonales se anulan:
transf.
Clllz lz = hnllz |eE · r̂|nllz i −−−−→ (fase) × hnllz | − eE · r̂|nllz i
paridad
= − (fase) × Clllz lz ⇔ Clllz lz = 0 .
(14.17)
Más en general, es posible demostrar2 que los únicos elementos de matriz no nulos
aparecen si l0 = l ± 1; además, z k E implica que es necesario lz0 = lz . Descomponiendo el elemento de matriz en parte angular y parte radial, el resultado final se
puede escribir como
h
i
0
(+)
(n)
(−)
(n)
Clllz lz0 = eEδlz ,lz0 αllz δl,l0 +1 Il,l−1 + αllz δl,l0 −1 Il,l+1 ,
(14.18)
2
Discutiremos estas propiedades en detalle cuando estudiemos la dinámica de transiciones entre
niveles atómicos.
14-6
Mecánica Cuántica Avanzada — Carlos Pena
donde las I están dadas en términos de las partes radiales de las funciones de onda
Z ∞
(n)
Ill0 :=
dr r3 fnl (r)∗ fnl0 (r) ,
(14.19)
0
y las α son coeficientes provenientes de las integrales angulares que se pueden escribir
en términos de coeficientes de Clebsch-Gordan.3
Como ilustración, consideraremos el primer caso no trivial, i.e. el primer nivel
excitado n = 2. (El estado fundamental no cambia a primer orden porque no hay dos
(2)
(2)
valores posibles de l.) Las integrales radiales en ese caso son I01 = I10 = −33/2 aB ;
uniéndolo a los coeficientes relevantes, en el caso lz = 0 la matriz 2 × 2 formada por
los cuatro elementos de matriz h2l0|ĤE |2l0 0i posibles es
0
−3eEaB
C=
,
(14.20)
−3eEaB
0
mientras que para lz = ±1 C = 0. Los
autovalores de la matriz lz = 0 son
±3e|E|aB , y por lo tanto se concluye
que el nivel n = 2 se desdobla en tres
niveles.
n=2
� 3e|E|aB
� 3e|E|aB
lz = 0
lz = ±1
lz = 0
Observaciones
• Tanto B 6= 0 como E 6= 0 rompen la degeneración de los niveles: la existencia de una dirección privilegiada (dada por el campo) rompe la simetrı́a
bajo rotaciones, haciendo que no todos los valores del momento angular sean
equivalentes.
• La interacción con el campo magnético preserva los buenos números cuánticos
de momento angular (si se desprecia ĤB2 ), pero la interacción con el campo
eléctrico no lo hace. Esto da lugar a que un estado con lz bien definido se
separe en dos niveles.
• La presencia de un campo eléctrico no es “inocua”, ya que da lugar a la
ionización del átomo (con una vida media para el proceso que depende de la
intensidad del campo).
3
Cf. [Ynd 18.4] para una discusión más detallada.